Matematica_II

Prévia do material em texto

Matemática II 
 
Créditos
Centro Universitário Senac São Paulo – Educação Superior a Distância
Diretor Regional Karen Helena Bueno Lanfranchi 
Luiz Francisco de Assis Salgado Katya Martinez Almeida 
Lilian Brito Santos 
Superintendente Universitário Luciana Marcheze Miguel 
e de Desenvolvimento Mariana Valeria Gulin Melcon 
Luiz Carlos Dourado Mayra Bezerra de Sousa Volpato 
Mônica Maria Penalber de Menezes 
Reitor Mônica Rodrigues dos Santos 
Sidney Zaganin Latorre Nathalia Barros de Souza Santos 
Renata Jessica Galdino 
Diretor de Graduação Sueli Brianezi Carvalho 
Eduardo Mazzaferro Ehlers Thiago Martins Navarro
Gerentes de Desenvolvimento Coordenador Multimídia e Audiovisual 
Claudio Luiz de Souza Silva Adriano Tanganeli
Roland Anton Zottele
Equipe de Design Visual 
Coordenadora de Desenvolvimento Adriana Matsuda 
Tecnologias Aplicadas à Educação Camila Lazaresko Madrid 
Regina Helena Ribeiro Danilo Dos Santos Netto 
Estenio Azevedo 
Coordenador de Operação Hugo Naoto 
Educação a Distância Inácio de Assis Bento Nehme Alcir Vilela Junior Karina de Morais Vaz Bonna 
Lucas Monachesi Rodrigues Professor Autor 
Marcela Corrente Eline Dias Moreira
Marcio Rodrigo dos Reis 
Revisor Técnico Renan Ferreira Alves 
Marcio Coelho Renata Mendes Ribeiro 
Thalita de Cassia Mendasoli Gavetti 
Técnico de Desenvolvimento Thamires Lopes de Castro 
Elizabeth Ribeiro Vandré Luiz dos Santos 
Victor Giriotas Marçon 
Coordenadoras Pedagógicas William Mordoch
Ariádiny Carolina Brasileiro Silva 
Izabella Saadi Cerutti Leal Reis Equipe de Design Multimídia 
Nivia Pereira Maseri de Moraes Cláudia Antônia Guimarães Rett 
Cristiane Marinho de Souza 
Equipe de Design Educacional Eliane Katsumi Gushiken 
Adriana Mitiko do Nascimento Takeuti Elina Naomi Sakurabu 
Alexsandra Cristiane Santos da Silva Emília Correa Abreu 
Angélica Lúcia Kanô Fernando Eduardo Castro da Silva 
Cristina Yurie Takahashi Michel Iuiti Navarro Moreno 
Diogo Maxwell Santos Felizardo Renan Carlos Nunes De Souza 
Elisangela Almeida de Souza Rodrigo Benites Gonçalves da Silva 
Flaviana Neri Wagner Ferri 
Francisco Shoiti Tanaka 
João Francisco Correia de Souza 
Juliana Quitério Lopez Salvaia 
Kamila Harumi Sakurai Simoes 
 
 
 
Matemática II 
Aula 1 
Funções e suas propriedades 
 
Objetivos Específicos 
 • Conhecer as propriedades das funções elementares. 
Temas 
. 
Introdução 
1 Funções 
Considerações finais 
Referências 
Professor 
Eline Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
A noção de função foi sendo construída ao longo da história e desde os primórdios é 
parte do cotidiano do homem. Seu estudo não é restrito apenas à Matemática, fazendo 
parte dos estudos das Ciências como um todo. Toda função expressa uma relação ou a 
correspondência entre elementos de conjuntos. 
 Estabelecer tais relações, conhecer os mecanismos e saber utilizá-los nos variados 
processos consiste em importante ferramenta do administrador nas tomadas de decisões, o 
que pode inclusive significar o diferencial de um profissional. 
1 Funções 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de Funções, é necessário 
que vocês realizem a leitura do trecho do capítulo “Funções e suas propriedades” (DEMANA 
et al., 2013, p. 69-71). Os autores apresentam de uma maneira sintética as definição de fun-
ções, notação, domínio e imagem. 
• DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
Quando tratamos de função, é importante determinar os valores possíveis para a 
variável independente chamada domínio, que podem ser explicitados com números reais (R) 
ou pertencer a um intervalo determinado. 
Ao considerar o domínio de uma função, é preciso ficar atento, pois corremos o risco de 
atribuir valores para a variável x que não possuem imagem real e, portanto, 
descaracterizariam uma função. Observe: 
Seja a função dada por f(x) = �𝑥𝑥+1
𝑥𝑥+5
�. Se considerarmos o valor de x = −5, vamos obter 
f(−5) = �−5+1
−5+5
� = �− 4
0
�, o que não é definido no conjunto dos números reais. Portanto, não é 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
possível, em nenhuma hipótese, considerar o valor x = −5 no domínio dessa função. Assim, 
o domínio é D = {x ϵ R Ι x ≠ −5}, e o contradomínio, CD = R. 
Na função h(x) = √𝑥𝑥 − 7, se tomarmos o valor x = 2, obteremos h(7) = √2 − 7 = √−5, o 
que sabemos não ser um número real. Para a raiz quadrada ser definida nos reais, é 
necessário que o radicando seja um número positivo ou zero. Nesse caso, é preciso que 
x −7 ou x ≥ 7 . Então, o domínio é D = {x ϵ R Ι x ≥ 7} e o contradomínio é CD = R. 0≥
É preciso observar com atenção as funções que possuem variáveis no denominador ou 
no radicando de raiz com índice par no momento de definir o domínio. 
1.1 Reconhecimento de função por gráfico 
A partir da representação gráfica em um sistema cartesiano, é possível identificar se 
uma relação é ou não uma função. Como para cada variável x do domínio (D) deve existir um 
único y no contradomínio (CD), é possível identificar se um gráfico representa ou não uma 
função. Basta traçar retas paralelas ao eixo y. Para ser função, cada reta traçada 
verticalmente por pontos do domínio (D) deve interceptar o gráfico em um único ponto. 
Veja a figura a seguir: 
Figura 1: Exemplo de gráfico de função 
 
Fonte: HARIKI; ABDOUNUR (1999, p. 38). 
 
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
O domínio de uma função é obtido pela projeção da curva sobre o eixo das abscissas 
(eixo x). 
A imagem de uma função é obtida pela projeção da curva sobre o eixo das ordenadas 
(eixo y). 
1.2 Crescimento e decrescimento de uma função 
Quantas são as situações que envolvem funções em seu cotidiano? Será possível 
enumerá-las? Muitas vezes deparamos com situações diárias que envolvem relação entre 
grandezas. Assim, o valor a ser pago na conta de telefone depende do consumo no período. 
Poderíamos enumerar outros milhares de exemplos. 
Para fixar o preço de um determinado produto, a indústria leva em conta todos os 
custos para sua produção e distribuição. Esses custos podem ser compostos de: aluguel de 
prédio, energia, salários e custo de matéria-prima, entre outros. Como eles são variáveis, a 
indústria precisa “equacionar” essas variáveis para compor o preço final do produto. 
Vamos utilizar a linguagem matemática para representar essas relações de dependência 
entre as grandezas, e a elas chamaremos funções. 
Diariamente, encontramos notícias de baixa ou alta no consumo de bens e serviços. 
Essa variação depende de vários fatores, como aquecimento da economia e acessibilidade 
ao crédito, entre outros. 
Com as funções acontece algo parecido. Para analisar a variação de uma função, 
atribuímos os valores do domínio e observamos o comportamento da imagem. Assim, se 
aumentando os valores da variável independente os valores da imagem também aumentam, 
encontraremos uma função crescente. Ao contrário, se aumentando os valores da variável 
independente os valores da imagem diminuem, encontraremos uma função decrescente. 
Pode acontecer também de aparecer uma função constante quando, aumentando os valores 
da variável independente, os valores da imagem permanecerem inalterados. 
Na reportagem “Renda de mulheres cresce 83%, mas homens lideram”, Rolli (2013) 
mostra que existe uma relação de dependência crescente entre as variáveis − aumento de 
 
5 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
renda e aumento de consumo; logo, temos aí o exemplo de função crescente. Imaginemos 
que Rolli também tivesse verificado que para alcançar esse aumento de renda as mulheres 
teriam desfrutado de menos tempo de lazer (pois teriam dedicado mais tempo ao trabalho). 
Nesse caso, a relação entre as variáveis seria decrescente − aumento de renda e diminuição 
do lazer – logo, estaríamos diante de uma função decrescente. 
 Para ler a reportagem na íntegra,acesse o link disponível na Midiateca. 
Para finalizar, é importante destacar que: 
Uma função f é crescente em um intervalo A de seu domínio D se, e somente se, para 
quaisquer valores x1 e x2 pertencentes a A, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2). 
Uma função f é decrescente num intervalo A de seu domínio D se, e somente se, para 
quaisquer valores x1 e x2 pertencentes a A, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2). 
Considerações finais 
Pudemos aqui rever conceitos, notações, identificação, crescimento e decrescimento de 
funções. Trabalhamos de forma prática e contextualizada para que se pudessem 
compreender os estudos iniciais sobre o tema, também visto no Ensino Médio. 
Foi muito importante relembrar que toda função estabelece um tipo de relação de 
dependência, e isso deve permanecer ao longo de toda a disciplina de Matemática II. 
Agora falando em termos de Administração... toda função relaciona: preço × 
quantidade, oferta × demanda, oferta × preço, preço × demanda, safra × preço de grãos, 
consumo × preço de mercado, preço × investimentos em sustentabilidade, entre tantos 
outros. É isso que estudaremos nas próximas aulas. 
É fundamental realizar a leitura complementar sugerida. Bons estudos e até breve! 
 
 
6 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Referências 
DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson, 
2013. 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
ROLLI, C. Renda de mulheres cresce 83%, mas homens lideram. 2013. Folha de São Paulo: 
Economia. Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br/mercado/1240722-renda-de-
mulheres-cresce-83-mas-homens-lideram.shtml>. Acesso em: mar. 2013. 
 
