14Sistema Linear 2x2

Prévia do material em texto

Matemática
Elementar I
Autor 
Leonardo Brodbeck Chaves
Matemática
Elementar I
Caderno de Atividades
2009
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor 
dos direitos autorais.
Todos os direitos reservados
IESDE Brasil S.A.
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel 
80730-200 • Curitiba • PR
www.iesde.com.br
C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.
Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba: 
IESDE Brasil S.A., 2009.
196 p.
ISBN: 978-85-7638-798-5
1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
 CDD 510
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
 Leonardo Brodbeck Chaves
Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade 
Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em 
Eletrônica também pela UFPR.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Sumário
Contagem | 11
1. A noção básica da Matemática: a contagem | 11
2. O sistema de numeração decimal | 13
Adição e subtração | 17
1. A adição | 17
2. A subtração | 18
Multiplicação e divisão | 21
1. A multiplicação | 21
2. A divisão | 23
Frações (I) | 25
1. As frações | 25
2. Resolução de problemas com frações | 28
3. Frações próprias e impróprias | 30
4. Simplificação de frações | 31
Frações (II) | 35
1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 35
2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 36
3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 37
4. Multiplicação com frações | 40
5. Divisão com frações | 41
Potenciação | 43
1. Potenciação | 43
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Expressões numéricas | 47
1. Introdução | 47
2. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47
Geometria (I) | 53
1. Polígono | 53
2. Ângulos | 55
3. Triângulo | 55
4. Quadrilátero | 56
5. Perímetro de um polígono | 57
6. Medida do comprimento da circunferência | 62
Geometria (II) | 65
1. Unidade de área | 65
2. Áreas de figuras planas | 66
3. Volumes | 70
Razão e proporção | 75
1. Razão | 75
2. Proporção | 79
3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 85
1. Grandezas diretamente proporcionais | 85
2. Grandezas inversamente proporcionais | 88
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 95
1. Proporcionalidade composta | 95
2. Regra de três composta | 97
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Porcentagem e juro | 105
1. Porcentagem | 105
2. Juro | 111
Equações do 1.o grau | 117
1. Introdução | 117
Equações do 2.o grau | 125
1. Noção de equação do 2.o grau | 125
2. Forma geral | 125
3. Solução de uma equação do 2.o grau | 127
4. Resolução de problemas do 2.o grau | 137
5. Problemas que envolvem equações do 2.o grau | 138
Sistemas lineares 2 x 2 | 143
1. Introdução | 143
2. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 144
3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 144
4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 146
5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 151
6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153
Radiciação | 159
1. Introdução | 159
2. Quadrados perfeitos | 160
3. Raiz quadrada | 161
Gráfico e função | 163
1. Plano cartesiano | 163
2. Função afim | 164
3. Função quadrática | 168
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Apresentação
O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E 
desde o surgimento do homem foi dessa forma.
Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações 
matemáticas:
a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;
b) o círculo da lua cheia;
c) um cristal de gelo com angulação precisa;
d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;
e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre 
outros.
Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias 
matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com 
menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante 
a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da 
natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).
Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado 
a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais 
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de 
comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios 
de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, 
percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua 
sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações 
que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, 
frente às situações da realidade.
A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de 
adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas 
de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com 
agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma 
máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências 
lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com 
maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.
Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias 
e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio 
de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a 
concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma 
ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, 
que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e 
desenvolvimento para a sociedade.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Sistemas lineares 2 x 2 
1. Introdução
Uma equação do 1.º grau com duas incógnitas pode ser reduzida à forma geral ax + by = c, 
em que a, b e c são números reais quaisquer.
Note que esta equação não determina os valores de x e de y que a verificam; pode-se tomar 
qualquer uma das 2 incógnitas, y, por exemplo, e para cada valor de y correspondente, um valor 
de x. Dizemos que esta equação é indeterminada.
Exemplo: seja a equação x – 3y = 7. Se atribuirmos valores a y e calcularmos os valores 
correspondentes de x, teremos:
x – 3y = 7
x = 7 + 3y
y x	=	7	+	3y
0 x = 7 + 3 . 0 = 7 + 0 = 7
1 x = 7 + 3 . 1 = 7 + 3 = 10
2 x = 7 + 3 . 2 = 7 + 6 = 13
3 x = 7 + 3 . 3 = 7 + 9 = 16
4 x = 7 + 3 . 4 = 7 + 12 = 19
5 x = 7 + 3 . 5 = 7 + 15 = 22
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades144
2. Sistema de equações lineares 2 x 2
No sistema de equações lineares simultâneas 2 x 2, temosduas equações lineares a duas 
incógnitas, que são satisfeitas pelos mesmos valores das incógnitas; esses valores formam uma 
solução do sistema de equações simultâneas.
Assim, a forma geral de um sistema 2 x 2 é de forma:



ax + by = c
a'x + b'y = c'
Em que a, a', b, b', c, c' são números reais quaisquer.
O sistema é dito 2 x 2, pois apresenta duas equações e duas incógnitas.
Por exemplo, as equações:



x + 3y = 5
4x – y = 7
Formam um sistema de duas equações lineares 2 x 2. Vamos trabalhar com métodos para 
resolver sistemas lineares 2 x 2: método gráfico, método da substituição, método da comparação 
e método da adição.
Mas antes vamos entender a solução gráfica do sistema anterior.
3. Solução de um sistema linear 2 x 2: 
método gráfico
Se construirmos o gráfico no plano cartesiano (eixo x e eixo y), cada equação determina 
uma reta, e o ponto de interseção dessas duas retas é a solução do sistema.



x + 3y = 5
4x – y = 7
a) x + 3y = 5
 Para x = 0, temos:
 0 + 3y = 5
 
    
5 5
y = 0, 
3 3 	
⇒	 ponto P    
5 5
y = 0, 
3 3 
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Sistemas lineares 2 x 2 145
 Para y = 0, temos:
 x + 3 . 0 = 5
 x = 5
⇒ ponto Q (5,0)
b) 4x – y = 7
 Para x = 0 temos:
 – y = 7
 y = – 7 
⇒ ponto R (0,– 7)
 Para y = 0, temos:
 4x – 0 = 7
 4x = 7
 
    
7 7
x = , 0
4 4 
 
⇒ ponto S    
7 7
x = , 0
4 4
Construindo o gráfico, temos:
Y
X
I
2 5
1
–7
7
4
5
3
P
R
S Q
O ponto I (2, 1), que é o ponto de interseção, é a solução do problema; portanto, x = 2 
e y = 1.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades146
4. Solução de um sistema linear 2 x 2: 
método da substituição
Para resolver um sistema linear 2 x 2 pelo método da substituição, isola-se o valor de x ou y 
de uma das equações e substitui esse valor na outra equação.
Exemplo:
–



2x + 3y = 7
4x 5y = 3
a) Isola-se x na primeira equação: 
 2x + 3y = 7
 2x = 7 – 3y
 
x = 7 – 3y
2
b) Substituindo x na segunda equação, temos:
 4x – 5y = 3
 7 – 3y
4 . – 5y = 3
2
2 . (7 – 3y) – 5y = 3
14 – 6y – 5y = 3
–6y – 5y = 3 –14
–11 y = –11 . (–1)
11 y = 11
 11
y =
11
 
  
∴y	= 1
c) E, voltando na expressão de x, substituindo o valor y = 1 para obter o valor de x:
x = 7 – 3y
2
x = 7 – 3 . 1
2
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Sistemas lineares 2 x 2 147
x = 7 – 3
2
x = 4
2 
∴	x	=	2
Resposta: a solução é x = 2 e y = 1.
Agora, acompanhe a resolução de um sitema de equações lineares 2 x 2 através do método 
da susbstituição e do método gráfico comparando os resultados.
–


