Flexão oblíqua, composta e flambagem

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DESCRIÇÃO
A aplicação e o entendimento das principais expressões matemáticas e dos
conceitos físicos no estudo de elementos prismáticos sob a ação da flexão
oblíqua/composta e da flambagem, além da compreensão do centro de
cisalhamento.
PROPÓSITO
Compreender que no dimensionamento de estruturas, seja na Engenharia
Mecânica, seja na Engenharia Civil, os fenômenos da flexão e da
flambagem são recorrentes. Dessa forma, os conhecimentos das principais
relações matemáticas são fundamentais para o desenvolvimento do
profissional. Ademais, é importante o reconhecimento do centro de
cisalhamento como uma situação em que a torção das vigas não ocorre.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma
calculadora científica, ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a flexão oblíqua
MÓDULO 2
Calcular a flexão composta
MÓDULO 3
Reconhecer o centro de cisalhamento
MÓDULO 4
Formular a flambagem de colunas
INTRODUÇÃO
APRESENTAÇÃO DOS
FENÔMENOS DA FLEXÃO
OBLÍQUA/COMPOSTA E DA
FLAMBAGEM EM COLUNAS
MÓDULO 1
 Calcular a flexão oblíqua
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
A FLEXÃO OBLÍQUA
A primeira parte do estudo da flexão tinha como pressuposto que a seção
reta apresentava pelo menos um eixo simétrico e que o vetor momento
fletor atuava em um desses eixos. Ademais, considerava-se o regime
elástico. Neste módulo, será apresentada a flexão, tal que o vetor momento
fletor não coincida com nenhum dos eixos principais. A partir do teorema da
superposição, poderá ser feita uma análise parcial desse momento e
chegar-se a uma expressão genérica para a flexão oblíqua.
Inicialmente, será considerada uma seção reta com um eixo de simetria (y)
e os conjugados M e M’ atuando num plano cujo ângulo é igual a
θ
com o plano xy.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 419
 Imagem 1 - Momento fletor fora do eixo de simetria.
Como o vetor M é perpendicular ao plano indicado na imagem anterior, é
possível, por meio de argumentos geométricos, concluir que o vetor
momento fletor formará o mesmo ângulo
θ
com o eixo z.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 2 - Vista frontal da seção reta da imagem 1.
Para auxiliar no entendimento da flexão composta, serão consideradas as
projeções do vetor momento M nos eixos principais y e z. Cada uma das
projeções poderá ser entendida como a flexão pura, avaliando-se o efeito
individualmente sobre a seção reta. Pelo princípio da superposição, poderá
ser feita a superposição dos efeitos e concluir sobre o efeito final da flexão
oblíqua. A imagem a seguir mostra as projeções de M nas direções dos
eixos y e z, ou seja,
My
e
Mz
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 3 - Projeções do vetor M.
Os eixos y e z são eixos principais, e cada projeção de M atuará como na
flexão pura, o que permitirá utilizar a expressão para determinar a tensão
normal por flexão (em flexão pura). Inicialmente, é necessário identificar os
módulos das projeções nos eixos y e z. Assim, tem-se:
My = M ⋅ sen θ
Equação 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Mz = M ⋅ cos θ
Equação 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
As imagens 4 e 5 mostram os efeitos qualitativos de cada projeção do
momento fletor sobre a estrutura.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 421.
 Imagem 4 - Projeção do momento fletor no eixo y.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 420.
 Imagem 5 - Projeção do momento fletor no eixo z.
A partir das imagens anteriores, é possível entender como cada projeção do
momento fletor atua na seção, comprimindo ou tracionando as fibras. A
imagem seguinte esboça esses efeitos.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 6 - Regiões sob compressão ou sob tração na flexão.
FÓRMULA DA TENSÃO NORMAL
POR FLEXÃO
Serão abordadas as flexões pelos momentos fletores
My
e
Mz
, separadamente. Assim, por conta do momento
Mz
, tem-se:
σx = −
Mz ⋅ y
Iz
Equação 3
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Em que
Mz
e
Iz
são valores positivos. Na imagem 6 , acima do eixo z, ou seja,
y > 0
, as tensões são compressivas
σx < 0
. Assim, o sinal negativo na equação 3 justifica-se.
De maneira análoga, quando o momento fletor
My
atua, a expressão que determina as tensões normais de flexão é
apresentada na equação 4:
σx = +
My ⋅ z
Iy
Equação 4
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horizontal
( )
Fazendo a mesma análise, sabe-se que
My
e
Iy
são valores positivos. À esquerda do eixo y (imagem 6), os valores de z são
positivos e as tensões são trativas
σx > 0
. Assim, o sinal positivo na equação 4 justifica-se.
Utilizando o princípio da superposição, considera-se que para dado ponto
da seção, a tensão normal por flexão será soma dos efeitos das projeções
do momento. Assim, a equação 5 determina a tensão num ponto genérico
da seção reta.
σx = −
Mz ⋅ y
Iz
+
My ⋅ z
Iy
Equação 5
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horizontal
EXEMPLO
A seção transversal retangular mostrada na imagem a seguir está sujeita a
um momento fletor
M = 12kN ⋅m
( )
. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 219
 Imagem 7 - Seção reta sob flexão oblíqua.
Inicialmente, será feita a projeção do momento fletor M nos eixos y e z.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 8 - Projeções do momento fletor M.
Do triângulo de lados 3, 4 e 5 da imagem 7, tem-se:
sen θ =
4
5
= 0 , 8ecos θ =
3
5
= 0 , 6
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Projeções do momento fletor M:
Momentos de inércia da seção, em relação aos eixos y e z:
Mz = M ⋅ cos θ
Mz = 12.000 × ( 0 , 6 ) = 7.200N ⋅m
My = − M ⋅ sen θ
My = − 12.000 × ( 0 , 8 ) = − 9.600N ⋅m
(é negativo, pois a projeção tem sentido oposto ao y)
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Momentos de inércia da seção, em relação aos eixos y e z:
Iz =
( 0 , 2 ) ⋅ ( 0 , 4 ) 3
12
= 1 , 0667.10− 3m4
Iy =
( 0 , 4 ) ⋅ ( 0 , 2 ) 3
12
= 2 , 6667.10− 4m4
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Coordenadas para os pontos B, C, D e E:
Ponto B:
yB = + 0 , 2m e zB = − 0 , 1m
Ponto C:
yC = + 0 , 2m e zC = + 0 , 1m
Ponto D:
yD = − 0 , 2m e zD = + 0 , 1m
Ponto E:
yE = − 0 , 2mezE = − 0 , 1m
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Determinação da tensão por flexão a partir da equação 5:
σx = −
Mz ⋅ y
Iz
+
My ⋅ z
Iy
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Ponto B:
σx = −
( 7200 ) ⋅ ( 0 , 2 )
1 , 0667 ⋅10− 3
+
( − 9600 ) ⋅ ( − 0 , 1 )
2 , 6667.10− 4
→ σx = 2 , 25MPa
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Ponto C:
σx = −
( 7200 ) ⋅ ( 0 , 2 )
1 , 0667.10− 3
+
( − 9600 ) ⋅ ( 0 , 1 )
2 , 6667.10− 4
→ σx = − 4 , 95MPa
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Ponto D:
σx = −
( 7200 ) ⋅ ( − 0 , 2 )
1 , 0667 ⋅10− 3
+
( − 9600 ) ⋅ ( 0 , 1 )
2 , 6667 ⋅10− 4
→ σx = − 2 , 25MPa
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Ponto E:
σx = −
( 7200 ) ⋅ ( − 0 , 2 )
1 , 0667.10− 3
+
( − 9600 ) ⋅ ( − 0 , 1 )
2 , 6667 ⋅10− 4
→ σx = 4 , 95MPa
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Na imagem a seguir, tem-se a distribuição de tensões por flexão na seção
estudada no exemplo anterior.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 219
 Imagem 9 - Superfície neutra e eixo neutro.
Perceba que, na imagem 9, existem duas regiões distintas: uma sob
compressão e outra sob tração. A transição entre essas regiões ocorre na
linha neutra ou eixo neutro (NA), onde a deformação e a tensão normaissão nulas.
EIXO NEUTRO – ORIENTAÇÃO
A linha neutra (ou eixo neutro), diferentemente do que ocorre na flexão
pura, não coincide com um dos eixos de simetria. O eixo neutro ocorrerá de
forma oblíqua, em relação aos eixos y e z. Na imagem seguinte, tem-se
uma seção reta de uma viga submetida a um momento fletor oblíquo M,
formando um ângulo igual a
θ
, com o eixo z.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior.
 Imagem 10 - Momento oblíquo aplicado numa seção reta.
Determinando as projeções de M, tem-se:
MY = M ⋅ sen θ e Mz = M ⋅ cos θ
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A partir do conceito de que na linha neutra a tensão normal por flexão é nula
e, utilizando a equação 5 e as projeções de M, tem-se:
σx = −
Mz ⋅ y
Iz
+
My ⋅ z
Iy
0 = −
M ⋅ cos θ ⋅ y
Iz
+
M ⋅ sen θ ⋅ z
Iy
M ⋅ cos θ ⋅ y
Iz
=
M ⋅ sen θ ⋅ z
Iy
cos θ ⋅ y
Iz
=
sen θ ⋅ z
Iy
y
z
=
Iz ⋅ sen θ
Iy ⋅ cos θ
y
z
=
Iz
Iy
⋅ tg θ
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Mas, a partir da observação da imagem 10, é possível afirmar que
y
z
= tg α
. Substituindo na expressão anterior, tem-se a equação 6:
tg α =
Iz
Iy
⋅ tg θ
Equação 6
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Observe a imagem, onde são destacados os ângulos
θ
e
α
.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 11 - Orientação da Linha neutra.
Observações sobre a equação 6:
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Como
Iy
e
Iz
são positivos,
tg α
e
tg θ
apresentam mesmo sinal.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Quando
Iy = Iz
,
tg α = tg θ
, ou seja, a linha neutra e o momento apresentam mesma inclinação.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Seções quadradas, circulares etc. apresentam
Iy = Iz
.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A linha neutra está sempre entre o vetor M e o eixo de menor momento de
inércia.
MÃO NA MASSA
1. SUPONHA UMA VIGA DE BASE $$50 M M$$ E ALTURA
$$100 M M$$, CONFORME A IMAGEM. O MOMENTO
FLETOR M ATUANTE NA VIGA É TAL QUE O ÂNGULO
$$\THETA$$ É IGUAL A $$30^{\CIRC}$$. DETERMINE A
INCLINAÇÃO DA LINHA NEUTRA, EM RELAÇÃO AO EIXO
Z. 
 
A) $$\alpha=76,49^{0}$$
B) $$\alpha=66,59^{0}$$
C) $$\alpha=53,09^{0}$$
D) $$\alpha=45,000^{0}$$
E) $$\alpha=36,79^{0}$$
2. SEJA UMA SEÇÃO RETA QUADRANGULAR EM QUE O
MOMENTO FLETOR FORMA UM ÂNGULO DE
$$40^{\CIRC}$$ COM O EIXO PRINCIPAL Z. A
INTENSIDADE DO MOMENTO FLETOR É IGUAL A
1.200N.M. A INCLINAÇÃO DA LINHA NEUTRA OU EIXO
NEUTRO, EM RELAÇÃO AO EIXO Z, VALE:
A) $$20^{\circ}$$
B) $$30^{\circ}$$
C) $$40^{\circ}$$
D) $$45^{\circ}$$
E) Faltam dados
3. CONSIDERE UMA VIGA CUJA SEÇÃO RETA É UM
RETÂNGULO DE BASE 100MM E ALTURA 200MM. UM
MOMENTO DE INTENSIDADE 200N.M É APLICADO TAL
QUE O SEU VETOR FORME UM ÂNGULO DE 300 COM O
EIXO PRINCIPAL Z (OBSERVE A IMAGEM). DETERMINE A
TENSÃO NORMAL POR FLEXÃO NO PONTO A. 
 
