Aula 10 - anotações - 12-03-21 - Oscilações Forçadas e Ressonância

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Aula 08 - Oscilações forçadas - Ressonância. 
Quando uma força além da força restauradora está aplicada no sistema oscilante, as oscilações podem ser 
amortecidas ou podem ser amplificadas. A amplificação das oscilações ou aumento de sua amplitude recebe o nome 
de Ressonância. 
Oscilações amortecidas 
Quando uma força de atrito está presente no sistema oscilante, a amplitude de oscilação diminui e o sistema perde 
energia por dissipação através do trabalho da força de atrito. A força de atrito é conhecida também por força 
viscosa. A força viscosa é contrária e proporcional à velocidade. 
 
𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐 = −𝑏. 𝑣 
Na equação do sistema MHS massa-mola a inserção de uma força viscosa amortece as oscilações diminuindo sua 
amplitude exponencialmente. 
 
 
 
 −𝑘. 𝑥 − 𝑏. �̇� = 𝑚 𝑥 ̈ 
�̈� + (𝑏/𝑚)�̇� + (𝑘/𝑚)𝑥 = 0 
�̈� + γ�̇� + ω0
2𝑥 = 0 sendo, ω0 = √(𝑘/𝑚) e γ = (𝑏/𝑚) 
Solução do Oscilador amortecido: 
 Frequência: 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da Oscilação amortecida em função do tempo, 𝒙(𝒕) 
 
A variação da energia do sistema para o oscilador amortecido 
 
 
O gráfico da Amplitude em função do tempo x(t): 
 
Exercício proposto: 
Em um oscilador amortecido o bloco possui uma massa de 1,50 kg e a constante elástica é 8,00 N/m. A força de amortecimento é 
dada por –b(dx/dt), em que b = 230 g/s. O bloco é puxado 12,0 cm para baixo e liberado. (a) Calcule o tempo necessário para que 
a amplitude das oscilações resultantes diminua para um terço do valor inicial. (b) Quantas oscilações o bloco realiza nesse 
intervalo de tempo? (a) 14,3 s; (b) 5,27 
 
CUIDADO: Observe as unidades das constantes para manter o sistema de unidades! 
 
 
 
 
 
 
 
Ressonância 
O fenômeno de ressonância ocorre quando um sistema oscilante recebe um estímulo para oscilar em sua própria 
frequência natural de oscilação. 
A equação que soluciona a eq. dif. de um oscilador harmônico é conhecida: 
x(𝑡) = 𝑥𝑚. cos(ω0. 𝑡 + ϕ) 1 
Muitas vezes, a frequência ω0 é referida apenas como ω, 
 2 
Sendo as componentes desta equação vistas abaixo onde, ω também é chamado de frequência natural de oscilação 
ou ω0: 
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A equação diferencial da qual resulta a solução acima é: 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ ω0x = 0 4 
Para o oscilador amortecido, a eq. dif. possui o termo de amortecimento que inclui o fator de amortecimento b, 
como visto na aula anterior: 
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A solução da eq. dif. acima é a equação a seguir que difere da solução anterior (equações 1 ou 2), pois possui o termo 
de decaimento exponencial que representa o amortecimento das oscilações, como visto na aula anterior. 
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Sendo que a frequência do oscilador amortecido é menor do que a frequência do mesmo oscilador sem 
amortecimento, 
 
Tanto para o sistema sem amortecimento quanto para o sistema amortecido, é possível aplicar uma força harmônica 
do tipo cosseno com frequência igual à frequência do oscilador. 
F(𝑡) = 𝐹0cos(ω
′t) 
F0 -> é a amplitude máxima da força aplicada 
ω′-> e a frequência de oscilação da força aplicada. É a mesma do oscilador harmônico amortecido. 
Nesta situação teremos o fenômeno de ressonância onde o oscilador absorverá toda a energia fornecida pela força 
aumentando muito a sua amplitude de oscilação. 
Na prática, os osciladores reais sempre possuem um termo de amortecimento que dissipa a energia oscilatória de 
alguma forma. 
 
