Avaliação On-Line 3 (AOL 3) Questionário - Equações Diferenciais

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Avaliação On-Line 3 (AOL 3) – Questionário
 Pergunta 1
 
 De uma maneira geral, podemos afirmar que a independência linear é quando nenhum
elemento de um conjunto for combinação linear de outro, ou seja, pode-se afirmar que um
subconjunto é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um elemento do
conjunto é combinação linear dos demais.
Determine a matriz do teorema e a dependência linear das seguintes equações:
f1(x) = ex
f2(x) = xex
f3(x) = x2.ex
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema Wronskiano, é
correto afirmar que:
1. a matriz é:
[ex xex x2.ex ]
[ex xex + 2ex x2.ex + 4ex ]
[ex xex + 4ex x2.ex + 8xex + 2]
linearmente dependente.
2. a matriz é:
[ex xex x2.ex ]
[ex xex x2.ex + 2xex ]
[ex + 2ex x2.ex + 4xex + 2ex]
linearmente dependente.
3. a matriz é:
[ex x2.ex ]
[ex xex + ex x2.ex + 2x ]
[xex + 2ex x2.ex + 4xex + 2ex]
linearmente independente.
4. a matriz é:
[ex xex x2.ex ]
[ex xex + ex x2.ex + 2xex ]
[ex xex + 2ex x2.ex + 4xex + 2ex]
linearmente independente.
5. a matriz é:
[ex xex ex ]
[ex xex + ex x2.ex + ex ]
[ex + 2ex x2.ex + 4xex + 2ex]
linearmente dependente.
 
 Pergunta 2
 
 Equações diferenciais envolvem derivadas de uma função desconhecida. Já a equação
Diferencial Ordinária (EDO) envolve especificamente as derivadas relativas a uma única
variável independente, por vezes representando o tempo.
Ache o problema inicial dada a função:
Y = sen(4x)
Y(0) = 0
Y(π/2) = 0
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problema de valor inicial, é
correto afirmar que:
1. a equação diferencial corresponde a 16y’ + 8y = 0.
2. a equação diferencial corresponde a y’ + 16y” = 0.
3. a equação diferencial corresponde a 8y” + 16y’ = 0.
4. a equação diferencial corresponde a y” + 16y = 0.
5. a equação diferencial corresponde a 4y” + 8y = 0.
 
 Pergunta 3
 
 Equações diferenciais são expressões que nos dão informações sobre o comportamento da
derivada de uma função. O nosso objetivo é, então, encontrar uma função cujas derivadas
obedeçam à equação. Um problema de valor inicial é composto por uma equação diferencial
junto com o estabelecimento do valor das funções desejadas em um ponto a que chamamos
de ponto inicial.
Ache o problema inicial dada a função:
Y = x2 + x + 3
Y(0) = 3
Y’(0) = 1
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problema de valor inicial, é
correto afirmar que:
1. a equação diferencial corresponde a y” – 2y’= 12.
2. a equação diferencial corresponde a x2y” – 2xy’ + 2y = 6.
3. a equação diferencial corresponde a y” – 2y = 8.
4. a equação diferencial corresponde a 2xy’ + 2y = 0.
5. a equação diferencial corresponde a y” – 4xy’ + 2y = 0.
 
 Pergunta 4
 
 Uma solução particular para uma equação homogênea pode ser a soma de uma função
complementar com qualquer outra solução particular, como, por exemplo, a soma de uma
combinação linear com qualquer outra solução particular, ou seja, o resultado pode ser dado
como: y = função complementar + qualquer outra solução particular.
Dada que a solução geral para a equação não homogênea a seguir é y = c1.ex + c2.e2x +
c3.e3x, por substituição, determine sua solução particular e apresente a solução geral.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações não homogêneas,
é correto afirmar que a solução geral para y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y = 0 é:
1. y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 11 – 2x.
2. y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 12 – 1/2x.
3. y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 10 – x.
4. y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 11/12 – x.
5. y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 11/12 – 1/2x.
 
 Pergunta 5
 
 Suponha que um corpo de m está caindo em um fluido no qual a resistência em kgf seja
proporcional ao quadrado da velocidade em m/s. Se a velocidade máxima limite é 50m/s,
determine a velocidade após 2s, com o corpo partindo do repouso:
Dica: m.dv/dt = mg – Kv2.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais e
problema de valor inicial, assinale a alternativa que corresponde à velocidade após 2s:
1. 21,4 m/s.
2. 20,5 m/s.
3. 30 m/s.
4. 27,8 m/s.
5. 22 m/s.
 