A) $$ -1,68 M P a $$
B) $$ +1,12 M P a $$
C) $$ -1,12 M P a $$
D) $$ +0,56 M P a $$
E) $$ -0,56 M P a $$
4. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - ENGENHEIRO CIVIL –
ADAPTADA) A IMAGEM A SEGUIR REPRESENTA A SEÇÃO
TRANSVERSAL DE UM PILAR RETANGULAR DE ÁREA
$$(30 \TIMES 50) \MATHRM{CM}^{2}$$ SUBMETIDO À
FLEXÃO OBLÍQUA, EM QUE OS MOMENTOS $$M_{X}=50
\MATHRM{KN} . \MATHRM{M}$$ E $$M_{Y}=20
\MATHRM{KN} . \MATHRM{M}$$ NOS SENTIDOS
REPRESENTADOS NA IMAGEM. PODE-SE AFIRMAR QUE
A TENSÃO NORMAL ATUANTE NO PONTO A VALE: 
 
A) $$+4,00 M P a$$
B) $$+2,67 M P a$$
C) $$+6,67 M P a$$
D) $$+5,33 M P a$$
E) $$+6,93 M P a$$
5. UMA VIGA DE SEÇÃO CIRCULAR COM 40MM DE RAIO
ESTÁ SOB AÇÃO DE DOIS MOMENTOS FLETORES EM
TORNO DOS EIXOS PRINCIPAIS Y E Z, CONFORME A
IMAGEM A SEGUIR. DETERMINE A TENSÃO NORMAL EM
A. 
 
A) $$ -185 M P a $$
B) $$ -370 M P a $$
C) $$ +199 M P a $$
D) $$ +398 M P a $$
E) $$ +450 M P a $$
6. (QUESTÃO 6.103, HIBBELER, R. C, 2010, P. 222).
DETERMINE O VALOR MÁXIMO DO MOMENTO FLETOR M
DE MODO QUE A TENSÃO DE FLEXÃO NO ELEMENTO
NÃO ULTRAPASSE $$100 M P A$$. 
 
A) $$ 32,24 k N . m $$
B) $$ 30,58 k N . m $$
C) $$ 26,45 k N . m $$
D) $$ 20,76 k N . m $$
E) $$ 18,52 k N . m $$
GABARITO
1. Suponha uma viga de base $$50 m m$$ e altura $$100 m m$$,
conforme a imagem. O momento fletor M atuante na viga é tal que o
ângulo $$\theta$$ é igual a $$30^{\circ}$$. Determine a inclinação da
linha neutra, em relação ao eixo z. 
 
A alternativa "B " está correta.
Inicialmente, serão determinados os momentos de inércia da seção
retangular em relação aos eixos y e z, ou seja:
$$ I_{z}=\frac{(50) \cdot(100)^{3}}{12}=4,16667.10^{6} m m^{4} $$
$$ I_{y}=\frac{(100) \cdot(50)^{3}}{12}=1,041667.10^{6} m m^{4} $$
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A partir da equação 6, tem-se:
$$ \operatorname{tg} \alpha=\frac{4,16667 \cdot 10^{6}}{1,041667.10^{6}}
\cdot \operatorname{tg} 30^{\circ} \rightarrow \alpha=66,59^{\circ} $$
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2. Seja uma seção reta quadrangular em que o momento fletor forma
um ângulo de $$40^{\circ}$$ com o eixo principal z. A intensidade do
momento fletor é igual a 1.200N.m. A inclinação da linha neutra ou eixo
neutro, em relação ao eixo z, vale:
A alternativa "C " está correta.
A seção reta é um quadrado. Assim, os momentos de inércia em relação
aos eixos principais y e z são iguais, ou seja, $$I_{y}=I_{z}$$. A partir da
equação 6, tem-se:
$$ \operatorname{tg} \alpha=\frac{I_{z}}{I_{y}} \cdot \operatorname{tg}
40^{\circ} \rightarrow \alpha=40^{\circ} $$
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3. Considere uma viga cuja seção reta é um retângulo de base 100mm
e altura 200mm. Um momento de intensidade 200N.m é aplicado tal
que o seu vetor forme um ângulo de 300 com o eixo principal z
(observe a imagem). Determine a tensão normal por flexão no ponto A. 
 
A alternativa "E " está correta.
Inicialmente, serão determinadas as projeções de M em y e em z:
$$ M_z=M.\cos\;\rightarrow
M_z=200.\cos\;300\;\rightarrow\;M_z\;=\;173,2\mathrm N.\mathrm m $$
$$ M_y=M.\mathrm{sen}\;\;\rightarrow
M_y=200.\mathrm{sen}\;300\rightarrow M_y=100,0\mathrm N.\mathrm m $$
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Coordenadas do ponto A, em relação aos eixos adotados:
$$ y_{A}=100 m m=0,1 m e z_{A}=-50 m m=-0,05 m $$
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Momentos de inércia:
$$ I_{z}=\frac{(0,1) \cdot(0,2)^{3}}{12}=6,6667 \cdot m^{4} $$
$$ I_{y}=\frac{(0,2) \cdot(0,1)^{3}}{12}=1,6667 \cdot 10^{-5} m^{4} $$
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Determinação da tensão por flexão no ponto A, a partir da equação 5:
$$ \sigma_{x}=-\frac{173,2 \cdot(0,1)}{6,6667 \cdot 10^{-5}}+\frac{100
\cdot(-0,05)}{1,6667.10^{-5}} $$
$$ \sigma_{x}=-0,56 M P a $$
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4. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil – adaptada) A
imagem a seguir representa a seção transversal de um pilar retangular
de área $$(30 \times 50) \mathrm{cm}^{2}$$ submetido à flexão
oblíqua, em que os momentos $$M_{x}=50 \mathrm{kN} .
\mathrm{m}$$ e $$M_{y}=20 \mathrm{kN} . \mathrm{m}$$ nos sentidos
representados na imagem. Pode-se afirmar que a tensão normal
atuante no ponto A vale: 
 
A alternativa "C " está correta.
É possível inferir, a partir da imagem, que os dois momentos fletores
aplicados provocam tensão normal trativa no ponto A. Momentos de inércia
da seção reta em relação aos eixos principais:
$$ I_{x}=\frac{(0,3) \cdot(0,5)^{3}}{12}=3,125.10^{-3} m^{4} $$
$$ I_{y}=\frac{(0,5) \cdot(0,3)^{3}}{12}=1,125.10^{-3} m^{4} $$
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Efeitos separados de cada momento fletor:
$$ \sigma_{A 1}=\frac{50.000 \cdot(0,25)}{3,125.10^{-3}}=4,00 M P a $$
$$ \sigma_{A 2}=\frac{20.000 \cdot(0,15)}{1,125.10^{-3}}=2,67M P a $$
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Fazendo a superposição dos efeitos, a tensão normal trativa em A é $$6,67
M P a$$.
5. Uma viga de seção circular com 40mm de raio está sob ação de dois
momentos fletores em torno dos eixos principais y e z, conforme a
imagem a seguir. Determine a tensão normal em A. 
 
A alternativa "C " está correta.
Considerando os eixos y e z apresentados, os momentos são positivos.
Assim:
$$ M_{y}=10.000 N . m $$
$$ M_{z}=10.000 N . m $$
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Momento de inércia em relação aos eixos y e z:
$$ I_{y}=I_{z}=\frac{\pi \cdot R^{4}}{4} $$
$$ I_{y}=I_{z}=\frac{\pi \cdot(0,04)^{4}}{4}=2.0096 .10^{-6} m^{4} $$
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horizontal
Localização do ponto A:
$$ y=-40 mm=-0,04 m $$
$$ z=0 $$
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Determinação da tensão por flexão no ponto A, a partir da equação 5:
$$ \sigma_{x}=-\frac{M_{z} \cdot y}{I_{z}}+\frac{M_{y} \cdot z}{I_{y}} $$
$$ \sigma_{x}=-\frac{10.000 \cdot(-0,04)}{2.0096 \cdot 10^{-6}}+\frac{10.000
\cdot(0)}{2.0096 .10^{-6}}=199 M P a $$
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6. (Questão 6.103, HIBBELER, R. C, 2010, p. 222). Determine o valor
máximo do momento fletor M de modo que a tensão de flexão no
elemento não ultrapasse $$100 M P a$$. 
 
A alternativa "A " está correta.
DETERMINAÇÃO DO MOMENTO
FLETOR OBLÍQUO MÁXIMO A SER
APLICADO NUMA DADA SEÇÃO DE
UMA VIGA
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Durante a fase de projeto, um engenheiro está modelando o efeito da flexão
oblíqua sobre parte da estrutura, cuja seção reta é um retângulo ABCD de
base DC = b e altura AD = h. Um momento de intensidade M forma um
ângulo
θ
com o eixo z, conforme a imagem.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
O engenheiro deseja uma expressão que determine a tensão máxima
compressiva em função dos seguintes parâmetros: M, b, h e
θ
.
RESOLUÇÃO
DETERMINAR A TENSÃO NORMAL
MÁXIMA NUMA SEÇÃO RETANGULAR
SOB AÇÃO DE UM MOMENTO FLETOR
OBLÍQUO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (IESES - 2015 - TRE-MA - TÉCNICO JUDICIÁRIO -
EDIFICAÇÕES – ADAPTADA) NAS ESTRUTURAS USUAIS
DE EDIFICAÇÕES COMPOSTAS POR VIGAS, LAJES E
PILARES, O CAMINHO DAS CARGAS COMEÇA PELAS
LAJES, QUE TRANSFEREM O CARREGAMENTO PARA AS
VIGAS E EM SEGUIDA PARA OS PILARES QUE AS
TRANSFEREM PARA AS FUNDAÇÕES. EXISTE UMA
DIFERENÇA NA EXCENTRICIDADE DO CARREGAMENTO
QUE DEPENDE DO FATO DE O PILAR SER DE CANTO
(SUBMETIDO AO CARREGAMENTO DE DUAS VIGAS), DE
BORDA (SUBMETIDO AO CARREGAMENTO DE TRÊS
VIGAS) OU INTERNO (SUBMETIDO AO CARREGAMENTO
DE QUATRO VIGAS). ASSINALE O TIPO DE SOLICITAÇÃO
A QUE ESTÃO SUBMETIDOS OS PILARES DE CANTO.
A) Flexão oblíqua
B) Compressão simples
C) Flexão composta
D) Flexão confinada
E) Flexão pura
2. UMA ESTRUTURA TEM UMA VIGA DE SEÇÃO RETA
QUADRADA COM $$200 M M $$ DE ARESTA SOB FLEXÃO
OBLÍQUA. O MOMENTO APLICADO TEM INTENSIDADE
IGUAL A $$20 \MATHRM{KN} . \MATHRM{M}$$ E FORMA
UM ÂNGULO $$\THETA$$ COM O EIXO PRINCIPAL Z. A
LINHA NEUTRA TEM UMA ORIENTAÇÃO DADA PELO
ÂNGULO $$\ALPHA$$ COM O MESMO EIXO Z. DETERMINE
A RAZÃO ENTRE AS TANGENTES DESSES ÂNGULOS, OU
SEJA, $$\FRAC{\OPERATORNAME{TG} \THETA}
{\OPERATORNAME{TG} \ALPHA}$$.
A) 0,5
B) 0,8
C) 1,0
D) 1,2
E) 1,5
GABARITO
1. (IESES - 2015 - TRE-MA - Técnico Judiciário - Edificações –
adaptada) Nas estruturas usuais de edificações compostas por vigas,
lajes e pilares, o caminho das cargas começa pelas lajes, que
transferem o carregamento para as vigas e em seguida para os pilares
que as transferem para as fundações. Existe uma diferença na
excentricidade do carregamento que depende do fato de o pilar ser de
canto (submetido ao carregamento de duas vigas), de borda
(submetido ao carregamento de três vigas) ou interno (submetido ao
carregamento de quatro vigas). Assinale o tipo de solicitação a que
estão submetidos os pilares de canto.
A alternativa "A " está correta.
 
