Q4-AD1-2022-1-Gabarito MÉDTODOS DETERMINÍSTICOS I

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Gabarito da Questão 4 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2022-1
Questão 4 (2,5 pontos) Já avaliando os cenários para as promoções do fim do ano que acabou de
começar, uma loja estuda a possibilidade de dar um grande desconto no preço de um certo produto.
O percentual deste desconto ainda não foi definido pela equipe de marketing, e é denotado apenas
por d%. Porém, para que tal desconto não pese muito em seu faturamento, a loja pretende aumentar,
alguns meses antes, o preço do produto em um percentual a%.
Determine, em função de d, o valor ḿınimo de a para que, após o aumento de a% e o desconto de
d%, o preço do produto não seja inferior a 80% do preço inicial.
Atenção!!! Observe que a resposta que você encontrará estará em função de d.
Solução: Vamos inicialmente interpretar nosso problema, enquanto identificamos o que é dado e o
que está sendo pedido.
Temos um certo produto que possui um preço inicial, que chamaremos de P . Este preço P sofrerá
um aumento de a%, e o produto terá um preço novo, que chamaremos de Pa. Este novo preço Pa
sofrerá um desconto de d%, e o produto passará a ter preço final, que chamaremos de Pf . Deseja-se
que o preço final Pf não seja inferior a 80% do preço inicial P . Em outras palavras, queremos que
o preço final Pf seja maior ou igual a 80% do preço inicial P .
Pronto. Já traduzimos nosso problema. Precisamos agora relacionar nossas variáveis. Isto não será
complicado, pois sabemos que as variáveis foram sendo alteradas através de aumentos/diminuições
percentuais.
Vamos começar determinando quem é Pa. Observe que Pa resulta de um aumento de a% no preço
inicial P . Desta forma, o preço no Pa é obtido efetuando-se um acréscimo de a% em P . Sendo
assim, após um aumento de a%, novo preço Pa do produto é dado por
Pa = P + a%P = P +
a
100
P =
(
1 +
a
100
)
P =
100 + a
100
P. (1)
Vamos agora descobrir quem é Pf . Observe que Pf resulta de um desconto de d% no novo preço
Pa. Portanto, o preço final Pf é obtido aplicando-se uma subtração de d% em Pa. Temos então,
que após um desconto de d%, o preço final Pf do produto é dado por
Pf = Pa − d%Pa = Pa −
d
100
Pa =
(
1− d
100
)
Pa =
100− d
100
Pa. (2)
Observe que nosso objetivo recai em uma relação entre o preço final Pf e o preço inicial P . Entretanto,
na Equação (2) obtivemos Pf em função Pa. Mas, isto não é problema, pois, em (1), obtivemos que
Pa em função de P . Substituindo, então (1) em (2), temos que
Pf =
100− d
100
Pa =
100− d
100
· 100 + a
100
P =
(100− d)(100 + a)
1002
P.
logo
Pf =
(100− d)(100 + a)
1002
P. (3)
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 1 – 2022-1 2
Voltando agora ao nosso objetivo, queremos que Pf não seja inferior a 80% do preço original, isto
é, queremos que o preço final Pf seja maior ou igual a 80% do preço inicial P . Matematicamente,
nossa condição se traduz em
Pf >
80
100
P. (4)
Substituindo-se na inequação (4) o valor obtido para Pf em (3), temos
(100− d)(100 + a)
1002
P >
80
100
P. (5)
Dividindo-se por P (que é positivo) a inequação (5), temos
(100− d)(100 + a)
1002
>
80
100
. (6)
Podemos multiplicar ambos os lados da inequação (6) por 1002, resultando em
(100− d)(100 + a) > 100 · 80. (7)
Observe que a inequação (7), embora apresente uma relação entre a e d, não deixa muito claro qual
deve ser o valor de a para um determinado d dado. Para termos esta relação clara, precisaremos
isolar a. Para isto, temos que dividir por 100− d ambos os lados da inequação. Teremos então que
nos certificar que 100− d > 0. De fato, como d é um desconto percentual, temos que 0 < d < 100.
De fato, se d = 0, não há desconto e se d = 100, o produto é dado e não vendido. Dividindo-se
então (7) por 100− d (que já sabemos ser positivo), temos
100 + a >
100 · 80
100− d
.
Assim,
a >
100 · 80
100− d
− 100.
Simplificando, temos
a >
100 · 80− 100(100− d)
100− d
∗
=
100(d− 20)
100− d
.
(Observe que em (*), utilizamos que bc− be = b(c− e), para todos b, c, e ∈ R. No caso, utilizamos
b = 100, c = 80 e e = 100− d.)
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