 2x + y = 7
3x + 5y = 9
•	 Método da substituição:
a) Isola-se o y na primeira equação: 
 – 2x + y = 7
	 y	=	7	+	2x
b) Substituindo-se y na segunda equação:
 3x + 5y = 9
 3x + 5 . (7 + 2x) = 9
 3x + 35 + 10x = 9
 13x = 9 – 35
 13x = –26
 x = – 
26 
13 
 ∴ x	=	–	2
c) E, voltando na expressão de y, substituindo o valor x = –2 para obter o valor de y:
y = 7 + 2x
y = 7 + 2 . (–2)
y = 7 – 4 ∴ y	=	3
Resposta: A solução é x = – 2 e y = 3.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades148
•	 Método gráfico:
a) – 2x + y = 7
 Para x = 0: 
 – 2 . 0 + y = 7 
	 y = 7 
 ⇒ ponto P (0,7)
 
Para y = 0:
 – 2 . x + 0 = 7
 – 2x = 7 . (–1)
 2x = –7
 
x = – 7
2
 
⇒ ponto Q ( – 7 , 0 )
2
b) 3x + 5y = 9
 Para x = 0:
 3 . 0 + 5y = 9
 5y = 9
 
y = 9
5
	 ⇒ ponto R (0, 9 )
5
 Para y = 0:
 3x + 5 . 0 = 9
 3x = 9
 
x = 9 = 3
3
 ⇒ ponto S (3,0)
– 7
2
9
5
Y
X
I 3
7
3
R
P
S
Q 0–2
Note que o ponto de interseção I (–2, 3) é a solução gráfica do sistema.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Sistemas lineares 2 x 2 149
Exemplo: 
–



2x + y = 9
x 2y = 7
Solução:
a) Isolando-se x na primeira equação: 
 2x + y = 9
 y = 9 – 2x
b) Substituindo-se y = 9 – 2x na equação, temos:
 x – 2y = 7
 x – 2 . (9 – 2x) = 7
 x – 18 + 4x = 7
 x + 4x = 7 + 18
 5x = 25
 25
x =
5
 
x	=	5
c) Substituindo-se x = 5 em y = 9 – 2x, temos:
 y = 9 – 2x
 y = 9 – 2. 5
 y = 9 – 10
	 y	=	–1
 Resposta: a solução do sistema é x = 5 e y = –1.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades150
Exercícios
1. Determine a solução dos sistemas a seguir pelo método gráfico.
a) 
–



2x + 3y = 7
x y = 1
b) 
– –
–



4x y = 2
x 3y = 5
c) 
–



x + y = 6
 3x + 2y = 12
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Sistemas lineares 2 x 2 151
5. Solução de um sistema linear 2 x 2: 
 método da comparação
O método da comparação consiste em isolar o valor da mesma incógnita de cada uma das 
equações do sistema e igualar esses valores.
Exemplos:
1. Resolver o sistema 



2x + 5y = 24 (I)
5x + 7y = 21 (II)
a) Isolando-se x em ambas as equações:
(I) 2x + 5y = 24
 2x = 24 – 5y
 
2	4 –5y
x	=
2
(II) 5x – 7y = 21
 5x = 21 + 7y
 
2	1+7y
x	=
5
b) Igualando as equações I e II, temos:
 
– =24 5y 21+ 7y
2 5
c) Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
 (24 – 5y) . 5 = 2 . (21 + 7y)
 120 – 25y = 42 + 14y
 – 25y – 14y = 42 – 120
 – 39y = – 78 . (–1)
 39y = 78
 
y = 78
39 
∴ y	=	2
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades152
d) Substituindo-se y = 2 na equação I do item a, temos:
–
–
=
=
= ∴x 7=
24 5 . 2
x
2
24 10
x
2
14
x
2
Resposta: x = 7 e y = 2.
2. A soma de dois números vale 9. Se o dobro de um dos números menos o segundo vale 
12, quais são esses números?
–



x + y = 9 (I)
2x y = 12 (II)
a) Isolando-se x nas duas equações:
(I) x + y = 9
 x	=	9	–	y
(II) 2x – y = 12
 2x = 12 + y
 