Os pilares dos cantos sustentam duas vigas que são perpendiculares. O
efeito de cada uma é a flexão. Como são duas “flexões” perpendiculares,
equivale às projeções ortogonais de um vetor momento oblíquo. Por isso, a
flexão é obliqua.
2. Uma estrutura tem uma viga de seção reta quadrada com $$200 m m
$$ de aresta sob flexão oblíqua. O momento aplicado tem intensidade
igual a $$20 \mathrm{kN} . \mathrm{m}$$ e forma um ângulo $$\theta$$
com o eixo principal z. A linha neutra tem uma orientação dada pelo
ângulo $$\alpha$$ com o mesmo eixo z. Determine a razão entre as
tangentes desses ângulos, ou seja, $$\frac{\operatorname{tg} \theta}
{\operatorname{tg} \alpha}$$.
A alternativa "C " está correta.
 
A orientação da linha neutra ou eixo neutro é dada pela expressão:
$$ \operatorname{tg} \alpha=\frac{I_{z}}{I_{y}} \cdot \operatorname{tg} \theta
$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Os momentos de inércia, em relação aos eixos y e z:
$$ I_{y}=I_{z}=\frac{L^{4}}{12}=\frac{(0,20)^{4}}{12}=1,333.10^{-4} m^{4} $$
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horizontal
Assim:
$$ \operatorname{tg} \alpha=\frac{1,333 \cdot 10^{-4}}{1,333 \cdot 10^{-4}}
\cdot \operatorname{tg} \theta $$
$$ \operatorname{tg} \alpha=\operatorname{tg} \theta $$
$$ \frac{\operatorname{tg} \theta}{\operatorname{tg} \alpha}=1,0 $$
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MÓDULO 2
 Calcular a flexão composta
TENSÃO NORMAL MÉDIA DEVIDO
À CARGA APLICADA NO
CENTROIDE
FLEXÃO COMPOSTA
A apresentação da flexão, até agora, foi de que um momento fletor atuava
em torno de um dos eixos principais (flexão pura) ou tal que suas projeções
atuavam em torno desses eixos (flexão oblíqua). A partir deste instante,
será apresentada a situação em que existe uma carga excêntrica atuando, o
que implicará um sistema equivalente de uma carga axial mais o momento
fletor (flexão pura ou oblíqua).
Neste tópico, revisaremos a atuação de uma carga no centroide de uma
seção. A figura a seguir apresenta a atuação dessa força (intensidade F)
num corpo de seção reta constante de área A, em equilíbrio, no regime
elástico.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 12 - Força normal de tração num corpo em equilíbrio.
A força atuante na imagem faz o corpo ter seu comprimento alongado (no
regime elástico): é a força trativa. De maneira oposta, a força pode atuar no
corpo, diminuindo seu comprimento: é a força compressiva. A tensão
normal média atuante na seção reta é calculada a partir da equação 7.
σmédia =
F
A
Equação 7
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 DICA
Convenciona-se que tensões positivas são as trativas, e as tensões
negativas são as compressivas.
Um corte é feito no corpo representado na imagem anterior, e o equilíbrio é
imposto (imagem 13). Assim, o esforço interno normal N terá a intensidade
F. A distribuição da tensão média na seção em que foi efetuado o
seccionamento também é representada.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 13 - DCL do corpo e distribuição de tensões.
EXEMPLO
Considere uma barra de material homogêneo, comprimento
2 , 0m
e seção reta retangular de dimensões
20mm × 30mm
engastada em uma estrutura. Supondo a barra disposta horizontalmente,
uma força normal trativa de intensidade
1 , 2kN
passa a atuar no centroide da seção reta da extremidade livre.
Considerando o regime elástico, determine a tensão média atuante na
seção reta distante
1 , 0m
da extremidade livre.
Croqui da situação descrita.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Área da seção reta:
A = b ⋅h = 20 ⋅30 = 600mm2
.
Intensidade da força:
1 , 2kN = 1.200 N
A partir da equação 7, determina-se a tensão normal média trativa:
σmédia =
F
A
σmédia =1200
600
= 2MPa
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horizontal
CARGA EXCÊNTRICA NUM EIXO
DE SIMETRIA
Neste ponto, analisaremos uma carga excêntrica (fora do centroide)
atuando num corpo (em um eixo de simetria da seção). Para a utilização da
equação 7, é necessário que a força normal atuante na seção reta tenha
linha de ação passando pelo centroide. Dessa forma, um corte na seção de
interesse é feito e, a partir das equações do equilíbrio, os esforços atuantes
serão: uma força normal (N) e um momento fletor (M).
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 14 - Esforços internos em um corpo com força não atuante no
centroide.
A partir da análise dessa imagem, as tensões atuantes na seção do corte
serão provocadas pelo esforço normal (atuante no centroide) mais a flexão
pura. Assim, utilizando-se o teorema da superposição, tem-se a equação 8.
σx =
F
A
−
y ⋅M
I
Equação 8
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Veja a distribuição da tensão resultante dos dois efeitos.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 400.
 Imagem 15 - Distribuição da tensão normal resultante.
CARGA EXCÊNTRICA GERAL –
FLEXÃO COMPOSTA
Anteriormente, foi feita uma análise considerando a carga excêntrica numa
condição particular (pertencente a um eixo de simetria da seção).
Generalizando, será considerada a carga excêntrica em qualquer posição
da seção. A argumentação aqui é análoga à do tópico anterior, exceto pelo
fato de dois conjugados atuarem juntos ao esforço normal (no centroide).
Esses dois conjugados são denominados
Mz
e
My
, ou seja, momentos fletores em torno dos eixos principais y e z da seção
reta.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 426
 Imagem 16 - Distribuição da tensão normal resultante.
Nessa imagem, o corpo está no regime elástico sob ação das forças
P
e
P′
, de mesma intensidade. Note que as forças atuam num ponto genérico da
seção. É possível fazer a substituição de
P
por uma força de mesma intensidade atuante no centroide, e dois
conjugados em torno dos eixos y e z (diz-se que a força P é estaticamente
equivalente ao conjunto). A intensidades dos momentos
My
e
Mz
são determinadas por P.a e P.b.
É possível analisar cada um dos efeitos: as tensões resultantes do esforço
normal e dos momentos fletores. Do teorema da superposição, é possível
escrever a equação da flexão composta, equação 9.
σx =
F
A
−
y ⋅Mz
Iz
+
z ⋅My
Iy
Equação 9
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Analisando a equação 9, dependendo das intensidades/sentidos dos
momentos e da força normal, é possível que a tensões normais resultantes
assumam valores apenas positivos, apenas negativos ou uma combinação
desses. Na última situação, existem pontos de transição entre os sinais, ou
seja, pontos em que a tensão normal é nula. Essa linha é denominada
neutra (ou eixo neutro). Para determinar a equação da linha neutra basta,
na equação 9, tomar
σx = 0
.
 DICA
Linha neutra da flexão composta – Como a equação da linha neutra ou eixo
neutro
0 =
F
A
−
y ⋅Mz
Iz
+
z ⋅My
Iy
é um polinômio do primeiro grau e existe o termo independente
( )
F
A
, sua representação será uma reta que não passa pela origem.
EXEMPLO
O bloco retangular de peso desprezível mostrado na imagem está sujeito a
uma força vertical de
40kN
aplicada em um dos vértices. Determine a distribuição da tensão normal que
age numa seção que passa por ABCD.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 308-309
Fazendo a substituição da força de
40kN
( )
pelo efeito equivalente, tem-se uma força de mesma intensidade e os
momentos
Mx
e
Mx
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 308-309
Determinação dos módulos dos momentos fletores
Mx
e
My
:
My = − 40 ⋅ ( 0 , 4 ) = − 16kN . m = − 16.000N . m → My = 16.000N . m
Mx = − 40 ⋅ ( 0 , 2 ) = − 8kN . m = − 8.000N . m → Mx = 8.000N . m
| |
| |
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Momentos de inércia da seção em relação aos eixos principais:
Ix =
( 0 , 8 ) ⋅ ( 0 , 4 ) 3
12
= 4 , 267.10− 3m4
Iy =
( 0 , 4 ) ⋅ ( 0 , 8 ) 3
12
= 17 , 067.10− 3m4
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Área da seção:
A = ( 0 , 8 ) ⋅ ( 0 , 4 ) = 0 , 32m2
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Tensão normal, em módulo, devido à força P:
σmédia =
F
A
σm é dia =
40.000
0 , 32
= 0 , 125MPa = 125kPa
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Flexões puras de cada momento: tensões, em módulo, máximas:
Tensão devido ao momento
My
:
σzm á x =
x ⋅My
Iy
=
( 0 , 4 ) ⋅ ( 16.000 )
17 , 067.10− 3
= 0 , 375MPa = 375kPa
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horizontal
Tensão devido ao momento
Mx
:
σzm á x =
y ⋅Mx
Ix
=
( 0 , 2 ) ⋅ ( 8.000 )
4 , 267.10− 3
= 0 , 375MPa = 375kPa
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Análise dos sinais das tensões:
Tensão normal devido à força P é compressiva (sinal negativo)
Tensão normal devido ao momento
Mx
: na aresta AD ocorrem as tensões máximas trativas; na aresta BC, as
máximas compressivas
Tensão normal devido ao momento
My
: na aresta AB ocorrem as tensões máximas trativas; na aresta BD, as
máximas compressivas
Fazendo a superposição dos efeitos para cada aresta do vértice, tem-se:
σ−A = − 125 + 375 + 375 = 625kPa
σ−B = − 125 − 375 + 375 = − 125kPa
σ−C = − 125 − 375 − 375 = − 875kPa
σ−D = − 125 + 375 − 375 = − 125kPa
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Veja a imagem com a distribuição das tensões devido a cada efeito, e a
superposição (tensão resultante final).
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 308-309
Na imagem anterior (carga combinada), é possível perceber a linha que
divide a seção reta em regiões com tensões trativas e com tensões
compressivas. É a linha neutra ou eixo neutro.
MÃO NA MASSA
1. (CS-UFG - 2014 - UEAP - TÉCNICO EM
INFRAESTRUTURA - ENGENHARIA CIVIL – ADAPTADA).
UM PILAR COM SEÇÃO TRANSVERSAL 0,20M X 0,50M
ESTÁ SUBMETIDO A UMA SOLICITAÇÃO NORMAL CUJA
RESULTANTE DE 100,0KN LOCALIZA-SE NO EIXO DE
MENOR INÉRCIA, A 0,20M DO CENTROIDE DA SEÇÃO.
QUAL É O VALOR DA TENSÃO NORMAL, EM MPA, NESSE
CENTROIDE?
A) 1,0
B) 2,0
C) 2,4
D) 3,4
E) 4,0
2. EM DADA SEÇÃO RETA DE UMA VIGA, ATUA UMA
CARGA NORMAL EXCÊNTRICA DE 10KN (NÃO
LOCALIZADA EM NENHUM EIXO PRINCIPAL). A SEÇÃO É
RETANGULAR DE DIMENSÕES 100MM DE BASE E 200MM
DE ALTURA. SUPONDO QUE NESSA SEÇÃO EXISTAM
TENSÕES POR FLEXÃO COMPRESSIVAS E TRATIVAS, A
LINHA NEUTRA DA SEÇÃO É UMA FUNÇÃO:
A) Polinomial do 4º grau.
B) Polinomial do 3º grau.
C) Polinomial do 2º grau.
D) Polinomial do 1º grau.
E) Não existe linha neutra.
3. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - ENGENHEIRO CIVIL). A
FIGURA REPRESENTA A SEÇÃO TRANSVERSAL DE UM
PILAR DE $$(30 \TIMES 50) \MATHRM{CM}^{2}$$,
SUBMETIDO À FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA, SENDO
UMA FORÇA DE COMPRESSÃO DE VALOR $$N=200 K
N$$, E OS MOMENTOS $$M_{X}=50 K N \CDOT M$$ E
$$M_{Y}=20 \MATHRM{KN} \CDOT M$$, NOS SENTIDOS
REPRESENTADOS NA FIGURA. PODE-SE AFIRMAR QUE A
TENSÃO NORMAL CARACTERÍSTICA ATUANTE NO
PONTO A VALE: 
 
