Estatística - Aula 1

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Estatística Aplicada
 Estatística Aplicada
Teorema de Bayes. Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade
AULA nº 02
Prof. Carlos A. Laranjeira da Rocha
Profº. Carlos Augusto Laranjeira da 
Rocha – M.Sc.
Número do 
Curriculo Lattes: 4232311608079141 
E-mail: calr.1949@gmail.com
Vamos ver hoje os seguintes assuntos:
Teorema de Bayes
Variável Aleatória Discreta 
Distribuição de Probabilidade (com reposição e sem reposição)
Exercício
 Estatística Aplicada
Teorema de Bayes. 
AULA nº 02
Prof. Carlos A. Laranjeira da Rocha
Introdução 
Na discussão da probabilidade condicional, indicamos que a revisão de probabilidade quando uma nova informação é obtida é uma fase importante da análise de probabilidade.
Dada essa nova informação atualizamos os valores prévios da probabilidade calculando as probabilidade adicionais, denominadas probabilidade posteriores. 
O teorema de Bayes fornece um meio de fazer esses cálculos de probabilidade.
“ Thomas Bayes (1701 – 1761). Deve o conceito de probabilidade inversa relacionada com situações em que se caminha do particular para o geral ou seja, da amostra para o universo.” 
Revisão de probabilidade usando o Teorema de Bayes
Probabilidade
Prévia
Nova 
Informação
Aplicação do
Teorema de
Bayes
Probabilidade
Posteriores
Seja uma sequência (finita e enumerável) de eventos aleatórios, formar uma partição de Ômega , se e somente se, um dos eventos, ocorrerá.
Teorema
Seja uma sequência de eventos Ai, e os mesmos, forma uma partição do espaço amostral, sendo outro evento B pertencente a Ômega. 
Probabilidade
Marginal
Probabilidade
Condicional
 Teste de Verificação
AULA nº 02
Prof. Carlos A. Laranjeira da Rocha
Diagnóstico Médico
Pelo fato de um novo procedimento médico ter se mostrado efetivo na detecção prévia de uma doença, propôs-se um rastreamento médico da população.
A probabilidade de o teste identificar corretamente alguém com a doença, dando positivo, é 0,99 e a probabilidade de o teste identificar corretamente alguém sem a doença, dando negativo, é 0,95. A incidência da doença na população em geral é 0,0001. Você fez o teste e o resultado foi positivo. Qual a probabilidade de você ter a doença? 
Seja:
D. O evento em que você tem doença.
S. O evento em que o teste é positivo.
P(D|S). A probabilidade solicitada pode ser escrita.
A probabilidade de o teste identificar corretamente alguém sem a doença, dando negativo, é 0,95. Consequentemente, a probabilidade de um teste positivo sem a doença é…… 
 Teste de Verificação
AULA nº 02
Prof. Carlos A. Laranjeira da Rocha
Suponha que 2% dos rolos de tecidos de algodão e 3% dos rolos de tecidos de náilon contenham falhas. Dos rolos usados por um fabricante, 70% são de algodão e 30 de náilon. Qual a probabilidade de um rolo selecionado aleatoriamente, usado pelo fabricante conter falhas?
0,014
02
03
0,009
=
=
=
O fabricante selecionou um rolo aleatoriamente do seu depósito, constatou que não tem rolo falha, qual a probabilidade de ser de algodão e qual a probabilidade de ser de naylon?
0,686
02
03
0,291
=
=
=
)==
)==
 Teste de Verificação
AULA nº 02
Prof. Carlos A. Laranjeira da Rocha
A probabilidade é 1% de que um conector elétrico, que seja mantido seco (S), falhe (F) durante o período de garantia de um computador portátil. Se o conector for molhado (M), a probabilidade de falha durante o período de garantia será de 5%. Se 90% dos conectores forem mantidos secos e 10% forem mantidos, qual será a proporção de conectores que falhará durante o período de garantia?
%
 
 
S
M
F
F
Probabilidade (Falha - F)
Condição
Conectores
 (Lote)
1%
5%
Seco
Molhado
90%
10%
5%
95%
90%
10%
1%
99%
Se ele falha qual a probabilidade de ele ter sido molhado?
 
Se ele falha qual a probabilidade de ele não ter sido molhado?
 
 Teste de Verificação
AULA nº 02
Prof. Carlos A. Laranjeira da Rocha
Em uma fábrica de motores automotivos encontra-se três lotes de motores. No lote nº 01, tem 20 motores, sabe-se pelo processo de fabricação neste lote que a probabilidade de sair um motor com defeito é 5%. No lote nº 02, tem 50 motores, sabe-se também que pelo processo de fabricação de sair um motor com defeito é 2%. No lote nº 03, o menor deles tem 10 motores, e a probabilidade de sair um motor com defeito é de 1%. O setor de produção solicitou 1 motor e constatou-se que ele está com defeito. Qual a probabilidade desse motor ter vindo do lote nº 01? 
Teste de Verificação
 
Lote 01: 20 motores; 
Lote 02: 50 motores; 
Lote 03: 10 motores; 1 
 
 Teste de Verificação
AULA nº 02
Prof. Carlos A. Laranjeira da Rocha
1.Três máquinas A, B e C produzem, respectivamente, 40%, 50% e 10% da produção da empresa X. Historicamente as percentagens de peças defeituosas produzidas em cada máquina: 5%, 3% e 3%, respectivamente. A empresa X contratou um engenheiro para fazer uma vistoria nas máquinas e no processo de produção. Tal engenheiro conseguiu reduzir pela metade a probabilidade de peças defeituosas da empresa e, ainda igualou as porcentagens de defeitos das máquinas A e B, e a porcentagem de defeitos da máquina C ficou na metade da conseguida da máquina B. Quais são as novas porcentagens de defeitos de cada máquina?
Teste de Verificação
 
 
Teste de Verificação
Máquina % Produção % defeitos
A 40 5
B 50 3
C 10 3
A
B
C
0,40
0,50
0,10
D
D
D
0,05
0,03
0,03
Teste de Verificação
Teste de Verificação
2. Uma determinada peça é manufaturada por três fábricas, digamos fábrica 1, 2 e 3. Sabe-se que a primeira fábrica produz o dobro de peça da fábrica 2, e a fábrica 2 e 3 produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% das peças produzidas pela fábrica 1 e 2 são defeituosas, enquanto 4% daquelas produzidas pela fábrica 3 são defeituosas. Todas as peças produzidas são colocadas em um depósito, e depois uma peça é retirada ao acaso. Qual é a probabilidade de uma peça retirada ao acaso seja defeituosa? 
 
 
Teste de Verificação
 
 
1
2
2p
p
p
D
D
D
0,02
0,02
0,04
3
Fábrica % Produção %defeitos
1 50 2
2 25 2
3 25 4
3. Um analista de uma empresa fotográfica estima que a probabilidade de que uma firma concorrente planeje fabricar equipamentos para fotografias instantâneas dentro dos próximos 3 anos é 0,30. Se a firma concorrente tem tais planos, será certamente construída uma nova fábrica. Se não tem tais planos, há ainda uma probabilidade de 0,60 de que, por outras razões, construa uma nova fábrica. Se iniciou os trabalhos de construção de uma nova fábrica, qual a probabilidade de que tenha decidido entrar para o campo de fotografia instantânea? 
Teste de Verificação
 
 
Teste de Verificação
 
 
FI. Fotografia instantâneas. NF. Nova fábrica
FI
0,30
0,70
0,60
NF
0,40
1
NF
Teste de Verificação
4. Temos três engradados de motores elétricos. No engradado I temos 5 motores de 1 HP, 3 de 0,5 HP e 2 1/3 HP. No engradado II temos 2 motores de 0,5 HP, 2 motores de 1 HP e 6 motores de 1/3 HP. No engradado III temos 4 motores de 1/3 HP, 2 motores de 0,5HP, 2 motores 1/4HP e 4 motores de 1HP. Retirando-se um motor aleatoriamente de um engradado, também sorteado aleatoriamente, verifica-se que é de 1/3HP. Qual a probabilidade de ter sido do engradado I? 
 
 
A=1/3 HP, B=1/2 HP, C=1HP, D=1/4HP
Teste de Verificação
Temos três engradados I, II e III.
I
5 Mot. de 1 HP
3 Mot. de 1/2 HP
2 Mot. de 1/3 HP
Retirando-se um motor elétrico aleatoriamentede um engradado, também sorteado aleatoriamente, verificou-se que é um motor de 1/3 HP. 
A=1/3 HP, B=1/2 HP, C=1HP, D=1/4HP
Teste de Verificação
Temos três engradados I, II e III.
II
2 Mot. de 1/2 HP
2 Mot. de 1 HP
6 Mot. de 1/3 HP
Retirando-se um motor elétrico aleatoriamente de um engradado, também sorteado aleatoriamente, verificou-se que é um motor de 1/3 HP. 
A=1/3 HP, B=1/2 HP, C=1HP, D=1/4HP
Teste de Verificação
Temos três engradados I, II e III.
III
4 Mot. de 1/3 HP
2 Mot. de 1/2 HP
2 Mot. de 1/4 HP
4 Mot. de 1 HP
Retirando-se um motor elétrico aleatoriamente de um engradado, também sorteado aleatoriamente, verificou-se que é um motor de 1/3 HP. 
A=1/3 HP, B=1/2 HP, C=1HP, D=1/4HP
Teste de Verificação
Temos três engradados I, II e III.
A=1/3 HP, B=1/2 HP, C=1HP, D=1/4HP
Qual a probabilidade de ser de 1/3 HP? 
Teste de Verificação
Temos três engradados I, II e III.
A=1/3 HP, B=1/2 HP, C=1HP, D=1/4HP
Verificou-se que um motor 1/3 HP. Pergunta-se qual a probabilidade de ter sido retirado do engradado I.
5. A probabilidade é 1% de que um conector elétrico, que seja mantido seco, falhe durante o período de garantia de um computador portátil. Se o conector for molhado, a probabilidade de falha durante o período de garantia será de 5%. Se 90% dos conectores forem mantidos secos e 10% forem mantidos, qual será a proporção de conectores que falhará durante o período de garantia?
Resp.: 1,4%
 
Teste de Verificação
 
 
 Variável Aleatória 
AULA nº 02
Prof. Carlos A. Laranjeira da Rocha
Introdução
Ao descrever o espaço amostral de um experimento, não especificamos que um resultado individual necessariamente seja um número.
Exemplo: Ao descrever uma peça manufaturada podemos empregar apenas as categorias defeituosas e não defeituosa.
Contudo, em muitas situações experimentais, extaremos interessados na mensuração de alguma coisa e no registro como um número.
No exemplo anterior, poderemos atribuir o valor um às peças defeituosas e zero às não defeituosa.
De modo geral, quando o espaço amostral de um experimento não é constituído por números reais, não podemos utilizar diretamente os recursos estabelecidos na Estatística Descritiva.
Estamos interessado em resumir o resultado de um experimento aleatório por meio de um simples número.
Conceito
Isto é, é o valor de uma função de do espaço amostral no espaço dos números reais.
Sejam um experimento e um espaço amostral associado ao experimento. Uma função de , que associe a cada elemento um número real, , é denominado variável aleatória.
 
Notação
Uma variável aleatória é denotada por uma letra maiúscula, tal como X, ou seja:
Será um número real que 
identificará o
elemento do espaço amostral que 
ocorrerá.
Exemplo
Considere o espaço amostral do lançamento de um dado e observação da face superior (abaixo). O espaço amostral é constituido por número reais.
Considere o espaço amostral do lançamento de uma moeda e observação da face superior (K. C). O espaço amostral não é constituido por número reais.
No caso, o espaço amostral constituido por lançamento do dado podemos utilizar recursos como: média, variância, desvio-padrão etc., já estabelecido na Estatística Descritiva.
Já no caso, do lançamento de uma moeda, não faz sentido estabelecer o recursos como: média, desvio-padrão etc., uma vez que os elementos do espaço amostral não são valores numéricos.
Para que estes recursos possam ser utilizados, é necessário estabelecer uma função que transforme o espaço amostral não numérico em um espaço amostral numérico.
Este é o objetivo de se definir variável aleatória.
Na prática é, muitas vezes interessante associamos um número a um evento aleatório e calculamos a probabilidade de ocorrência desse número do que a probabilidade do evento.
Introduzimos o conceito de variáveis aleatória discreta com o seguinte exemplo:
Considere o lançamento de uma moeda:
A variável aleatória X transformou o espaço amostral {K,C} em {1,0}, ou seja, constituído por números reais.
Logo podemos concluir:
Isto quer dizer que ocorreu o evento coroa.
Isto quer dizer que ocorreu o evento cara.
Caso a minha variável aleatória for cara.
Isto quer dizer que ocorreu o evento coroa. (fracasso)
Isto quer dizer que ocorreu o evento cara. (sucesso)
Um número real.
Exemplo
Três moedas são lançadas sobre uma mesa. Tão logo as moedas repousem, a face “aleatória” do experimento terminou. Um resultado simples poderia consistir na descrição detalhada de como e onde as moedas pousaram. Presumivelmente, estaremos somente interessados em certas características numéricas associadas e este experimento. 
Se for a variável que interessa, poderemos, explicar na descrição do nosso experimento.
CCC
KCC, CKC
CCK
KKC, KCK
CKK
KKK
0
1
2
3
O conjunto dos números reais muitas vezes 
podemos considerar como outro espaço 
amostral.
A cada corresponderá exatamente 
 um valor . 
Conceito
Sejam um experimento e um espaço amostral. Seja uma variável aleatória definida em e seja seu contradomínio. Seja B um evento definido em relação a , isto é, .
Exemplo
Vejamos o exemplo anterior:
Três moedas são lançadas sobre uma mesa. Tão logo as moedas repousem, a face “aleatória” do experimento terminou. Um resultado simples poderia consistir na descrição detalhada de como e onde as moedas pousaram. Presumivelmente, estaremos somente interessados em certas características numéricas associadas e este experimento. 
Ao conjunto abaixo descrito damos o nome Distribuição de Probabilidades da variável aleatória X:
Sendo:
logo:
Denominamos: Distribuição de Probabilidade
Função de Probabilidade e/ou
Função de Densidade de Probabilidade
logo:
As variáveis aleatórias podem ser: 
Aleatórias Discretas;
Aleatórias Contínuas.
Aleatórias Discretas: é uma variável com uma faixa finita (ou infinita enumerável), isto é assume valores inteiros.
Exemplo: número de aranhões em uma superfície, proporção de partes defeituosas entre 1.000 testadas, número de bits transmitidos que foram recebidos com erro.
Aleatórias Contínua: é uma variável com um intervalo (tanto finito como infinito), isto é, assume qualquer valor entre um intervalo [a,b].
Exemplo: corrente elétrica, comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso.
Conclusão
A definição da variável aleatória X a partir de um espaço amostral deve ser aquela que interessa à solução do problema que está sendo abordado.
Exemplificando:
Lançam-se dois dados. Sejam X: soma das faces. Determinar a distribuição de probabilidade.
A função de probabilidade associada à variável aleatória X é:
	X	P(X=x)
	2	1/36
	3	2/36
	4	3/36
	5	4/36
	6	5/36
	7	6/36
	8	5/36
	9	4/36
	10	3/36
	12	1/36
2.7777777777777877E-2	5.5555555555555455E-2	8.3333333333333398E-2	0.11111111111111112	0.1388888888888889	0.16666666666666669	0.1388888888888889	0.11111111111111112	8.3333333333333398E-2	5.5555555555555455E-2	2.7777777777777877E-2	
Próxima aula:
Variável Aleatória Discreta
Função de probabilidade
Esperança Matemática
Exercício
AULA nº 03
D
S
S
9999
,
0
0001
0
,
(
)
(
)
000099
,
0
99
,
0
0001
,
0
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=
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S
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´
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D
S
P
D
P
Positivo
Positivo
Não
 
D
S
S
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,
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,
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 Doença da
e de ter a
obabilidad
Pr
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5,0094%
 
 
 
 
 
 
0,050094
0,049995
0,00009905
,
0
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,
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S
P
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obabilidad
Pr
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)
 
 
 
 
 
 
0,2%
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
002
,
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0
050094
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,
0
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0,949906
0,949905
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95
,
0
9999
,
0
01
,
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0001
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0
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D
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Pr
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 Doença da
e de ter a
obabilidad
Pr
Planilha1
		Frutas	Paga (R$)	Recebe	X; Lucro	P[X=x]	X.P[X=x]		X	P[X=x]	X.P[X=x]		X^2	X^2*P[X=x]		Fac. Dado	Ganha	X; Lucro	P[X=x]	X.P[X=x]
		2 Maças	80.00	40.00	-40.00	0.16	-6.40		1	0.05	0.05		1	0.05		1, 2, 3 	10.00	10.00	0.5000	5.000
		2 Bananas	80.00	80.00	0.00	0.09	0.00		2	0.20	0.4		4	0.8		4, 5	5.00	5.00	0.3333	1.667
		2 Peras	80.00	140.00	60.00	0.04	2.40		3	0.40	1.2		9	3.6		6	20.00	20.00	0.1667	3.334
		2 Laranjas	80.00	180.00	100.00	0.01	1.00		4	0.15	0.6		16	2.4		Soma			1.0000	10.001
		2 Diferentes	80.00	0.00	-80.00	0.7	-56.00		5	0.12	0.6		25	3.00
									6	0.08	0.48		36	2.88
									Soma	1.00	3.33			12.73
		Teorema de Bayes
		Probabilidade 	Condição	Probabilidade
		de Falha	Produto	Produção
		2%	Algodão (A)	70%
		3%	Náilon (N)	30%
Probabilidade CondiçãoProbabilidade
de FalhaProdutoProdução
2%Algodão (A)70%
3%Náilon (N)30%
Planilha1
		Frutas	Paga (R$)	Recebe	X; Lucro	P[X=x]	X.P[X=x]		X	P[X=x]	X.P[X=x]		X^2	X^2*P[X=x]		Fac. Dado	Ganha	X; Lucro	P[X=x]	X.P[X=x]
		2 Maças	80.00	40.00	-40.00	0.16	-6.40		1	0.05	0.05		1	0.05		1, 2, 3 	10.00	10.00	0.5000	5.000
		2 Bananas	80.00	80.00	0.00	0.09	0.00		2	0.20	0.4		4	0.8		4, 5	5.00	5.00	0.3333	1.667
		2 Peras	80.00	140.00	60.00	0.04	2.40		3	0.40	1.2		9	3.6		6	20.00	20.00	0.1667	3.334
		2 Laranjas	80.00	180.00	100.00	0.01	1.00		4	0.15	0.6		16	2.4		Soma			1.0000	10.001
		2 Diferentes	80.00	0.00	-80.00	0.7	-56.00		5	0.12	0.6		25	3.00
									6	0.08	0.48		36	2.88
									Soma	1.00	3.33			12.73
		Teorema de Bayes
		Probabilidade 	Condição	Probabilidade
		de Falha	Produto	Produção
		2%	Algodão (A)	70%
		3%	Náylon (N)	30%
Probabilidade CondiçãoProbabilidade
de FalhaProdutoProdução
2%Algodão (A)70%
3%Náylon (N)30%
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w
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CKC
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