 
Ma temática II 
 
Aula 2 
Funções do 1º e do 2º graus 
 
. 
Objetivos Específicos 
 • Entender a aplicação das funções em diferentes contextos. 
Temas
Introdução 
1 Funções do 1º grau 
2 Funções do 2º grau 
Considerações finais 
Referências 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
Vimos que a noção de Função foi se construindo ao longo da história. Nesta aula, 
veremos algumas aplicações sobre as Funções de 1° e 2° graus utilizadas nas áreas de 
administração, economia e finanças. 
 Estabelecer as relações, por exemplo, entre oferta, demanda, custo, receita, lucro, 
prejuízo, preço e quantidade, fornece subsídios para a tomada de decisões importantes no 
dia a dia do administrador. 
1 Funções do 1°grau 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de Funções do 1° e 2° 
graus é necessário que leiam o trecho do capítulo “Funções do 1° e do 2° graus” (DEMANA 
et al., 2013, p. 93-96). 
• DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
A função do 1° grau, também conhecida como função linear, é definida em R e dada por 
f(x) = Ax + B, sendo A e B números reais. 
O gráfico de uma função linear é representado por uma reta. 
Exemplo: 
f(x) = y = 2x + 1, x ∈ R 
Tabela 1: Função linear. 
x 0 1 2 3 4 
y = 2x + 1 1 3 5 7 9 
 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Cada unidade acrescida à variável x implica um aumento de duas unidades na variável y (pois 
A = 2). 
Graficamente, teremos: 
Gráfico 1: Representação gráfica de função linear 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Há casos particulares da função linear: 
a) Quando A = 0, a equação y = Ax + B fica reduzida a y = B. A função dada por y = B 
recebe o nome de função constante, uma vez que o valor de y não varia com o aumento de 
x. O gráfico é sempre representado por uma reta horizontal e paralela ao eixo x. 
b) Quando B = 0, a equação y = Ax + B fica reduzida a y = Ax. A função dada por 
 y = Ax é representada por uma reta que passa pela origem dos eixos x e y. 
 
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
1.1 Construção do gráfico de uma função linear a partir da função 
Para construir o gráfico de uma função linear utilizaremos o seguinte exemplo: 
y = 4x – 1, para x ∈ R. 
Como o gráfico da função linear é uma reta, bastam dois pontos para determiná-la: 
Logo, podemos construir uma tabela para melhor visualização. 
Tabela 2: Função linear a partir de função. 
x 0 1 
y = 4x – 1 – 1 3 
Cada unidade acrescida à variável x implica um aumento de quatro unidades na variável 
y, (pois A = 4). Graficamente, teremos: 
Gráfico 2: Representação gráfica de função linear a partir de função 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Há diversas aplicações das funções lineares. A seguir daremos um exemplo. 
Um comerciante compra 100 unidades de um produto por R$ 40,00 a unidade. 
Acrescenta 50% ao custo unitário de R$ 40,00 e passa a vender o produto para seus clientes. 
Calcule a receita do comerciante em função das unidades vendidas do produto. 
Solução: 
Cálculo do preço de venda: 
• Custo por unidade: R$ 40,00 
• Acréscimo: 50% × R$ 40,00 = R$ 20,00 
• Preço de venda: R$ 40,00 + R$ 20,00 = R$ 60,00 
 Logo, a receita R por unidade vendida é R$ 60,00 e, portanto, para q unidades 
devemos ter R = 60 × q. 
2 Funções do 2°grau 
Será que as Funções do 2° grau têm o mesmo comportamento das Funções do 1° grau? 
Será que possuem a mesma forma de construção gráfica? 
 
6 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
A função do 2° grau, também conhecida como função quadrática, é definida em R e 
dada por f(x) = Ax2 + Bx + C, sendo A, B e C números reais e A ≠ 0. 
O gráfico de uma função quadrática é representado por uma parábola que tem 
concavidade voltada para cima, caso A seja positivo, e concavidade para baixo, caso A seja 
negativo. 
Exemplo: 
f(x) = y = 2x2 + 1, x ∈ R 
Gráfico 3: Representação gráfica de função quadrática “A positivo” 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Exemplo: 
f(x) = y = –2x2 + 1, x ∈ R 
 
 
7 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Gráfico 4: Representação gráfica de função quadrática “A negativo” 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
2.1 Construção do gráfico de uma função quadrática 
Para construir o gráfico de uma função quadrática utilizaremos o seguinte exemplo: 
Construir o gráfico da função dada por y = –2x2, para x ∈ R e A ≠ 0 
Solução: 
a) Cruzamento com o eixo x: faça y = 0 
Então: –2x2 = 0 (equação do 2° grau) 
–2x2 = 0 → x2 = 𝟎𝟎
−𝟐𝟐
 
x2 = 0 → x = ±√𝟎𝟎 = 0 
A parábola toca o eixo x no ponto x = 0 
b) Cruzamento com o eixo y: faça x = 0 
Então: y = –2(0)2 = 0 
A parábola cruza o eixo y no ponto (0, 0). 
c) Vértice e eixo de simetria 𝒙𝒙 = −𝑩𝑩
𝟐𝟐𝟐𝟐
= − (𝟎𝟎)
𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐
= 𝟎𝟎 𝒆𝒆 𝒚𝒚 = −∆
𝟒𝟒𝟐𝟐
 = −𝟎𝟎
𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐
= 𝟎𝟎 
Se Δ = b² – 4 × a × c , então Δ = (0)² – 4 × (–2) × 0 , portanto Δ = 0 
 
8 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
O eixo vertical de simetria passa por x = 0 e é, portanto, o próprio eixo y. 
Resumindo as informações, teremos: 
Gráfico 5: Representação gráfica de função quadrática 
 
 
Há diversas aplicações das funções quadráticas. A seguir daremos um exemplo. 
A quantidade vendida de um bem está relacionada a seu preço, segundo a Função 
linear: 
q = 10 000 – 5p, 𝟐𝟐𝟎𝟎 ≤ 𝒑𝒑 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎 
Para cada preço p fixado, a receita obtida com a venda da quantidade correspondente 
q do bem é o produto da quantidade pelo preço unitário: R = p × q. Descreva a receita como 
função da quantidade q. 
Solução: 
Como a receita é calculada como R = p × q e a quantidade por q = 10 000 – 5p para 
𝟐𝟐𝟎𝟎 ≤ 𝒑𝒑 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎, então, substituindo q em R , temos: 
 
9 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
R = p × (10 000 – 5p), com 𝟐𝟐𝟎𝟎 ≤ 𝒑𝒑 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎 ou R = 10 000p – 5p2, com 𝟐𝟐𝟎𝟎 ≤ 𝒑𝒑 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎 
A receita é uma função quadrática do preço de venda do bem. 
A parábola fica bemcaracterizada quando conhecemos seu cruzamento com os eixos e 
seu vértice. 
O vértice da parábola posiciona seu eixo de simetria vertical. 
Considerações finais 
Nesta aula tivemos a oportunidade de identificar, diferenciar, verificar a construção 
gráfica e visualizar situações cotidianas de aplicações de Funções de 1° e 2° graus. 
Trabalhamos de forma prática e contextualizada para que pudesse compreender as 
aplicações e a utilização dessas funções em diferentes contextos. 
No dia a dia de um administrador, diversas situações de relações, conhecidas por 
funções, são experienciadas a todo instante. Podemos exemplificar: a composição dos 
salários dependendo do tempo trabalhado ou talvez de horas extras realizadas, a 
composição do 13° salário dependendo do período anual trabalhado, o cálculo do índice de 
participação nos lucros dependendo da lucratividade anual da empresa, entre outros. Daí a 
importância dos estudos relacionados ao tema. 
Vamos lá... agora é a sua vez, realize a leitura sugerida no início da aula e bons estudos! 
Referências 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
 
 
 
Matemática II 
Aula 3 
Funções polinomiais 
 
. 
Objetivos Específicos 
 • Entender o comportamento gráfico, as raízes e limites de uma função 
polinomial. 
 
 
Temas 
Introdução 
1 Funções Polinomiais 
Considerações finais 
Referências 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
Na aula anterior, recordamos as funções de 1° e 2° graus. Vimos que a função de 1° 
grau é representada, graficamente, por uma reta. Vimos também que a função de 2° grau é 
representada, graficamente, por uma parábola. Nesta aula, trataremos das funções 
polinomiais, identificando o comportamento, os limites e as raízes. 
1 Funções polinomiais 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de funções polinomiais, é 
necessário que realizem a leitura do trecho do capítulo “Funções polinomiais” (DEMANA et 
al., 2013, p. 115-117). Os autores apresentam, de maneira sintética, o comportamento, os 
limites e as raízes da função polinomial. 
• DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson, 2013. 
Função polinomial é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio. 
Essas funções aparecem com frequência em diversos tipos de problemas, tanto na 
Matemática como na Administração ou em outras Ciências. É muito comum aparecerem em 
situações reais do dia a dia. 
Podemos dizer que f é uma função polinomial de grau n se: 
f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + a3xn-3 + ...+ an-1x1 + an, sendo a0, a1, a2, a3, …, an todos 
números reais com a0 ≠ 0 para garantir o grau n. 
Veja os exemplos a seguir: 
a) A função f(x) = 12 é uma função polinomial de grau 0, conhecida como função 
constante. É representada, graficamente, por uma reta horizontal e paralela ao eixo x, pois, 
em qualquer valor de x, teremos f(x) = 12. 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
b) A função f(x) = x – 2 é uma função polinomial de grau 1, conhecida como função 
linear. É representada, graficamente, por uma reta. 
c) A função f(x) = x2 – 4x + 3 é uma função polinomial de grau 2, conhecida como função 
quadrática. É representada, graficamente, por uma parábola. 
d) A função f(x) = x3 + 2x2 + 7x + 12 é uma função polinomial de grau 3. 
E assim, sucessivamente, podemos ter funções polinomiais de grau n. 
A construção dos gráficos das funções polinomiais de graus maiores do que 3 não é 
feita com recursos elementares. Utilizam-se conceitos de derivadas e limites, que veremos 
nas próximas aulas. 
1.1 Comportamento gráfico de uma função polinomial 
Uma maneira prática a ser utilizada quando se quer saber o comportamento gráfico de 
uma função, em um determinado intervalo do domínio, é atribuir vários valores para x 
dentro do intervalo, de forma que sejam muito próximos uns dos outros. Para tanto, 
geralmente utiliza-se algum aplicativo de microinformática. 
Vamos utilizar o exemplo a seguir: 
Digamos que queremos saber o comportamento gráfico da função f(x) = x5 – 5x – 6 
dentro do intervalo do domínio [–2, 2]. Vamos atribuir a x os valores: –2; –1,9; –1,8; –1,7; 
–1,6; ... ; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2.: 
 