A) $$ -8,00 M P a $$
B) $$ -2,67 M P a $$
C) $$ 0,00 M P a $$
D) $$ +5,33 M P a $$
E) $$ +6,93 M P a $$
4. EM UMA ESTRUTURA, UMA VIGA RETANGULAR DE
DIMENSÕES 100MM DE BASE E 200MM DE ALTURA
APRESENTA UMA CARGA EXCÊNTRICA COMPRESSIVA
DE 200KN APLICADA NO VÉRTICE A PARALELA AO EIXO
X. DETERMINE NESTE PONTO, A TENSÃO NORMAL. 
 
A) $$ -80 M P a $$
B) $$ -70 M P a $$
C) $$ -30 M P a $$
D) $$ -10 M P a $$
E) $$ 0 $$
5. (CESPE - 2018 - TCM-BA - AUDITOR ESTADUAL DE
INFRAESTRUTURA). AS PEÇAS SUBMETIDAS À FLEXÃO
COMPOSTA SOFREM AÇÃO DE FLEXÃOACOMPANHADA
DE:
A) Torção
B) Força normal
C) Esforço cortante
D) Momento fletor
E) Deformações excessivas
6. CONSIDERE UMA SEÇÃO RETA ABCD NA FORMA
RETANGULAR (80MM DE BASE E 120MM DE ALTURA) EM
QUE ATUA UMA CARGA CONCÊNTRICA P. A FLEXÃO
COMPOSTA APRESENTA LINHA NEUTRA DADA PELA
EQUAÇÃO Y – 3, 6Z – 0,048 = 0 (Y E Z EM METROS),
CONFORME A FIGURA. DETERMINE O VALOR DO
SEGMENTO DI, EM MILÍMETROS. 
 
A) 35mm
B) 30mm
C) 25mm
D) 20mm
E) 10mm
GABARITO
1. (CS-UFG - 2014 - UEAP - Técnico em Infraestrutura - Engenharia Civil
– adaptada). Um pilar com seção transversal 0,20m x 0,50m está
submetido a uma solicitação normal cuja resultante de 100,0kN
localiza-se no eixo de menor inércia, a 0,20m do centroide da seção.
Qual é o valor da tensão normal, em MPa, nesse centroide?
A alternativa "A " está correta.
Inicialmente, deve-se substituir a força normal por um sistema equivalente
no centroide. Assim, no centroide, uma força normal de intensidade 100kN,
e um momento fletor ao longo de um dos eixos principais. Analisando cada
efeito isoladamente: o momento é uma flexão pura. Logo a linha neutra
coincide com o eixo principal, ou ainda no centroide esse momento não
exerce tensão por flexão. Assim, o efeito resultante é apenas a tensão
provocada pelo esforço normal.
$$ \sigma_{\text {média }}=\frac{F}{A} $$
$$ \sigma_{m \text { édia }}=\frac{100.000}{(0,2) x(0,5)}=1,0 M P a $$
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horizontal
2. Em dada seção reta de uma viga, atua uma carga normal excêntrica
de 10kN (não localizada em nenhum eixo principal). A seção é
retangular de dimensões 100mm de base e 200mm de altura. Supondo
que nessa seção existam tensões por flexão compressivas e trativas, a
linha neutra da seção é uma função:
A alternativa "D " está correta.
Como na seção existem tensões de sinais distintos, há uma linha de
transição em que as tensões são nulas, ou seja, a linha neutra. A partir da
equação 9, tem-se:
$$ \sigma_{x}=\frac{F}{A}-\frac{y \cdot M_{z}}{I_{z}}+\frac{z \cdot M_{y}}
{I_{y}} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
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$$F$$, $$A$$, $$M_{y}$$ , $$M_{z}$$ , $$I_{y}$$ e $$I_{z}$$ são valores
constantes. Substituindo os valores hipotéticos e utilizando o fato de a
tensão ser nula na linha neutra, tem-se:
$$ \sigma_{x}=\frac{F}{A}-\frac{y \cdot M_{z}}{I_{z}}+\frac{z \cdot M_{y}}
{I_{y}} $$
$$ 0=K-y \cdot K^{\prime}+z . K^{\prime \prime} $$
$$ y K^{\prime}-K=Z . K^{\prime \prime} $$
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Assim, a equação é uma função polinomial do primeiro grau.
3. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil). A figura representa
a seção transversal de um pilar de $$(30 \times 50) \mathrm{cm}^{2}$$,
submetido à flexão composta oblíqua, sendo uma força de
compressão de valor $$N=200 k N$$, e os momentos $$M_{x}=50 k N
\cdot m$$ e $$M_{y}=20 \mathrm{kN} \cdot m$$, nos sentidos
representados na figura. Pode-se afirmar que a tensão normal
característica atuante no ponto A vale: 
 
A alternativa "D " está correta.
$$ \text { Área }=(0,3) \times(0,5)=0,15 m^{2} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Momentos de inércia:
$$ I_{x}=\frac{(0,3) \cdot(0,5)^{3}}{12}=3,125.10^{-3} m^{4} $$
$$ I_{y}= rac{(0,5) cdot(0,3)^{3}}{12}=1,125.10^{-3} m^{4} $$
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Calculando a tensão normal devido a cada efeito:
Força normal:
$$ \sigma_{\text {média }}=\frac{F}{A} $$
$$ \sigma_{m é d i a}=\frac{-200.000}{0,15}=1,333 M P a $$
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Tensão devido ao momento $$M_{y}$$:
$$ \sigma_{A}=\frac{x . M_{y}}{I_{y}}=\frac{(0,15) \cdot(20.000)}
{1,125.10^{-3}}=2,667 M P a $$
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Por inspeção, é trativa: $$+2,667 M P a$$
Tensão devido ao momento $$M_{x}$$:
$$ \sigma_{A}=\frac{y \cdot M_{x}}{I_{x}}=\frac{(0,25) \cdot(50.000)}
{3,125.10^{-3}}=4,000 M P a $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Por inspeção, é trativa: $$+4,000 M P a$$
Assim, a tensão resultante em A é:
$$ -1,333+2,667+4,000=+5,33 M P a $$
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horizontal
4. Em uma estrutura, uma viga retangular de dimensões 100mm de
base e 200mm de altura apresenta uma carga excêntrica compressiva
de 200kN aplicada no vértice A paralela ao eixo x. Determine neste
ponto, a tensão normal. 
 
A alternativa "B " está correta.
DETERMINAÇÃO DA TENSÃO
NORMAL NUMA VIGA COM
CARREGAMENTO EXCÊNTRICO
5. (CESPE - 2018 - TCM-BA - Auditor Estadual de Infraestrutura). As
peças submetidas à flexão composta sofrem ação de flexão
acompanhada de:
A alternativa "B " está correta.
A flexão composta é a superposição dos efeitos de uma carga normal
(compressiva ou trativa) e dois momentos fletores em torno dos eixos
principais de inércia.
6. Considere uma seção reta ABCD na forma retangular (80mm de base
e 120mm de altura) em que atua uma carga concêntrica P. A flexão
composta apresenta linha neutra dada pela equação y – 3, 6z – 0,048 =
0 (y e z em metros), conforme a figura. Determine o valor do segmento
DI, em milímetros. 
 
A alternativa "E " está correta.
A interseção da linha neutra com a aresta AD ocorre para y = - 60mm = -
0,06m. Substituindo na equação da linha neutra, tem-se:
$$ y-3,6 z-0,048=0 $$
$$ (-0,06)-3,6 z-0,048=0 $$
$$ z=-0,03 m=-30 m m $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Assim:
$$ D I=40-30 m m=10 m m $$
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horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma carga horizontal P é aplicada no ponto indicado na figura a um perfil
S250 x 37,8, de aço laminado. Sabe-se que a tensão de compressão não
deve ultrapassar 80MPa. Determine a maior força P que pode ser aplicada.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 430-431
Dados geométricos do perfil (tabelado):
A = 4 , 8.10− 3m2
Wx = 406.10− 6m3
Wy = 48.10− 6m3
Abas:
118mm
Altura do perfil:
254mm
RESOLUÇÃO
DETERMINAÇÃO DO VALOR MÁXIMO
DE UMA CARGA EXCÊNTRICA
APLICADA A UMA VIGA DE PERFIL I
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - PERITO
CRIMINAL - ENGENHARIA CIVIL – ADAPTADA).
CONSIDERANDO: I - FLEXÃO PURA, II - FLEXÃO
OBLÍQUA, E III - FLEXÃO COMPOSTA PARA UM
ELEMENTO ESTRUTURAL DE SEÇÃO TRANSVERSAL
RETANGULAR, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) I - o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre
rotação; II - o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da
seção transversal; III - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção
transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de inércia.
B) I - o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da
seção transversal; II - o eixo neutro passa pelo centroide da seção
transversal, porém sofre rotação; III - o eixo neutro afasta-se do centroide
da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de
inércia.
C) I - o eixo neutro não coincide com os eixos principais de inércia da seção
transversal; II - o eixo neutro não passa pelo centroide da seção transversal,
porém sofre rotação; III - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção
transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de inércia.
D) I - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre
rotação em relação aos eixos principais de inércia; II - o eixo neutro passa
pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; III - o eixo neutro
coincide com um dos eixos principais de inércia da seção transversal.
E) I - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre
rotação em relação aos eixos principais de inércia; II - o eixo neutro passa
pelo centroideda seção transversal e coincide com um dos eixos principais
de inércia; III - o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia
da seção transversal de forma similar à flexão oblíqua.
2. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - ENGENHEIRO CIVIL -
ADAPTADA). A FIGURA REPRESENTA A SEÇÃO
TRANSVERSAL DE UM PILAR DE ÁREA RETANGULAR
$$(30 \TIMES 50) \MATHRM{CM}^{2}$$ SUBMETIDO À
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA, SENDO UMA FORÇA DE
COMPRESSÃO DE VALOR $$N=200 \MATHRM{KN}$$, E OS
MOMENTOS $$M_{X}=$$ $$50 \MATHRM{KN} .
\MATHRM{M}$$ E $$M_{Y}=20 \MATHRM{KN} . M$$, NOS
SENTIDOS REPRESENTADOS NA FIGURA. PODE-SE
AFIRMAR QUE A TENSÃO NORMAL CARACTERÍSTICA
ATUANTE NO PONTO B VALE: 
 