12+ y
x
2
=
b) Igualando as equações I e II, temos:
 
– = 12 + y9 y
2
c) Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
 (9 – y) . 2 = 12 + y
 18 – 2y = 12 + y
 – 2y – y = 12 –18
 – 3y = – 6 . (–1)
 3y = 6
 
y = 6
3 
∴ y	=	2
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Sistemas lineares 2 x 2 153
d) Substituindo y = 2 na equação I do item a:
 x = 9 – y
 x = 9 – 2
 x	=	7
 Resposta: os números são 7 e 2.
6. Solução de um sistema linear 2 x 2: 
 método da adição
 O método da adição consiste em somar as duas equações, de tal forma que o termo de uma 
das incógnitas seja eliminado.
 Acompanhe os exemplos a seguir:
a) Resolva o sistema:
 
3x + y =1 (I)
2x – y = 9 (II)



 Adicionando a equação (I) com a equação (II), temos:
 
3x y+ 1
2x y
=
−
 (I)
 (II)9
5x 10
10
x
5
 ⊕
 =
=
=
x =2
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades154
 Substituindo x por 2 na equação (I), obtemos:
 
3x y 1
3.(2) y 1
6 y 1
y 1 6
+ =
+ =
+ =
= −
y = –5
Logo, a solução é x = 2 e y = -5.
b) Resolva o sistema:
 
x 5y 10 (I)
3x y 14 (II)
− =

+ =
 Adicionando a equação (I) com a equação (II), temos:
 
x 5y 10 (I)
3x y 14 (II)
4x 4y 24
− = ⊕
+ =
− =
 Perceba que a equação resultante: 4x – 4y = 24 continuaa apresentar termos com 
as duas incógnitas. Nesse caso, antes de adicionar as equações, devemos multiplicar 
uma das duas por um número adequado.
 Retomando o exemplo:
 
− = −

+ =
x 5y 10 . ( 3)
3x y 14
Multiplicando a equação (I) por (–3):
3 15 30
3 14
x y
x y
− + = −

+ =
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Sistemas lineares 2 x 2 155
A seguir, adicionamos as duas equações:
 
3x− 15y 30
3x
+ = −
y 14
16y 16
16
y –
16

 ⊕
 + =
= −
=
y = –1
Substituindo y por (–1) na equação (I):
 3x + y = 14
 3x + (– 1) = 14
 3x – 1 = 14
 3x = 15
 
x = 15
3
 x	=	5
Logo, a solução é x = 5 e y = -1.
Exercícios
2. Resolva os sistemas a seguir pelo método da comparação ou pelo método da adição:
a) 
–


x y = 9
2x + y = 0
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades156
b) 
–
–



x 3y = 2
x + 2y = 8
c) 



x + y = 1
x + 3y = 7
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Sistemas lineares 2 x 2 157
3. Resolva os seguintes problemas:
a) O triplo de um número menos o dobro de outro número é igual a 23. Se a soma desses 
números é 11, quais são os números?
b) Um número mais o dobro de outro número é igual a 14. Se a diferença entre o segundo 
e o primeiro é de 4, quais são os números?
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades158
c) A metade do primeiro número mais o dobro do segundo número vale 11. Se a diferença 
entre o segundo e o primeiro vale 3, quais são os números?
d) A metade de um número mais outro é igual a 1. Se a soma desses números é igual a 3, 
quais são esses números?
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Gabarito
Sistemas lineares 2 x 2
1. a) x = 2 e y = 1
b) x = –1 e y = –2
c) x = 0 e y = 6
2. a) x = 3 e y = –6
b) x = –4 e y = –2
c) x = –2 e y = 3
3. a) 9 e 2
b) 2 e 6
c) 2 e 5
d) –1 e 4
Gabarito
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades
Anotações
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
	matematica-elementar-cap-16
	matematica-elementar-cap-00
	matematica-elementar-cap-16
	z16