PROVA GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA VETORIAL - AVALIAÇÃO II

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09/04/2022 14:34 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:686843)
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Prova 38742483
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por
exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou
norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este
resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Determine a área do
triângulo formado pelos vetores u = (1,2,0) e v = (0,1,2):
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção I está correta.
Seja F uma função que transforma vetores do R² em vetores do R³, dada pela fórmula: F(x,y) =
(x + y), (x - y)², x²). O vetor v = (1, -1) de R² terá que coordenadas em R³?
A As coordenadas são (0, 4, 1).
B As coordenadas são (2, 4, 1).
C As coordenadas são (2, -4, 1).
D As coordenadas são (2, -4, 0).
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços
vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma
transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das
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transformações lineares, analise as opções a seguir: I- T(x,y) = (x² , y²). II- T (x,y) = (2x, - x + y). III-
T (x,y) = (- x + y, x - 1). IV- T (x,y) = (x, x - y). Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções I e III estão corretas.
B Somente a opção IV está correta.
C As opções III e IV estão corretas.
D As opções II e IV estão corretas.
Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na
direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se
desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a
força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e
a direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -u + 2v, sendo u =
(-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir: I- R = (-3,0,6). II- R = (-1,6,-6). III- R = (-1,-6,6).
IV- R = (3,0,6). Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção II está correta.
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema
encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³: T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem deste operador:
A [(0,-1,0);(1,0,-1)].
B [(0,1,0); (0,-1,0);(1,0,-1)].
C [(0,1,0);(1,0,-1)].
D [(1,0,0); (1,-1,0);(1,0,-1)].
O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no
eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial
aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores
tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto
ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (0,2,2) e v = (3,0,2), analise as opções a seguir: I- u x
v = (4,6,-6). II- u x v = (0,6,4). III- u x v = (0,-6,6). IV- u x v = (-4,6,-6). Assinale a alternativa
CORRETA:
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A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção II está correta.
A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor
analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida
em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou
módulo) do vetor z = (3,4):
A Raiz de 10.
B Raiz de 5.
C 5.
D 3.
Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais.
Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva
as operações de soma e multiplicação por um escalar. Baseado nisso, assinale a alternativa
CORRETA que apresenta a imagem do vetor (-1, 2, 4) quando aplicado na transformação a seguir.
A (-2, 7).
B (-7, 2).
C (7, -2).
D (-5, 2).
A figura que segue, apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se
também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de conhecimento
também, cada segmento de reta que é criado com todas estas intersecções pode ser considerado como
sendo as extremidades de um vetor. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F
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para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - V - F.
B F - V - V - F - V.
C F - V - F - V - F.
D V - V - F - F - V.
Em muitas aplicações, não é interessante trabalhar com um espaço vetorial "inteiro", mas com
uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que seja constituído pelas combinações lineares de
um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente, escrever os elementos desse subespaço como
combinações lineares de um conjunto que contenha o menor número possível de vetores e que estes
sejam escritos de forma simplificada. Neste aspecto, podemos representar estes subespaços através de
bases. Sobre os conjuntos que podem ser bases de R², classifique V para as opções verdadeiras e F
para as falsas: ( ) {(2,3),(-1,4)}. ( ) {(2,3),(-6,-9)}. ( ) {(1,5),(3,11)}. ( ) {(0,2),(0,0)}. Assinale a
alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - F.
B F - F - F - V.
C V - F - V - F.
D F - V - F - V.
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