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UNIVERSO Campus Juiz de Fora – MG CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO NOTAS DE AULA DE ÁLGEBRA LINEAR I Elaborada por Fabrízzio Condé de Oliveira 44 PROFESSOR: FABRÍZZIO CONDÉ DE OLIVEIRA DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR I E-MAIL: fabrizzioconde@ig.com.br ou fco03@uaivip.com.br CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO – 1º Período M/N Unidade I – Matrizes 1.1 – Definições: Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de 4 pessoas, podemos dispô-los na tabela: Altura (m) Peso (kg) Idade (anos) Pessoa 1 1,70 70 23 Pessoa 2 1,75 60 45 Pessoa 3 1,60 52 25 Pessoa 4 1,81 72 30 Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas temos a matriz: 1,70 70 23 1,75 60 45 1,60 52 25 1,81 72 30 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Observe que em um problema em que o número de variáveis e de observações é muito grande, essa disposição ordenada dos dados em forma de matriz torna-se absolutamente indispensável. Outros exemplos de matrizes são: 2 -1 2 3 0 x x ⎡ ⎤⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎥ ( )( )3 0,1⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]1− Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes. Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por: 45 11 12 1 21 22 2 Notação Abreviada 1 2 n n mxn ij mxn m m mn a a a a a a A a a a a ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ " " # # # # �� � " Ordem de uma matriz É dada pelo número de linhas e o número de colunas que a constituem. Ex.: 1 2 3 4 A ⎡= ⎢⎣ ⎦ ⎤⎥ e 1 2 3 4 5 6 B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ a ordem de A é 2×2 (lê-se: “dois por dois”) a ordem de B é 2×3 (lê-se: “dois por três”) Outras notações: 2 1 0 4 B −⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟ e ( )i j m nA a ×= Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está. Por exemplo, na matriz: 2 3 1 0 -4 4 -3 2x A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 13 4,a = − 11 1,a = 12 0a = Exercícios: 1) Seja a matriz: 1 3 7 0 4 -1 4 3 -2 7 -2 -5 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ a) Qual a sua ordem? 46 b) Quantos elementos ela possui? c) Complete: a41 = _____, a22 = _____, a32 = _____, a13 = _____. d) Seja aij = 0, então i =_____ e j =_____. 2) Construa a matriz A = [aij]3x3 para a qual aij = i2 – j. Solução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 11 12 13 2 2 2 21 22 23 2 2 231 32 33 1 1 1 2 1 3 0 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 1 8 7 63 1 3 2 3 3 a a a A a a a a a a ⎡ ⎤− − − − −⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥= = − − − =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎤⎥⎥⎥⎦ j j 3) Construa a matriz A = [aij]4x4 para a qual: , < 1, 0, >j ij i j se i a se i se i +⎧⎪= =⎨⎪⎩ 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Os elementos para os quais i = j pertencem à diagonal principal, eles são todos iguais a 1; aqueles para os quais i < j estão “acima da diagonal principal”, e para calculá-los somamos os seus índices; e , aqueles para os quais i > j estão “abaixo da diagonal principal”; e eles são todos iguais a 0. Então: 1 3 4 5 0 1 5 6 0 0 1 7 0 0 0 1 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 47 4) O símbolo delta de Kronecker é definido por: 0, 1,ij se i j se i j δ ≠⎧= ⎨ =⎩ Construa a matriz para a qual 3 4ij x A a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ 23 .ij i ija j δ= + Solução: 4 3 3 3 6 10 6 6 9 9 18 9 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 5) Seja a matriz quadrada de ordem n: ij nxn A a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ . Denomina-se o traço da matriz A à soma 11 22 33 nna a a a+ + + +" dos elementos da diagonal principal de A, indica-se: ( ) 11 22 33 1 n nn ii i tr A a a a a a = = + + + + =∑" Considere a matriz para a qual 3 3ij x A a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ija i= , determine . ( )tr A Solução: ( ) 11 22 33 1.1 2.2 3.3 1 4 9 14tr A a a a= + + = + + = + + = 1.2 – Matrizes Especiais 1.2.1 – Matriz Quadrada É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas ( )m n= Obs.: Em uma matriz quadrada ij nxmA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ o conjunto de seus elementos , tais que , chama-se ija i = j diagonal principal; o conjunto de seus elementos tais que chama-se 1i j n+ = + diagonal secundária. Exemplos: 48 1 2 0 3 0 1 4 5 6 −⎡ ⎤⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎥ 1 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]1 No caso de matrizes quadradas , costumamos dizer que mxmA A é uma matriz de ordem m. 1.2.2 – Matriz Nula: É aquela em que 0ija = , para todo e i j , ou seja, todos os elementos da matriz são nulos. Exemplos: 2 2 0 0 0 0x A ⎡ ⎤= ⎢⎣ ⎦⎥ e 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xB ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ *Pode ser representada por 2 3 0 0 0 0 0 0x O ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 1.2.3 – Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada ( )m n= onde 0ija = , para i j≠ , isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Exemplo: 7 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ e 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1.2.4 – Matriz Identidade Quadrada: É aquela matriz diagonal em que 1ija = e 0ija = , para i j≠ . Exemplos: 49 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I ⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 1 0 0 1 I e e 2 1 0 0 1 I ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 1.2.5 – Matriz Triangular Superior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, e , para . m n= 0ija = >ji Exemplo: 2 1 0 0 1 4 0 0 3 −⎡ ⎤⎢ −⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎥ e 0 a b c ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 1.2.6 – Matriz Triangular Inferior É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos, isto é, e , para . m n= 0ija = <ji 2 0 0 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 5 4 ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎥ e 5 0 0 7 0 0 2 1 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1.2.7 – Matriz Transposta: Seja a matriz A . Chama-se Matriz Transposta de A à matriz obtida de A , trocando-se, “ordenadamente” suas linhas por colunas (ou, o que conduz ao mesmo resultado: trocando- se suas colunas por linhas). Exemplo: Se 50 1.2.8 – Matriz Simétrica: É aquela onde m e . n= ij jia a= A é simétrica tA A⇔ = . Exemplos: 4 3 -1 3 2 0 -1 0 5 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ a b c d b e f g c f h i d g i k ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Observe que, no caso de uma matriz simétrica, a parte superior é uma “reflexão” da parte inferior, em relação à diagonal. 1.2.9 – Matriz Anti-Simétrica Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se tA A= − . Exemplo: 1.2.10 – Matriz Linha: É a matriz constituída por uma única linha. Ex.: a) [ ]1 3A = − b) ( )4 4 5 2B = − 1.2.10 – Matriz Coluna: É a matriz constituída por uma única coluna Exemplo: a) b) 0 3 -2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1/ 2 0 7 -2 B ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 51 1.2.10 –Matriz de Vandermonde Toda matriz quadrada de ordem n, , da forma: 2n ≥ 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 ... 1 ... 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j n j n n n n n n j n x x x x x x x x x x x x x x x− − − − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1 denomina-se matriz de Vandermonde Note que, por exemplo, a j-ésimacoluna é formada pelas potências de mesma base jx , com os expoentes variando de 0 e n – 1; os elementos dessa coluna formam uma progressão geométrica de n termos, cujo 1º elemento é 1 e cuja razão é jx . Os elementos da 2ª linha são chamados elementos de base da matriz. Indica-se o determinante de uma matriz de Vandermonde cujos elementos de base são 1 2, ,..., nx x x por: 1 2 2 1 3 1 1( , ,..., ) ( )( )...( )n nV x x x x x x x x x= − − − Exemplo: Calcule o determinante . (2,3,5)V Solução 2 2 2 1 1 1 (2,3,4) 2 3 4 (3 2)(5 2)(5 3) 6 2 3 4 V = = − − − = 1.3 – Operações com Matrizes Ao utilizar matrizes surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas operações. Por exemplo: 52 Produção de grãos (em milhões de unidades) durante o 1º ano SOJA FEIJÃO ARROZ MILHO Região A 3000 200 400 600 Região B 700 350 700 100 Região C 1000 100 500 800 Produção de grãos (em milhões de unidades) durante o 2º ano SOJA FEIJÃO ARROZ MILHO Região A 5000 50 200 0 Região B 2000 100 300 300 Região C 2000 100 600 600 Se quisermos montar uma tabela que dê a produção por produto e por região nos dois anos conjuntamente, teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores: 3000 200 400 600 5000 50 200 0 8000 250 600 600 700 350 700 100 2000 100 300 300 2700 450 1000 400 1000 100 500 800 2000 100 600 600 3000 200 1100 1400 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎥⎥⎦ ⎤⎥⎥⎥⎦ Podemos considerar agora a seguinte situação. Existem muitos incentivos para se incrementar a produção, condições climáticas favoráveis, alta no preço de compra, etc e tal forma que a precisão para a safra do 3º ano será o triplo da produção do primeiro. Assim, a matriz estimativa de produção de último será: 3000 200 400 600 9000 600 1200 1800 3 700 350 700 100 2100 1050 2100 300 1000 100 500 800 3000 2100 1500 2400 ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⋅ =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ Acabamos de efetuar, neste exemplo, duas operações, com matrizes: soma e multiplicação por um número que serão definidos formalmente, a seguir. 