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Figura 1: Gráfico da função f(x) = x5 – 5x – 6 , no intervalo [–2, 2] 
 
Fonte: MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB (2003, p. 83). 
Encontrar as raízes de uma função f significa encontrar os valores de x por onde o 
gráfico de y = f(x) intercepta o eixo horizontal x, que representam as soluções da equação 
f(x) = 0. 
Uma boa dica é fatorar a função polinomial como veremos a seguir. 
1.2 Raízes de uma função polinomial 
Como efetuar a fatoração de um polinômio de grau 3, por exemplo? 
Temos inúmeros exemplos de funções polinomiais envolvendo diferentes graus. 
Escolhemos aqui encontrar as raízes de uma função polinomial de grau 3. 
Seja f(x) = x3 – x2 – 6x a função polinomial na qual queremos encontrar suas raízes. 
• Solução algébrica 
Primeiramente resolvemos a equação f(x) = 0 fatorando: 
x3 – x2 – 6x = 0 
x(x2 – x – 6) = 0 
 
5 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
x(x – 3)(x + 2) = 0 
x = 0 ou x = 3 ou x = –2 
Portanto, as raízes da função polinomial são 0, 3 e –2 
• Solução gráfica 
Você pode usar um aplicativo de microinformática, uma calculadora com esse recurso 
ou esboçar manualmente o gráfico da função. Confira na Figura 2. 
Figura 2: Gráfico da função polinomial f(x) = x3 – x2 – 6x 
 
 
Note que a função representada no gráfico da Figura 2 intercepta o eixo x (das 
abscissas) nos pontos (–2; 0), (0; 0) e (3; 0) exatamente nos valores encontrados também na 
solução algébrica conhecidos por raízes ou zeros da função. 
 
 
6 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
1.3 Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial 
 Um número k é um limite superior para raízes reais de f se f(x) = y não for zero, quando 
x for maior do que k. Da mesma forma, um número k é um limite inferior para raízes reais de 
f se f(x) = y não for zero, quando x for menor do que k. Assim, se c é um limite inferior e d é 
um limite superior para as raízes reais de uma função f, então todas as raízes reais de f 
precisam estar no intervalo [c, d]. 
Teste dos limites superior e inferior de raízes reais 
Seja f uma função polinomial de grau n ≥ 1 com um coeficiente principal positivo, 
supondo f(x) dividido por x – k, usando o método de Briot Ruffini. Esse método é estudado 
no Ensino Médio – faz parte do componente curricular. 
− Se k ≥ 0 e todos os números na segunda linha não são negativos (sendo positivos ou 
zero), então k é um limite superior para as raízes reais de f. 
− Se k ≤ 0 e os números na segunda linha são alternadamente não negativos e não 
positivos, então k é um limite inferior para as raízes reais de f. 
Tomemos um exemplo do livro Pré-cálculo (DEMANA et al., 2013, p. 30). 
Faça os cálculos e prove que todas as raízes reais de f(x) = 2x4 – 7x³ – 8x² + 14x + 8 
pertencem ao intervalo [–2, 5]. 
Solução: Precisamos provar que 5 é um limite superior e que –2 é um limite inferior 
para as raízes reais de f. A função f tem um coeficiente principal positivo; assim, podemos 
aplicar o teste dos limites superior e inferior de raízes reais e usar o método de Briot Ruffini. 
Esse método é estudado no Ensino Médio – faz parte do componente curricular. 
 2 –7 –8 14 8 
5 2 3 7 49 253 
 
 
7 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
 2 –7 –8 14 8 
–2 2 –11 14 –14 36 
 
Como na segunda linha da primeira divisão temos todos os números não negativos, 
então 5 é um limite superior. Comona segunda linha da segunda divisão temos números 
alternando o sinal, então –2 é um limite inferior. Portanto, todas as raízes reais de f precisam 
estar no intervalo fechado [–2, 5]. 
Considerações finais 
Vimos, nesta aula, o comportamento gráfico, as raízes e os limites superior e inferior 
das raízes das funções polinomiais. Relembramos também a utilização do método de Briot 
Ruffini, que nos permitiu identificar os limites inferior e superior da função. Todos esses 
estudos nos servirão de base para as próximas aulas. 
Realize, sempre, uma releitura atenta da aula para que o tema fique claro para você! 
Bons estudos! 
Referências 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. São 
Paulo: Saraiva, 2003. 
 
 
Matemática II 
Aula 4 
Limites: cálculos de velocidades 
. 
Objetivos Específicos 
 • Entender o conceito de limite de funções em cálculos de velocidades 
Temas 
Introdução 
1 Noção intuitiva de limite 
2 Limites: Cálculo de velocidade 
Considerações finais 
Referências 
 
 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
Em diversas situações cotidianas, deparamos com situações que envolvem 
representações gráficas. Se você olhar para o jornal de hoje, por exemplo, poderá verificar 
que grande parte das matérias utilizam recursos gráficos. 
Há grande interesse nos estudos do comportamento das funções em diferentes pontos 
do gráfico. O estudo pontual das várias curvas pode fornecer, por exemplo, o lucro em uma 
determinada mercadoria quando a produção tende a um determinado valor considerado 
ideal. Esse estudo é conhecido como limite de funções. 
O conceito de limite de funções é importante na determinação do comportamento de 
funções nas vizinhanças de um ponto fora do domínio, no comportamento de funções 
quando x aumenta muito, isto é, tende a mais infinito, ou diminui muito, isto é, tende a 
menos infinito. Além disso, esse conceito é utilizado em derivadas, tema das próximas aulas. 
1 Noção intuitiva de limite 
Antes mesmo de iniciarmos os estudos sobre limites em cálculos de velocidades 
faremos, a seguir, uma retomada à noção intuitiva de limite. 
Intuitivamente, dada uma função f(x) e um ponto b do domínio, dizemos que o limite da 
função é l quando x tende a b pela direita (𝒙𝒙 → 𝒃𝒃+) se, à medida que x se aproxima de b 
pela direita (isto é, por valores superiores a b), os valores de f(x) se aproximam de L. 
Simbolicamente, escrevemos: 
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝒃𝒃+
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝑳𝑳 
Analogamente, dizemos que o limite da função é M quando x tende a b pela esquerda 
(𝒙𝒙 → 𝒃𝒃−) se, à medida que x se aproxima de b pela esquerda (isto é, por valores inferiores a 
b), os valores de f(x) se aproximam de M. Simbolicamente, escrevemos: 
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒙𝒙→𝒃𝒃−
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝑴𝑴 
Seja a função f(x) = 2x + 1, vamos dar valores para x que se aproximem de 1, pela sua 
direita (Valores maiores que 1) e pela sua esquerda (Valores menores que 1), e calcular y. 
 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
 
 
 
 
 
x y = 2x + 1 
1,5 4 
1,3 3,6 
1,1 3,2 
1,05 3,1 
1,02 3,04 
1,01 3,02 
x y = 2x + 1 
0,5 2 
0,7 2,4 
0,9 2,8 
0,95 2,9 
0,98 2,96 
0,99 2,98 
Gráfico 1: Valores maiores e menores que 1 
 
 
À medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1 (𝑥𝑥 →
1), y tende a 3 ( 𝑦𝑦 → 3), então temos a notação ... 
lim(2𝑥𝑥 + 1) = 3 
𝑥𝑥→1
Genericamente temos... 
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = b 
𝑥𝑥→𝑎𝑎
… mesmo que em alguns casos para x = a resulte y ≠ b. 
Vejamos agora um exemplo: 
2
𝑓𝑓( ( )𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 +𝑥𝑥−2 ; 𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2 = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 2) → 𝑥𝑥−1 (𝑥𝑥+2) ; 𝑥𝑥 ≠ 1 
𝑥𝑥−1 𝑥𝑥−1
Podemos notar que para 𝑥𝑥 → 1, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 3. Ocorre que procuramos o comportamento 
da função quando x tende a 1 (𝑥𝑥 → 1); logo, temos lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3. 
𝑥𝑥→1
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Comprovando... 
lim
𝑥𝑥→1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim
𝑥𝑥→1
(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+2)
𝑥𝑥−1
= lim
𝑥𝑥→1
(𝑥𝑥 + 2) = 1 + 2 = 3, em que (x + 2), agora poderá ser 
chamada de g(x). 
Se 𝑔𝑔:𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 𝑒𝑒 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 2, lim
𝑥𝑥→1
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = lim
𝑥𝑥→1
(𝑥𝑥 + 2) = 1 + 2 = 3, 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≠
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite: 
Gráfico 2: Igualdade de limites 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
2 Limites: cálculo de velocidades 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de Limites, é necessário 
que realizem a leitura do trecho do capítulo “Limites: cálculo de velocidades” (DEMANA et 
al., 2013, p. 233-235). Os autores apresentam de maneira sintética definição de funções, 
notação, domínio e imagem. 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson, 2013. 
 