 Pergunta 6
 
 É possível calcular o determinante de qualquer matriz, desde que a mesma seja quadrada,
ou seja, que o número de linhas corresponda ao número de colunas (ou seja, uma matriz de
ordem n x n). Seu determinante é dado pela subtração entre o somatório do produto dos
termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária.
Determine a matriz do teorema e a dependência linear das seguintes equações:
f1(x) = eax cos(bx) e f2(x) = eaxsen(bx).
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema Wronskiano, é
correto afirmar que:
1. a matriz é [eax cos(bx) eaxsen(bx)]
[eaxsen(bx) + a.eax cos(bx) b.eax cos(bx) + sen(bx)]
linearmente independente.
2. a matriz é [eax cos(bx) eaxsen(bx)]
[-b sen(bx) + a.cos(bx) b.eax cos(bx) + a. eaxsen(bx)]
linearmente independente.
3. a matriz é [eax cos(bx) eaxsen(bx)]
[-b eaxcos(ax) + bx.eax cos(bx) a.eax cos(bx) + a. eaxsen(bx)]
linearmente independente.
4. a matriz é [eax cos(bx) eaxsen(bx)]
[-b eaxsen(bx) + a.eax sen(bx) b.eax sen(bx) + a. eaxsen(bx)]
linearmente independente.
5. a matriz é [eax cos(bx) eaxsen(bx)]
[-b eaxsen(bx) + a.eax cos(bx) b.eax cos(bx) + a. eaxsen(bx)]
linearmente independente.
 
 Pergunta 7
 
 Pode-se afirmar que um conjunto de funções, f1(x), f2(x), f3(x), ..., fn(x), é linearmente
dependente se em um determinado intervalo I exista constantes c1, c2, c3, ..., cn tal que: c1.
f1(x) + c2.f2(x) + c3. f3(x) + ... + cn. fn(x) = 0 , para todo x no intervalo I.
Dadas as equações dependentes linearmente no intervalo [-π/2, π/2], determine qual função
mantém a dependência do conjunto de funções:
f1(x) = cos2xf2(x) = sen2xf3(x) = -1.sec2x
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre dependência linear, é
correto afirmar que:
1. a função que mantém a série dependente é senx.cos(2x).
2. a função que mantém a série dependente é tg2x.
3. a função que mantém a série dependente é 1/cosx.
4. a função que mantém a série dependente é cos(2x).
5. a função que mantém a série dependente é sen(2x).
 
 Pergunta 8
 
 Uma equação linear homogênea é uma equação que possui os termos independentes
iguais a zero, por exemplo, 4x + 8y - z = 0 é uma equação homogênea, portanto, podemos
concluir que um sistema linear será considerado homogêneo se todas as suas equações
tiverem os seus termos independentes iguais a zero.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equação linear
homogênea, dada a função y = x2, é correto afirmar que a equação diferencial linear
homogênea que admite tal solução é:
1. igual a x2y” – 3xy’ = 0.
2. igual a x2y” – 3xy’ + 4y = 0.
3. igual a x2y” – 3y’ + y = 0.
4. igual a x2 – 3xy’ + 4y = 0.
5. igual a y” – 3y’ + 4y = 0.
 
 Pergunta 9
 
 Em cálculo, em específico no ramo de equações diferenciais, um problema de valor sobre o
contorno é um sistema de equações diferenciais contendo um conjunto de restrições
adicionais, as chamadas condições de contorno ou condições de fronteira.
Ache o problema inicial dada a função:
Y = ¼ sen(4x)
Y(0) = 0
Y’(0) = 1
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problema de valor inicial, é
correto afirmar que:
1. a equação diferencial correspondente é y’ – 2y’ + 16y = 0.
2. a equação diferencial correspondente é y” – 24y’ = 0.
3. a equação diferencial correspondente é y” + 16y = 0.
4. a equação diferencial correspondente é y” + 16y’ + 8y = 0.
5. a equação diferencial correspondente é 2y” – 4y’ = 0.
 
 Pergunta 10
 
 Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não
se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ... ,y(n) é chamada uma equação
diferencial de ordem n, ou seja, uma equação diferencial que contem a derivada n-ésima davariável dependente.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações não
homogêneas, dada a solução particular para a equação não homogênea
y = xex, é correto afirmar que a equação não homogênea que admite tal solução é:
1. y’’ – 3y’ + 4y = 2xex.
2. y’’ – 3y’ = 2xex – ex.
3. y’’ – 6y’ + 16y = e2x.
4. y’’ – 6y’ + 4y = xex – e2x.
5. y’’ – 3y’ + 4y = 2xex – ex.