1.3.1 – Adição A soma de duas matrizes de mesma ordem, mxn ijA a= ⎡ ⎤⎣ ⎦ e mxn ijB b= ⎡ ⎤⎣ ⎦ é uma matriz m n× que denotaremos A B+ , cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B . Isto é, ij ij mxnA B a b+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦ Exemplo: 53 - 3 (8 - 2 ) = -3 - 24 + 6 = -3 7 = 21 = 3 x x x x x x 1 -1 0 4 1 3 + =4 0 -2 5 2 5 2 5 1 0 3 5 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎥⎥⎦ Observe que, pela forma com que foi definida, a adição de matrizes tem as mesmas propriedades que a adição de números reais. Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, temos: ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) , mxn i A B B A comutatividade ii A B C A B C associatividade iii A O A onde O denota a matriz nula mxn + = + + + = + + + = 1.3.2 – Multiplicação por Escalar Seja e [ ]ij mxnA a= K um número real, então definimos uma nova matriz: . [ . ]ij mxnK A K a= Exemplo: 2 10 -4 -20 -2 = 1 -3 -2 6 ⎡ ⎤ ⎡⋅ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎦ Dadas as matrizes A e B de mesma ordem mxn e números reais e temos: 1, K K 2K ) ) ) ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) . , , , . ( ) ( ) mxn i K A B KA KB ii K K A K A K A iii O A O isto é se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A teremos a matriz nula iv K K A K K A + = + + = + = = 1.3.3 – Multiplicação de Matrizes Suponhamos que a seguinte matriz forneça as quantidades das vitaminas A , B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II . 54 A B C Alimento I 4(g/kg) 3 0 Alimento II 5(g/kg) 0 1 Se ingerirmos 5 unidades (5kg) do alimento I e 2 unidades do alimento II , quanto consumiremos de cada tipo de vitamina? (quantas gramas de cada vitamina?) Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pela matriz “consumo”. [ ] . . 5 2 Al I Al II A operação que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitamina é o “produto”: ( )[ ] ( )( )( )[ ] [ ]4 3 0* 5 2 5.4 2.5 5.3 2.0 5.0 2.1 30 15 2 5 0 1 g g⎡ ⎤⋅ = + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦ g Isto é, serão ingeridos 30 unidades de vitamina A , 15 de B e 2 de C . Agora, se o custo dos alimentos depender do seu conteúdo vitamínico e soubermos que os preços por unidade de vitamina A , B e são, respectivamente, 1, 5; 3 e 5 reais, quanto pagaríamos pela porção de alimentos indicada anteriormente? C ( )[ ] ( ) ( ) [ ] 1,5 ** 30 15 2 3 30. 1,5 15. 3 2.5 100 5 ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⋅ = + + =⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Ou seja, pagaríamos 100 reais. Obs.: Em ( )[ ] [ ] [ ]1 2 2 3 1 3* x x⋅ = x Em ( )[ ] [ ] [ ]1 3 3 1 1 1* x x⋅ = x Exemplo: 11 12 13 2 3 21 2322 x a a a A a a a ⎡ ⎤= ⎢⎣ ⎦⎥ e 11 12 21 223 2 31 32 x b b b bB b b ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 55 A matriz-produto AB é a matriz definida com: 2 2x ( )( ( )( 11 12 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 3211 12 13 21 22 21 2322 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 31 32 b b a b a b a b a b a b a ba a a b bA B a a a a b a b a b a b a b a b b b ⎡ ⎤ + + + +⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟+ + + +⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ) ) Agora, passemos para a definição geral. Exercício: Seja a tabela abaixo: Produto versus Quantidade (em unidades) de insumos empregados Insumo A Insumo B Insumo C Insumo D Produto 1 20 3 18.500 20.200 Produto 2 14.000 14.500 14.200 14.000 Produto 3 6.000 5.500 7.000 5.450 Produto 4 1.200 1.200 1.200 1.300 Produto 5 3.300 2.200 2.800 2.600 Dado que a matriz dos preços dos insumos 1 0,14 0,20 0,28 0,11 P ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Qual o custo de produção de cada produto? A resposta será fornecida no formato de matriz. Suponha que existam 3 fornecedores onde as matrizes de preços são dadas abaixo: Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 3 1 0,14 0,20 0,28 0,11 P ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 0,15 0,20 0,21 0,11 P ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 0,13 0,19 0,28 0,13 P ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 56 Como escolheríamos os fornecedores? Resposta: 7405,40 6110,60 7809,17 10376,00 9522,00 10371,00 4499,50 4069,50 4493,50 887,00 815,00 889,00 1972,00 1809,00 1969,00 C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1.3.4 – Multiplicação de Matrizes Sejam [ ] [ ] . Definimos [ ] , onde:ij mxn rs nxp uv mxpA a e B b AB c= = = 1 1 2 2 1 ... n uv uk kv u v u v un nm i c a b a b a b a = = = + + +∑ b Obs.: ( ) expi Só podemos efetuar o produto de duas matrizes e se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda , isto é, . Além disso, a matriz- resultado . será de or mxnA B n l C A B = = dem .mxp ( )ii O elemento (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz-produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segund ijc a matriz, e somando estes produtos. Ex.: 57 1) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 2 1 2.1 1.0 2 22. 1 1.4 1 1 4 2 4.1 2.0 4 44. 1 2.4 0 4 5 3 5 75.1 3.0 5. 1 3.4xx +⎡ − + ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = =+ − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 2) NÃO EXISTE 2 2 3 2 2 1 1 1 4 2 0 4 5 3X X ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥⎣ ⎦ ���� ⎤⎥⎦ Nãoé possível efetuar esta multiplicação, porque o número de colunas da 1ª é diferente do número de linhas da 2ª. Propriedades: i) Em geral AB ≠ BA (podendo mesmo um dos membros estar definido e outro não). Ex.: Sejam e 3x3 1 -1 1 -3 2 -1 -2 1 0 A ⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎥ 3x3 1 2 3 2 4 6 1 2 3 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Então e 3x3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AB ⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎥ 3x3 -11 6 -1 -22 12 -2 -11 6 -1 BA ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Note, ainda, que sem que .A B = 0 0A = ou 0B = . Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes propriedades são válidas: ) ) ) ) ) ) . ( ) ( ). ( . ). ( ) ( ) . . . m n n m m n m n t t t i A I I A A ii A B C AB AC iii A B C AC BC iv A B C A BC v AB B A vi O A O e A O O × ×= = + = + + = + = = = = × 58 1ª Pergunta: ? Não!!! 2 0A A= ⇒ = 0 ⎤⎥⎦ 2 Contra-exemplo: 2 2 4 2 4 2 4 0 0 1 2 1 2 1 2 0 0 A A⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= ⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ Observação: 20 0A A= ⇒ = 2ª Pergunta: Será que ? Quais condições devemos impor às matrizes A e B para a igualdade seja verdadeira. 2 2( ) 2A B A AB B+ = + + Matrizes Comutativas A e B são matrizes comutativas se AB BA= Qual a condição que devemos impor às ordens das matrizes comutativas? Exemplo: e daí, 1 2 3 4 A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 5 4 6 11 B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 5 12 4 22 17 26 15 24 12 44 39 56 AB + +⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ e 17 26 39 56 BA ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 1.3.4 - Potência de uma Matriz Uma matriz quadrada [ ]ijA a= pode ser multiplicada por si mesma n vezes. A notação para a matriz resultante desta multiplicação é , chamada nA potência n da matriz A. Exemplos: Seja . Então 1 2 3 4 A ⎡ ⎤= ⎢ −⎣ ⎦⎥ ⎤⎥⎦ 2 1 2 1 2 7 6 3 4 3 4 9 22 A −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 59 3 2 7 6 1 2 11 38 9 22 3 4 57 106 A A A − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎦ 1.3.4.1 – Matriz Periódica Seja uma matriz quadrada A, diz-se que A é uma matriz periódica se , sendo . nA = A A 2n ≥ Se n é o menor inteiro para o qual nA = , diz-se que o período de A é . 1n − 1.3.4.2 – Matriz Idempotente Dada uma matriz periódica A, tal que 2A A= , diz-se que A é uma matriz idempotente. O período da matriz idempotente é 2 1 1− = . Exemplo: 2 1 1 3 4 3 5 5 4 A −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ . Faça: 2A = Conclusão: Se então __________________________________. 2A = A 1.3.4.3 - Matriz Nilpotente (ou Nihilpotente) Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p, inteiro e positivo, tal que , diz que A é uma matriz nilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tal que , diz-se que A é uma matriz nilpotente de índice p. 0pA = 0pA = Exemplo: Seja . Então 1 1 3 5 2 6 2 1 3 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ 2 1 1 3 1 1 3 0 0 0 5 2 6 5 2 6 3 3 9 2 1 3 2 1 3 1 1 3 A ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Assim, 60 3 2 0 0 0 1 1 3 0 0 0 3 3 9 5 2 6 0 0 0 1 1 3 2 1 3 0 0 0 A A A ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎥⎥⎦ Conclusão: Se então __________________________________. 