5 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Vamos aqui utilizar a aplicação de cálculos de velocidades para estudar limites. 
Sabe-se que Galileu fez experimentos com a gravidade rolando uma bola em um plano 
inclinado e registrando sua velocidade em função do tempo decorrido. Supõe-se que ele 
tenha investigado a mesma situação que veremos a seguir. 
Uma bola rola uma distância de 10 metros em 5 segundos. Qual é a velocidade da bola 
no instante de 2 segundos após ter começado a rolar? 
Cabe aqui uma observação: Bem, então a bola teria velocidade zero porque está 
congelada! Essa abordagem parece insignificante, já que, evidentemente, a bola 
está se movendo. Essa é uma pergunta complicada? Ao contrário, é na verdade 
uma pergunta profunda; é exatamente a que Galileu (entre muitos outros) estava 
tentando responder. (DEMANA et al., 2013, p. 235) 
Para calcular a velocidade média procedemos assim: 
𝒗𝒗𝒎𝒎é𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 = ∆𝑺𝑺∆𝒕𝒕
 
𝒗𝒗𝒎𝒎é𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 = 
𝟏𝟏𝟏𝟏𝒎𝒎
𝟓𝟓𝟓𝟓
= 𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝟓𝟓 
No entanto, o mesmo não procede no cálculo da velocidade instantânea. Veja a seguir: 
𝒗𝒗
𝒅𝒅𝒊𝒊𝟓𝟓𝒕𝒕𝒅𝒅𝒊𝒊𝒕𝒕â𝒊𝒊𝒏𝒏𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝟓𝟓
 
Não conseguimos aplicar a álgebra no caso da velocidade instantânea porque envolve 
divisão por zero, que é indefinida. 
Segundo Demana et al. (2013, p. 235), “Galileu fez o melhor que pôde para tornar o ∆𝒕𝒕 
o menor possível experimentalmente, medindo os valores pequenos de ∆𝑺𝑺, e então 
encontrado os quocientes”. 
Agora vamos retomar parte do texto do exercício utilizando, desta vez, os limites para 
evitar divisão por zero. 
Uma bola rola por uma rampa de modo que a distância S a partir do topo e depois de t 
segundos é exatamente 𝒕𝒕𝟐𝟐 metros. Qual é a velocidade instantânea depois de 5 segundos? 
Vamos calcular a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores a fim de 
verificar o comportamento da função: 
a) No intervalo [5; 5,1] 
𝒗𝒗
𝒎𝒎 = ∆𝑺𝑺∆𝒕𝒕 = 
(𝟓𝟓,𝟏𝟏)𝟐𝟐− 𝟓𝟓𝟐𝟐
𝟓𝟓,𝟏𝟏−𝟓𝟓 = 
𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟓𝟓
𝟏𝟏,𝟏𝟏 = 
𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝟏𝟏,𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝟓𝟓 
 
 
6 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
b) No intervalo [5; 5,01] 
𝒗𝒗
𝒎𝒎 = ∆𝑺𝑺∆𝒕𝒕 = 
(𝟓𝟓,𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐− 𝟓𝟓𝟐𝟐
𝟓𝟓,𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 = 
𝟐𝟐𝟓𝟓,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟓𝟓
𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 = 
𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 
𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝟓𝟓 
 
Concluímos que a velocidade instantânea deve ser 10 m/s. 
No entanto, podemos verificar o quociente tratando-o como um limite de velocidade 
média no intervalo [5, t], quando t se aproxima de 5: 
𝒗𝒗 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝜟𝜟𝒕𝒕 →𝟏𝟏
∆𝑺𝑺
∆𝒕𝒕
= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒕𝒕→𝒅𝒅
𝑺𝑺(𝒕𝒕) − 𝑺𝑺(𝒅𝒅)
𝒕𝒕 − 𝒅𝒅
 
Para t se aproximando de S: 
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒕𝒕→𝟓𝟓
𝑺𝑺(𝒕𝒕)− 𝑺𝑺(𝟓𝟓)
𝒕𝒕−𝟓𝟓
 = 
= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒕𝒕→𝟓𝟓
 ∆𝑺𝑺
∆𝒕𝒕= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒕𝒕→𝟓𝟓
 𝒕𝒕
𝟐𝟐− 𝟓𝟓𝟐𝟐
𝒕𝒕−𝟓𝟓
= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒕𝒕→𝟓𝟓
 (𝒕𝒕+𝟓𝟓)(𝒕𝒕−𝟓𝟓)
𝒕𝒕−𝟓𝟓
= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒕𝒕→𝟓𝟓
 (𝒕𝒕 + 𝟓𝟓) = 𝟏𝟏𝟏𝟏 m/s 
Considerações finais 
Vimos a noção intuitiva e o conceito de limites, bem como a aplicação de limites em 
cálculos de velocidades. Trabalhamos de forma prática e contextualizada para que se 
pudessem compreender os estudos iniciais sobre o tema, que terá continuação nas próximas 
aulas. 
Podemos chamar essa aula de introdutória aos estudos subsequentes sobre limites e 
derivadas. Mais adiante veremos muitas aplicações em que utilizamos limites em 
Administração e Economia. 
É muito importante estar atento a cada detalhe trabalhado nessa aula e, assim que 
possível, realizar a releitura sobre o tema. Até breve! 
Referências 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
 
 
Matemática II 
Aula 5 
Limites: cálculo no infinito 
. 
Objetivos Específicos 
 • Entender o conceito de limites infinitos para determinar o comportamento das 
funções. 
Temas 
Introdução 
1 Limites infinitos 
Considerações finais 
Referências 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
Na aula anterior, salientamos a importância do estudo das representações gráficas. Os 
estudos do comportamento das funções em diferentes pontos do gráfico, inclusive em 
pontos do infinito, são fundamentais para compreensão e análises. 
O estudo pontual das diversas curvas pode nos fornecer, por exemplo, a demanda de 
determinado produto quando a quantidade ou o preço tendem a um certo valor 
considerado ideal. Esse estudo é conhecido como limites de funções e, aqui em particular, 
limites infinitos. 
O conceito de limite de funções é necessário na determinação do comportamento de 
funções nas vizinhanças de um ponto fora do domínio, no comportamento de funções 
quando x aumenta muito, isto é, tende ao infinito, ou diminui muito, isto é, tende a menos 
infinito. Além disso, esse conceito é utilizado em derivadas, tema das próximas aulas. 
1 Limites infinitos 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de Limites Infinitos, é 
necessário que realizem a leitura do trecho do capítulo “Limites” (DEMANA et al., 2013, p. 
238-242). Os autores apresentam de maneira sintética a definição e o cálculo de limites 
infinitos. 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson, 2013. 
Consideramos a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 6
𝑥𝑥−2
 definida para os reais diferentes de 2. Vejamos o 
que acontece com a função nas “vizinhanças” de 2. 
Calculemos o limite de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) quando x tende a 2 pela direita, atribuindo ao x valores 
sucessivos que convirjam para 2 pela direita, veja: 
(2,1; 2,01; 2,001; ...) 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
𝑓𝑓(2,1) = 
6
0,1
= 60 
𝑓𝑓(2,01) = 
6
0,01
= 600 
𝑓𝑓(2,001) = 6
0,01
= 6000 podemos concluir que as imagens são crescentes. Dizemos, 
neste caso, que o limite de f(x), quando x tende a 2 pela direita, é infinito, e escrevemos: 
lim
𝑥𝑥→2+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim
𝑥𝑥→2+
 
6
𝑥𝑥 − 2
= ∞ 
Analogamente, para calcularmos o limite de f(x) pela esquerda, vamos atribuir a x os 
valores: 
(1,9; 1,99; 1,999; ...) 
𝑓𝑓(1,9) = 
6
−0,1
= − 60 
𝑓𝑓(1,99) = 
6
−0,01
= − 600 
𝑓𝑓(1,999) = 6
−0,01
= − 6000 podemos concluir que as imagens são decrescentes. 
Dizemos, neste caso, que o limite de f(x), quando x tende a 2 pela esquerda, é menos 
infinito. 
lim
𝑥𝑥→2−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim
𝑥𝑥→2−
 6
𝑥𝑥−2
= − ∞ 
De maneira geral, o limite de uma função é infinito quando os valores de f(x) vão se 
tornando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado; analogamente, dizemos que o 
limite de uma função é menos infinito quando os valores de f(x) vão ficando cada vez 
menores, de modo a se situarem abaixo de qualquer valor fixado. 
 
 
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
1.1 Definição de limites infinitos 
Dizemos que b é o limite da função f(x) quando x tende a mais infinito na situação em 
que, para qualquer valor do número positivo 𝜀𝜀, é possível encontrar outro número real K, tal 
que se x é maior que K, então a distância entre f(x) e b é menor que 𝜀𝜀. 
Simbolicamente, essa definição se apresenta assim: 
lim
𝑥𝑥→+∞
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏 ↔ ∀𝜀𝜀 > 0 ∃ 𝐾𝐾 ∈
𝑅𝑅
𝑥𝑥
> 𝐾𝐾 → |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑏𝑏| < 𝜀𝜀 
Considerações finais 
Nesta aula tivemos a oportunidade de ver a noção e a definição de limites infinitos. 
Conforme vimos, a expressão x → +∞ (x tende para infinito) significa que x assume valores 
superiores a qualquer número real e x −∞ (x tende para menos infinitos), da mesma forma, 
indica que x assume valores menores que qualquer número real. 
Esses estudos nos permitem analisar o comportamento das funções que não são 
limitadas. É importante porque nos mostra a tendência “negativa” e “positiva” para que 
decisões sejam adotadas a partir de análises pontuais. 
Sugiro a releitura da aula, assim você fixará melhor o tema que serve como base para os 
próximos estudos. Até breve! 
Referências 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
http://www.catalao.ufg.br/mat/galdino/calculoI/Limites_de_funcoes/intuitiva/def2_limite_finito.htm
http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites4.php
 
 
Ma temática II 
 
Aula 6 
Continuidade 
. 
Objetivos Específicos 
 • Compreender o conceito de continuidade em funções 
Temas 
Introdução 
1 Continuidade 
Considerações finais 
Referências 
Professor 
Eline Dias Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
Intuitivamente, a ideia de função contínua decorre da análise de seu gráfico. Assim, 
podemos dizer que o gráfico de uma função contínua não apresenta interrupções (“furos”) 
e, analogamente, o gráfico de uma função descontínua apresenta interrupções (“furos”), 
que veremos a seguir. 
Com o estudo dos limites e continuidade das funções, o administrador desenvolve a 
habilidade de interpretar e resolver problemas relacionando o conteúdo à prática 
profissional. 
1 Continuidade 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de Continuidade, é 
necessário que realizem a leitura do trecho do capítulo “Limites e continuidade” (THOMAS, 
WEIR, HASS, 2012, p. 88-91). Os autores apresentam de maneira sintética a definição, a 
forma gráfica, as características e as aplicações de continuidade. 
• THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS J. Cálculo 1. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2012. 
Consideremos as funções f e g, reais de variável real, definidas pelos seus gráficos da 
figura 1 a seguir. 
De um modo intuitivo, somos levados a dizer que a função f é contínua: seu gráfico 
pode ser desenhado sem que se levante o lápis do papel, ou seja, não há “furos” na curva. 
No caso da função g, para desenhar o gráfico, temos de dar um salto no ponto 
correspondente a x = 0. Somos levados a dizer que a função g não é contínua no ponto x = 0 
ou que 0 é um ponto de descontinuidade da função, isto é, há uma interrupção (salto ou 
“furo”) na curva. 
 
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm13/document/continua/contin_1/contin_1.htm
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Figura 1: Gráficos de funções contínuas 
 
Fonte: OLIVEIRA; SARAIVA; VARANDAS (1999). 
Seja a figura a seguir. 
Figura 2: Gráficos de funções descontínuas 
 
Fonte: OLIVEIRA; SARAIVA; VARANDAS (1999). 
Pode-se dizer que a função h não é contínua no ponto x = 3. Seria contínua se a imagem 
de 3 estivesse no "ponto certo", de modo que o gráfico da função representasse a parábola 
completa, o que corresponderiaao valor da função para x = 3 ser igual ao limite da função 
quando x tende a 3. 
Também a função m não é contínua no ponto x = 2, pois vemos que não existe o limite 
da função quando x tende a 2. 
 
 
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Em matemática, uma função é chamada contínua quando, intuitivamente, a pequenas 
variações nos domínios correspondem pequenas variações nas imagens. Nos pontos em que 
a função não é contínua, diz-se que a função é descontínua, ou que se trata de um ponto de 
descontinuidade. 
1.1 Definição do conceito de continuidade 
Seja f uma função real, de variável real, e a um ponto do domínio de f. 
Diz-se que a função f é contínua no ponto a se e somente se o limite de f quando x 
tende para a e o valor desse limite coincide com o valor da função no ponto a. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) é 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛 ↔ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒 lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝒆𝒆 lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑛𝑛) 
Referiu-se que o ponto a pertence ao domínio da função, logo não faz sentido falar em 
continuidade em um ponto que não pertence ao domínio da função. Também não falamos 
em continuidade em pontos isolados, visto que consideramos a um ponto do domínio. 
Seja f uma função real, de variável real, e a um ponto do domínio de f. 
Diz-se que a função f é descontínua em a se e somente se não existir o limite da função 
quando x tende a a ou se esse limite é diferente do valor da função para x = a. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥)é 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛 ↔ 𝑐𝑐ã𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒 lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝒐𝒐𝒐𝒐 lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≠ 𝑓𝑓(𝑛𝑛) 
 
 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o
 
5 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Veja a seguir um exemplo resolvido para ilustrar a verificação de continuidade. 
Verifique a continuidade da função no ponto indicado: 
f(x) = x2 + 1 em x = 1 
Resolução: 
f(1) = 1² + 1 = 2 ∴ ∈ f(1) 
lim
𝑥𝑥→1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim
𝑥𝑥→1
(𝑥𝑥2 + 1) = 12 + 1 = 2 
lim
𝑥𝑥→1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(1) = 2 
∴ f(x) = x2 + 1 é contínua em x = 1. 
Considerações finais 
Nesta aula tivemos a oportunidade de verificar a continuidade das funções. Vimos, de 
maneira prática, que essa análise está diretamente ligada à visualização gráfica da função. 
Faça a releitura dessa aula para fixar o tema trabalhado e assimilar o conceito formal de 
continuidade que servirá para relacioná-lo ao cotidiano. Bons estudos! 
 
 
6 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Referências 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
OLIVEIRA, H.; SARAIVA, R.; VARANDAS, J. M. Função contínua e função descontínua num 
ponto “a” do seu domínio. Universidade de Lisboa. Departamento de Educação. 
Interdisciplinaridade Ciência-Matemática, 1999/2000. Disponível em: 
<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm13/document/continua/contin_1/contin_1.htm>. 
Acesso em: abr. 2013. 
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS J. Cálculo 1. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. 
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm13/document/continua/contin_1/contin_1.htm
 
 
Matemática II 
Aula 7 
Taxa média de variação 
. 
Objetivos Específicos 
 • Entender o conceito de taxa média de variação de função. 
Temas 
 
 
Introdução 
1 Taxa média de variação de uma função y = f(x) no intervalo [a, b] 
Considerações finais 
Referências 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
Estudos que envolvem situações de crescimento e decrescimento médio de funções 
fazem parte do interesse das Áreas do Conhecimento. 
Nas diversas situações, há interesse nos estudos do comportamento das funções em 
pontos distintos do gráfico, inclusive em espaços intervalares. O estudo das diversas curvas 
pode nos fornecer, por exemplo, a taxa de variação média da oferta de um determinado 
produto quando a quantidade ou o preço tendem a variar em algum intervalo de valores. 
Esse estudo é conhecido como taxa média de variação de uma função no intervalo. 
Quando x aumenta muito, é possível analisar o que pode ocorrer com a oferta ou a 
demanda, no caso de estudos em Economia e Administração. Além disso, esse conceito é 
utilizado em derivadas, tema das próximas aulas. 
1 Taxa média de variação de uma função y = f(x) no 
intervalo [a, b] 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de Taxa Média de 
Variação, é necessária a leitura do trecho do capítulo “Funções do primeiro e segundo 
graus” da obra Pré-cálculo (DEMANA et al., 2013, p. 94-98). Os autores apresentam, de 
maneira sintética, a definição e o cálculo de limites infinitos. 
• DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
Suponhamos que a função y = f(x) seja definida no intervalo [a, b]. Quando a variável x 
passa do valor a para o valor b variando ∆𝒙𝒙 = 𝒃𝒃 − 𝒂𝒂, os valores da função y = f(x) passam de 
y = f(a) para y = f(b), variando ∆𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒃𝒃) − 𝒇𝒇(𝒂𝒂). 
A divisão da variação Δy de y, pela variação Δx de x é a taxa média de variação dessa 
função no intervalo [a, b]. Indica-se: 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 = 
∆𝒚𝒚
∆𝒙𝒙
 
De maneira geral, a taxa média de variação indica o que ocorre em média com a função 
em um intervalo. Quando a taxa média é positiva, indica que houve crescimento médio; 
quando a taxa média é negativa, indica que houve decrescimento médio. 
Se a TMV = 5, significa que no intervalo a função está crescendo 5 unidades em média, 
para cada acréscimo de 1 em x. 
Se a TMV = −5, significa que no intervalo a função está decrescendo 5 unidades em 
média, para cada acréscimo de 1 em x. 
1.1 Cálculo da taxa média de variação em funções 
Exemplo 1: 
Calcular e interpretar o valor da taxa média de variação da função 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 no 
intervalo [1, 3]. 
Solução: 
Para cálculo do ∆𝒙𝒙, temos: 
�
𝒃𝒃 = 𝟑𝟑
𝒂𝒂 = 𝟏𝟏
 ∆𝒙𝒙 = 𝟑𝟑 − 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐
 
Para cálculo do ∆𝒚𝒚, temos: 
�
𝒇𝒇(𝟑𝟑) = 𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒇𝒇(𝟏𝟏) = 𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐
∆𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 = 𝟖𝟖
 
𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 =
∆𝒚𝒚
∆𝒙𝒙
= 
𝟖𝟖
𝟐𝟐
= 𝟒𝟒 
 
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Podemos dizer que, no intervalo [1, 3], a função 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 está crescendo em 
média 4 para cada unidade acrescida em x. 
Considerações finais 
Muito embora o conhecimento da taxa média de variação não nos forneça uma 
quantidade razoável de informações para podermos decidir como a variável dependente se 
comporta em relação à variável independente em um ponto específico, ele nos permite uma 
boa análise em um intervalo. 
Nesta aula, vimos a definição de taxa média de variação. 
Vimos que as grandezas variam. Todos os dias, pensamos muitas vezes na variação de 
grandezas, como o tempo gasto para chegar ao trabalho, o quanto engordamos ou 
emagrecemos no último mês, a variação da temperatura em um dia específico, e assim por 
diante. De modo geral, quando uma grandeza está expressa em função de uma outra, 
observamos que, para uma dada variação, ocorre, em correspondência, uma dada variação 
da outra grandeza. O quociente entre as duas variações de grandezas recebe o nome de taxa 
média de variação. 
Conforme vimos, quando a taxa média é positiva, indica que houve crescimento médio; 
quando a taxa média é negativa, indica que houve decrescimento médio. Releia a aula com 
muita atenção; assim, você fixará melhor esse tema. Bons estudos! 
Referências 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade.São Paulo: Saraiva, 1999. 
 
 
Matemática II 
Aula 08 
Sistemas lineares 
. 
Objetivos Específicos 
 • Verificar a resolução de sistemas lineares utilizando métodos da adição e 
substituição. 
 
 
Temas 
Introdução 
1 Sistemas lineares 
Considerações finais 
Referências 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
Por tratarmos de uma continuação nos estudos das funções, relembramos que nos 
interessa verificar o comportamento dos pontos relacionados a cada função. 
O estudo das diversas curvas pode fornecer, por exemplo, o preço e a quantidade no 
equilíbrio ou também o preço e a quantidade ideal para que não haja prejuízo na produção 
ou comercialização de algum produto. Esse estudo é conhecido, em Administração e 
Economia, como ponto de equilíbrio de mercado, e utilizamos os sistemas lineares. 
No comportamento de funções matemáticas, podemos analisar o que ocorre com 
oferta, demanda, preço, quantidade, receita, lucro, entre outros conceitos pertinentes aos 
estudos de Administração. Além disso, esse conceito é utilizado em derivadas, tema das 
próximas aulas. 
1 Sistemas lineares 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de Sistemas Lineares, é 
necessário que leiam as páginas 273-277 do capítulo “Apêndice A – Sistemas e matrizes”, da 
obra Pré-cálculo (DEMANA et al., 2013). Os autores apresentam, de maneira sintética, a 
definição e o cálculo de sistemas lineares. 
• DEMANA, F. D. et al. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
Um sistema é apresentado, em geral, na forma: 
�𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝒄𝒄𝒅𝒅𝒂𝒂 + 𝒆𝒆𝒃𝒃 = 𝒇𝒇 
A solução de um sistema é um par ordenado (x, y) de números reais que satisfaz as duas 
equações. 
 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
De maneira geral, temos vários métodos de resolução dos sistemas, mas vamos tratar 
aqui dos métodos da adição e da substituição que nos permitirão encontrar o par ordenado 
que satisfaz as duas equações. 
1.1 Método da adição 
Resolver o sistema: �
𝟏𝟏𝟏𝟏𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟓𝟓𝒂𝒂 − 𝟑𝟑𝒃𝒃 = 𝟐𝟐 
Primeiro multiplicamos a primeira equação por 3 e obtemos: 
�
𝟑𝟑𝟏𝟏𝒂𝒂 + 𝟑𝟑𝒃𝒃 = 𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟓𝟓𝒂𝒂 − 𝟑𝟑𝒃𝒃 = 𝟐𝟐 
Somando membro a membro as duas equações, obtemos: 
𝟑𝟑𝟓𝟓𝒂𝒂 = 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒂𝒂 = 
𝟑𝟑𝟓𝟓
𝟑𝟑𝟓𝟓
 = 𝟏𝟏 
Retomando o sistema original, multiplicamos a segunda equação por –2 e obtemos: 
� 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝒂𝒂 + 𝟔𝟔𝒃𝒃 = −𝟒𝟒 
Somando membro a membro as duas equações, obtemos: 
𝟕𝟕𝒃𝒃 = 𝟕𝟕 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒃𝒃 = 
𝟕𝟕
𝟕𝟕
 = 𝟏𝟏 
Portanto, a solução desse sistema é o par ordenado (1; 1) 
1.2 Método da substituição 
Resolver o sistema: �
𝟏𝟏𝟏𝟏𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟓𝟓𝒂𝒂 − 𝟑𝟑𝒃𝒃 = 𝟐𝟐 
Primeiro, isolamos uma letra. Escolhemos isolar o y. 
Da primeira equação obtemos: 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒂𝒂 
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Substituindo esse valor na segunda equação, obtemos: 
𝟓𝟓𝒂𝒂 − 𝟑𝟑(𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒂𝒂) = 𝟐𝟐 
𝟓𝟓𝒂𝒂 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝟏𝟏𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 
𝟑𝟑𝟓𝟓𝒂𝒂 = 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒂𝒂 =
𝟑𝟑𝟓𝟓
𝟑𝟑𝟓𝟓
= 𝟏𝟏 
Na expressão 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒂𝒂, substituindo x por 1, obtemos 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟏𝟏) 𝒐𝒐𝒐𝒐 
𝒃𝒃 = 𝟏𝟏. 
Portanto, a solução desse sistema é o par ordenado (1; 1). 
Na prática, o ponto de equilíbrio de mercado é o ponto de intersecção do gráfico entre 
a função qd e a função qo, ou seja, é o ponto em que ocorre a igualdade entre qd e qo. Suas 
coordenadas são preço de equilíbrio (pe) e a quantidade de equilíbrio (qe). Então, temos PE 
(pe, qe). 
Nesse caso, podem ocorrer gráficos como os da figura a seguir: 
Figura 1: Exemplos de ponto de equilíbrio 
 
 
 
Fonte: Elaborados pelo autor. 
Considerações finais 
Nesta aula, de certa forma, tivemos a oportunidade de recordar a resolução de sistemas 
lineares utilizando métodos da adição e substituição. Esse tema é amplamente estudado no 
Ensino Médio e você deve ter alguma recordação do assunto. 
Conforme vimos, o resultado de um sistema, tanto pelo método da adição quanto pelo 
método da substituição, nos dá um par ordenado que satisfaz as funções que compõem o 
sistema. 
 
5 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
No caso dos estudos de Administração e Economia, temos uma aplicação muito 
importante, que é o cálculo do ponto de equilíbrio de mercado, em que a quantidade de 
oferta se iguala à quantidade de demanda, dependendo do preço no equilíbrio. 
Faça uma releitura da aula, assim você fixará melhor esse tema. Bons estudos! 
Referências 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
 
 
Matemática II 
Aula 9 
Sistemas lineares 
. 
Objetivos Específicos 
 • Verificar a resolução de sistemas lineares em diferentes situações. 
 
 
Temas 
Introdução 
1 Sistemas lineares 
Considerações finais 
Referências 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
Em muitas áreas do conhecimento deparamos com situações que envolvem estudos de 
determinados pontos das funções, por exemplo. Nas diversas situações, há interesse nos 
estudos do comportamento desses pontos. Podemos aqui citar a importância do ponto de 
equilíbrio de mercado no campo da Economia. O estudo das diferentes curvas pode nos 
fornecer, por exemplo, o preço e a quantidade no equilíbrio ou também o preço e a 
quantidade ideal para que não haja prejuízo na produção ou comercialização de um 
determinado produto. 
Damos destaque ao conceito matemático de sistemas lineares pela determinação do 
comportamento de funções em determinados pontos, em que é possível analisar o que 
ocorre com oferta, demanda, preço, quantidade, receita e lucro, entre outros fatores. Além 
disso, esse conceito é utilizado em derivadas, tema das próximas aulas. 
1 SISTEMAS LINEARES 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de sistemas lineares, é 
necessário ler as páginas 277 a 279 do capítulo “Apêndice A – Sistemas e matrizes” 
(DEMANA et al., 2013). Os autores apresentam de maneira sintética a definição e o cálculo 
de sistemas lineares e algumas aplicações. 
• DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
Como já vimos, um sistema é apresentado, em geral, na forma: 
�𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝒄𝒄𝒅𝒅𝒂𝒂 + 𝒆𝒆𝒃𝒃 = 𝒇𝒇 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
E a solução de um sistema é um par ordenado (x, y) de números reais que satisfaz as 
duas equações. 
De maneira geral, temos vários métodos de resolução dos sistemas. Na aula anterior, 
vimos os métodos da adição e da substituição, e agora vamos ver algumas aplicações em 
situações-problema. 
1.1 Aplicação de sistemas lineares 
A seguir vamos ver uma situação-problema que envolve uma aplicação bastante 
utilizada em Administração e Economia. 
Uma empresa resolveu analisar a venda de seu principal produto e verificou que, ao 
oferecê-lo por R$ 5,00 a unidade, a procura era de 7 500 unidades por semana; ao oferecer 
um desconto de 20%, as vendas aumentavam em 80%. Sabendo-se que a demanda desse 
produto é representada por uma função do 1º grau, queremos determinar: 
a) A função demanda semanal desse produto. 
b) O ponto de equilíbrio de mercado, dada a equação oferta semanal desse produto 
qo = 4 800p – 11 100. 
c) A demanda semanal para um preço igual a R$ 4,00 a unidade. 
d) O esboço gráfico utilizando apenas os interceptos para a função de demanda e 
oferta. 
e) A análise gráfica econômica. 
Solução: 
a) Se a função demanda é uma função do 1º grau, teremos: 
f(x) = ax + b (função linear afim) 
qd = ap + b (função quantidade de demanda)4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Pela situação-problema temos: 
Se p = 5 ⇒ qd = 7 500 unidades (I) 
Se p = 4 (pois houve desconto de 20% no preço original) ⇒ qo = 13 500 unidades (pois 
houve aumento de 80% nas vendas) (II) 
Devemos montar o sistema de equações lineares, para encontrar os termos a e b. 
�
5𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 7 500 (𝐼𝐼)
4𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 13 500 (𝐼𝐼𝐼𝐼) 
Multiplicando a 1a equação por (−1), temos: 
�
−5𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = −7 500 (𝐼𝐼)
4𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 13 500 (𝐼𝐼𝐼𝐼) 
Somando-se membro a membro vem: 
–a = 6 000 
a = –6 000 
Substituindo o valor de a em I, temos: 
�
−5𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = −7 500 (𝐼𝐼)
4𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 13 500 (𝐼𝐼𝐼𝐼) 
5 × (–6 000) + b = 7 500 
–30 000 + b = 7 500 
b = 7 500 + 30 000 
b = 37 500 
Portanto, a função demanda desse produto será: qd = –6 000p + 37 500 
b) Para encontrar o ponto de equilíbrio de mercado, dada a equação oferta semanal 
desse produto qo = 4 800p – 11 100, igualamos as duas funções, porque no equilíbrio a 
quantidade de oferta (qo) é igual à quantidade de demanda (qd). Assim: 
�
𝑞𝑞𝑞𝑞 = 4 800𝑝𝑝 − 11 100 (I)
𝑞𝑞𝑞𝑞 = −6 000𝑝𝑝 + 37 500 (II) 
Multiplicando a 1ª equação por (–1), temos: 
 
5 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
�
−𝑞𝑞𝑞𝑞 = −4 800𝑝𝑝 + 11 100 (I)
𝑞𝑞𝑞𝑞 = −6 000𝑝𝑝 + 37 500 (II) 
Resolvendo o sistema, temos: 
0 = –10 800p + 48 600 
p = 4,5 reais 
Substituindo o preço p em I, temos: 
�
−𝑞𝑞𝑞𝑞 = −4 800𝑝𝑝 + 11 100 (𝐼𝐼)
𝑞𝑞𝑞𝑞 = −6 000𝑝𝑝 + 37 500 (𝐼𝐼𝐼𝐼) 
qo = qd = 4 800 × (4,5) – 11 100 
qo = qd = 10 500 
No equilíbrio, as quantidades de oferta e de demanda são iguais a 10 500 unidades 
quando o preço é de R$ 4,50. 
c) Agora, para encontrar a demanda semanal para um preço igual a R$ 4,00 a unidade, 
basta substituir esse valor na função qd = –6 000p + 37 500 
Assim: 
qd = –6 000(4) + 37 500 
qd = 13 500 unidades 
d) Para construir o esboço gráfico utilizando apenas os interceptos para a função de 
demanda e oferta, fazemos assim: 
Os pontos de intersecção, também chamados interceptos, são os pontos nos quais a 
função intercepta os eixos (qd e p); portanto, a função demanda parte de 37 500 unidades e 
vai decrescendo até cortar o eixo p = R$ 6,25. 
A função oferta, ao contrário da demanda, é uma função crescente que passa pelos 
eixos (qd e p) no intercepto (0, 0). É uma função crescente que também passa pelo ponto de 
equilíbrio de mercado (4,50; 10 500). 
O esboço fica assim representado: 
 
 
 
6 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Gráfico 2 – Representação de função crescente 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
Para uma análise econômica, concluímos que à direita do ponto de equilíbrio, ou seja, 
acima de R$ 4,50, a quantidade ofertada é maior que a quantidade demandada; à esquerda 
do ponto de equilíbrio, ou seja, abaixo de R$ 4,50, a quantidade demandada é maior que a 
quantidade ofertada. 
Considerações finais 
Nesta aula, tivemos a oportunidade de verificar a resolução dos sistemas lineares em 
uma aplicação cotidiana em Administração. Conforme vimos, o resultado de um sistema, 
tanto pelo método da adição quanto pelo método da substituição, nos dá um par ordenado 
que satisfaz as funções que compõem o sistema. 
Sugerimos a releitura da aula, assim você poderá relembrar o cálculo e a resolução de 
sistemas que permitirá a fixação do tema. Bons estudos! 
Referências 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
 
 
Matemática II 
Aula 10 
Derivadas: identificar como função 
. 
Objetivos Específicos 
 • Conhecer as regras de derivação que determinam o comportamento de funções. 
 
