Questão resolvida - Uma calha industrial foi construída usando-se a função ysen(x) no intervalo [0,pi] como molde para o seu contorno - Cálculo II - MULTIVIX

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma calha industrial foi construída usando-se a função no intervalo y = sen² x( ) 0,𝜋[ ]
como molde para o seu contorno.
 
A área da seção transversal, conforme a figura, em metros quadrados, é 
aproximadamente:
 
∘ a. 3,14
∘ b. 7,89
∘ c. 2,51
∘ d. 4,93
• e. 1,57
 
Resolução:
 
A área A abaixo da curva entre 0 e , ou seja, meia volta completa, é dada pela integral da 𝜋
função tendo como limites de integração esse intervalo, como visto na sequência;
 
A = sen² x dx
0
∫
𝜋
( )
 
Para resolver essa integral, devemos fazer a seguinte substituição trigonométrica:
 
 
 
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
x
y m( )
sen² x =( )
1 - cos 2x
2
( )
Então;
 
A = sen² x dx = A = dx = dx - dx = x - dx
0
∫
𝜋
( )
0
∫
𝜋1 - cos 2x
2
( )
0
∫
𝜋1
2 0
∫
𝜋cos 2x
2
( ) 1
2
𝜋
0 0
∫
𝜋cos 2x
2
( )
 
Vamos resolver a integral que sobrou separamente e em sua forma indefinida;dx
0
∫
𝜋cos 2x
2
( )
 
dx, u = 2x du = 2dx = dx∫cos 2x
2
( )
→ →
du
2
 
dx = = du = =∫cos 2x
2
( ) ∫cos u
2
( ) du
2
∫cos u
4
( ) sen u
4
( ) sen 2x
4
( )
 
Voltando para a integral definida, fica;
 
A = sen² x dx = x - dx = 𝜋- 0 -
0
∫
𝜋
( )
1
2
𝜋
0 0
∫
𝜋cos 2x
2
( ) 1
2
( )
sen 2x
4
( ) 𝜋
0
 
A = - - = - 0 + 0 = A =
𝜋
2
sen 2𝜋
4
( ) sen 0
4
( ) 𝜋
2
𝜋
2
 
A ≅ 1, 57 m2
 
 
(Resposta )