Complementos-Aula 6

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Complementos de Matemática
Limites
Seja f uma função complexa definida em uma vizinhança deletada de z0, e
seja L um número complexo. O limite de f à medida que z tende a z0 existe e é
igual a L, o que é representado como limz→z0 f (z) = L, se, para todo � > 0, exister
algum δ > 0 tal que | f (z) − L| sempre que 0 < |z − z0|δ.
Se f se aproximar de dois números complexos L1 , L2 ao longo de duas
curvas ou percursos diferentes que passam por z0, então limz→z0 f (z) não existe.
Exemplo 1: O limite limz→0
z
z
não existe.
Exemplo 2: Prove que limz→1+i(2 + i)z = 1 + 3i.
Dada uma função real F(x, y), o limite de F à medida que (x, y) tende a
(x0, y0) existe e é igual ao número real L se, para todo � > 0, existir δ > 0 tal que
|F(x, y) − L| < � sempre que 0 <
√
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ.
Teorema: Sejam f (x, y) = u(x, y)+ iv(x, y), z0 = x0 + iy0 e L = u0 + iv0. Então,
limz→z0 f (z) = L se e somente se
lim(x,y)→(x0,y0)u(x, y) = u0 e lim(x,y)→(x0,y0)v(x, y) = v0
Exemplo 3: Calcule limz→1+i(z2 + i).
Propriedades de limites complexos: Sejam f e g funções complexas. Se
limz→z0 f (z) = L e limz→z0 g(z) =M
1. limz→z0 c f (z) = cL, c é uma constante complexa.
2. limz→z0 f (z) ± g(z) = L ±M.
3. limz→z0 f (z) · g(z) = L ·M
4. limz→z0
f (z)
g(z)
=
L
M
, desde que M , 0.
Exemplo 4: Sabendo que limz→z0 c = c , onde c é uma constante complexa, e
limz→z0 z = z0, calcule:
a. limz→i
(3 + i)z4 − z2 + 2z
z + 1
b. limz→1+√3i
z2 − 2z + 4
z − 1 −
√
3i
1