Exercícios de Vetores em Triângulos e Poliedros

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Universidade Federal do Maranhão-UFMA
Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia
Disciplina: Vetores
1 lista
1. Dado o triângulo ABC, sejam X o ponto que divide (A,B) na razão 2 e Y o ponto que divide
(B,C) na razão 3.
(a) Exprima
−−→
CX e
−→
AY em função de
−−→
AB,
−→
AC.
(b) Prove que as retas CX e AY são concorrentes e exprima o ponto da concorrência P em
função de A,
−−→
AB,
−→
AC.
2. Dado o triângulo ABC, sejam X e Y os pontos tais que
−−→
BX = α
−−→
BC e
−→
AY = β
−→
AC(Figura 5-6).
(a) Prove que AX//BY se, e somente se, (α− 1)(β − 1) = 1.
(b) Mostre que, se X é interior ao lado BC e Y é interior ao lado AC, então as retas AX e BY
são concorrentes.
Figura 1: Triângulo ABC
3. Dado o triângulo ABC, tome D na reta BC tal que C seja o ponto médio de BD e Y na reta AC
tal que as retas AD e BY sejam paralelas. Exprima
−→
AY em função de
−−→
BA,
−−→
BC e mostre que C
é o ponto médio de AY .
4. No tetraedro ABCD, sejam M ,N e P , respectivamente, os pontos médios de BD, CD e AC, e G
o baricentro do triângulo MNP .
(a) Exprima
−−→
BG como combinação linear de
−−→
BA,
−−→
BC,
−−→
BD.
(b) Calcule m para que o ponto X = B +m
−−→
BG pertença ao plano da face ACD.
5. No triângulo ABC, M é o ponto médio de AB e N pertence ao lado AC(Figura 6-7 (a)). Sabendo
que MN é paralelo a BC, prove que N é o ponto médio de AC.
6. No trapézio ABCD da figura 6-7 (b),o comprimento de AB é o dobro do comprimento de CD.
Exprima
−−→
AX como combinação linear de
−−→
AD,
−−→
AB.
Figura 2: Triângulo ABC
7. Se (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) é base, prove que (α1−→e1 , α2−→e2 , α3−→e3) é base se, e somente se, α1, α2 e α3 não são
nulos. Interprete geometricamente.
8. Sejam E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) uma base,
−→
f1 =
−→e1 −−→e2 ,
−→
f2 = m
−→e1 +−→e3 ,
−→
f3 = −−→e1 −−→e2 −−→e3 .
(a) Para que valores de m a tripla F = (
−→
f1 ,
−→
f2 ,
−→
f3) é base?
(b) Nas condições do item (a), calcule a e b de modo que os vetores −→u = (1, 1, 1)E e −→v = (2, a, b)F
sejam LD.
9. No paralelepípedo retângulo da figura 7-4 (b), HG, BC e CG medem, respectivamente, 3, 1 e 2.
(a) Explique por que (
−−→
AB,
−→
AE,
−−→
AD) é base e verifique se é ortonormal.
(b) Explique por que, em relação à base do item (a),
−→
AG = (1, 1, 1).
(c) Mostre que o comprimento da diagonal AG é d =
√
14
(d) Aplicando a fórmula [7-4] ao vetor
−→
AG, obtemos
√
3. Explique a aparente contradição.
10. Sejam E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) e F = (
−→
f1 ,
−→
f2 ,
−→
f3) duas bases tais que
−→
f1 = 2
−→e1 − −→e3 ,
−→
f2 =
−→e2 + 2−→e3 e
−→
f3 = 7
−→e3 . Exprima o vetor −→u = −→e1 +−→e2 +−→e3 na base F .
11. Sejam E = (−→u ,−→v ,−→w ) uma base e F = (−→v − −→u ,−→u − −→w ,−→u ). Mostre que F é base e calcule a
tripla de coordenadas do vetor −→u + 2−→v + 3−→w na base F .
12. Detremine x de modo que −→u e −→u sejam ortogonais.
2
(a) −→u = (x, 0, 3), −→v = (1, x, 3)
(b) −→u = (x, x, 4), −→v = (4, x, 1)
(c) −→u = (x+ 1, 1, 2), −→v = (x− 1,−1,−2).
13. Sendo −→u e −→v unitários, ‖−→w ‖ = 4, −→u · −→w = −2, e ang(−→u ,−→v ) = π/3 radianos, calcule:
(a) (−→u +−→v +−→w ) · −→u
(b) (2−→u −−→v +−→w ) · (−−→u +−→v )
(c) (5−→u −−→w ) · (−→w − 2−→u )
14. Na figura 9-5 (b), as arestas AB, AC e AD do tetraedro ABCD medem, respectivamente,2, 3 e
4; os ângulos BÂC, CÂD e DÂB medem, respectivamente, 90 ◦, 60 ◦ e 60 ◦; M é o ponto médio
de BC, e N é o ponto médio de CD. Calcule o co-seno do ângulo MÂN .
15. Calcule a projeção ortogonal de −→v sobre −→u em cada caso.
(a) −→v = (1,−1, 2), −→u = (3,−1, 1).
(b) −→v = (−1, 1, 1), −→u = (−2, 1, 2).
(c) −→v = (1, 2, 3), −→u = (−3, 1, 0).
16. Verifique se as bases E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) e F = (
−→
f1 ,
−→
f2 ,
−→
f3) são concordantes ou discordantes.
(a)
−→
f1 = 2
−→e1 −−→e2 −−→e3 ,
−→
f2 =
−→e1 −−→e3 ,
−→
f3 =
−→e2
(b)
−→
f1 =
−→e1 +−→e2 +−→e3 ,
−→
f2 =
−→e1 −−→e2 +−→e3 ,
−→
f3 =
−→e1 +−→e2 −−→e3
17. Sejam A e B as duas orientações de V3 e E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) uma base pertencente a A. Verifique,
em cada caso, se F = (
−→
f1 ,
−→
f2 ,
−→
f3) pertencente a A ou a B.
(a)
−→
f1 = −−→e1 +−→e2 − 2−→e3 ,
−→
f2 = −2−→e1 +−→e2 ,
−→
f3 =
−→e1 +−→e3
(b) −→e1 = −2
−→
f1 , −→e2 =
−→
f2 −
−→
f3 , −→e3 =
−→
f1 +
−→
f2 +
−→
f3 .
Figura 3: Paralelepípedo
3
18. Veja.
(a) Prove que, se θ = ang(−→u ,−→v ), então ‖−→u ‖2‖−→v ‖2 − (−→u · −→v )2 = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2sen2θ. Conclua
que, na definição 11-1, a condição b1, pode ser substituída por
(b4) ‖−→u ∧ −→v ‖2 = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2 − (−→u · −→v )2
(b) Calcule a norma de −→u ∧ −→v , sabendo que −→u · −→v = 3, ‖−→u ‖ = 1 e ‖−→v ‖ = 5.
(c) Em relação a uma base ortonormal, −→a = (1,−2, 1) e
−→
b = (−2, 1,−2). Calcule ‖−→u ∧ −→v ‖.
(d) O lado do triângulo equilátero ABC mede a. Calcule ‖
−−→
AB ∧
−→
AC‖ em função de a.
(e) Seja ABCD um tetraedro regular de aresta unitária. Calcule ‖
−−→
AB ∧
−−→
CD‖.
19. O lado do equilátero ABCD mede 2, AC é diagonal e M é ponto médio de BC. Calcule ‖
−−→
DM ∧
−−→
DB‖.
20. Prove que:
(a) (−→u ∧ −→v ) ∧ (−→w ∧ −→t ) = −[−→v · (−→w ∧ −→t )]−→u + [−→u · (−→w ∧ −→t )]−→v
(b) (−→u ∧ −→v ) ∧ (−→w ∧ −→t ) = [(−→u ∧ (−→v ) · −→t ]−→w − [(−→u ∧ −→v ) · −→w )]−→t
21. A medida angular entre os vetores unitários −→u e −→v é 30 ◦ e o vetor −→w , de norma 4, é ortogonal a
ambos. Sabendo que a base (−→u ,−→v ,−→w ) é positiva, calcule [−→u ,−→v ,−→w ].
22. Em relação a uma base ortonormal positiva, são dadosos vetores −→u = (1, 2,−1), −→v = (0, 3,−4),
−→w = (1, 0,
√
3) e −→t = (0, 0, 2). Calcule o volume do tetraedro ABCD, sabendo que
−−→
AB =
proj−→v
−→u , que
−→
AC é o vetor oposto do versor de −→w e que
−−→
BD = proj−→
t
(
−−→
AB ∧
−→
AC).
23. Prove que:
(a) [−→u ∧ −→v ,−→w ,−→t ] =
∣∣∣∣∣∣
−→u · −→w −→u · −→t
−→v · −→w −→v · −→t
∣∣∣∣∣∣
Figura 4: Tetraedro ABCD
4
(b) [−→u ∧ −→v ,−→w ∧ −→t ,−→x ] =
∣∣∣∣∣∣[
−→u ,−→w ,−→t ] −→u · −→x
[−→v ,−→w ,−→t ] −→v · −→x
∣∣∣∣∣∣
24. Sejam ABCD um tetraedro, P = A+2
−−→
AB+
−→
AC+
−−→
AD, Q = B−
−−→
AB−
−→
AC+
−−→
AD eR = C+
−−→
AB+
−→
AC.
Calcule a razão entre os volumes dos tetraedros PQRD e ABCD.
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