Momento estático Aula 6

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Prática 1 
 
Construa a equação da linha elástica e determine a maior flecha: 
 
 
 
O primeiro passo é determinar as reações de apoio. Em B, teremos uma reação vertical 
e um momento 
VB = P 
MB = PL 
 
Equação dos momentos fletores (M(x)) 
M(x) = -Px 
 
Condições de contorno: 
Em A: M=0 
Em B: dv/dx=0 e v=0 
 
Equação diferencial da linha elástica: 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= −𝑃𝑥 
 
Integrando a primeira vez: 
𝐸𝐼
𝑑 𝑣
𝑑𝑥 
= −𝑃
𝑥2
2
+ 𝐶1 
 
Integrando a segunda vez: 
 
 
 
 2 
𝐸𝐼𝑣 = −𝑃
𝑥3
6
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
 
Aplicando as condições de contorno: 
𝐸𝐼
𝑑 𝑣
𝑑𝑥 
= −𝑃
𝑥2
2
+ 𝐶1 
 
Em x=L, dv/dx=0 
 
Substituindo: 
−𝑃
𝐿2
2
+ 𝐶1 = 0, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑪𝟏 = 𝑷
𝑳𝟐
𝟐
 
 
Em x=L, v=0 
 
 
 
Substituindo: 
 
−𝑃
𝐿3
6
+ 𝐶1𝐿 + 𝐶2 = 0 = −𝑃
𝐿3
6
+ 𝑃
𝐿2
2
𝐿 + 𝐶2 = −𝑃
𝐿3
6
+ 𝟑𝑃
𝐿3
6
+ 𝐶2 = 
𝑃
𝐿3
3
+ 𝐶2 = 0 
𝑪𝟐 = −𝑷
𝑳𝟑
𝟑
 
 
 
Equação da inclinação: 
𝜃 = 
𝑑 𝑣
𝑑𝑥 
= −𝑃
𝑥2
2𝐸𝐼
+ 𝑃
𝐿2
2𝐸𝐼
 
 
𝜽 = 
𝑷
𝟐𝑬𝑰
 (𝑳𝟐 − 𝒙𝟐) 
 
 
 
 
 3 
 
Equação da deflexão: 
 
𝐸𝐼𝑣 = −𝑃
𝑥3
6
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 = −𝑃
𝑥3
6
+ 𝑃
𝐿2
2
𝑥 − 𝑃
𝐿3
3
 
𝐸𝐼𝑣 = −𝑃
𝑥3
6
+ 𝑃
𝐿2
2
𝑥 − 𝑃
𝐿3
3
 
 
𝒗 =
𝑷
𝟔𝑬𝑰
 (−𝒙𝟑 + 𝟑𝑳𝟐𝒙 − 𝟐𝑳𝟑) 
 
Prática 2: 
 
Determinar a elástica e a flecha máxima para viga biapoiada (vão L) com carga uniforme 
(q): 
 
Reações de apoio: iguais com valor de qL/2 
 
 
Equação do momento: 
𝑀 =
𝑞𝐿
2
𝑥 − 𝑞𝑥
𝑥
2
=
𝑞𝐿
2
𝑥 − 𝑞
𝑥2
2
 
 
 
Equação diferencial da linha elástica: 
 
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
𝑞𝐿
2
𝑥 − 𝑞
𝑥2
2
 
𝐸𝐼
𝑑 𝑣
𝑑𝑥 
=
𝑞𝐿
4
𝑥2 − 𝑞
𝑥3
6
+ 𝐶1 
 
Pela simetria da viga e do carregamento, sabe-se que a inclinação no meio do vão é 
zero (ponto de momento positivo máximo). 
 
 
 
 
 4 
Portanto, para x=L/2, v’=0. 
 
𝑞𝐿
4
𝑥2 − 𝑞
𝑥3
6
+ 𝐶1 =
𝑞𝐿
8
𝐿2 − 𝑞
𝐿3
12
+ 𝐶1 = 0 
𝐶1 = 𝑞
𝐿3
12
−
𝑞𝐿3
8
= −
𝑞𝐿3
24
 
 
Portanto: 
𝐸𝐼
𝑑 𝑣
𝑑𝑥 
=
𝑞𝐿
4
𝑥2 − 𝑞
𝑥3
6
−
𝑞𝐿3
24
 
 
 
Agora, vamos especificar a equação das deflexões (flechas): 
 
𝐸𝐼𝑣 =
𝑞𝐿
12
𝑥3 − 𝑞
𝑥4
24
−
𝑞𝐿3
24
𝑥 + 𝐶2 
 
 
 
 
Como sabemos que nos apoios (x=0 e x=L) o deslocamento é nulo, podemos afirmar que 
𝐶2 = 0. 
 
Portanto: 
𝐸𝐼𝑣 =
𝑞𝐿
12
𝑥3 − 𝑞
𝑥4
24
−
𝑞𝐿3
24
𝑥 = 
𝟐𝒒𝑳
𝟐𝟒
𝒙𝟑 − 𝒒
𝒙𝟒
𝟐𝟒
−
𝒒𝑳𝟑
𝟐𝟒
𝒙 
 
𝒗 =
𝒒𝒙
𝟐𝟒𝑬𝑰
 (𝟐𝑳𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 − 𝑳𝟑) 
 
Com isso, a flecha máxima, que já sabemos ser em L/2, será: 
 
𝒗𝒎𝒂𝒙 =
𝑞𝑥
24𝐸𝐼
 (2𝐿𝑥2 − 𝑥3 − 𝐿3) =
𝑞𝐿
48𝐸𝐼
 (2𝐿
𝐿
4
2
−
𝐿
8
3
− 𝐿3) =
𝑞𝐿
48𝐸𝐼
 (
𝐿
2
3
−
𝐿
8
3
− 𝐿3) = 
 
 
 
 5 
𝑣𝑚𝑎𝑥 =
𝑞𝐿
48𝐸𝐼
 (
4𝐿
8
3
−
𝐿
8
3
−
8𝐿3
8
) =
𝑞𝑥
48𝐸𝐼
 (−
5𝐿
8
3
) = −
𝟓𝒒𝑳𝟒
𝟑𝟖𝟒𝑬𝑰
 
 
IMPORTANTE: 
 
Se garantirmos que a viga estará trabalhando no regime linear elástico, podemos 
utilizar o princípio da superposição de efeitos. 
 
Isso quer dizer que, para conhecermos a flecha de uma viga sujeita a vários 
carregamentos simultâneos em um determinado ponto, basta calcular a flecha 
naquele ponto para cada carregamento e somar cada resultado obtido. 
 
Resumo: 
 
 
 
 
 
 
Tabela com inclinações e flechas na 
extremidade de vigas em balanço: 
 
 
 
 
 6 
 
 
Tabela com inclinações nas extremidades e flechas no meio do vão de vigas biapoiadas: