CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL - ATIVIDADE 2 _ FMU

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 Teste ATIVIDADE 2 (A2)
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 Pergunta 1
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 Ao derivar uma função composta, é necessário aplicar a regra da cadeia. Verifique que a
 função é uma composição da função seno com a função pol inomial
 elevado a 2 (função potência). Assim, para derivar essa função, aplica-se inicialmente a
 derivada da função potência, em seguida, da função seno e, por fim, a função polinomial.
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o valor de 
.
.
 Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir, o valor correto é .
 Pergunta 2
 Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em
 um intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada por . A
 derivada de uma função apl icada a um ponto pode ser vista como uma taxa de variação
 instantânea. Na cinemática, dizemos que a função velocidade é a derivada da
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 função espaço em relação ao tempo , enquanto que a aceleração é
 a derivada da função velocidade em relação ao tempo . Com essas
 informações, considere a seguinte situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma
 velocidade inicial de 40 m/s e sua al tura (em metros), após t segundos, é dada por
 Nesse contexto, analise as afi rmativas a seguir:
 I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e dura é
 igual a -25,6 m/s. 
 II. A velocidade instantânea quando é igual a .
 III. O instante em que a velocidade é nula é .
 IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros.
 Está correto o que se afirma em:
 I, III e IV, apenas.
 I, III e IV, apenas.
 Resposta correta. A afirmativa I é correta, visto que a velocidade média para o
 período de tempo que começa quando e dura é igual a -25,6
 m/s. De fato:
. A
 afi rmativa II é incorreta, uma vez que a velocidade instantânea quando é
 igual a .
 A velocidade instantânea é dada por:
 A
 afi rmativa III é correta, porque o instante em que a velocidade é nula é
 . De fato:
 Por fim, a
 afi rmativa IV é incorreta, dado que a altura máxima atingida pela bola é de 25
 metros. De fato, nesse caso, o tempo para atingir a altura máxima é de
 e . Portanto, a altura de máxima é de
.
 Pergunta 3
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 O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4
 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígi to: , em que
 , 2º dígi to: , em que , 3º dígi to: , em que
 , 4º dígi to: , em que Para descobrir qual é o código,
 encontre o valor das derivadas.
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante.
 2, 1, 1, 5.
 2, 1, 1, 4.
 Pergunta 4
 As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de grande
 complexidade. Portanto, derivar essas funções a parti r da definição de derivadas por l imi tes,
 torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para derivar, também,
 as funções trigonométricas.
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 A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afi rmativas a seguir e assinale V
 para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) .
II. ( ) .
III. ( ) .
 IV. ( ) 
 Assinale a al ternativa que apresenta a sequência correta.
V, F, F, V.
V, F, F, V.
 Resposta correta. A afirmativa das al ternativas I e IV é verdadei ra, pois as
 derivadas estão de acordo com a tabela de derivadas. Já a afi rmativa II é falsa,
 pois a derivada da função cossecante é dada por
 Por fim, a afirmativa III também é falsa
 desde quando a derivada da cotangete é 
 Pergunta 5
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 Para derivar funções, é necessário conhecer e saber uti l izar as suas regras operatórias: deriva da
 soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, derivada do
 quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funçõesconstantes. Neste
 contexto, associe tais regras com suas fórmulas:
 1 - Derivada do Produto.
 2 - Derivada do Quociente.
 3 - Derivada da Soma.
 4 - Derivada da Cadeia.
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 A parti r das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência
 correta.
 2, 3, 1, 4.
 2, 3, 1, 4.
 Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos que
 = Derivada do Quociente. =
 Derivada da Soma. = Derivada do
 Produto. = Derivada da Cadeia.
 Pergunta 6
 Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da
 função pol inomial e regras operatórias da derivada. No entanto, inicialmente, deve-se
 simplificar a função, uti l izando as regras operatórias da potência: soma, produto e quociente.
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 Nesse sentido, assinale a al ternativa que indica qual o valor de 
 Sua resposta está incorreta. Os seguintes cálculos mostram que inicialmente
 foram aplicadas as propriedades de potência para simpl ificar a função e depois
 derivou-se a função adequadamente, obtendo o resultado de .
.
 Pergunta 7
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 Existem funções que são definidas na forma implíci ta, ou seja, a variável dependente y não se
 apresenta explicitamente como A forma implícita pode ser representada como
 , como, por exemplo, a função Verifique que, nesse caso, fica
 di fícil explicitar a variável dependente y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente. 
 A parti r do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 I. A derivada da função aplicada ao ponto é igual a .
 Pois:
 II. A função derivada de y=f(x) é igual a .
 A seguir, assinale a al ternativa correta.
 As asserções I e II são proposições verdadei ras, e a II é uma justificativa
 correta da I.
 As asserções I e II são proposições verdadei ras, e a II é uma justificativa
 correta da I.
 Resposta correta. A asserção I é uma proposição verdadeira y’=2e, desde
 quando a asserção II também é verdadei ra. De fato, a derivada de y=f(x) é igual
 a e é claro que ao aplicarmos o ponto (0,1), em que x=0 e y=1,
 o valor de y’ é igual a . Portanto, a segunda asserção justifica a primeira.
 Pergunta 8
 As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resul tados tabelados. Os
 resultados da tabela foram obtidos através do limi te por definição da derivada. Assim, é
 importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com maior
 facil idade.
 A respeito das derivadas de funções elementares, considere e analise as
 afi rmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 I. ( ) Se , então .
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 II. ( ) Se , então 
 III. ( ) Se , então .
 IV. ( ) Se então .
 Assinale a al ternativa que apresenta a sequência correta.
 V, V, V, V.
V, F, V, F.
 Sua resposta está incorreta. A afirmativa I é verdadeira, se ,
 então , por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto que
 se , então , pois a derivada de uma constante é igual a zero. A
 afi rmativa III é verdadeira, porque se , então, ,
 como consta na tabela de derivadas. E finalmente, a afirmativa IV é falsa, dado
 que se então, . Verifique
que a função é uma função composta e, portanto, através da regra da
 cadeia 
 Pergunta 9
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 Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional pol inomial, pode ocorrer
 indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos fatorar
 as funções racionais polinomiais util izando a fatoração do polinômio que, em certas situações,
 é um cálculo mui to simples.
 Nesse contexto, encontre o l imi te e assinale a al ternativa que indique qual é o
 resultado obtido para o l imite.
 4.
 4.
 Resposta correta. O valor correto para o l imi te é igual a 4. De fato, para fatorar
 o polinômio , util iza-se a di ferenças dos quadrados
 , portanto, , e o cálculo do
 l imite é justificado da seguinte forma:
.
 Pergunta 10
 Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada, respei tando-se a
 l imitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de
 uma função exista num ponto : as derivadas laterais a direi ta, , e a derivada lateral
à esquerda, , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda funçãocontínua
 num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável
 num ponto é contínua. Considere a função f(x) a segui r, definida por várias sentenças:
 FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hal l, 2006.
 Nesse contexto, analise as afi rmativas a segui r e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s)
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 Domingo, 17 de Maio de 2020 21h17min33s BRT
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 falsa(s).
 I. ( ) A função é derivável em .
 II. ( ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: .
 III. ( ) A função não é derivável em porque não é contínua em .
 IV. ( ) A função é derivável em , porque é contínua em .
 Assinale a al ternativa que apresenta a sequência correta.
 F, F, V, F.
 F, F, V, F.
 Resposta correta. A afirmativa I é falsa, sendo que é derivável em ,
 logo, . De fato:
.
 A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de existe, pois
 , pois, . De fato:
.
 A afirmativa III é verdadeira, dado que não é derivável em , porque 
 não é contínua em . De fato, , portanto, f não é
 derivável em x=2.
 Já a afirmativa IV é falsa, uma vez que é derivável em porque é
 contínua em . O fato de uma função ser contínua não garante a sua
 derivabil idade.