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4a Lista de A´lgebra Linear 1) a) [T ]BB′ = [ 1 1 0 0 0 1 ] b) [T ]BB′ = 1 11 0 1 −1 c) [T ]BB′ = [ 2 3 ] d) [T ]BB′ = 12 3 2) [T ]BB′ = [ 4 11 1 11 7 11 9 11 5 11 −9 11 ] 3) a) [T ]B = 1 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 2 0 1 b) Tr[T ]B = 4 4) [T ]βγ = 0 1 −20 0 2 0 0 0 [T ]γβ = 0 1 10 0 2 0 0 0 5) a) T (x, y) = (−6x+ 5y,−5x+ 5y) b) T (a+ bt+ ct2) = (2a+ b) + (a− 3c)t+ (−a+ b+ 2c)t2 c) T ( a b c d ) = (a− d,−2b+ 2c+ d,−a+ b+ 2c) 6) a) T (a+ bt+ ct2) = (a, b, c) b) [T ]BB′ = 1 0 −10 1 −1 0 0 1 c) T−1(a, b, c) = (a+ bt+ ct2) 7) a) Autovalores: 2 e 3 Autovetores: {x(1, 1 2 ) ∈ R2/x ∈ R} e {x(1, 1) ∈ R2/x ∈ R} 1 b) Autovalores: 1 e 4 Autovetores: {x(1,−1 2 ) ∈ R2/x ∈ R} e {x(1, 1) ∈ R2/x ∈ R} c) Autovalores: 4 Autovetores: {x(1, 1) ∈ R2/x ∈ R} d) Na˜o possui. e) Autovalores: 1 e 4 Autovetores: {x(1, 0, 0)+y(0, 1,−1) ∈ R3/x, y ∈ R} e {x(1, 1, 2) ∈ R3/x ∈ R} f) Autovalores: -1, 1 e 2 Autovetores: {y(0, 1,−1 3 ) ∈ R3/y ∈ R}, {x(1,−1,−1) ∈ R3/x ∈ R} e {z(0, 0, 1) ∈ R3/z ∈ R} g) Autovalores: 1 Autovetores: {x(1, 0, 0) + z(0, 0, 1) ∈ R3/x, z ∈ R} 8) T (4, 1) = (8, 11) 9) a) T (x, y) = (x, 2x+ 3y) b) T (x, y) = (−2x+ 5 2 y, 3y) 10) Demonstrac¸a˜o: T (u) = λu T (v) = λv T (αu − βv) = T (αu) − T (βv) = αT (u) − βT (v) = α(λu) − β(λv) = λ(αu− βv) 11) a) T (0, 3) = (2, 10) b) T (x, y) = (5 3 x+ 2 3 y,−2 3 x+ 10 3 y) c) [T ] = [ 2 0 0 3 ] 12) Respostas na lista. 13) 14) Na˜o. 15) 16) < u, v >= 3 ||u|| = √2 2 ||v|| = 3 d(u, v) = √ 5 cos(θ) = √ 2 2 Normalizado de u+ v = ( 3√ 17 , −2√ 17 , 2√ 17 ) 17) < A,B >= 3 ||A|| = √40 ||B|| = √15 Normalizada de A = [ 1√ 40 3√ 40 −1√ 40 2√ 40 0 5√ 40 ] Normalizada de B = [ 0 2√ 15 1√ 15−1√ 15 3√ 15 0 ] 18) < A,B >= 1 ||A|| = √3 ||B|| = 1 d(A,B) = √ 2 cos(θ) = √ 3 3 19) < f, g >= 1 < f, h >= 11 12 ||g|| = 1 ||h|| = √ 1 5 Normalizado de g = 3t− 2 Normalizado de h = √ 5t2 d(f, g) = √ 28 3 d(f, h) = √ 47 10 20) < f, g >= −1 < f, h >= 0 ||g|| = √13 ||h|| = 1 3 Normalizado de g = 3√ 13 t− 2√ 13 Normalizado de h = t2 d(f, g) = √ 20 d(f, h) = √ 6 21) 22) 23) w = (2 3 ,−2 3 , 1 3 ) 24) 25) q = 2 3 − 2 3 t+ 1 3 t2 26) a) m = 2 b) m pode assumir qualquer valor real. 27) Mostrar que < u− kv, v >= 0 28) B′ = {( 1√ 5 , 2√ 5 ), ( 2√ 5 ,− 1√ 5 )} 29) B′ = {( 1√ 2 , 1√ 2 , 0), ( 1√ 6 ,− 1√ 6 , 2√ 6 ), (− √ 3 3 , √ 3 3 , √ 3 3 )} 4
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