 
Temas 
Introdução 
1 Derivadas 
Considerações finais 
Referências 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
Em Administração, deparamos com situações que envolvem estudos de cálculo da 
derivada de uma função. Esse cálculo pode ser realizado em todos os pontos do domínio de 
uma função. 
No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Todas 
as vezes que o interesse for pontual sobre o resultado de uma função, utiliza-se a taxa 
instantânea (derivada) que veremos a seguir. 
1 Derivadas 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de Derivadas, é necessário 
que realizem a leitura do trecho do capítulo “Derivadas” (THOMAS; WEIR; HASS, 2012). Os 
autores apresentam de maneira sintética a definição e as regras das derivadas. 
• HOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo 1. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2012. 
Segundo De Sá (2006, p. 7), 
É muito trabalhoso ficarmos determinando as derivadas em cada ponto da função, 
pela taxa média de variação. O que fazemos, com frequência, é determinar uma 
expressão geral que permita o cálculo da derivada em qualquer ponto desejado. A 
expressão determinada é denominada de função derivada (f’(x)) e, por isso, 
podemos determinar fórmulas que facilitem a descoberta da função derivada, sem 
precisar recorrer ao limite que define a taxa de variação instantânea. 
 
 
 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
A função derivada pode ser obtida com o auxílio de um grupo de regras e fórmulas de 
derivação. 
1.1 Fórmulas de derivação 
Derivada da potência 
Se y = xa, com a ϵ R, então sua derivada é y’ = axa-1 
Exemplos: 
a) y = x12 (expoente 12 de x) → y’ = (x12)’ = 12x12–1 = 12x11 
b) y = x–3 (expoente –3 de x) → y' = (x–3)' = –3x–3–1 = –3x–4 
Derivada de uma constante 
Se y = k, sua derivada é y’ = (k)’ = 0 
Exemplos: 
a) y = 5 → y’ = (5)’ = 0 
b) y = – 0,5 → y’ = (–0,5)’ = 0 
Derivada do produto de uma constante k por uma função 
Se f é uma função derivável e y = k ⋅ f(x), então sua derivada é: (k ⋅ f(x))’ = k ⋅ f’(x), ou 
seja, a constante pode ser colocada fora do sinal de derivação. 
Exemplos: 
a) y = –5x3 → y’ = (–5x3)’ = (–5).(x3)’ = (–5). 3x2 = –15x2 
b) y = 3√𝒙𝒙 → y’ = (3𝒙𝒙
𝟏𝟏
𝟐𝟐)’ = (3).( 𝒙𝒙
𝟏𝟏
𝟐𝟐)’ = (3). 𝟏𝟏
𝟐𝟐 
 𝒙𝒙−
𝟏𝟏
𝟐𝟐 = 𝟑𝟑
𝟐𝟐√𝒙𝒙
 
 
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Derivada da soma ou diferença de funções 
Se f e g são funções deriváveis e y = f ± g, então sua derivada é: y’ = (f ± g)’ = f’ ± g’ 
Exemplos: 
a) y = x2 + x3 → y’ = (x2 + x3)’ = (x2)’ + (x3)’ = 2x1 + 3x2 
b) y = 2x4 – 5x2 → y’ = (2x4) – (5x2)’ = (2x4) – (5x2)’ = 8x3 – 10x 
Com essas fórmulas e regras, podemos derivar a maioria das funções que aparecem em 
nossas aplicações – os polinômios. Assim, à medida que nos acostumamos com o emprego 
dessas fórmulas e regras, podemos dispensar alguns detalhamentos, ou seja, os exemplos 
dados podem ser executados em apenas uma etapa. No exercício y = x2 + x3, podemos 
escrever diretamente y’ = 2x1 + 3x2. 
Agora vamos verificar o cálculo da derivada em um ponto. 
Uma maneira de interpretar a informação que a derivada em um ponto fornece é 
verificar o que representa essa quantidade em relação ao valor da função nesse ponto. Se 
duas funções têm derivadas iguais a 20 no ponto x = 50, isso pode ter significados distintos 
se comparados com o valor de cada função nesse ponto. Se, por exemplo, f1(10) = 50 e 
 f2(10) = 500, o valor da derivada relativa ao valor de cada função no ponto será: 
Para a função f1: 
𝒇𝒇′𝟏𝟏 (𝟏𝟏𝟏𝟏)
𝒇𝒇𝟏𝟏(𝟏𝟏𝟏𝟏)
= 𝟐𝟐𝟏𝟏
𝟓𝟓𝟏𝟏
= 𝟒𝟒𝟏𝟏% 
Para a função f2: 
𝒇𝒇′𝟐𝟐(𝟏𝟏𝟏𝟏)
𝒇𝒇𝟐𝟐(𝟏𝟏𝟏𝟏)
= 𝟐𝟐𝟏𝟏
𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟒𝟒% 
Considerações finais 
Vimos conceito, fórmulas e regras de derivação. A derivada é importante e útil na 
determinação do comportamento de funções em pontos específicos que consideramos 
instantâneos. É como se pudéssemos fotografar o instante desejado para o estudo. 
Sabemos que conceitos sobre custo marginal, lucromarginal e receita marginal, por 
exemplo, advêm da derivada do custo total, lucro total e receita total, respectivamente. Ou 
seja, os “marginais” são pontos estudados nas funções “totais”; sendo assim, podemos 
identificar o quanto é importante conhecer os estudos de derivadas. 
É fundamental a releitura da aula; assim, você fixará melhor esse tema. Bons estudos! 
 
5 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Referências 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
SÁ, I. P. de. Estudos das derivadas: conceitos e aplicações. 2006. Disponível em: 
<http://www.magiadamatematica.com/uss/administracao/09-derivadas.pdf>. Acesso em: 
abr. 2013. 
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo 1. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. 
 
 
http://www.magiadamatematica.com/uss/administracao/09-derivadas.pdf
 
 
Matemática II 
Aula 11 
Derivadas: a regra da cadeia 
. 
Objetivos Específicos 
 • Entender o conceito de regra da cadeia. 
 
 
Temas 
Introdução 
1 Regra da cadeia 
Considerações finais 
Referências 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
Mais uma vez, vamos atentar ao estudo das funções. Nesta aula, daremos ênfase aos 
estudos sobre a variação entre os pontos considerados importantes nos estudos de cálculo. 
As derivadas permitem a transformação de funções mais complexas em funções mais 
simples. Um exemplo utilizado por administradores e economistas é o cálculo da derivada da 
função custo total que fornece o custo marginal. Veremos como efetuar a transformação 
nesta aula. 
Veremos também a regra da cadeia, conhecida por Teorema 13, desenvolvida por 
Leibniz, que proporcionou um grande avanço nos estudos do cálculo diferencial. Foi Leibniz 
que adotou uma notação à tangente, em que a derivada é dada pela diferença dos valores 
na ordenada (y) dividida pela diferença dos valores na abscissa (x), e essa diferença é 
infinitamente pequena e representada pela razão Dy/Dx. 
1 Regra da cadeia 
Para compreender os conceitos que envolvem o estudo de derivadas – regra da cadeia, 
é necessário ler as páginas 129 a 132 do capítulo “Derivadas” (THOMAS; WEIR; HASS, 2012). 
Os autores apresentam, de maneira sintética, as regras de derivação. 
• THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo 1. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2012. 
Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função composta f(g(x)) é dada 
pela fórmula: [f(g(x))]’ = f’(g(x)) . g’(x) 
Veja, a seguir, alguns exemplos. 
Calcule a derivada da função h(x) = (x + 1)5 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Solução: Podemos dizer que h(x) é a função composta de f(g(x)), em que f(x) = x5 e 
g(x) = x + 1. Pela regra da cadeia, ou Teorema 13, temos: 
h’(x) = f’(g(x)) ⋅ g’(x) = 5 ⋅ (x + 1)4 ⋅ 1 = 5 ⋅ (x + 1)4 
Calcule a derivada da função h(x) = √2𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 
Solução: 
h(x) = √2𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 
h(x) = (2x2 + 2x)1/2. Pela regra da cadeia, ou Teorema 13, temos: 
h’(x) = f’(g(x) . g’(x) = 1
2
(2𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥)
1
2−1. (4𝑥𝑥 + 2) = 4𝑥𝑥+2
2√2𝑥𝑥2+2𝑥𝑥
 
A regra da cadeia, ou Teorema 13, estende-se para mais de duas funções. Por exemplo, 
a derivada da função composta f(g(h(x))) é dada por [f(g[h(x)])]’ = f’(g[h(x)]) . g’(h(x)) . h’(x) 
Portanto, para derivar uma função composta de três funções como 
h(x) = �3𝑥𝑥 + (3𝑥𝑥2 − 10)2, fazemos assim: 
Veja como a função h(x) é construída: 
a) a raiz quadrada de... 
b) a soma de 3x com a segunda potência de... 
c) 3 vezes o quadrado de x menos 10... 
Logo, a derivada de h(x) é dada pelo produto 
𝒉𝒉′(𝒙𝒙) = 
𝟏𝟏
𝟐𝟐�𝟑𝟑𝒙𝒙 + (𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐
 . �(𝟑𝟑𝒙𝒙)′ + [(𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐]� 
𝒉𝒉′(𝒙𝒙) = 
𝟏𝟏
𝟐𝟐�𝟑𝟑𝒙𝒙 + (𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐
 . �𝟑𝟑 + [𝟐𝟐(𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟏𝟏.𝟔𝟔𝒙𝒙]� 
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
𝒉𝒉′(𝒙𝒙) = 
𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙(𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏)
𝟐𝟐�𝟑𝟑𝒙𝒙 + (𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐
 
Considerações finais 
Vimos a resolução das derivadas em funções compostas por meio da aplicação da regra 
de cadeia, também conhecida por Teorema 13. A regra de cadeia proporcionou um grande 
avanço nos estudos do cálculo diferencial no momento em que facilitou a compreensão e a 
resolução de diversas funções antes consideradas complexas. 
Espero que esse tema tenha sido de grande valia para seus estudos. É sempre 
importante ressaltar a importância da releitura da aula. Bons estudos! 
Referências 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo 1. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. 
 
