Prova Cálculo Avançado Uniasselvi 21 10 2020

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Cálculo Avançado: Números Complexos e Equações Diferenciais 
21/10/2020 Uniasselvi 
Prova presencial online 01 
 
01 
O limite de uma função complexa é calculado de maneira análoga ao feito para funções reais já 
que uma função complexa pode ser reescrita como a soma de duas funções reais, essas duas 
funções são chamadas de parte real e imaginária. Sejam 
 
 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção II está correta. 
02 
A integral de uma função complexa que está parametrizada segue as mesmas propriedades de 
integração de funções reais. O valor da integral definida. 
 
 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção II está correta. 
03 
Quando trabalhamos com números reais sabemos que qualquer número real elevado ao 
quadrado sempre será positivo, já para números complexos esta propriedade não é mais válida 
já que i² = - 1. Utilizando as propriedades de operações de números complexos, determine o 
valor de z na figura anexa e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 
- 1 + i. 
- 3 + 3i. 
- 3 + i. 
- 1 + 3i. 
04 
É muito comum no estudo de Equações Diferenciais aparecer constantes que dependam do 
material, no caso da Equação Diferencial do calor o material interfere na condução do calor, 
por isso faz-se necessário o estudo para verificar quais constantes retornam uma solução não 
nula. Faça a análise do problema de valor de contorno: 
 
 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção III está correta. 
05 
Uma das aplicações de série de potência é encontrar a solução de uma equação diferencial 
ordinária. Utilizando a série de Maclariun para resolver a EDO 
 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção III está correta. 
06 
Uma série é dita ser convergente se a sua soma for um número finito, já se a soma for infinita 
dizemos que a série é divergente. Uma série de potência é uma soma infinita de potências de 
x, dependendo do valor de x a série pode ou não convergir. Determine o intervalo de 
convergência da série. 
 
 
4. 
Infinito. 
1/4. 
1. 
07 
Existe algumas maneiras de representarmos os números complexos, a mais usual é a forma 
algébrica que está associado ao plano cartesiano, outra maneira também muito utilizada é a 
representação na forma trigonométrica. Determine a forma algébrica do número complexo z 
que está escrito na forma trigonométrica na figura anexa e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 
- 2 + 2i. 
2 - 2i. 
- 1 + i. 
1 - i. 
08 
São muitas as técnicas utilizadas para encontrar a solução de uma equação diferencial 
ordinária de segunda ordem, entre elas podemos citar séries e transformadas. Sobre o nome 
da técnica para resolver a EDO de segunda ordem, associe os itens, utilizando o código a 
seguir: 
 
 
I - IV - III - II. 
III - II - IV - I. 
IV - I - III - II. 
IV - I - II - III. 
09 
 
Sabendo a forma algébrica de um número complexo, podemos reescrevê-lo também na forma 
trigonométrica. A forma trigonométrica do número complexos. 
 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção III está correta. 
10 
Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equação diferencial que tem apenas 
derivadas de primeira ordem e em geral é escrita como. 
 
 
 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção III está correta. 
11 
Uma equação diferencial ordinária é dita ser do segundo grau quando a sua maior derivada é 
de ordem 2. Um dos métodos de resolução de EDOs do segundo grau é utilizando a equação 
característica. Com relação a esse método, sobre o valor de Delta e a solução encontrada, 
associe os itens, utilizando o código a seguir: 
 
I - III - II. 
II - I - III. 
III - II - I. 
III - I - II. 
12 
Uma série de Fourier é uma combinação infinita de senos e cossenos, porém algumas funções 
podem ter uma série de Fourier dependendo apenas de senos ou apenas de cossenos. Um 
exemplo de função cuja série de Fourier depende apenas de senos é a função: 
 
 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
13 
Usando as propriedades de funções harmônicas, podemos encontrar a parte imaginária de 
uma função analítica sabendo sua parte real. A parte imaginária da função analítica que tem 
como parte real 
 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
 
14 
A regra de L'Hospital é uma regra utilizada para calcular de forma mais simples limites que são 
indeterminações do tipo 0 divido por 0 ou infinito dividido por infinito; essa regra consiste em 
derivar o numerador e denominador de uma fração separadamente até que o limite seja 
possível de calcular. Utilizando a Regra de L'Hospital, temos que: 
 
 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção III está correta. 
15 
Algumas equações diferenciais de primeira ordem têm a propriedade de serem separáveis, ou 
seja, a função que aparece é o produto de duas funções uma dependendo apenas de x e outra 
dependo apenas de y. Para resolver esse tipo de equação diferencial basta separar as 
variáveis e integrar. A solução geral da equação diferencial: 
 
 Somente a opção I está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção II está correta. 
16 
Uma função é dita analítica se ela é derivável e para ser derivável a função precisa satisfazer 
as equações de Cauchy-Riemann. Considere uma função f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y), 
sabendo que as equações de Cauchy-Riemann são 
 
É analítica, pois não satisfaz uma das equações de Cauchy-Riemann. 
Não é analítica, pois não satisfaz as equações de Cauchy-Riemann. 
É analítica, pois satisfaz as equações de Cauchy-Riemann. 
Não é analítica, pois não satisfaz apenas uma das equações de Cauchy-Riemann. 
17 
Utilizando as propriedades de operações de números complexos escritos na forma complexa, 
calcule o valor de 2z + 3iw, sabendo que z = - 2 + i e w = 3 + 2i. Não esqueça que i² = - 1. 
 
10 - 11i. 
- 10 + 11i. 
2 - 7i. 
2 + 11i. 
18 
Dependendo da ordem da equação diferencial ela pode ter mais de uma solução, essas 
soluções são chamadas de soluções fundamentais e são linearmente independentes. Quais 
das funções a seguir é solução da equação diferencial 
 
Apenas as funções dos itens I e V são soluções da EDO. 
Apenas as funções dos itens II e V são soluções da EDO. 
Apenas as funções dos itens I e III são soluções da EDO. 
Apenas as funções dos itens II e IV são soluções da EDO. 
19 
A derivada de uma função é utilizada em muitas aplicações e a definição de derivada só foi 
possível utilizando o conceito de limite. Analise as expressões a seguir e determine qual delas 
representa a definição formal da derivada de primeira ordem de uma função complexa no ponto 
z: 
 
 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção II está correta. 
20 
Toda série de potência pode convergir ou não, a sua convergência pode ser determinada por 
alguns métodos, esses métodos fornecem um raio de convergência. Sobre o raio de 
convergência de uma série de potência centrada em 0, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Se o raio de convergência é igual a zero então a série de potência converge apenas no 
ponto 0. 
( ) Se o raio de convergência é infinito, dizemos que a série não converge em nenhum ponto. 
( ) Se oraio de convergência é R então a série converge para todo x maior que R. 
( ) Se o raio de convergência é R então a série converge para - R < x < R. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - V - V - F. 
V - F - V - F. 
V - F - F - V. 
F - V - F - V.