Aula 8 - Modelagem e Método Gráfico

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TEXTIL 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
PESQUEISA OPERACIONAL I 
 
 
1. Suponhamos que uma pequena indústria produz artigos A1 e A2 que são vendidos por R$ 
200,00 e R$ 300,00 respectivamente. Na sua produção são utilizados três tipos de matériasprimas, P1, P2 
e P3, que são gastos da seguinte forma: 
 
• 2 unidades de P1 para fabricar 1 unidade de A1; 
• 4 unidades de P2 para fabricar 1 unidade de A1; 
• 1 unidade de P1 para fabricar 1 unidade de A2; 
• 1 unidade de P3 para fabricar 1 unidade de A2. 
 
Por razões econômicas, as matérias-primas P1, P2 e P3 estão disponíveis em 20, 32 e 10 
unidades, respectivamente. O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que 
devem ser produzidas para que a receita bruta seja a maior possível 
 
2. Um fazendeiro está definido uma estratégia de plantio para suas terras no próximo ano. 
Através de informações obtidas nos órgãos governamentais, sabe que as culturas de trigo, arroz 
e milho gerarão mais retorno na próxima safra. Por experiência, sabe que a produtividade de 
sua terra para as culturas desejadas é a constante na tabela abaixo. 
Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está 
limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 250.000 m2. Para atender as demandas de seu 
próprio sítio, é imperativo que se plante 400 m2 de trigo, 800 m2 de arroz e 10.000 m2 de milho. 
 
 
 
Formule o modelo matemático de modo a maximizar o lucro obtido na produção do próximo 
ano. 
 
3. Um fundo de investimento tem até R$300.000,00 para aplicar nas ações de duas empresas. A 
empresa D tem 40% do seu capital aplicado em produção de cerveja e o restante aplicado em 
refrigerantes. Espera-se que a empresa D distribua bonificações de 12%. A empresa N tem todo 
o seu capital aplicado apenas na produção de cerveja. Espera-se que a empresa N distribua 
bonificações de 20%. Para o investimento considerado, a legislação impõe as seguintes 
restrições: 
a) O investimento na empresa D pode atingir R$270.000,00, dada a sua diversificação 
de capital aplicado. 
b) O investimento na empresa N pode atingir R$150.000,00, dada a sua condição de 
empresa com capital concentrado em apenas um produto. 
c) O investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir R$180.000,00. 
Para as condições do problema 
Qual deve ser o investimento que maximiza o lucro? 
 
4. Uma pequena fábrica produz dois tipos de peças para automóveis. A fábrica compra unidades 
fundidas que são torneadas, furadas e retificadas. Os dados relativos à produção estão na Tabela 
abaixo. As unidades para o tipo A custam R$ 2 cada; para o tipo B custam R$ 3 cada. 
 
Operação Peça A Peça B 
Capacidade de Torneamento 25 por hora 40 por hora 
Capacidade de Furação 28 por hora 35 por hora 
Capacidade de Retificação 34 por hora 25 por hora 
 
O preço de venda é de R$ 5 e R$ 6, respectivamente. As três máquinas têm custos operacionais 
de R$ 20, R$ 14 e R$ 17 por hora. Supondo que qualquer combinação dos tipos A e B possa ser 
posta à venda, formule o modelo de PL que maximiza o lucro (considerando 1 hora de 
produção)? 
 
5. A empresa Líder do setor de laticínios fabrica iogurte, queijo minas, queijo mussarela, queijo 
parmesão e queijo provolone. Em função das mudanças estratégicas decorrentes da 
concorrência de mercado, a empresa está redefinindo seu mix de produção. Para a fabricação 
de cada um dos cinco produtos são necessários três tipos de matérias-primas: leite in natura, 
soro e gordura. A Tabela abaixo apresenta as quantidades de matérias-primas necessárias para 
a fabricação de 1kg de cada produto. 
Produto Leite (L) Soro(L) Gordura (kg) 
Iogurte 0,70 0,16 0,25 
Queijo minas 0,40 0,22 0,33 
Queijo mussarela 0,40 0,32 0,33 
Queijo parmesão 0,60 0,19 0,40 
Queijo provolone 0,60 0,23 0,47 
 