A) $$ -8,00 M P a $$
B) $$ -2,67 M P a $$
C) $$ 0,00 M P a $$
D) $$ +5,33 M P a $$
E) $$ +6,93 M P a $$
GABARITO
1. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - Perito Criminal -
Engenharia Civil – adaptada). Considerando: I - Flexão pura, II - Flexão
oblíqua, e III - Flexão composta para um elemento estrutural de seção
transversal retangular, podemos afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
 
Na flexão pura, a linha neutra coincide com um dos eixos principais. Na
flexão oblíqua, a linha neutra passa pela interseção dos eixos principais,
não coincidindo com os eixos principais. Na flexão composta, a linha neutra
sofre uma translação em relação à linha neutra da flexão oblíqua.
2. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil - adaptada). A figura
representa a seção transversal de um pilar de área retangular $$(30
\times 50) \mathrm{cm}^{2}$$ submetido à flexão composta oblíqua,
sendo uma força de compressão de valor $$N=200 \mathrm{kN}$$, e
os momentos $$M_{x}=$$ $$50 \mathrm{kN} . \mathrm{m}$$ e
$$M_{y}=20 \mathrm{kN} . m$$, nos sentidos representados na figura.
Pode-se afirmar que a tensão normal característica atuante no ponto B
vale: 
 
A alternativa "A " está correta.
 
$$ \text { Área da seção reta }=b \times h=(0,3) \times(0,5)=0,15 m^{2} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Cálculo dos momentos de inércia principais:
$$ I_{x}=\frac{(0,3) \cdot(0,5)^{3}}{12}=3,125 \cdot 10^{-3} m^{4} $$
$$ I_{y}=\frac{(0,5) \cdot(0,3)^{3}}{12}=1,125 \cdot 10^{-3} m^{4} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Em B, os momentos fletores atuam no sentido de comprimir o ponto, assim
como a força norma. Determinado o módulo da tensão normal no ponto B,
devido a cada efeito, tem-se:
Força normal:
$$ \sigma_{m é d i a}=\frac{F}{A} $$
$$ \sigma_{\text {média }}=\frac{-200.000}{0,15}=1,333 M P a $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Tensão devido ao momento $$M_{y}$$:
$$ \sigma_{B}=\frac{x \cdot M_{y}}{I_{y}}=\frac{(0,15) \cdot(20.000)}
{1,125.10^{-3}}=2,667 M P a $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Por inspeção, é compressiva: $$-2,667 M P a$$
Tensão devido ao momento $$M_{x}$$:
$$ \sigma_{B}=\frac{y \cdot M_{x}}{I_{x}}=\frac{(0,25) \cdot(50.000)}
{3,125.10^{-3}}=4,000 M P a $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Por inspeção, é compressiva: $$-4,000 M P a$$
Assim, a tensão resultante em A é:
$$ -1,333-2,667-4,000=-8,00 M P a $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
MÓDULO 3
 Reconhecer o centro de cisalhamento
CENTRO DE CISALHAMENTO –
ANÁLISE QUALITATIVA
O CENTRO DE CISALHAMENTO
Neste módulo, estudaremos um ponto denominado centro de cisalhamento.
A resultante dos esforços cortantes tem linha de ação passando por esse
ponto. Ademais, o momento de todas as tensões cisalhantes (forças
associadas), em relação ao centro de cisalhamento, é zero. Portanto, não
ocorrerá torção da viga, apenas flexão.
Inicialmente, deve ser lembrado que o estudo do cisalhamento e da flexão
tomou como premissa um eixo vertical y de simetria. Assim, ocorria a flexão
e o cisalhamento conforme a imagem a seguir.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 558
 Imagem 17 - Estrutura com eixo de simetria vertical.
A imagem mostra a situação já apresentada para o cisalhamento e para a
flexão. Assim, as equações correspondentes podem ser utilizadas, visto que
tomam como premissa o eixo y simétrico. A seguir, as expressões para o
cálculo da tensão normal por flexão
( σ )
e da tensão cisalhante
( τ ) :
σx =
− y ⋅M
I
 e τ =
V ⋅Q
I ⋅ t
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horizontal
Devido à simetria (imagem 17), as tensões de cisalhamento provocarão
momento nulo em relação ao ponto C. Como o esforço cortante tem linha de
ação passando pelo ponto C, seu momento também é nulo. Assim, não
ocorre torção na viga apresentada.
Neste módulo, a premissa de que o eixo y vertical é simétrico deixará de ser
assumida. Em consequência, a expressão anterior para a determinação da
tensão cisalhante não poderá mais ser utilizada. Será admitido para o
estudo do centro de cisalhamento que as paredes das barras sejam
delgadas.
A próxima imagem mostra uma barra em que o eixo vertical não é de
simetria, e uma força vertical P atua, passando pelo centroide da seção
reta.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 289
 Imagem 18 - Seção sem simetria vertical sob ação de uma força vertical.
Dos conceitos da mecânica dos corpos rígidos, é possível transladar uma
força F e ter um sistema estaticamente equivalente com uma força de
mesmo módulo e um conjugado. A partir dessa argumentação, o que se
pretende é substituir a força P atuante na peça (imagem 18) por um sistema
equivalente, de tal forma que o elemento prismático não sofra rotação,
apenas flexão e cisalhamento. O ponto para o qual a força P será deslocada
denomina-se centro de cisalhamento.
CENTRO DE CISALHAMENTO –
SEÇÕES ABERTAS DE PAREDES
DELGADAS
Para a determinação da posição do centro de cisalhamento O, deve-se
lembrar que a força vertical P aplicada nesse ponto garante que não ocorra
a torção da viga. Na imagem 18, a força vertical atua no centroide da seção
reta. Após o deslocamento de P, ou seja, quando estiver atuando no centro
de cisalhamento, a viga não sofrerá rotação. Observe a próxima imagem.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 289
 Imagem 19 - Seção sem simetria vertical sob ação de uma força vertical.
Para determinar o deslocamento horizontal da força P, é necessário o
entendimento de algumas passagens matemáticas/físicas. Inicialmente,
uma seção reta da viga será desenhada, e as resultantes das forças nas
abas superior/inferior e na alma são destacadas.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 20 - Seção reta, a viga em estudo e as resultantes.
A substituição da força P por um sistema estaticamente equivalente, tal que
não ocorra torção em torno do centro de cisalhamento, deve garantir que o
momento na situação da figura a seguir seja nulo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior.
 Imagem 21 - Força P atuando no centro de cisalhamento.
O conjugado proveniente das forças nas abas
( F ⋅h )
pode ser eliminado com o momento de
P ( P ⋅e )
em sua translação da força
P
para o centro de cisalhamento O. Assim, é verdade que:
P ⋅e = F ⋅h
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Portanto, o deslocamento horizontal
e
pode ser calculado pela equação 10:
e =
F ⋅h
P
Equação 10
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horizontal
É possível relacionar as forças que atuam na aba (F) e a força que atua na
alma (P) com parâmetros geométricos da viga. Assim, a equação 10 será
função exclusiva dos parâmetros geométricos da viga. Ou seja, a distância
e depende apenas das dimensões da seção reta em estudo.
Considere a seção reta mostrada na imagem 21, onde as abas têm
comprimento
b
e a espessura da viga é constante
t
e pequena. O afastamento
e
do centro de cisalhamento em relação à parede média da alma é dado pela
equação 11:
e =
3 ⋅b2h + 6 ⋅b
Equação 11
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horizontal
EXEMPLO 1
Considere uma viga engastada com uma extremidade livre, conforme a
imagem seguinte, em que a força vertical
P = 2kN
atua de tal forma que não ocorra torção da viga.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 560
Uma seção é individualizada para estudo, conforme croqui a seguir.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
As dimensões são
b = 60mm , h = 180mm
e
t = 2mm
. Determine a distância
e
, relacionando essa distância com a não torção da viga na situação descrita.
Uma vez que não ocorre a torção, apenas flexão, o ponto de aplicação da
força P de
2kN
é o centro de cisalhamento. Sua determinação é dada pela equação 11,
independentemente da espessura t e da carga aplicada.
e =
3 ⋅b2
h + 6 ⋅b
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Substituindo os valores, tem-se:
e =
3 ⋅ ( 60 ) 2
180 + 6 . ( 60 )
=
10800
540
→ e = 20mm
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EXEMPLO 2
Suponha a viga representada na imagem a seguir, em que a carga V é
aplicada no centro de cisalhamento. As dimensões são apresentadas na
figura, sendo a espessura uniforme e igual a t. Determinar a tensão de
cisalhamento em A (na aba superior).
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
A tensão de cisalhamento
τ
no ponto A é dada por:
τA =
V ⋅Q
I ⋅ t
Em que: 
 
Q
– Momento estático da área A’ 
V
– Esforço cortante 
I
– Momento de inércia da seção 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
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Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior.
Momento estático da área em destaque:
Q = A ⋅
ˉ
y ′
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horizontal
Substituindo, tem-se:
Q = ( b ⋅ t ) ⋅
h
2
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horizontal
Momento de inércia da seção da viga, em relação à linha neutra:
I =
t ⋅h3
12
+ 2 ⋅
b ⋅ t3
12
+ ( b ⋅ t ) ⋅
h
2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
( ( ) )
Como a espessura
t
é pequena, o termo
3
pode ser desprezado. Assim:
I =
t ⋅h3
12
+ 2 . ( b ⋅ t ) ⋅
h
2
2
I =
t ⋅h3 + 6 ⋅b ⋅ t ⋅h2
12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Substituindo na expressão do fluxo do cisalhamento:
τA =
V ⋅Q
I ⋅ t
τA =
V ⋅ ( b ⋅ t ) ⋅
h
2
t ⋅ h3 + 6 ⋅ b ⋅ t ⋅ h2
12 ⋅ t
=
6 ⋅V ⋅b
t ⋅h . ( h + 6 ⋅b )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
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horizontal
( )
( )
MÃO NA MASSA
1. SUPONHA UMA VIGA APENAS COM SIMETRIA NA
DIREÇÃO HORIZONTAL, SUBMETIDA A UM
CARREGAMENTO VERTICAL P APLICADO NO CENTROIDE
DA SEÇÃO, CONFORME FIGURA. A ESPESSURA T É
CONSIDERADA DESPREZÍVEL FRENTE ÀS OUTRAS
DIMENSÕES. QUANTO AO CENTRO DE CISALHAMENTO
(O), É CORRETO AFIRMAR QUE: 
 