3 0A = Exercícios Fazer os exercícios do livro Álgebra Linear (Autor: Alfredo STEINBRUCH e Paulo WINTERLE), páginas 414 a 417. Exercícios: do nº1 ao nº 26. 1.3.4.4 – Matriz Inversa Uma matriz B que satisfaz a condição AB BA I= = diz-se inversa de A e é representada por . Assim, . 1A− 1 1AA A A I− −= = A inversa de uma matriz é única. Exemplo: Verifique que é a inversa de . Para isso, calcule 2 3 7 11 B −⎛= ⎜−⎝ ⎠ ⎞⎟ ⎞⎟11 37 2A ⎛= ⎜⎝ ⎠ AB e BA . 1.3.4.5 - Matriz Ortogonal Uma matriz A cuja inversa coincide com a transposta é denominada matriz ortogonal. Ou seja, . Ou ainda, 1 tA− = A . .t tA A A A I= = Exemplo: 61 Verifique que 1 3 2 2 3 1 2 2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥ é ortogonal. 1ª Lista de Exercícios de Álgebra Linear I Professor: Fabrízzio 1) Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das sentenças: a) Se A é uma matriz 3×4 e B é uma matriz 4×5 então AB é 3×5 e BA∃ . b) Se A é 2×4 e B é 4×2 então AB é 2×2 e BA é 4×4. c) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3 então AB e BA também o são. d) Se A é 3×2, B é 2×4 e C é 4×3 então (AB)C é uma matriz de ordem 3. e) Se A é 2×2, B é 2×1 e C é 2×1 então C(AB) é uma matriz 1×1. 2) Calcular, se existir, cada produto abaixo: a) 3 2 4 5 1 6 ⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜−⎝ ⎠⎝ ⎞⎟⎠ ⎞⎟⎠b) 5 1 3 2 2 4 1 2 ⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜− −⎝ ⎠⎝ c) 2 3 1 1 1 5 2 4 4 7 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠ d) ( ) 3 1 2 3 6 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ e) [ ] 2 9 4 5 7 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ f) 3 4 5 5 1 9 − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ 62 g) 1 2 1 1 3 1 8 4 4 5 2 2 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎞⎟⎟⎟⎠ h) 7 11 4 4 6 3 1 1 1 3 7 2 2 1 0 3 1 1 −⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜− −⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠⎝ 3) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida. 5 5 3 0 3 0 2 1 3 D ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ e 4 1 4 0 2 0 3 1 5 S ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento nos dá o número de chopes que i pagou a j, sendo Antônio o nº 1, Bernardo o nº 2 e Cláudio o nº 3. Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S). a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? 4) Dadas as matrizes 0 0 a A a ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ e 1 1 b B b ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ , determine a e b, de modo que AB I= , onde I é a matriz identidade de ordem 2. 5) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela abaixo: Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo Moderno 5 20 16 7 17 Mediterrâneo 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13 a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas. 63 b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? c) Qual o custo total do material empregado? 6) Resolva o sistema abaixo pela Eliminação de Gauss dizendo se o mesmo é possível ou impossível: 2 2 3 2 2 5 4 3 x y z 10 1 4 x y z x y z + − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩ 7) Seja 22 2 1 0 x A x ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ . Se tA A= , então x =? A é simétrica? 8) Em cada afirmação abaixo diga se é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando sua resposta: a) ( )t tA A= − b) ( )t tA B A B+ = + t c) AB BA= para toda matriz quadrada A e B. d) Se A é uma matriz triangular superior então é uma matriz triangular inferior. 2A 9) Seja a matriz 4 4ij A a ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ para a qual: 0 se 1 4 ii ij ji ij a a a a i j i j ⎧ =⎪ =⎨⎪ = + ≤ < ≤⎩ Determine A e . A é simétrica? Justifique. tA 10) Uma fábrica produz três produtos (banheiras, pias e tanques) e os envia para armazenamento em dois depósitos. O número de unidades enviadasde cada produto para cada depósito é dado pela matriz: 200 75 150 100 100 125 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 64 (em que é o número de unidades enviadas do produto i para o depósito j, e os produtos são colocados em ordem alfabética). O custo de remessa de uma unidade de cada produto, por caminhão, é: R$ 1,50 por banheira, R$ 1,00 por pia e R$ 2,00 por tanque. Os custos unitários correspondentes ao envio por trem são: R$ 1,75, R$ 1,50 e R$ 1,00. Organize esses custos em uma matriz B e use essa matriz para mostrar como a fábrica pode comparar os custos de remessa – por caminhão e por trem – de seus produtos para cada um dos dois depósitos. ija 11) Uma rede de computadores tem cinco locais com transmissores de potências distintos. Estabelecemos que 1ija = , na matriz a seguir, significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j; significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. 0ija = 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ a) Qual o significado da diagonal principal desta matriz? b) Qual o significado de 2 .A A A= ? Seja 2 ijA c⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , calcule e informe seu significado. 13c c) Se A fosse simétrica, o que significaria? 12) Determine x, , sabendo-se que: x∈\ 3 2 0 7 14 7 0 1 0 0 1 0 1 2 1 4 2 x x x I x x x − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 13) Resolva a equação matricial: 1 1 2 3 1 2 1 0 3 1 1 4 1 2 0 0 1 X − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎦ 14) Sejam as matrizes 3 2ij A a ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ e 2 3ijB b ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ tais que e . Seja 2ija i j= − + 2ijb i j= + − i 3 3ijAB c ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ . Determine e . 32c 13c 65 15) Seja . Descubra uma fórmula para . 1 2 0 1 A ⎡= ⎢⎣ ⎦ ⎤⎥ nA Gabarito da 1ª Lista de Álgebra Linear I Professor: Fabrízzio 1) a) V b) V c) V d) V e) F 2) a) b) c) 24 14 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 14 8 2 4 ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦ 8 14 11 21 18 32 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ d) [ ]9 e) 8 10 14 36 45 63 4 5 7 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ f) Não existe o produto. g) h) 7 23 20 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 73 39 39 4 0 6 11 5 8 ⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 3) a) Cláudio bebeu (4 chopes. 0 5) (3 0 3) 9 6 15+ + + + + = + = b) Cláudio ficou devendo para Antônio (7 5) 2− = chopes. 4) e . 1=a 0=b 5) a) [ ]146 526 260 158 388 b) 492 528 465 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ c) [ ]11.736 6) S.P.D. {(1,2, 3)}= −S 7) e A é uma matriz simétrica. 1=x 8) a) F b) V c) F d) F 9) 0 3 4 5 3 0 5 6 4 5 0 7 5 6 7 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ A 66 10) . Então a firma deve utilizar o caminhão para transportar seus produtos até o depósito 1 e trem para transportar até o depósito 2. 650 462,50 Matriz custo 675 406,25 ⎡= ⎢⎣ ⎦ ⎤⎥ 11) a) Uma estação não consegue comunicar-se com ela mesma. b) significa o número de possibilidades da estação 1 comunicar-se com a estação 3 através de uma terceira estação. Se A fosse simétrica, significaria que i comunica com j e vice-versa. 13 2=c 12) 1 5 =x 13) 0 0 1/3 0 ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦X 14) e 32 24=c 13 13=c 15) 1 2 0 1 ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ n nA 67 Unidade II - Sistemas de Equações Lineares Exemplo (a): Resolva o sistema abaixo: (1) 2 8 3 3 x y x y + =⎧⎨⎩ − = − 4 − = − (2) Solução: 1º Método: Método da Substituição Isolando y em (1) temos: y = 8 – 2x (3) x - Substituindo (3) em (2): 3 (8 - 2x) = -3 6 3 2 3 3 x x x y + =⎧⎨⎩ 2 8 2 6 x y x y + = 6− + = 24 + 6x = -3 = 21 = 3 x - 7x x tituindo este valor em (1), (2) ou (3) Subs y = 8 – 2 . 3 → y = 8 – 6 y = 2 2º Método: Método da Adição Multiplique a 1ª equação (1) por 3 e some com a (2), obtendo: + ⎧⎨⎩ 4 7x = 21 x = 3 (Substitua este valor em qualquer das duas equações iniciais.) x – 3y = – 3 ⇒ 3 – 3y = – 3 ⇒ – 3y = – 6 ⇒ y = 2 (Poderíamos ter feito da seguinte forma: Multiplique a 2ª equação (2) por –2 e some a (1), obtendo: ) + Substituindo em (1) 7 1 2 y y = = 68 → 2x + 2 = 8 x = 3 3º Método: Método da Comparação Escolha uma variável (x ou y), por exemplo, vamos escolher y. depois isole a mesma nas duas equações e então, iguale as equações. ⎧2 8 8 2 3 3 33 3 3 3 3 x y y x x x xx y y y + = → = −⎪ − − + +⎨ − = − → = = → =⎪ −⎩ (*) 38 2 3.(8) 3.(2) 3 3 xy x x x+= − = → − = + = +24 6 3x x→ − (**) 1 De (*) e (**): 7 2x = Logo, o conjunto solução do sistema linear é ( ){ }3,2S = . Obs.: Os pontos do plano cartesiano ( ),x y podem ser encarados como as extremidades de um vetor que tem como origem o ponto ( )0,0 . GRÁFICO Assim, o vetor solução do sistema é (3, 2)v =G ou 3 2 v ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ G ou v =G [3 2]. * Note que as duas equações do sistema linear representam no plano cartesiano duas retas cuja a interseção é o ponto (3,2). GRÁFICO 69 Exemplo(b): 2 2 2 x y x y − =⎧⎨ − =⎩ 4 A segunda equação é exatamente o dobro da 1ª, por isso as soluções são as soluções da 1ª. Graficamente, representam duas retas coincidentes. GRÁFICO Conjunto solução: ( ){ }2 , ;S t t t= + ∈\ , ou seja, pondo y t= , vem que . Neste caso, temos infinitas soluções. 2x = + t Exemplo(c): 1 3 x y x y − =⎧⎨ − =⎩ Dois números e não podem ter uma diferença de 1 e de 3 simultaneamente. Portanto, esse sistema não tem soluções. (Uma forma mais algébrica de aproximação pode ser subtrair a segunda equação da primeira, levando à absurda conclusão de que 0 = 2). x y − GRÁFICO Equação Linear: 70 Definição: Uma equação linear nas n variáveis 1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + = onde os coeficientes 1 2, ,..., na a a E o termo independente b são constantes. Exemplo: São equações lineares: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 1 3 4 1 1 152 9 2 3 3 5 3 2 4 2 4 5 5 3,2 0,01 4,6 x y r s t x x x x 1x y sen z x x π π − = − − − = + = − + ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ − = Não são equações lineares: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 3 2 4 2 1 4 5 5 3 2 0x xy z x x x z y x y sen z senx x π π + = − = + = ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ − + = * Um sistema de equações lineares com coeficientes reais tem: (a) uma única solução (um sistema possível e determinado); (b) infinitas soluções (um sistema possível e indeterminado); (c) nenhuma solução (um sistema impossível). Resolução de um sistema linear Dois sistemas lineares são chamados equivalentes quando têm os mesmos conjuntos solução. Por exemplo: 1 3 x y x y − =⎧⎨ + =⎩ e 1 1 x y y − =⎧⎨ =⎩ 71 1 1 1 2 3 3 16 2 1 9 − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ são equivalentes, já queambos têm ( )2,1 como única solução. (Verifique) Ex.: (a) Resolva o sistema 2 3 3 5 5 10 2 x y z x y z y z z − − = ⇒ =⎧⎪ + = ⇒ = −⎨⎪ = ⇒ =⎩ 1 6− + = ⎪ − + =⎩ Portanto, a única solução é ( ) . 3, 1,2− (b) Resolva o sistema ⎪⎨ 2 3 3 2 1 2 9 x y z x y z x y z − − =⎧ Solução.: Para transformas esse sistema em que exila a estrutura triangular do exemplo anterior, precisamos eliminar a variável das equações e . Em seguida, observe que estamos operando com os coeficientes, não com as variáveis, por isso podemos economizar alguma escrita se escrevermos apenas os coeficientes e os termos constantes na matriz. x 2 3 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 2 3 1 2 3 2 1 3 1 1 = − + = − + = 2 0 0 5 10 0 1 3 5 − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ (1) 1 1 1 2 0 1 3 5 0 0 5 10 − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ (2) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ' ' ' ' '' ' 2 3 Trocar 2 por 3 e 3 por 2 3 2 ⎫= ⎪⎬= ⎪⎭ ' Voltando para a “forma” de sistema, temos: ( ){ } 2 3, 1,23 5 5 10 x y z Sy z z − − =⎧⎪ ⇒ = −+ =⎨⎪ =⎩ Métodos Diretos de Resolução de Sistemas Lineares: 72 Existem duas matrizes importantes associadas a um Sistema Linear. A matriz dos coeficientes contém os coeficientes das variáveis, e a matriz completa é a matriz dos coeficientes acrescentada de uma coluna extra que contém os termos constantes. Para o Sistema 2 3 5 1 3 2 x y z x z x y z + − =⎧⎪ + =⎨⎪− + − =⎩ 0 ⎥⎥ 0 −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⇒⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 2 1 1 1 0 5 1 3 2 −⎡ ⎤⎢ ⇒⎢⎢ ⎥− −⎣ ⎦ Matriz dos Coeficientes 2 1 1 3 1 0 5 1 1 3 2 Matriz Completa Definição: Uma matriz na forma escalonada por linha quando satisfaz as seguintes propriedades: 1 – Todas as linhas que consistem inteiramente em zero, estão na parte inferior da matriz. 2 – Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado elemento líder) está em uma coluna à esquerda de qualquer outro elemento líder abaixo dele. Exemplo: ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 estão na forma escalonada. ( ) ( )4 5e não estão. 73 Operações Elementares com as Linhas: Definição: As seguintes operações elementares com as linhas podem ser realizadas em uma matriz: 1 - Trocar duas linhas; 2 - Multiplicar uma linha por uma constante não nula; 3 - Somar um múltiplo de uma linha com outra linha. Usaremos a seguinte notação para as três operações elementares com linhas: 1 - ↔Li Lj significa trocar as linhas i e j 2 - significa multiplicar a linha pelo nº KLi i K ∈\ 3 - Li KLj+ significa somar K vezes a linha j à linha (e trocar a linha i pelo resultado). i O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformas uma matriz em uma matriz escalonada é chamado escalonamento. Ex.: Reduza a seguinte matriz à forma escalonada: 1 2 4 4 5 2 4 0 0 2 2 3 2 1 5 1 1 3 6 5 − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ * Trabalhamos coluna por coluna, da esquerda para a direita e de cima pra baixo. A estratégia é criar um elemento líder em uma coluna e usá-lo para criar zeros abaixo dele. O elemento escolhido para ser o elemento líder é chamado pivô, e essa fase do processo é chamada pivoteamento.] Solução: 1 2 -4 -4 5 2 4 0 0 2 2 3 2 1 5 -1 1 3 6 5 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 2 1 3 1 4 1 4 2 2 L L L L L L L L L → →− + → − + → + 2 3 L L 1 2 -4 -4 5 0 0 8 8 -8 0 -1 10 9 -5 0 3 -1 2 10 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 3L L↔ 1 2 -4 -4 5 0 -1 10 9 -5 0 0 8 8 -8 0 3 -1 2 10 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 4 2 43L L L→ + 1 2 -4 -4 5 0 -1 10 9 -5 0 0 8 8 -8 0 0 29 29 -5 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 3 31/ 3L L→ 74 1 2 -4 -4 5 0 -1 10 9 -5 0 0 1 1 -1 0 0 29 29 -5 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 4 3 429L L L+→ − 1 2 -4 -4 5 0 -1 10 9 -5 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 24 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Com esse passo final, reduzimos a matriz dada à forma escalonada. Obs.:1) A forma escalonada não é única 2) O elemento líder de cada linha é usado para criar zeros abaixo dele. Definição: As matrizes A e B serão linha-equivalentes se existir uma seqüência de operações elementares com as linhas que converta A em B . Ex.: As matrizes do exemplo anterior são linha-equivalentes. Teorema As matrizes A e B são linha-equivalentes se, e somente se, puderem ser reduzidas à mesma forma escalonada por linhas. O Método de eliminação de Gauss 1 – Escreva a matriz completa do sistema de equações lineares; 2 – Use operações elementares com as linhas para reduzir a matriz completa à forma escalonada por linhas. 3 – Usando substituição de trás para frente, resolva o sistema equivalente que corresponde à matriz linha-reduzida. Exemplo: 1) Resolva o sistema 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 3 2 5 x x x x x x x x x + + = + + = − − = − 5 Solução: A matriz completa é: 75 ⎤⎥− ⎥⎥⎦ 1L 1 -1 -2 -5 1 1 1 3 2 3 1 5 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 1 3 2 3 1 5 1 -1 -2 -5 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 2 3 3 1 2L L L L L → − → − 1 1 1 3 0 1 -1 -1 0 -2 -3 -8 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 3 22L L→ + 3L 1 2 2 1 3 1 1 1 0 3 − −⎡ ⎤⎢ − −⎢⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 3 1 3 2L L L L L L →− + → + 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 2 2 2 − − 1 2 3 2 3 3 31 1 1 3 0 1 -1 -1 1 0 0 -5 -10 5 1 x x x x x x + + =⎧⎡ ⎤ ⎪⎢ ⎥ ⇒ − = −⎨⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ − = −⎣ ⎦ ⎩ 2) Resolva o sistema 2 1 2 2 3 3 3 w x y z w x y z w x y − − + =⎧⎪ − − + =⎨⎪− + − = −⎩ Solução: 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 − −⎡⎢⎢⎢⎣ 2 3 ⎥⎥ − 2 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 2L L→ +3 2 3L O sistema associado é: 2 1 1 w x y z y z − − + = − = que têm infinitas soluções. Há mais de uma maneira de atribuir parâmetros, mas continuaremos usando a substituição de trás para frente, escrevendo as variáveis 76 correspondentes aos elementos líderes (as variáveis dependentes) em termos das outras variáveis (as variáveis líderes). Como , vem que . 1y = + z z2w x= + − Se atribuirmos parâmetros e x s= z t= , a solução pode ser escrita na forma vetorial como: 2 2 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 w s t x s s t y t z t + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 1 * Embora a forma escalonada da matriz não seja a única, o nº de linhas nulas é o mesmo em qualquer forma escalonada de uma matriz dada. Portanto, faz sentido atribuir um nome a esse número. Definição: O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas de qualquer uma de suas formas escalonadas por linhas. A nulidade é a diferença entre colunas de A e o posto, isto é, é o número . mxnA n p− 3) Resolva o sistema: 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 x x x x x x x x − − =⎧⎪ + − = −⎨⎪ − =⎩ Solução: 1 1 2 3 1 2 1 3 0 2 2 1 − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 2 1L L→− + 2L 1 1 2 3 0 3 1 6 0 2 2 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 2 21/ 3L L→ 77 1 1 2 2 − 3 10 1 2 3 0 2 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 3L 3 22L L→− + 1 1 2 3 10 1 2 3 80 0 5 3 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ levando à equação possível 15 8 z = − . Logo, o sistema é possível e determinado. (S.P.D.) *Teorema: i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é igualao posto da matriz dos coeficientes. ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p n= a solução será única. iii)Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p n< , podemos escolher n incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. p− Para finalizarmos este assunto, convém ilustrá-lo. Dizemos no caso (iii) que o grau de liberdade do sistema é n p− . Exemplos: ( n p 3 3 0 ) − = − = Exemplo 1: 1 1 1 3 0 1 -1 -1 0 0 -5 -10 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 3p pc a= = 3, 3m n= = e . Então, a solução é única e 3p = 1 20, 1x x= = e 3 2x = . Exemplo 2: 78 1 -1 -1 2 1 1 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ p pc a= 3, 4m n= = . Temos 2 graus de liberdade 4 2 2n p− = − = (grau de liberdade) Exemplo 3: 1 -1 2 3 0 1 -1 -2 0 0 0 5 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 3p pc a= ≠ = ⇒ O sistema é impossível, portanto não existe solução. Exercícios: Resolva e discuta os sistemas lineares abaixo pelo método da eliminação de Gauss e de Gauss-Jordan: a) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 0 4 4 x x x x x x x x x + − =⎧⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩ 9 2 0 3 1 b) 0 3 5 3 7 x y z x y z x y z − + =⎧⎪− + + =⎨⎪ + + =⎩ c) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 4 2 6 2 3 4 8 2 x x x x x x x x x x x x − + − + =⎧⎪ − + − = −⎨⎪ − + − =⎩ d) 2 3 4 7 2 5 r s r s r s + =⎧⎪ + =⎨⎪ + = −⎩ 79 O Método de Eliminação de Gauss-Jordan Uma modificação do método de eliminação de Gauss simplifica bastante a fase de substituição de trás para frente. Essa variante, conhecida como método de eliminação de Gauss-Jordan, baseia-se em reduzir ainda mais a matriz completa. Definição: Uma matriz está na forma escalonada reduzida (por linhas) se ela satisfaz às seguintes propriedades: 1 – Quaisquer linhas que consistem inteiramente de zeros estão na parte inferior da matriz. 2 – O elemento líder em cada linha não nula é igual a 1 (chamado 1 líder) 3 – Cada coluna que contém um líder tem zeros em todas as outras posições. Ex.: A matriz abaixo está na forma escalonada reduzida: 1 2 0 0 -3 1 0 0 0 1 0 4 -1 0 0 0 0 1 3 -2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ *Obs.: A forma escalonada reduzida de uma matriz é única. Método de eliminação de Gauss-Jordan 1 – Escreva a matriz completa do sistema de equações lineares. 2 – Use operações elementares com linhas para reduzir a matriz completa à forma escalonada reduzida. 3 – Se o sistema resultante for possível, resolva-o para as variáveis lineares que tenham sobrado. 80 Observação: A matriz escalonada reduzida por linhas, calculada pelo método da Eliminação de Gauss-Jordan é única, ou seja, toda vez que utilizarmos o método de Gauss- Jordan para reduzirmos uma matriz na forma escalonada através de quaisquer operações elementares sobre as linhas, chegaremos sempre à mesma forma escalonada reduzida. (A forma escalonada reduzida é independente das operações sobre as linhas utilizadas) No caso da Eliminação de Gauss, a forma escalonada não é única, isto é, a forma final da matriz escalonada depende das operações sobre as linhas que adotamos durante o escalonamento. Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jordan: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x + 4 x + 3x = 1 2 x + 5x + 4 x = 4 x -3x - 2 x = 5 ⎧⎪⎨⎪⎩ 1 4 3 1 2 5 4 4 1 -3 -2 5 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 1 3 1 2L L L L L →− + → − + 2 3 L 1 4 3 1 0 -3 -2 2 0 -7 -5 4 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 21/ 3L L→− 1 4 3 1 0 1 2 / 3 -2 / 3 0 -7 -5 4 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 1 3 2 3 4 7 L L L L L L +→ − → + 1 0 1/ 3 11/ 3 0 1 2 / 3 -2 / 3 0 0 -1/ -2 / 33 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 11/ 3 0 1 2 / 3 -2 / 3 0 0 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 3 1/ 3 2 / 3 L L L L L →− + → − + 1 0 3 0 1 2 0 0 2 3 33L L→− 1 0 1/ 3 1 3 1 2L 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎨⎪⎩ 7 ⇒ 1 2 3 x = 3 x = -2 x = 2 ⎧⎪ 3 S = -2 2 ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ Exercício: Resolva e discuta o sistema linear abaixo pela Eliminação de Gauss-Jordan: 2 3 4 2 2 5 2 1 5 12 7 6 x y z t x y z t x y z t + − + =⎧⎪ + − + =⎨⎪ + − + =⎩ 81 Sistema Linear Homogêneo Diz-se que o sistema de equações lineares é homogêneo se todas as constantes (termos independentes) são iguais a zero. Ex.: 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... 0 ... 0 ........................................... ... 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩ O sistema homogêneo tem sempre uma solução 0 (0,0,..., 0)= , que se chama solução trivial ou não-zero. Se existir outras soluções, as mesmas serão denominadas de soluções não-triviais. Teorema Um sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas do que equações têm uma solução não-trivial. O resultado acima nos garante que quando um sistema linear homogêneo não for SPD então, necessariamente, será SPI. Um sistema linear homogêneo nunca será um sistema impossível. (SI) 82 Ex.: (Resolva!) 2 3 0 3 2 2 3 5 x y z w x y z w x y z w + − + =⎧⎪ − + − =⎨⎪ + − + =⎩ 0 0 0 0 0 0 Determine se cada sistema tem solução não-trivial: a) 2 3 2 0 3 7 2 4 4 3 5 2 x y z w x y z w x y z w − + − =⎧⎪ − − + =⎨⎪ + + + =⎩ b) 2 3 0 2 5 2 3 4 x y z x y z x y z + − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − − =⎩ 83 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ " " # " 0 c) 2 0 2 5 2 4 7 0 3 3 0 x y z x y z x y z x y z + − =⎧⎪ + + =⎪⎨ + + =⎪⎪ + + =⎩ Sistema e Matrizes: Podemos escrever o sistema ⎤ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦ numa forma matricial: 11 12 1n 1 1 21 22 2n 2 2 m1 m 2 mn n m a a a x b a a a x b • = a a a x b ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ " " # # " # # # " 84 ou A X B⋅ = onde 11 1n m1 mn a a A = a a ⎡ ⎤⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ " # " # " ⎥⎥ é a matriz dos coeficientes. A matriz das incógnitas é: 1 n x X = x ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ # a matriz dos termos independentes é: 1 2 m b b B = b ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ # e é a matriz ampliada do sistema. 11 12 1n 1 21 22 2n 2 m1 m2 mn m a a a b a a a b a a a b ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ " " # " " ⎥⎥# 0 0 *Obs.: O método de eliminação de Gauss é mais rápido que a versão Gauss-Jordan para sistemas grandes de equações lineares. Exemplo: Escreva o sistema linear abaixo sob a forma matricial: a) b) 2 3 2 7 5 9 11 10 1 4 2 3 6 2 x y z w x y z w x y z w x y z w + + − =⎧⎪− + − + =⎪⎨ + − − = −⎪⎪ + + − =⎩ 2 3 0 2 5 2 3 4 x y z x y z x y z + − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − − =⎩ 85 Aplicações de Sistemas Lineares: Alocação de Recursos Exemplo 1 Um biólogo colocou três espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2300 unidades de A, 800 unidades de B e 1500 unidades de C. Cada bactéria consome um certonúmero de unidades de cada alimento por dia, como mostra a tabela abaixo. Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo alimento? Bactéria da Espécie I Bactéria da Espécie II Bactéria da Espécie III Alimento A 2 2 4 Alimento B 1 2 0 Alimento C 1 3 1 Solução: ( ) 1 2 3Resp.: x = 100, x = 350, x = 350 Exemplo 2: Repita o exemplo anterior usando os dados de consumo diário de alimento (unidades por dia) mostrados na tabela abaixo. Assuma desta vez que serão colocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C por dia. Bactéria da Espécie I Bactéria da Espécie II Bactéria da Espécie III Alimento A 1 1 1 Alimento B 1 2 3 Alimento C 1 3 5 86 Solução: R 1 2 3 x t esp.: x = 1500 - 2 t x t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ Como e vem que 1 20, 0x x≥ ≥ 3 0x ≥ 750t ≤ , assim 0 75t 0≤ ≤ . (embora matematicamente esse sistema tenha infinitas soluções, fisicamente há uma quantidade finita). Balanceamento de Equações Químicas: 2 2 22 2H O H O+ → Quando uma reação química ocorre, certas moléculas (os reagentes) se combinam para formar novas moléculas (os produtos). Uma equação química balanceada é uma equação algébrica que dá o número relativo de reagentes, e produtos na reação e tem o mesmo número de átomos de cada tipo dos lados esquerdo e direito. Note que nunca haverá uma única equação balanceada. Por exemplo, 2 2 26 3 6H O H O+ → é também balanceada. Assim, usualmente procuramos a equação balanceada mais simples para uma reação. 87 Exemplo: A combustão de amônia ( )3NH em oxigênio produz nitrogênio ( e água. Encontre uma equação química balanceada para essa reação. )2N Solução: Nº de moléculas de oxigênio: x Nº de moléculas de amônia: w Nº de moléculas de nitrogênio: y Nº de moléculas de água: z 3 2 2 2wNH + xO yN + zH O→ Comparando os números de átomos de nitrogênio, hidrogênio e oxigênio nos reagentes e nos produtos, Nitrogênio: 2w y= Hidrogênio: 3 2 w z= Oxigênio: 2 x z= w - 2 y = 0 3w - 2 z = 0 2 x - z = 0 ⎧⎪⎨⎪⎩ 1 0 -2 0 3 0 0 0 0 2 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥→ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 0 0 -2 / 3 0 0 1 0 -1/ 2 0 0 0 1 -1/ 3 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥→ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , logo 2 3 1 2 1 3 w z x z y z = − = = O menos valor positivo de que fornecerá valores inteiros para todas as quatro variáveis é o menor denominador comum das frações z 2 1 1, , 3 2 3 (é 6) que fornece e . 