calculo 2 falta terminar a questão 2

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∂T/∂x
∂T/∂y
∂T/∂t
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Universidade Veiga de Almeida
Nome: Daniella Nunes Soares Pereira
Engenharia de Produção
6° Período
	
Funções de várias variáveis: algumas aplicações
	Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das funções de várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de como tais funções e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados em algumas áreas do conhecimento.
	1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro.
(a)Qual o significado das derivadas parciais,e?
(b)Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)).
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧.
(a)Qual o domínio da função V?
(b)Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 𝒊̂+ 𝒋̂+𝒌̂.
(c)Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?
3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular)
Resposta:
(a)
∂T/∂xA taxa de variação da temperatura quando a longitude varia, com a latitude e 
tempo fixados; 
∂T/∂y - A taxa de variação da temperatura quando varia apenas a latitude; 
∂T/∂t - é a taxa de mudança quando varia apenas o tempo; 
(b)
Fx(158,21,9)  Positiva  Quando há variação, na longitude, a temperatura tende a ficar 
mais quente, sendo assim, indo mais para Leste do que Oeste, consequentemente sendo positiva 
.
Fy(158,21,9)  Negativa  Quando há variação de temperatura na direção norte, esta tende a ficar mais fria, sendo assim, indo mais para Oeste que para Leste, consequentemente sendo negativa
Ft(158,21,9)  Positiva  Conforme o enunciado, a temperatura aumenta pela manhã para a tarde
2ª 
(a) Qual o domínio da função V?
Resposta:
D = {f(v)=(x, y, z) €R³l (5x)²-3XY+XYZ≥0} 
 (b)Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 
𝒊̂+ 𝒋̂+𝒌̂.
Resposta:
Calculando as derivadas parciais do potencial
∂V/∂x = 10x – 3y + yz
∂V/∂y = -3x + xz
∂V/∂z = xy
Substituindo as coordenadas do ponto P(3,4,5):
∂V/∂x = 10 . 3 – 3 . 4 + 4 . 5 = 38
∂V/∂y = -(3 . 3 )+ (3 . 5) = 6
∂V/∂z = 3 . 4 = 12
Portanto temos o gradiente de V no ponto P:
∇V = (38,6,12)
Versor na direção do vetor î + j ̂ + k ̂
v ⃗ = î + j ̂ + k ̂
v ⃗ = (î + j ̂ + k ̂), 1√(1² + 1² + 1²) = î/√3 + j ̂/√3 + k ̂/√3
v ⃗ = (1/√3 + 1/√3 + 1/√3)
Taxa de variação:
 (∇V.v )= (38.1)+(6.1)+(12.1)
 |v| (3,4,5) √3 
 
 (∇V.v )= 38+6+12
 |v| (3,4,5) √3 
 (∇V.v )= 56 
 |v| (3,4,5) √3 
c-
A direção em que V varia mais rapidamente em P é a direção do gradien te de V no ponto P, isto é, na direção de ∇V(p)=(38,6,12)
3:
V= xyz = 32000cm2
A(x,y,z)=2(xy+xz+yz) área total da caixa
temos que z= 32000 
 xy
logo, a(x,y)=2(x,y+32000 + 32000 )
 x y 
 dA = 0 2 (y- 32000 = 0 y=32000
dx x x2
 dA = 0 2 (y- 32000 = 0 y=32000
dy y y2
Achando os valores de x e y temos:
 x= 32000 x= 32000 x= x2 
 y2 (32000) 32000
 x2
 x = 3√32000 ~= |31,75|
 y= 32000 y= 32000 y=3√32000~= 31,75
 x2 (3√32000)2
Assim, x ~=31,75 e y~= 31,75
 z= 32000 32000 ~= 31,74
 xy 31,75 .31,75
Sendo assim, mesmo que, inicialmente, a caixa fosse retangular, para que as dimensões da caixa minimizem a quantidade de papelão utilizado, o formato deve ser de um cubo, com as seguintes dimensões:
Altura 31,75cm 
Largura 31,75cm 
Profundidade 31,74cm