A) Se a força P for aplicada no centro de cisalhamento (O), ocorrerá torção
na viga, denominada pura.
B) Se a força for oblíqua e aplicada no centro de cisalhamento, a torção
poderá ocorrer dependendo do ângulo que P faz com a horizontal.
C) Se a força P tiver sua linha de ação passando pelo centro de
cisalhamento, não provocará torção na viga.
D) Para evitar a torção na viga, o centro de cisalhamento deve estar
localizado na parede vertical da seção reta.
E) A torção na viga poderá ser evitada caso o centro de cisalhamento esteja
localizado em uma das abas (inferior ou superior).
2. SEJA UMA VIGA METÁLICA COM UMA EXTREMIDADE
ENGASTADA E A OUTRA LIVRE. PELO CENTROIDE DA
SEÇÃO RETA PASSA A LINHA DE AÇÃO DA FORÇA F =
30KN. NESSA SITUAÇÃO, OCORRE A TORÇÃO DA VIGA.
UM ENGENHEIRO DESEJA ELIMINAR O EFEITO DE
TORÇÃO, DESLOCANDO A LINHA DE AÇÃO DA FORÇA
PARA O CENTRO DE CISALHAMENTO. CONSIDERANDO
COMO REFERENCIAL A PAREDE MÉDIA DA ALMA DA
SEÇÃO (LINHA TRACEJADA EM DESTAQUE), DETERMINE
A DISTÂNCIA $$E$$. A IMAGEM APRESENTA A SITUAÇÃO
DESCRITA E AS DIMENSÕES DA SEÇÃO RETA SÃO B =
200MM, H = 300MM E A ESPESSURA T = 5MM. 
 
A) $$ 80 m m $$
B) $$ 75 m m $$
C) $$ 70 m m $$
D) $$ 65 m m $$
E) $$ 60 m m $$
3. PARA A VIGA EM FORMA DE U, O CENTRO DE
CISALHAMENTO APRESENTA-SE A DISTÂNCIA E DA
PAREDE MÉDIA VERTICAL DA SEÇÃO. SEU VALOR PODE
SER DETERMINADO PELA EXPRESSÃO: 
 
$$ E=\FRAC{3 \CDOT B^{2}}{H+6 . B} $$
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA
EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
EM QUE B É A DIMENSÃO DAS ABAS E H A ALTURA DA
ALMA DA VIGA. SUPONDO QUE A ESPESSURA T SEJA
UNIFORME E BEM MENOR QUE OS VALORES DE B E H,
QUE VALORES O $$E$$ PODE ASSUMIR:
A) De 0 a h
B) De 0 a b
C) De 0 a h/2
D) De 0 a b/2
E) De b a h
4. SUPONHA UMA CANTONEIRA, CONFORME A FIGURA A
SEGUIR. OS PONTOS A E C LOCALIZAM-SE NAS
EXTREMIDADES DAS ABAS. B ESTÁ NO VÉRTICE DA
CANTONEIRA, ENQUANTO D E E ESTÃO NOS PONTOS
MÉDIOS DAS ABAS. PARA QUE NÃO OCORRA TORÇÃO, A
FORÇA ATUANTE DEVE TER LINHA DE AÇÃO PASSANDO
PELO CENTRO DE CISALHAMENTO. DENTRE OS PONTOS
APRESENTADOS, QUAL PODE REPRESENTAR O CENTRO
DE CISALHAMENTO PARA A SEÇÃO RETA? 
 
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
5. CONSIDERE UMA SEÇÃO RETA DE UMA VIGA U, COM
ESPESSURA T CONSTANTE, CONFORME A FIGURA. A
TENSÃO NA ABA SUPERIOR TEM VARIAÇÃO LINEAR,
PORÉM NA EXTREMIDADE DA ESQUERDA E MÁXIMA. O
FLUXO DE CISALHAMENTO NA ABA É DADO POR: 
 
$$ Q=\FRAC{V . T \CDOT H}{2 . I} \CDOT X $$
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA
EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
DETERMINE A EXPRESSÃO QUE DEFINE A INTENSIDADE
DA FORÇA F NA ABA. 
 
DADO: $$F=\INT_{0}^{X} Q \CDOT D X$$
A) $$ F=\frac{V . t \cdot h \cdot b^{2}}{I} $$
B) $$ F=\frac{4 . V . t . h \cdot b^{2}}{5 . I} $$
C) $$ F=\frac{3 . V . t . h \cdot b^{2}}{4 . I} $$
D) $$ F=\frac{V . t \cdot h \cdot b^{2}}{2 . I} $$
E) $$ F=\frac{V . t . h \cdot b^{2}}{4 . I} $$
6. CONSIDERE UMA VIGA U ENGASTADA EM UMA DAS
EXTREMIDADES E COM O CARREGAMENTO MOSTRADO
NA IMAGEM. 
 
O CENTRO DE CISALHAMENTO É O PONTO O, ONDE A
FORÇA DE 1000N É APLICADA. AS DIMENSÕES DA
SEÇÃO RETA DA VIGA SÃO: B = 100MM, H = 200MM E A
ESPESSURA T = 2MM. SABE-SE QUE A TENSÃO
CISALHANTE NA ABA SUPERIOR É DADA PELA
SEGUINTE EXPRESSÃO:
$$ \TAU_{A B A}==\FRAC{6 . V \CDOT X}{T . H \CDOT(H+6 .
B)} $$
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA
EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
QUAL A TENSÃO NO PONTO MÉDIO DA ABA SUPERIOR?
A) $$ 0,9375 M P a $$
B) $$ 1,0000 M P a $$
C) $$ 1,3275 M P a $$
D) $$ 1,5000 M P a $$
E) $$ 1,8750 M P a $$
GABARITO
1. Suponha uma viga apenas com simetria na direção horizontal,
submetida a um carregamento vertical P aplicado no centroide da
seção, conforme figura. A espessura t é considerada desprezível frente
às outras dimensões. Quanto ao centro de cisalhamento (O), é correto
afirmar que: 
 
A alternativa "C " está correta.
A forças resultantes que atuam nas abas geram um conjugado que pode ser
“anulado” com o deslocamento da linha de ação da força P. O ponto de
aplicação de P é denominado centro de cisalhamento e é calculado por:
$$ e=\frac{F \cdot h}{P} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
2. Seja uma viga metálica com uma extremidade engastada e a outra
livre. Pelo centroide da seção reta passa a linha de ação da força F =
30kN. Nessa situação, ocorre a torção da viga. Um engenheiro deseja
eliminar o efeito de torção, deslocando a linha de ação da força para o
centro de cisalhamento. Considerando como referencial a parede
média da alma da seção (linha tracejada em destaque), determine a
distância $$e$$. A imagem apresenta a situação descrita e as
dimensões da seção reta são b = 200mm, h = 300mm e a espessura t =
5mm. 
 
A alternativa "A " está correta.
A distância do centro de cisalhamento à parede média da alma da seção
(vertical) é determinada por:
$$ e=\frac{3\cdot b^{2}}{h+6 \cdot b} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Substituindo os valores apresentados, tem-se:
$$ e=\frac{3 \cdot(200)^{2}}{300+6 .(200)}=\frac{120000}{1500} \rightarrow
e=80 m m $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
3. Para a viga em forma de U, o centro de cisalhamento apresenta-se a
distância e da parede média vertical da seção. Seu valor pode ser
determinado pela expressão: 
 
$$ e=\frac{3 \cdot b^{2}}{h+6 . b} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Em que b é a dimensão das abas e h a altura da alma da viga. Supondo
que a espessura t seja uniforme e bem menor que os valores de b e h,
que valores o $$e$$ pode assumir:
A alternativa "D " está correta.
A expressão que determina a distância $$e$$ do centro de cisalhamento é:
$$ e=\frac{3 . b^{2}}{h+6 \cdot b} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
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É possível dividir o numerador e o denominador da fração por 3b. Assim:
$$ e=\frac{b}{\frac{h}{3 b}+2} $$
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horizontal
A razão $$\frac{h}{3 . b}$$ pode assumir valores pequenos (tendendo a
zero) ou valores grandes (tendendo a infinito). Em cada situação tem-se:
$$ e=\frac{b}{\infty+2}=\frac{b}{\infty}=0 $$
$$ e=\frac{b}{0+2}=\frac{b}{2} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Logo, a distância $$e$$ varia de 0 a b/2.
4. Suponha uma cantoneira, conforme a figura a seguir. Os pontos A e
C localizam-se nas extremidades das abas. B está no vértice da
cantoneira, enquanto D e E estão nos pontos médios das abas. Para
que não ocorra torção, a força atuante deve ter linha de ação passando
pelo centro de cisalhamento. Dentre os pontos apresentados, qual
pode representar o centro de cisalhamento para a seção reta? 
 
A alternativa "B " está correta.
As forças atuantes nas abas concorrem no ponto B. Para que não ocorra
torção, a força cortante deve ser aplicada tal que sua linha de ação passe
pelo ponto B. Matematicamente, tem-se:
$$ \sum M_{B}=0 $$
$$ F_{\text {aba esquerda }} \cdot d_{1}+F_{\text {aba direita }} \cdot
d_{2}+V . d_{3}=0 $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Como as forças concorrem em $$B$$, $$d_{1}=d_{2}=d_{3}=0$$. Logo, a
equação é satisfeita se a força for aplicada de tal forma que a linha de ação
passe pelo ponto B.
5. Considere uma seção reta de uma viga U, com espessura t
constante, conforme a figura. A tensão na aba superior tem variação
linear, porém na extremidade da esquerda e máxima. O fluxo de
cisalhamento na aba é dado por: 
 
$$ q=\frac{V . t \cdot h}{2 . I} \cdot x $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Determine a expressão que define a intensidade da força F na aba. 
 
Dado: $$F=\int_{0}^{x} q \cdot d x$$
A alternativa "E " está correta.
Substituindo-se q na expressão para a determinação da força F, tem-se:
$$ F=\int_{0}^{x} q \cdot d x $$
$$ F=\frac{V . t . h \cdot x^{2}}{4 . I} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Substituindo os limites de integração: 0 e b
$$ F=\frac{V . t \cdot h \cdot b^{2}}{4 . I} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
6. Considere uma viga U engastada em uma das extremidades e com o
carregamento mostrado na imagem. 
 