4, 3, 2w x y= = = 6z = Assim a equação química balanceada é: 3 2 2 24 NH + 3O 2 N + 6H O→ Exercício: Faça o balanceamento da equação química para cada reação abaixo: a) 2 2 2 3FeS O Fe O SO+ → + 2 88 b) (Essa reação ocorre quando uma planta verde converte dióxido de carbono e água em glicose e oxigênio durante a fotossíntese.) 2 2 6 12 6CO H O C H O O+ → + 2 Análise de Redes: Para nós, uma rede consiste em um número finito de nós (também chamados junções ou vértices) conectados por uma série de segmentos dirigidos, conhecidos como ramos ou arcos. Cada ramo é rotulado com um fluxo que representa a quantidade de alguma mercadoria que pode fluir ao longo ou através daquele ramo na direção indicada. (Pense em carros viajando ao longo de uma rede de ruas de mão única). As redes ocorrem em duas modalidades: abertas, nas quais o que flui pode entrar ou sair da rede, e fechadas, nas quais o que flui circula continuamente pela rede, sem sair nem entrar. Muitos dos mais importantes tipos de redes têm a 3 propriedades básicas: 1- Fluxo unidirecional – Em qualquer instante, o fluxo por um ramo é sempre num único e mesmo sentido. 2- Conservação do fluxo num nó – A taxa de fluxo para dentro de um nó é igual à taxa de fluxo para fora do nó. 3- Conservação do fluxo na rede – A taxa de fluxo para dentro da rede é igual à taxa de fluxo para fora da rede. Regra Fundamental: Conservação do fluxo Em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída. Exemplo: 89 Fluxo em um nó: 1 2 50f f+ = . Exemplo: Descreva os possíveis fluxos através da rede de encanamento de água mostrada na figura abaixo, onde o fluxo é medido em litros por minuto. Solução: Nó A:15 1 4f f= + 1 4 1 2 2 3 3 4 15 10 25 20 f f f f f f f f + =⎧⎪ − =⎪= ⎨ + =⎪⎪ − =⎩ Nó B: 1 2 10f f= + Nó C: 2 3 5 30f f+ + = Nó D: 4 320f f+ = Usando o .M G J− temos: 90 1 0 0 1 15 1 0 0 1 15 1 -1 0 0 10 0 1 0 0 5 0 1 1 0 25 0 0 1 -1 20 0 0 1 -1 20 0 0 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢→⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎥⎥⎥⎦ 1 2 4 3 4 15 5 20 f t f t f t f t f t = −⎧⎪ = −⎪= ⇒ ⎨ = +⎪⎪ =⎩ Se controlarmos o fluxo no ramo AD de modo que t L5 / min= , os outros fluxos são , , e . 1 10f = 2 0f = 3 25f = Podemos fazer melhor: encontrar os fluxos máximos e mínimos em cada ramo. 1 2 3 40, 0, 0, 0f f f f≥ ≥ ≥ ≥ 15 e Logo, (2) é mais restritiva que (1). 0 0 15 (1)t t− ≥ ⇒ ≤ ≤ 5 0 0 5 (t t− ≥ ⇒ ≤ ≤ 2) Portanto, 1 2 3 4 10 15 0 5 20 25 0 5 f f f f ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Leis de Kirchoff Lei da Corrente (nós) A soma das correntes que entram em qualquer nó é igual à soma das correntes que saem dele. Lei da Voltagem (circuitos) A soma das quedas de voltagem ao longo de qualquer circuito é igual à voltagem total em torno do circuito (fornecido pelas baterias) Figuras ilustrativas 91 Determine as correntes 1I , 2I e 3I no circuito elétrico mostrado abaixo. Resposta: 1 1I A= , 2 4I A= e 3 3I A= . 92 Exercício: A rede mostrada na figura a seguir tem uma única fonte de energia A e cinco resistores. Encontre as correntes I , 1I , 2I , 3I , 4I e 5I Resposta: , 7I A= 1 3I A= , 2 4I A= , 3 1I A= − , 4 4I A= e 5 3I A= . 93 Interpolação de Funções A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura: Temperatura (ºC) 20 25 30 35 40 Calor Específico 0,99907 0,99852 0,99826 0,99818 0,99828 Suponhamos que se queira calcular: i) o calor específico da água a 32,5ºC; ii) a temperatura para a qual o calor específico é 0,99837. A interpolação nos ajuda a resolver este tipo de problema. Interpolar uma função consiste em aproximar essa função por uma outra função , escolhida entre uma classe de funções definidas a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função é então usada em substituição à função . ( )f x ( )g x ( )g x ( )f x Definição: Consideremos pontos distintos: ( 1n + ) 0 1, ,..., nx x x , chamados nós da interpolação, e os valores de nesses pontos: ( )f x 0 1( ), ( ),..., ( )nf x f x f x . A forma de interpolação de consiste em se obter uma determinada função tal que: ( )f x ( )g x 0 0 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n g x f x g x f x g x f x g x f x =⎧⎪ =⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩ # Em nosso caso, usaremos como um polinômio de grau n estabelecido a priori. Logo, ( )g x 2 0 1 0 2 0 0 0 2 0 1 1 2 1 1 1 2 0 1 2 2 2 2 2 2 0 1 2 ... ( ) ... ( ) ... ( ) ... ( ) n n n n n n n n n n n a a x a x a x f x a a x a x a x f x a a x a x a x f x a a x a x a x f x ⎧ + + + + =⎪ + + + + =⎪⎪+ + + + =⎨⎪⎪⎪ + + + + =⎩ # n ) ) com equações e ( variáveis: . ( 1n + 1n + 0 1, ,..., na a a A matriz A dos coeficientes é: 94 2 0 0 0 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n x x x x x x A x x x x x x ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ " " " # # # " # " que é a transposta de uma matriz de Vandermonde e, portanto, desde que 0 1, ,..., nx x x sejam pontos distintos, temos e, então o sistema linear admite solução única. det( ) 0A ≠ Sabemos, da geometria elementar, que existe uma única reta que passa por dois pontos distintos de um plano. É menos conhecido o fato de que existe uma única parábola que passa por quaisquer três pontos não colineares de um plano, que é justificado pela explicação acima. 1) Para cada conjunto de pontos a seguir, encontre uma parábola com equação da forma que passe pelos pontos dados. (Esboce a parábola para conferir a validade de sua resposta.) 2y ax bx c= + + a) (0,1), (-1,4) e (2,1) b) (-3,1), (-2,2) e (-1,5) 2) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela: x -1 0 2 ( )f x 4 1 -1 95 Exemplo Uma fábrica produz três tipos de fertilizantes para o solo, A, B e C, cada um deles contendo determinada quantidade de nitrogênio (N), de fósforo (P) e de potássio (K). A tabela abaixo mostra, em g/Kg as concentrações de N, P e K em cada tipo de fertilizante. N P K A 1 3 4 B 2 3 5 C 3 0 3 Para corrigir o solo de um determinado terreno, um agricultor necessita de 11g de N, 9g de P e 20g de K. Se o fertilizante A é vendido a R$ 6,00 o Kg enquanto B e C são vendidos a R$ 1,00 o Kg, determine as quantidades necessárias de A, B e C que fornecem as medidas desejadas pelo agricultor e que tenha um preço de R$ 10,00. LISTA DE EXERCÍCIOS 1) (FEI) – Um comerciante adquiriu 80 rolos de arame, alguns com 30 metros e outros com 20 metros, num total de 2.080 metros de comprimento. Quantos rolos de 30 metros foram adquiridos? (justifique sua resposta) a. 40 b. 52 c. 28 d. 32 e. 48 96 2) (PUC-GO) – Resolver o sistema 1 2 3 x y y z z x − =⎧⎪ − =⎨⎪ − =⎩ 3) (UNICAMP) – As pessoas A, B, C e D possuem juntas R$ 2.718,00. Se A tivesse o dobro que tem, B tivesse a metade do que tem, C tivesse R$ 10,00 a mais do que tem e, finalmente, D tivesse R$ 10,00 a menos do que tem, então todos teriam a mesma importância. Quanto possui cada uma das quatro pessoas? 4) (MACK) – A equação matricial: 1 1 1 5 1 1 1 . 2 1 3 1 x y z k −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ a) não admite solução qualquer que seja k. b) admite solução qualquer que seja k. c) admite solução se 4k = . d) admite solução somente se 8k = . e) admite solução somente se 12k = . 5) Se , , e x a y b z c w d= = = = é solução do sistema , então o produto vale: 0 0 0 1 x y y z z w y w + =⎧⎪ + =⎪⎨ + =⎪⎪ + =⎩ abcd a. 1 b. -1 c. 1 16 d. 1 8 − e. -20 6) Escolha entre as alternativas abaixo, aquela que representa o valor da constante m, de modo que o sistema 2 1 2 4 7 4 11 x y z t x y z t 2 x y z t m − + + =⎧⎪ + − + =⎨⎪ + − + =⎩ admita solução. 97 a) 3m = b) 4m = c) 2 3 m = d) 5m = e) 6m = 7) (FEI) – O professor João tem R$ 275,00 em notas de R$ 5,00 e R$ 10,00; se o número total de cédulas é 40, a diferença entre o número de notas de R$ 5,00 e R$ 10,00 é: 8) Há 5 anos a idade de João era o dobro da idade de Maria. Daqui a 5 anos a soma das duas idades será 65 anos. Quantos anos João é mais velho que Maria? 9) (UNICAMP) – Um copo cheio de água pesa 385g; com 2/3 da água pesa 310g. Pergunta-se: a. Qual o peso do copo vazio? b. Qual o peso do copo com 3/5 de água? 10) (FUVEST) – Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual o total de filhos e filhas do casal? 11) (UNICAMP) – O IBGE contratou um certo número de entrevistadores para realizar o recenseamento em uma cidade . Se cada um deles recenseasse 100 residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residências tem a cidade? 12) Num quintal encontram-se galinhas e coelhos, num total de 30 animais. Contando os pés seriam, ao todo, 94. Quantos coelhos e quantas galinhas estão no quintal? 13) O mago Paulo Coelho tem em seu “laboratório” algumas cobras, sapos e morcegos. Ao todo são 14 cabeças, 26 patas e 6 asas. Quantos animais de cada tipo estão no laboratório? 98 14) Calcular três números tais que a soma do 1º com o 2º é 40, a soma do 2º com o 3º é 70 e a soma do 1º com o 3º é 60. 