Questão resolvida - Estudando para prova de Cálculo, Alice calculou as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y)yln_(xy) Cálculo II - MULTIVIX

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Estudando para prova de Cálculo, Alice calculou as derivadas parciais de primeira 
ordem da função . Porém, não convencidas com as f x, y = y ln x + y( ) 2 2 2
respostas encontradas, pediu auxílio para seus colegas, Carlos e Júlia. A tabela 
abaixo apresenta as respostas que cada estudante encontrou: 
 
 Alice Júlia Carlos 
 
1° derivada: fx 
2xy
x + y
2
2 2
 2xy
x + y
2
2 2
y
x + y
2
2 2
 
 
2° derivada: fy 2yln x +y +2 2 2y
x +y
3
2 2
2yln x + y2 2
2y
x + y
3
2 2
 
Fonte: Elaborado pelas autoras.
 
Analisando os resultados obtidos, podemos afimar que:
 
∘ a. Apenas Júlia acertou todas as respostas.
 
∘ b. Apenas Alice acertou todas as respostas.
 
∘ c. Alice e Júlia erraram a primeira derivada, embora tenham obtido o mesmo 
resultado.
 
∘ d. Apenas Carlos acertou todas as respostas.
 
∘ e. Os três estudantes estão errados.
 
Resolução:
 
Vamos, então, realizar as derivadas parciais fx e fy;
 
fx - Se trata de uma derivada composta, sendo u e v funções quaisquer deriváveis, a 
derivada do composta dessas 2 funções é: 
 
u v = u' v ⋅ v'( ( )) ( )
 
 
Então, a derivada fx é:
 
f = = y ⋅ 2x ⋅ =x
𝜕f
𝜕x
2 1
x + y2 2
2xy
x + y
2
2 2
 
fy - Se trata de uma derivada do produto de 2 funções, com a segunda função ln x + y2 2
sendo uma função composta. Sejam u e v funções quaisquer deriváveis, a derivada do 
produto dessas 2 funções é: 
 
u ⋅ v ' = u' ⋅ v+ v' ⋅ u( )
Então, a derivada fy é:
 
f = = 2y ⋅ ln x + y + ⋅ 2y ⋅ y = 2yln x + y +y
𝜕f
𝜕y
2 2
1
x + y2 2
2 2 2 2y
x + y
3
2 2
 
Logo, Apenas Alice acertou todas as respostas. (Resposta)