Gráfico de amplitude em função da razão entre a frequência da força 𝛚𝒅 e a frequência de amortecimento 𝛚 = 𝛚
′ 
A amplitude é inversamente proporcional ao fator b que fornece o amortecimento do oscilador. 
 aqui ω𝑑 é a frequência da força (driving force) e ω = ω
′ é a frequência do oscilador amortecido. 
 
 
A amplitude de oscilação dependente da frequência de oscilação 𝑨(𝛚) 
 
 
 
Em certos casos a ressonância pode ser destrutiva pois o oscilador apesar de estar oscilando em seu limite 
máximo de amplitude, continuará absorvendo a energia fornecida pela força e com isso, sua amplitude de oscilação 
continuará aumentando até um ponto de destruição. 
Todas as estruturas mecânicas têm uma ou mais frequências angulares naturais e se uma estrutura estiver 
sujeita a uma força motriz externa que corresponda a uma dessas frequências angulares, as oscilações resultantes na 
estrutura podem rompê-la. 
 
 
Edifícios: 
 
 
 
Aeronaves: 
 
Assim, por exemplo, os projetistas de aeronaves devem garantir que nenhuma das frequências angulares 
naturais nas quais uma asa pode oscilar corresponda à frequência angular dos motores em vôo. Uma asa que vibra 
violentamente para determinadas oscilações do motor do avião poderia obviamente ser perigoso. 
 
Veja o seguinte exemplo – Edifícios e Terremotos 
A ressonância parece ser uma das razões pelas quais os edifícios na Cidade do México entraram em colapso 
em setembro de 1985, quando ocorreu um grande terremoto (8,1 na escala Richter) na costa oeste do México. As 
ONDAS sísmicas do terremoto foram muito fracas para causar danos extensos quando chegaram à Cidade do México 
a cerca de 400 km. No entanto, a Cidade do México é amplamente construída sobre um antigo leito de lago, onde o 
solo ainda é macio e possui água. Embora a amplitude das ondas sísmicas era pequena no solo mais firme, a caminho 
da Cidade do México, a amplitude aumentou substancialmente no solo macio da cidade. 
As amplitudes de aceleração das ondas eram de 0,20g, e a frequência angular era (surpreendentemente) 
concentrado em torno de 3 rad/s. Não só o solo oscilou severamente, mas muitos edifícios de altura intermediária 
tinham frequências angulares ressonantes em cerca de 3 rad/s. A maioria desses edifícios desabou durante o tremor, 
enquanto edifícios menores (com frequências angulares ressonantes mais altas) e edifícios altos e altos (com 
frequências angulares ressonantes mais baixas) permaneceram em pé. 
 
Ressonância em ondas estacionárias 
 
Outro exemplo: 
Veja o exemplo do vídeo sobre a ponte suspensa da cidade de Tacoma no estado americano de Washington que ruiu 
após um vendaval com ventos entre 65km/h a 70 km/h 
https://www.youtube.com/watch?v=dvRHK4yA8rc 
Uma ressalva para este exemplo: 
Este exemplo é sugerido em livros de física como um fenômeno de ressonância embora, atualmente muitos 
acreditem que foi um efeito de aeroelasticidade. 
O que é Aeroelasticidade? 
“Aeroelasticidade é o ramo da engenharia aeroespacial que estuda as interações entre 
forças inerciais, elásticas e aerodinâmicas. 
Nenhuma estrutura aeronáutica é totalmente rígida e, ao ser exposta a forças aerodinâmicas, normalmente 
sofre deformações por flexão, torção ou pela combinação destas. Este efeito torna-se relevante quando a 
aeronave se move em alta velocidade, pois qualquer modificação na forma do perfil aerodinâmico, decorrente 
das forças aerodinâmicas adicionais, causa modificações nas cargas sobre o perfil, aumentando a sua 
deflexão. Sem um sistema de controle , este processo pode se realimentar, com resultados catastróficos.” 
Ref.: https://pt.wikipedia.org/wiki/Aeroelasticidade