15) José Antônio tem o dobro da idade que Antônio José tinha quando José Antônio tinha a idade que Antônio José tem. Quando Antônio José tiver a idade que José Antônio tem, a soma das idades deles será 63 anos. Quantos anos tem cada um deles? Unidade III – Matriz Inversa 3.1 Cálculo da matriz inversa através de operações elementares Exemplo 1: Se possível, encontre a inversa da matriz A. 1 2 3 2 5 3 1 0 8 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Solução Aplicando o algoritmo da inversão, temos: 99 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 1 1 1 1 3 1 2 2 2 3 3 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 2 0 1 3 2 1 0 1 0 8 0 0 1 0 2 5 1 0 1 2 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 3 0 1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 3 0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L → →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ − + → − − → →⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ − − − → +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ → →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − → → − − →⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − → − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − + 3 2 3 3 1 2 1 2 2 3 3 1 2 0 14 6 3 2 1 0 0 40 16 9 0 1 0 13 5 3 0 1 0 13 5 3 0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1 L L L L L L L L L L + → → − → − + −⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢− − → → − −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− − → − −⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎥⎥⎦ Logo, 1 40 16 9 13 5 3 5 2 1 A− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ Exemplo 2: Se possível, encontre a inversa da matriz A. 1 6 4 2 4 1 1 2 5 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 3.2 Resolução de Sistemas Lineares por Inversão de Matrizes AX B= . Se A é invertível, então existe . Logo, 1A− 1 1 1 1 1( ) ( )A AX A B A A X A B IX A B X A B− − − − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ = 1− Assim, podemos enunciar o seguinte teorema: Teorema Se AX B= é um sistema linear de n equações a n incógnitas e se a matriz de coeficientes A é invertível, então o sistema tem uma única solução, a saber, 1X A B−= . Exemplo 1: 100 Se possível, resolva o sistema linear abaixo pelo método da inversão da matriz dos coeficientes: 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 5 2 5 3 8 17 x x x x x x x x + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩ 3 Solução Exemplo 2: Se possível, resolva o sistema linear abaixo pelo método da inversão da matriz dos coeficientes: 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 5 3 8 3 x x x x x x x x + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩ 1 2 Solução 101 Observação: Este método não é empregado pelos sistemas computacionais para a resolução de sistemas lineares, porém, ele amplia nossa compreensão sobre matrizes e sistemas lineares. Teorema 1 Se é um sistema linear homogêneo de n equações a n incógnitas.O sistema tem 0AX = somente a solução trivial se, e somente se, a matriz dos coeficientes A é invertível. Observação Seja uma matriz 2 × 2 invertível, assim: a b A c d ⎡= ⎢⎣ ⎦ ⎤⎥ 1 1det( ) d b A c aA − −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ Teorema 2 Se A é uma matriz n×n, então as seguintes afirmações são equivalentes: (a) A forma escalonada reduzida por linhas de A é nI . (b) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. (c) A é invertível. (d) tem somente a solução trivial. 0AX = 102 Matriz Elementar Uma matriz n × n que pode ser obtida da matriz identidade nI de tamanho n × n executando uma única operação elementar sobre as linhas é chamada uma matriz elementar. Exemplo:Considere a matriz 1 0 2 3 2 1 3 6 1 4 4 0 A ⎡ ⎤⎢= −⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎥ e considere a matriz elementar 1 0 0 0 1 0 3 0 1 E ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ que resulta de somar 3 vezes a primeira linha de 3I à terceira linha. O produto EA é 1 0 2 3 2 1 3 6 4 4 10 9 EA ⎡ ⎤⎢= −⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎥ que é precisamente a mesma matriz que resulta quando nós somamos 3 vezes a primeira linha de A à terceira linha. Assim, supondo que A é invertível, temos Teorema 2 que: 1 2 1 2 1... ...k n k nE E E A I E E E I A −= ⇒ = . Como cada multiplicação à esquerda por uma destas matrizes elementares efetua uma operação sobre as linhas, resulta, comparando as equações acima, que a seqüência de operações sobre linhas que reduz A a nI também reduz nI a 1A− . Logo, segue o seguinte resultado: Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, nós devemos encontrar uma seqüência de operações elementares sobre linhas que reduz A à identidade e depois efetuar esta mesma seqüência de operações em nI para obter 1A− . Exercício Resolva, se possível, os sistemas lineares abaixo: (a) (b) (c) 2 3 1 2 5 3 0 8 3 x y z x y z x y z + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩ 2 6 1 2 3 3 2 5 3 0 8 1 x y z x y z x y z + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩ 2 3 1 2 5 3 0 8 5 x y z x y z x y z + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩ (d) 2 3 1 2 5 3 0 8 7 x y z x y z x y z + + = −⎧⎪ + + = −⎨⎪ + + =⎩ 4 Solução 103 3.3 Aplicação de Matriz Inversa: CRIPTOGRAFIA Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos associar números às letras do alfabeto, segundo a correspondência abaixo: AA B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 3 × 3 assim: P U X A V I D A ⎡ ⎤⎢ −⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎥ cuja correspondência numérica será: 15 20 23 1 0 21 9 4 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ M . Agora, seja C uma matriz qualquer 3 × 3 inversível, como por exemplo: 1 0 1 1 3 1 0 1 1 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Se multiplicarmos nossa matriz de mensagem por C, obtendo-se M.C: 15 20 23 1 0 1 5 83 58 1 0 21 1 3 1 1 21 22 0 4 1 0 1 1 5 13 14 −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎥⎥⎦ 104 Transmitimos esta nova mensagem (na prática, envia-se a cadeia de números –5 83 58 1 21 22 5 13 14, correspondentes às linhas). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa e transcrição dos números para letras. C é chamada matriz chave de código. -1((M.C).C ) a) Você recebeu a mensagem: -12 48 23 7 27 29 –18 59 23. Utilizando a mesma chave, traduza a mensagem. b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. Seu comandante (ou mestre) manda você substituir a matriz por: * 1 1 1 1 1 0 0 0 2 C −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Você transmite a mensagem “CRETINO” ao inimigo (codificada, naturalmente). Por que ele não será capaz de decodificar sua mensagem? 105 Lista Complementar sobre Matrizes Professor: Fabrízzio 1) Ache uma matriz triangular superior A tal que . 3 8 57 0 27 A −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 2) Que tipo de matrizes são triangulares superiores e triangulares inferiores. 3) Determine a inversa de . 3 5 2 3 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 4) Dada a matriz 1 3 4 3 A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ . Determine uma matriz coluna não nula x U y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ tal que 3AU U= . 5) Seja . (a) Determinar e . (b) Determinar , onde 1 2 4 3 A ⎛= ⎜ −⎝ ⎠ ⎞⎟ 2A 3A ( )f A 3( ) 2 4 5f x x x= − + . 6) Seja 1 2 3 2 5 1 5 12 5 A −⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟ ⎟− ⎟ −⎝ ⎠ . Determine todas as matrizes x U y z ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ tais que . 0AU = 7) Ache, se existir, a inversa de (a) 1 2 4 1 1 5 2 7 3 A −⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ e (b) 1 3 4 1 5 1 3 13 6 B −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ . 8) Seja . Determine 1 2 0 1 A ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟ nA . Que condições as matrizes A e B devem satisfazer para que 2 2 ( )(A B A B A B)− = + − ? 106 9) Seja e . Determine: (a) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 B ⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎟ nA para todos os inteiros positivos n, (b) para todos os inteiros positivos n. nB 10) Seja . Determine uma matriz A tal que 1 0 26 27 ⎡⎢⎣ ⎦ ⎤⎥ 3A B= . 11) Seja . Determine todos os números k para os quais A é raiz do polinômio (a) 5 2 0 A k ⎡= ⎢⎣ ⎦ ⎤⎥ 2( ) 7 10f x x x= − + . (b) 2( ) 25g x x= − . (c) . 2( ) 4h x x= − 12) Se então qual é a matriz . 1 1 0 1 A ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟ ⎥ nA 13) Se , calcule , e 1 1 1 2 A −⎡ ⎤= ⎢⎣ ⎦ 2A 3A 4.A 14) Dê todas as matrizes 0 0 a A b ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ que satisfazem 3 0A A+ = . 15) Uma matriz A, quadrada, diz-se involutiva quando 2A I= . Uma matriz diagonal, de ordem 2, é involutiva; determine-a. 16) As matrizes A e B são quadradas e de mesma ordem n. Demonstre que : [ ( )]t t tnA B I B A A+ = + . 17) Sejam as matrizes 3 2[ ]ijA a ×= , 2 3[ ]ijB b ×= tais que 2ija i j= − + e Seja 2 .ijb i j= + − i 3 3[ ]ijAB c ×= ; determine e . 