A quantidade de matéria-prima disponível é limitada em 1200 litros de leite, 480 litros de soro 
e 670kg de gordura. 
A disponibilidade diária de mão de obra especializada também é limitada (170 homenshora/dia). A 
empresa necessita de 0,05 hora-homem para a fabricação de 1kg de iogurte, 0,12 
hora-homem para a fabricação de 1kg de queijo minas, 0,09 hora-homem para queijo mussarela, 
0,04 hora-homem para queijo parmesão e 0,16 hora-homem para queijo provolone. 
Devido a razões contratuais, a empresa necessita produzir uma quantidade mínima diária de 
320 kg de iogurte, 380 kg de queijo minas, 450kg de queijo mussarela, 240kg de queijo parmesão 
e 180kg de queijo provolone 
 
6. A figura a seguir oferece o fluxo geral da fabricação, desde a compra da jazida do calcário 
até a embalagem de dois tipos de cimento: CP320 (Cimento Portland 320) e AF250 (cimento 
Alto-forno 250). 
 
 
 
A tabela a seguir mostra a composição típica para cada um dos tipos de cimento produzidos: 
 
 
 
Considerando que o calcário é o insumo para a produção do clínquer e que não há perdas na 
produção de clínquer, onde uma tonelada de calcário gera uma tonelada de clínquer. 
Entretanto, a produção de Clínquer é limitada a capacidade do forno de no máximo 1,1 milhão 
toneladas/ano. Da mesma forma, a produção dos dois tipos de cimento também é limitada a 1,1 
milhão de toneladas/ano devido à capacidade do moinho. Outras restrições são conhecidas: 
• Pode-se vender Clínquer a outros fabricantes de cimento. O volume é limitado em 200 
mil toneladas/ano; 
• A escória de usinas siderúrgicas disponível para compra é de 80 mil toneladas/ano; 
• Gesso e aditivo estão disponíveis em 50 mil toneladas por ano cada um. 
Considere que a contribuição marginal seja a receita menos os custos fixos e variáveis. Para se 
saber a margem de um produto precisa-se subtrair o custo dos insumos. Outras informações do 
problema são as seguintes: 
• Contribuição marginal: 
o CP320: R$4100/ton; 
o CP250: R$3780/ton; 
o Clínquer: R$3440/ton; 
• Preços de insumos: 
o Gesso: R$3420/ton; 
o Escória: R$2210/ton; 
o Calcário: R$650/ton; 
o Aditivo: R$190/ton; 
Formule um modelo que defina a produção anual e maximize a margem total da empresa. 
 
7. Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de um mínimo de 15 unidades 
de proteínas e 20 unidades de carboidratos. Suponhamos que, para satisfazer esta necessidade, 
ela disponha dos produtos A e B. Um Kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 
unidades de carboidrato e custa R$ 2,00. Um Kg do produto B contém 6 unidades de proteínas, 
5 unidades de carboidrato e custa R$ 3,00. Formule o modelo matemático e determine, pelo 
método gráfico, as quantidades que deverão ser compradas de cada produto de modo que as 
exigências da alimentação sejam satisfeitas a custo mínimo? 
 
 
8. A Radade produz dois tipos de chapéus de vaqueiro. Um chapéu do tipo 1 requer duas vezes 
mais mão-de-obra do que um do tipo 2. Se todas as horas de trabalho forem dedicadas só ao 
tipo 2, a empesa pode produzir 400 chapéus por dia. Os limites de mercado respectivos para os 
dois tipos são de 150 e 200 chapéus por dia. O lucro é de R$ 8,00 por chapéu do tipo 1 e R$ 5,00 
por chapéu do tipo 2. Determine o número de chapéus de cada tipo que maximiza o lucro, 
através do método gráfico. 
 
9. Uma empresa fabrica caminhonetes e carros. Cada veículo precisa ser trabalhado nas seções 
de pintura e montagem. Se a seção de pintura trabalhar só com caminhonetes, 40 por dia podem 
ser pintados e se estiver trabalhando somente com carros, 60 por dia é sua capacidade. Se a 
seção de montagem estiver trabalhando somente com caminhonetes, 50 podem ser montados 
por dia. O mesmo número é possível para carros se este for o único produto na linha. Cada 
caminhonete contribui $400 para o lucro, e cada carro $300. Modele o problema maximizando 
o lucro e determine a quantidade de caminhonetes e carros a serem produzidos utilizando o 
método gráfico.