O centro de cisalhamento é o ponto O, onde a força de 1000N é
aplicada. As dimensões da seção reta da viga são: b = 100mm, h =
200mm e a espessura t = 2mm. Sabe-se que a tensão cisalhante na aba
superior é dada pela seguinte expressão:
$$ \tau_{a b a}==\frac{6 . V \cdot x}{t . h \cdot(h+6 . b)} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Qual a tensão no ponto médio da aba superior?
A alternativa "A " está correta.
DETERMINAR A TENSÃO CISALHANTE
EM UM DADO PONTO DA ABA DE UMA
VIGA U
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma empresa de Engenharia, o projeto que está em desenvolvimento
prevê uma viga AB em U de comprimento L engastada em uma das
extremidades e livre na outra com carregamento concentrado. Supondo que
as dimensões sejam as apresentadas na figura, e considerando t a
espessura uniforme da viga, o engenheiro deseja determinar a expressão
que calcula a força resultante na aba superior. Aplicar para V = 1,0kN, b =
120mm, h = 150mm e t = 2mm.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 430-431
RESOLUÇÃO
EXPRESSÃO QUE DETERMINA A
FORÇA EM UMA ABA DE UMA VIGA U
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM ENGENHEIRO DETERMINOU UMA EXPRESSÃO
PARA CALCULAR A DISTÂNCIA $$E$$ DO CENTRO DE
CISALHAMENTO PARA DETERMINADA VIGA, EM FUNÇÃO
DOS PARÂMETROS GEOMÉTRICOS DA SEÇÃO RETA
($$B$$ E $$H$$).
$$ E=\FRAC{3 \CDOT B^{2}}{H+6 . B} $$
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA
EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
CONSIDERANDO QUE A RAZÃO $$\FRAC{H}{3 B}$$ É
MUITO MENOR QUE 2, QUAL O VALOR DA DISTÂNCIA
$$E$$?
A) $$h$$
B) $$b$$
C) $$\mathrm{h} / 2$$
D) $$\mathrm{b} / 2$$
E) $$(b+h)$$
2. A TENSÃO DE CISALHAMENTO NAS ABAS DA SEÇÃO
RETA DE UMA VIGA É DETERMINADA A PARTIR DA
EXPRESSÃO: $$\TAU_{A B A}=\FRAC{V \CDOT H \CDOT X}
{2 . I}$$ 
 
EM QUE $$V$$ É O ESFORÇO CORTANTE NA ALMA DA
VIGA, $$H$$ A DISTÂNCIA ENTRE AS ABAS E $$I$$ O
MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO EM RELAÇÃO AO EIXO
CENTROIDE HORIZONTAL. É CORRETO AFIRMAR QUE,
AO LONGO DA ABA:
A) A variação da tensão cisalhante é linear, sendo nula na extremidade A.
B) A variação da tensão cisalhante é quadrática, sendo nula na extremidade
A.
C) A variação da tensão cisalhante é linear, sendo máxima na extremidade
A.
D) A variação da tensão cisalhante é quadrática, sendo máxima no ponto B.
E) A variação da tensão cisalhante é linear, sendo máxima no ponto médio
de AB.
GABARITO
1. Um engenheiro determinou uma expressão para calcular a distância
$$e$$ do centro de cisalhamento para determinada viga, em função
dos parâmetros geométricos da seção reta ($$b$$ e $$h$$).
$$ e=\frac{3 \cdot b^{2}}{h+6 . b} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Considerando que a razão $$\frac{h}{3 b}$$ é muito menor que 2, qual
o valor da distância $$e$$?
A alternativa "D " está correta.
 
É possível reescreve a expressão que calcula $$e$$:
$$ e=\frac{b}{\frac{h}{3 b}+2} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Se a razão $$\frac{h}{3 . b}$$ for muito menor que 2, pode ser desprezada
(em relação ao 2). Assim:
$$ e=\frac{b}{0+2}=\frac{b}{2} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
2. A tensão de cisalhamento nas abas da seção reta de uma viga é
determinada a partir da expressão: $$\tau_{a b a}=\frac{V \cdot h \cdot
x}{2 . I}$$ 
 
Em que $$V$$ é o esforço cortante na alma da viga, $$h$$ a distância
entre as abas e $$i$$ o momento de inércia da seção em relação ao
eixo centroide horizontal. É correto afirmar que, ao longo da aba:
A alternativa "A " está correta.
 
A equação que determina a tensão cisalhante é linear (depende de x). A
partir do eixo x, na figura, é possível determinar a tensão cisalhante em A, x
= 0 e, em B, x = b. Assim, a tensão no ponto A é:
$$ \tau_{A}=\frac{V . h .0}{2 . I} $$
$$ \tau_{A}=0 $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
MÓDULO 4
 Formular a flambagem de colunas
ESTABILIDADE DAS COLUNAS –
CARGA CRÍTICA
A FLAMBAGEM DE COLUNAS
Neste módulo, será analisado o efeito conhecido como flambagem.
Suponha uma coluna perfeitamente reta (ideal) de comprimento L e área de
seção reta A, em que atua uma carga P no centroide da seção transversal
de forma a comprimir a coluna. Sob determinada condição, a coluna perde
sua estabilidade, sofrendo uma deflexão lateral – a flambagem.
Eventualmente a flambagemocorre de maneira abruta e rompe o material.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 477
 Imagem 22 - Coluna sob carregamento normal compressivo.
Elementos estruturais compridos e esbeltos (colunas) submetidos a
esforços de compressão são particularmente suscetíveis à flambagem após
a carga aplicada ultrapassar um valor denominado de carga crítica
Pcr
.
( )
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 477
 Imagem 23 - Coluna sob carregamento normal compressivo maior que a
carga crítica.
Suponha que um coluna de comprimento
L
seja carregada com uma carga P que gradual e lentamente vai aumentando
até que a coluna fique na iminência de sofrer flambagem, ou seja,
apresentar uma deflexão lateral (Figura 23). Essa carga é
Pcr
, a carga crítica.
Inicialmente, será apresentada uma situação idealizada e simplificada para
que o fenômeno físico da flambagem possa ser entendido. Nos próximos
tópicos, a abordagem amplia as condições impostas às colunas,
aproximando-se das situações reais de Engenharia. Suponha duas colunas
de comprimento
L
2
, unidas por meio de um pino ideal em A, e que suas extremidades sejam
articuladas. Ademais, uma mola de constante elástica K está ligada em A, e
é capaz de restaurar a posição das colunas. A imagem a seguir apresenta o
croqui da situação descrita.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 478
 Imagem 24 - Coluna ideal com mola restaurado da posição de equilíbrio.
Supondo que a força aplicada P desloque o ponto de união A das barras
lateralmente para a direita, tal que cada coluna sofra uma pequena rotação
vertical de
θ
.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 478
 Imagem 25 - Deslocamento lateral da coluna sob ação da força P.
Antes de se fazer a análise de forças no pino A, algumas premissas devem
ser atendidas. A suposição inicial é que os ângulos
θ
(em radianos) são pequenos, logo a seguinte aproximação é válida:
sen θ≅θ
. Ademais, o deslocamento do pino A lateralmente pode ser determinado a
partir da relação geométrica entre o comprimento de um arco, raio e ângulo
(em radianos), ou seja, \boldsymbol{l}=\boldsymbol{\theta} \cdot
\boldsymbol{R}. Assim, o deslocamento lateral \Delta x é dado pela equação
12 .
\Delta x=\theta \cdot \frac{L}{2}
Equação 12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Analisando as forças atuantes no ponto A, tem-se o seguinte diagrama do
corpo livre (DCL).
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 26 - DCL do ponto A.
Do equilíbrio na direção horizontal, ou seja, \sum f_{x}=0:
P \cdot \operatorname{sen} \theta+P \cdot \operatorname{sen} \theta-F=0
2 P \cdot \operatorname{sen} \theta=F
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Porém, foi adotada a premissa de pequenos ângulos, \operatorname{logo}
\operatorname{sen} \theta \cong \theta Ademais, considerando a mola no
regime elástico, é possível aplicar a Lei de Hooke
(\boldsymbol{F}=\boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{x}).
Substituindo na equação do equilíbrio, tem-se:
2 P \cdot \theta=K \cdot \Delta x
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Mas da equação 12, \Delta x=\theta \cdot \frac{L}{2}. Logo:
2 P \cdot \theta=K \cdot \theta \cdot \frac{L}{2}
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P_{c r}=\frac{K \cdot L}{4}
Equação 13
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Da equação 13, conclui-se que para cargas P maiores que a carga crítica
P_{c r} o sistema é instável. De maneira inversa, para cargas P menores
que a crítica, o sistema é estável.
FÓRMULA DE EULER PARA A
FLAMBAGEM
Seja uma coluna AB de comprimento L em que uma carga P é aplicada de
maneira compressiva. O objetivo deste ponto do estudo é determinar o valor
limite da carga P que mantém a estabilidade da coluna em relação à
flambagem.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 1083
 Imagem 27 - Coluna de comprimento L sob carregamento compressivo.
A equação diferencial ordinária (EDO) de coeficiente constantes e de
segunda ordem que rege o fenômeno é dada pela equação 14.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{P}{E \cdot I} \cdot y=0
Equação 14
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Em que: 
 
y – Deslocamento lateral horizontal 
x – Distância vertical, a partir da extremidade em que a carga P é aplicada 
P – Intensidade da carga compressiva aplicada à coluna 
E – Módulo de elasticidade do material da coluna 
I – Momento de inércia da seção reta
Determinando-se a solução geral da solução da EDO e aplicando-se as
condições de contorno, tem-se a equação 15:
P=\frac{n^{2} \cdot \pi^{2} \cdot E \cdot I}{L^{2}}
Equação 15
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O menor valor que P assume, de acordo com a equação 15, é para n=1.
Assim, substituindo-se n por 1 na equação 15, tem-se a carga crítica
P_{\mathrm{cr}}.
P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E \cdot I}{L^{2}}
Equação 16
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A equação 16 é conhecida como fórmula de Euler.
 ATENÇÃO
Vale ressaltar sobre o I da equação 16. Para colunas com seções retas
duplamente simétricas, como quadrados, círculos ou tubos, os momentos
de inércia I, em relação aos eixos principais, são iguais. Para outras seções,
o momento de inércia I a ser utilizado é o de menor valor.
A partir da equação 16, da definição de tensão normal e do raio de giração
(k) de uma seção, é possível escrever uma relação para a tensão crítica.
Relembrando que \sigma=\frac{P}{A} e que I=k^{2} \cdot A e substituindo
em 16, tem-se a equação 17:
\sigma_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E}{(L / k)^{2}}
Equação 17
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P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E . I}{L^{2}}
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A razão \frac{L}{k} é denominada indice de esbeltez da coluna. Como o
momento de inércia, que se relaciona com o raio de giração k, é o mínimo, o
raio de giração a ser utilizado na equação 17 também deve ser o de menor
valor.
FÓRMULA DE EULER PARA
COLUNAS COM VÍNCULOS
DIVERSOS
No tópico anterior, foi feito o estudo de uma coluna com articulação nas
duas extremidades, o que resultou nas equações 16 e 17. Algumas
situações particulares de vinculação da coluna serão apresentadas.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Coluna com uma extremidade engastada e a outra livre
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Coluna engastada em uma extremidade e outra articulada
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Coluna biengastada
As equações 16 e 17 poderão ser ajustadas para a utilização nos casos já
descritos. A equação 18 utilizará o conceito de comprimento efetivo de
flambagem \left(L_{e}\right).
P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E \cdot I}{L_{e}^{2}}
Equação 18
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A equação 19 será função do índice efetivo de esbeltez da coluna,
denominado \frac{L_{e}}{k}. Dessa forma, a equação ficará escrita como:
\sigma_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E}{\left({ }^{L} /_{k}\right)^{2}}
Equação 19
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A imagem seguinte tem um resumo de algumas colunas sob determinados
vínculos e seus comprimentos efetivos \left(L_{e}\right) em função do
comprimento L da coluna.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 1094.
 Imagem 28 - Comprimentos efetivos de colunas com vinculações
distintas.
MÃO NA MASSA
1. (IADES - 2014 - UFBA - ENGENHEIRO MECÂNICO). UM
COMPONENTE MECÂNICO SUJEITO A SEVERAS CARGAS
DE COMPRESSÃO PRECISA SER INVESTIGADO QUANTO
À FLAMBAGEM. CONSIDERANDO QUE SEU MOMENTO DE
INÉRCIA É X, QUE A ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL É Y
E QUE O COMPRIMENTO É Z, É CORRETO AFIRMAR QUE
O ÍNDICE DE ESBELTEZ DESSE COMPONENTE, DEFINIDO
COMO A RAZÃO DO COMPRIMENTO PELO RAIO DE
GIRAÇÃO,É:
A) $$ X^{-0,5} Y \cdot Z^{0,5} $$
B) $$ X^{0,5} Y^{-0,5} Z $$
C) $$ Y^{-0,5} \quad Z^{0,5} $$
D) $$ X \cdot Y^{0,5} Z $$
E) $$ X^{-0,5} Y^{0,5} Z $$
2. UMA COLUNA TEM SEÇÃO RETA QUADRADA E 2M DE
COMPRIMENTO. SUPONDO QUE AS EXTREMIDADES DA
COLUNA SEJAM ARTICULADAS E UMA FORÇA
COMPRESSIVA DE 350KN SEJA APLICADA, DETERMINE A
ARESTA MÍNIMA DA SEÇÃO RETA PARA QUE A COLUNA
NÃO SOFRA FLAMBAGEM. CONSIDERE QUE O MATERIAL
APRESENTA MÓDULO DE ELASTICIDADE E = 70GPA E
QUE A TENSÃO ADMISSÍVEL DO MATERIAL NÃO SEJA
ALCANÇADA.
A) 50,28mm
B) 55,62mm
C) 60,75mm
D) 65,42mm
E) 70,25mm
3. CONSIDERE UMA PEQUENA COLUNA CILÍNDRICA
BIARTICULADA DE SEÇÃO CIRCULAR DE RAIO 20MM
QUE ESTÁ SUBMETIDA A UMA FORÇA F COMPRESSIVA.
O MATERIAL DA COLUNA É TAL QUE SEU MÓDULO DE
ELASTICIDADE É 200GPA, E A TENSÃO DE ESCOAMENTO
À COMPRESSÃO É 320MPA. DETERMINE A CARGA
CRÍTICA, SENDO O COMPRIMENTO DA COLUNA DE 1M.
A) $$ 402,0 k N $$
B) $$ 386,2 k N $$
C) $$ 362,4 k N $$
D) $$ 308,0 k N $$
E) $$ 247,7 k N $$
4. (FGV - 2016 - COMPESA - ANALISTA DE SANEAMENTO -
ENGENHEIRO MECÂNICO). A IMAGEM A SEGUIR
APRESENTA DUAS BARRAS CONSTITUÍDAS PELO
MESMO MATERIAL E QUE POSSUEM TAMBÉM O MESMO
COMPRIMENTO E SEÇÃO TRANSVERSAL. 
 