32c 13c 18) Resolva a equação matricial: 1 1 2 3 1 2 1 0 3 1 1 4 1 2 0 0 1 X − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎦ 107 19) Determine x, , sabendo-se que: x∈\ 2 0 7 14 7 0 1 0 0 1 0 1 2 1 4 2 x x x I x x x − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 20) Se as matrizes e 1 2 3 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ a b c d ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ comutam, qual a relação que “liga” a, b, c e d? Mostre que: 2 31 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 4 I − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 21) Demonstre que uma matriz A, quadrada, é involutiva se, e somente se, . ( )( )I A I A− + = 0 ⎥⎥ 22) Para a matriz verifique que: 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A ⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 3 34 5 0A A I− − = . 23) Se A e B são matrizes quadradas tais que AB BA= − dizemos que A e B são anticomutativas. Mostre que as matrizes: 1 1 2 1 A −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ e são anticomutativas e que 1 1 4 1 B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 2 2( )A B A B2+ = + . 24) Uma matriz quadrada [ ]ij n nA a ×= diz-se anti-simétrica quando para todo i, 1 e para todo j, 1 ij jia a= − i n≤ ≤ j n≤ ≤ . Observe que se A é anti- simétrica e inversamente. Determine os números a, b, c, x, y e z para que a matriz tA = −A 4⎥⎥ 3 2 3 1 2 4 a A x b y z c −⎡ ⎤⎢= − −⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ seja anti-simétrica. 25) A, B e C são matrizes quadradas de ordem n. Se a matriz C é anti-simétrica, demonstre que: ( 3 )t t tA B C BA C+ = − 10826) Seja a matriz 4 4[ ]ijA a ×= para a qual: 0 1 4 ii ij ji ij a a a a i j se i j ⎧ =⎪ =⎨⎪ = + ≤ < ≤⎩ Determine A e . A é simétrica? tA 27) Seja D uma matriz diagonal de ordem 3×3. D é simétrica? 28) Se é simétrica, em A há, no máximo, quantos elementos distintos? 3 3[ ]ijA a ×= 29) Seja a matriz 3 2[ ]ijA a ×= para a qual ( ) ( )ija f i f j= + , onde . Construa . ( ) 1f x x= + tA 30) Seja a matriz A, quadrada de ordem n. Demonstre que é anti- simétrica. tA A− 31) Uma rede de computadores tem cinco locais com transmissores de potências distintos. Estabelecemos que 1ija = , na matriz a seguir, significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j; 0ija = significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ a) Qual o significado da diagonal principal desta matriz? b) Qual seria o significado de 2 .A A A= ? Seja 2 ijA c⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , calcule e informe seu significado. 13c c) Se A fosse simétrica, o que significaria? 109 Respostas dos Exercícios da Lista Complementar sobre Matrizes 1) 2 3 0 3 −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A 2) São as matrizes diagonais. 3) 1 3 5 2 3 − −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦A 4) ;2 3 ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ \ x S x x 5) a) e 2 9 4 8 17 −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦A 3 7 30 60 67 −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦A b) 13 52 ( ) 104 117 −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦f A 6) {(13 , 5 , ); }= − ∈\S z z z z 7) a) 1 16 11 3 7 5 1 2 2 2 5 3 1 2 2 2 − ⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢= ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ A ⎥− ⎥ b) Não existe 1−B , pois . det 0=B 8) 1 2 0 1 ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ n nA 9) =AB BA , ou sejam, A e B comutam. 10) A) Faça b) Faça 11) Faça. 12) Faça. 13) 1 0 1 ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ n nA 110 14) , 2 0 3 3 3 −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A 3 3 6 6 3 − −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A e 4 9 9 9 0 − −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A 15) ou 0 1/ 0 −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ b A b 0 0 0 0 ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A 16) 1 0 1 0 1 0 1 0 ou ou ou 0 1 0 1 0 1 0 1 A − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎤⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 17) Demonstração. 18) Já fiz na outra lista. 19) 0 0 1/3 0 ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦X 20) 1 5 =x 21) Faça. 22) Demonstração. 23) Demonstração. 24) Verificação. 25) Demonstração. 26) Faça. 27) Demonstração. 28) e A é simétrica. 0 3 4 5 3 0 5 6 4 5 0 7 5 6 7 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ A ⎥⎥ 29) Sim. D é simétrica. 30) 6 elementos. 111 31) 4 5 6 5 6 7 tA ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 32) Demonstração. 33) a) A estação não transmite para ela própria diretamente. b) Cada elemento de representa o número de modos que uma estação transmite para outra de uma terceira estação. e significa que a estação 1 transmite para a estação 3 de uma terceira estação de dois modos (através da estação 2 e da estação 4) 2A 13 0.1 1.1 1.0 1.1 1.0 2= + + + + =c c) Se A fosse simétrica, isto é, =ij jia a , isso significaria que a estação i transmite para a estação j sempre que a estação j transmite para a i. Unidade IV – Determinantes 4.1 Definição O determinante é um certo tipo de função que associa a cada matriz quadrada n × n um número real. Nosso objetivo é definirmos esta função e aplicá-la a matrizes 2 × 2,3 × 3 e n × n. Seja o sistema linear abaixo: ax by e cx dy f + =⎧⎨ + =⎩ Para eliminarmos a variável y, efetuamos a seguinte operação: multiplicamos a 1ª linha por (d) e a 2ª linha por (-b) e depois somamos o resultado de ambas. ( ) ax by e adx bdy de de bfad bc x de bf x cx dy f bcx bdy bf ad bc + = + =⎧ ⎧ −⇒ ⇒ − = − ⇒ =⎨ ⎨+ = − − = − −⎩ ⎩ Que será possível e determinado se, e somente se, 0ad bc− ≠ . Como este número caracteriza o sistema linear, vamos “batizá-lo” de determinante da matriz dos coeficientes do sistema. Além disso, a expressão ad bc− ocorre com tanta freqüência em Matemática que é recebeu o nome de determinante da matriz A. det a b A A ad bc c d ⎡ ⎤= ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ 112 Notação para o determinante: det ou a b A c d 4.2 Determinantes de Matrizes 2 × 2 e 3 × 3 Regra Prática de Sarrus (a) 11 12 11 22 12 21 21 22 det a a a a a a a a ⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ (b) 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 31 32 33 det a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡ ⎤⎢ ⎥ = + + − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Exemplos: Calcule os determinantes de 3 1 4 2 A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ . Solução Observações: 1) Só podemos calcular determinantes de matrizes quadradas. 2) O método de Sarrus não funcionam para determinantes de matrizes 4 × 4 ou maiores. Exercícios 1) Calcule os determinantes: 113 a. 3 5 2 4− b. 4 1 8 2 c. 2 6 4 3 d. 3 5 3 2 a a − − − e. 2 7 6 5 1 2 3 8 4 − − f. 2 4 3 2 1 4 1 c c c − − 2 g. 2 1 4 3 5 7 1 6 2 − − 2) Encontre todos os valores de λ para os quais det( ) 0A = . a. 2 1 5 4 λ λ −⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎣ ⎦ b. 4 0 0 0 2 0 3 1 λ λ λ −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 114 3) Resolva em x. 1 0 3 1 2 6 3 1 1 3 5 x x x x −− = −− − 4.3 Calculando Determinantes Através de Redução por Linhas Teorema Seja A uma matriz quadrada. (a) Se A tem uma linha ou coluna de zeros, então det( ) 0A = . (b) d . et( ) det( )tA A= Exemplos: 1) 1 2 0 0 A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 2) 1 2 3 4 B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ Teorema Se A é uma matriz triangular (triangular superior, triangular inferior ou diagonal) de tamanho n × n, então det( )A é o produto das entradas na diagonal principal da matriz; ou seja, 11 12det( ) ... nnA a a a= . Exemplo: 115 1) 3 6 7 9 8 0 5 5 2 1 0 0 1 9 6 0 0 0 1 8 0 0 0 0 4 − − = − 2) 1 0 0 4 2 0 6 2 5 − = 3) 2 0 0 0 6 0 0 0 7 = Teorema Seja A uma matriz n × n. (a) Se B é a matriz que resulta quando uma única linha ou uma única coluna de A é multiplicada por um escalar k, então det( ) det( )B k A= . (b) Se B é a matriz que resulta quando duas linhas ou duas colunas de A são permutadas, então det( ) det( )B A= − . (c) Se B é a matriz que resulta quando um múltiplo de uma linha de A é somado a uma outra linha ou quando um múltiplo de uma coluna de A é somado a uma outra coluna, então det( ) det( )B A= . Exemplos: a) . Assim, pode-se verificar que: de2 2 1 2 1 2 2 3 4 6 8 A L L B⎡ ⎤ ⎡= → ⇒ =⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎦ t( ) 2det( )B A= b) . Assim, pode-se verificar que: det(2 1 1 2 3 4 3 4 1 2 A L L B⎡ ⎤ ⎡= ↔ ⇒ =⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎤⎥ ) det( )B A= − d) . Assim, pode-se verificar que: 1 2 1 1 2 7 10 2 3 4 3 4 A L L L B⎡ ⎤ ⎡= → + ⇒ =⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎦ det( ) det( )B A= . Teorema Se A é uma matriz quadrada com duas linhas proporcionais ou duas colunas proporcionais, então de . t( ) 0A = Exemplos: 116 a) , pois 1 2 det( ) 0 2 4 A A⎡ ⎤= ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦ = 2 12L L= . b) , pois 1 2 det( ) 0 7 14 B B⎡ ⎤= ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦ = 2 12C C= . c) Calcule det( )A , onde . 0 1 5 3 6 9 2 6 1 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 1 1 3 1 3 3 2 3 0 1 5 3 6 9 1 2 3 1det( ) 3 6 9 ( ) 0 1 5 ( ) 3 0 1 5 ( 2 ) 3 2 6 1 2 6 1 2 6 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 0 1 5 ( 10 ) 0 1 5 ( 3)( 55) 0 1 5 ( 3)( 55)(1)
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