A VIGA (1) TEM UMA DAS EXTREMIDADES FIXA
(ENGASTADA) E A OUTRA FIXA POR PINO. A VIGA (2) TEM
AS EXTREMIDADES FIXAS (BIENGASTADA). A RELAÇÃO
ENTRE AS CARGAS CRÍTICAS DE FLAMBAGEM DE
EULER DAS COLUNAS (2) E (1), NESSA ORDEM, VALE:
A) 0,25
B) 0,50
C) 1,40
D) 1,96
E) 4,00
5. (UECE-CEV - 2018 - PREFEITURA DE SOBRAL - CE -
ANALISTA DE INFRAESTRUTURA - ENGENHARIA
MECÂNICA – ADAPTADA). UM PILAR DE AÇO DE SEÇÃO
RETANGULAR MACIÇA (0,12M X 0,01M) E 20M DE
COMPRIMENTO ESTÁ ENGASTADO EM AMBAS AS SUAS
EXTREMIDADES E É SUBMETIDO A UM CARREGAMENTO
DE COMPRESSÃO, CONFORME APRESENTADO NA
IMAGEM A SEGUIR. 
 
SABENDO QUE O MÓDULO DE ELASTICIDADE DO AÇO É
DE $$ E_{A \VARSIGMA \RHO}=200 G P A $$ E
CONSIDERANDO $$ \PI^{2}=10 $$, É CORRETO AFIRMAR
QUE A CARGA CRÍTICA DE FLAMBAGEM É IGUAL A:
A) 30.000N
B) 28.800N
C) 7200N
D) 200N
E) 50N
6. (FCC - 2007 - MPU - ANALISTA - ENGENHARIA CIVIL -
ADAPTADA). O COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM DAS
COLUNAS DE COMPRIMENTO L SUBMETIDAS A
ESFORÇOS DE COMPRESSÃO É FUNÇÃO DE SUAS
EXTREMIDADES, SENDO DADO PELA EXPRESSÃO DO
COMPRIMENTO EFETIVO $$L_{E}=K \CDOT L$$. O VALOR
DE K, PARA AS COLUNAS ABAIXO REPRESENTADAS, É,
RESPECTIVAMENTE: 
 
A) 0,3; 0,5; 0,7; 1,0
B) 0,5; 0,7; 0,8; 1,5
C) 1,0; 1,5; 2,0; 2,5
D) 0,7; 1,0; 1,5; 2,0
E) 0,5; 0,7; 1,0; 2,0
GABARITO
1. (IADES - 2014 - UFBA - Engenheiro Mecânico). Um componente
mecânico sujeito a severas cargas de compressão precisa ser
investigado quanto à flambagem. Considerando que seu momento de
inércia é X, que a área de seção transversal é Y e que o comprimento é
Z, é correto afirmar que o índice de esbeltez desse componente,
definido como a razão do comprimento pelo raio de giração, é:
A alternativa "E " está correta.
Inicialmente, será determinado o raio de giração:
$$ I=k^{2} \cdot A $$
$$ X=k^{2} . Y \rightarrow k=\frac{X^{0,5}}{Y^{0,5}} $$
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O índice de esbeltez da coluna é dado por $$\frac{L}{k}$$. Substituindo,
tem-se:
$$ \frac{L}{k}=\frac{Z}{X^{0,5} /_{Y^{0,5}}}=X^{-0,5} \cdot Y^{0,5} \cdot Z $$
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2. Uma coluna tem seção reta quadrada e 2m de comprimento.
Supondo que as extremidades da coluna sejam articuladas e uma
força compressiva de 350kN seja aplicada, determine a aresta mínima
da seção reta para que a coluna não sofra flambagem. Considere que o
material apresenta módulo de elasticidade E = 70GPa e que a tensão
admissível do material não seja alcançada.
A alternativa "E " está correta.
A partir da equação da carga crítica para colunas biarticuladas, tem-se:
$$ P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E . I}{L^{2}} $$
$$ 350.000=\frac{\pi^{2} .70 \cdot 10^{9} \cdot I}{2^{2}} $$
$$ I=2,03.10^{-6} m^{4} $$
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Mas o momento de inércia da seção quadrangular é dado por:
$$I=\frac{L^{4}}{12}$$. Portanto:
$$ \frac{L^{4}}{12}=2,03.10^{-6} \rightarrow L=70,25 m m $$
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3. Considere uma pequena coluna cilíndrica biarticulada de seção
circular de raio 20mm que está submetida a uma força F compressiva.
O material da coluna é tal que seu módulo de elasticidade é 200GPa, e
a tensão de escoamento à compressão é 320MPa. Determine a carga
crítica, sendo o comprimento da coluna de 1m.
A alternativa "E " está correta.
Análise para a flambagem:
Momento de inércia para a seção circular: $$I=\frac{\pi \cdot R^{4}}{4}$$
Para colunas biarticuladas, a equação de Euler é:
$$ P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E . I}{L^{2}} $$
$$ P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot 200 \cdot 10^{9} \cdot \frac{\pi \cdot(0,02)^{4}}
{4}}{1^{2}} $$
$$ P_{c r}=247,7 k N $$
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Análise para o escoamento.
$$ \sigma=\frac{F}{A} \rightarrow F=320.10^{6} \cdot \pi \cdot(0,02)^{2}=402
k N $$
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Logo, a flambagem é mais crítica que o escoamento.
4. (FGV - 2016 - COMPESA - Analista de Saneamento - Engenheiro
Mecânico). A imagem a seguir apresenta duas barras constituídas pelo
mesmo material e que possuem também o mesmo comprimento e
seção transversal. 
 
A viga (1) tem uma das extremidades fixa (engastada) e a outra fixa por
pino. A viga (2) tem as extremidades fixas (biengastada). A relação
entre as cargas críticas de flambagem de Euler das colunas (2) e (1),
nessa ordem, vale:
A alternativa "D " está correta.
Inicialmente, deve-se encontrar o comprimento efetivo para cada coluna.
Coluna 2: $$ L_{e}=0,5 L $$
Coluna 1: $$ L_{e} \quad 0,7 L $$
$$ P_{c r}=\frac{\pi^{2} . E . I}{L_{e}^{2}} $$
$$ \frac{P_{c r 2}}{P_{c r 1}}=\frac{\frac{\pi^{2} \cdot E . I}{(0,5 L)^{2}}}
{\frac{\pi^{2} \cdot E . I}{(0,7 L)^{2}}}=\frac{(0,7 L)^{2}}{(0,5 L)^{2}}=1,96 $$
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5. (UECE-CEV - 2018 - Prefeitura de Sobral - CE - Analista de
Infraestrutura - Engenharia Mecânica – adaptada). Um pilar de aço de
seção retangular maciça (0,12m x 0,01m) e 20m de comprimento está
engastado em ambas as suas extremidades e é submetido a um
carregamento de compressão, conforme apresentado na imagem a
seguir. 
 
Sabendo que o módulo de elasticidade do aço é de $$ E_{a \varsigma
\rho}=200 G P a $$ e considerando $$ \pi^{2}=10 $$, é correto afirmar
que a carga crítica de flambagem é igual a:
A alternativa "D " está correta.
DETERMINAÇÃO DA CARGA CRÍTICA
DE FLAMBAGEM EM UMA COLUNA
BIENGASTADA
6. (FCC - 2007 - MPU - Analista - Engenharia Civil - adaptada). O
comprimento de flambagem das colunas de comprimento L
submetidas a esforços de compressão é função de suas extremidades,
sendo dado pela expressão do comprimento efetivo $$L_{e}=K \cdot
L$$. O valor de K, para as colunas abaixo representadas, é,
respectivamente: 
 
A alternativa "E " está correta.
A expressão geral para determinar a carga crítica para colunas sob
compressão é dada por:
$$ P_{c r}=\frac{\pi^{2} . E . I}{L_{e}^{2}} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Dependendo da vinculação que a coluna tenha, o comprimento efetivo $$
L_{e}=K \cdot L $$ será diferente:
Coluna biengastada: $$ L_{e}=0,5 L $$
Coluna engastada /rotulada: $$ L_{e}=0,7 L $$
Coluna birrotulada: $$ L_{e}=1 L $$
Coluna engastada/livre: $$ L_{e}=2 L $$
Assim, o K para cada situação será: 0,5 / 0,7 / 1,0 / 2,0
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um projeto está sendo desenvolvido para uma estrutura metálica. Uma das
colunas (AB) dessa estrutura ficará submetida à compressão de uma força
de intensidade F. Em termos de vinculação, uma de suas