 
Matemática II 
Aula 12 
. 
Derivadas em diferentes contextos 
Objetivos Específicos 
 • Entender a aplicação de derivadas em diferentes contextos. 
 
 
Temas 
Introdução 
1 Derivadas: análise marginal 
Considerações finais 
Referências 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
Em diversas áreas das Ciências, deparamos com situações que envolvem cálculos da 
derivada, que podem ser realizados em todos os pontos do domínio de uma função. 
No Ensino Médio utilizamos, em Física, os conceitos de espaço, velocidade e aceleração. 
Naquela época já fazíamos derivadas, pois a função velocidade é a derivada da função 
espaço e a função aceleração é a derivada da função velocidade. Você pode perceber que 
não estamos falando de novos conceitos. 
Em uma indústria, por exemplo, há funções de custo e de receita total associada à 
produção em determinado período; as derivadas das funções de custo total e receita total 
chamam-se respectivamente custo marginal e receita marginal, e vamos estudá-las nesta 
aula. 
1 Derivadas: análise marginal 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de derivadas em 
diferentes contextos, é necessário que realizem a leitura de trecho do capítulo “Aplicações 
das derivadas” (THOMAS et al., 2012, p. 243-245). Os autores apresentam aplicações das 
derivadas em diferentes contextos e o teorema de L’Hôpital. 
• THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo 1. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2012. 
Como vimos anteriormente, a função derivada pode ser obtida com o auxílio de um 
grupo de regras e fórmulas de derivação. As derivadas das funções custo total e receita total 
nos permitem calcular o custo marginal e a receita marginal. 
 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
1.1 Interpretação do custo marginal 
O custo marginal C’(x) ao nível de produção x é aproximadamente igual ao custo de 
produzir uma unidade a mais. Para melhor compreensão, vamos ver um exemplo: 
Considere a função custo C(x) = 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
− 𝟐𝟐𝟐𝟐. Pede-se: 
a) Calcular o custo de produzir uma unidade a mais, ao nível de produção x = 100. 
b) Calcular o custo marginal ao nível de produção x = 100. 
Solução: 
 C(101) – C(100) = �𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
− 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏� − �𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟑𝟑
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
− 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓� = 
 = [𝟒𝟒𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟓𝟓𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐] − [𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓] = 
= 3919,204 – 3800 = 119,204 
 C’(x) = derivada da função C(x) = 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
− 𝟐𝟐𝟐𝟐 
Logo, C’(x) = 𝟔𝟔𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
− 𝟐𝟐 
C’(100) = 𝟔𝟔.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟐𝟐
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
− 𝟐𝟐 
C’(100) = 𝟔𝟔𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
− 𝟐𝟐 
C’(100) = 𝟔𝟔𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
− 𝟐𝟐 
∴ C’(100) = 118 
A diferença entre 119,20 e 118 é de 1,20, ou seja, muito pequena em relação ao valor 
do custo adicional; portanto, o custo marginal C’(x) ao nível de produção x é 
aproximadamenteigual ao custo de produzir uma unidade a mais. 
 
 
 
 
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Agora suponhamos que a lei da demanda de um produto é dada pela função linear 
2q + 5p = 8, em que p é o preço e q é a quantidade demandada. Para determinar a receita 
total e a receita marginal, respectivamente, fazemos o seguinte: 
(i) RT(q) = p . q 
RT(q) 𝟖𝟖−𝟐𝟐𝟐𝟐 = � � .𝟐𝟐 
𝟓𝟓
𝟐𝟐
RT(q) 𝟖𝟖𝟐𝟐−𝟐𝟐𝟐𝟐 = 
𝟓𝟓
(ii) RT’(q) 𝟖𝟖−𝟒𝟒𝟐𝟐 = 
𝟓𝟓
1.2 Regra de L’Hôpital 
Dizemos que uma função da forma 𝒇𝒇(𝟐𝟐)
𝒈𝒈(𝟐𝟐)
 apresenta uma indeterminação da forma 𝟓𝟓
𝟓𝟓
 no 
ponto a quando ambas as funções f e g tendem a 0 quando x tende a a. Utilizamos a regra 
de L’Hôpital para levantar indeterminações, transferindo o cálculo do limite do quociente 
das funções f e g para o cálculo do limite do quociente das derivadas de f e g. 
Regra de L’Hôpital: Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I em torno de um 
ponto a, exceto possivelmente no ponto a. Suponhamos que g(x) ≠ 𝟓𝟓 𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩 𝐱𝐱 ∈ 𝐈𝐈, 𝐱𝐱 ≠ 𝐩𝐩. 
𝐒𝐒𝐒𝐒 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 
 𝟐𝟐→𝒂𝒂
𝒇𝒇(𝟐𝟐) = 𝟓𝟓, 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 
 𝟐𝟐→𝒂𝒂
𝒈𝒈(𝟐𝟐) = 𝟓𝟓, 𝐒𝐒 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 
 𝟐𝟐→𝒂𝒂
𝒇𝒇′(𝟐𝟐)
𝒈𝒈′(𝟐𝟐)
= 𝐋𝐋, 𝐒𝐒𝐞𝐞𝐞𝐞ã𝐨𝐨 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 
 𝟐𝟐→𝒂𝒂
𝒇𝒇′(𝟐𝟐)
𝒈𝒈′(𝟐𝟐)
= 𝐋𝐋. 
Fonte: HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. 1999, p. 155. 
 
5 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Vejamos o exemplo a seguir: 
Calcule lim 
 𝑥𝑥→3
𝑥𝑥2−9
𝑥𝑥−3
. 
Solução: 
Como lim 
 𝑥𝑥→3
𝑥𝑥2 − 9 = 0 e lim 
 𝑥𝑥→3
𝑥𝑥 − 3 = 0, temos uma indeterminação da forma 0
0
 . 
Aplicando a regra de L’Hôpital descrita anteriormente, temos: 
lim
𝑥𝑥→3
𝑥𝑥2 − 9
𝑥𝑥 − 3 
= lim
𝑥𝑥→3
2𝑥𝑥
1
= 6 
Quando x tende 𝒂𝒂 + ∞ 𝐨𝐨𝐨𝐨 𝒂𝒂 −∞, a regra de L’Hôpital continua a valer de maneira 
análoga. 
Considerações finais 
Nesta aula tivemos a oportunidade de verificar conceito, fórmulas e regras de 
derivação. Conforme vimos, a derivada é importante e útil na determinação do 
comportamento de funções em certos pontos. Percebemos também que, por meio da 
derivada, chegamos à certa simplificação tanto de cálculos quanto das funções 
propriamente ditas. Isso representou uma alavanca na compreensão histórica de vários 
conteúdos matemáticos. 
Sempre é bom lembrar que a releitura da aula é de fundamental importância para a 
compreensão e fixação do tema. Bons estudos! 
Referências 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
SÁ, I. P. de. Estudos da derivadas: conceitos e aplicações. 2006. Disponível em: 
<http://www.magiadamatematica.com/uss/administracao/09-derivadas.pdf>. Acesso em: 
abr. 2013. 
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo 1. São Paulo: Pearson, 2012. 
 
 
Matemática II 
Aula 13 
. 
Integral definida 
Objetivos Específicos 
 • Entender os conceitos e a utilização de cálculo da integral definida. 
 
 
Temas 
Introdução 
1 Integral definida 
Considerações finais 
Referências 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
2 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Introdução 
O cálculo da integral é utilizado em todas as áreas das Ciências sempre que um 
problema pode ser modelado matematicamente e uma solução ótima é desejada. Em 
Administração e em Economia, o cálculo permite a determinação do lucro máximo 
fornecendo uma fórmula para calcular tanto o custo marginal quanto a receita marginal, por 
exemplo. 
Nesta aula você vai entender o cálculo da Integral por meio da Integral de Riemann e do 
cálculo da primitiva. Depois, estudaremos o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema 
é de importância central no cálculo, tanto que recebe o nome teorema fundamental para 
todo o campo de estudo. 
1 Derivadas: análise marginal 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de Integral, é necessário 
que realizem a leitura do trecho do capítulo “Integração” (THOMAS et al., 2012, p. 313-316). 
Os autores apresentam de maneira sintética a integração definida e a aplicação do teorema 
fundamental do cálculo. 
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo 1. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. 
Seja f(x) uma função definida em um intervalo [a, b] com a representação gráfica a 
seguir: 
 
 
 
 
 
3 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Gráfico 1 – Representação gráfica de uma função f(x) 
 
 
O cálculo da área S da figura formada pela curva e pelo eixo x no intervalo [a, b] pode 
representar um desafio aos estudantes, em razão da curvatura do lado superior. 
Uma maneira aproximada de calcular essa área é dividir qualquer intervalo [a, b] de 
função a ser estudada em pequenos intervalos e, em cada um desses pequenos intervalos, 
calcular a área de cada retângulo construído. Veja a representação gráfica a seguir: 
Gráfico 2 – Representação gráfica de uma função f(x) 
 
Fonte: geogebra.org. 
 
4 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
Cada retângulo construído tem área que pode ser calculada da seguinte maneira: 
• Base – representada pelo comprimento parcial do intervalo: ∆𝑥𝑥 
• Altura – representada a partir de cada ponto de x e tomadas em y: h = f(x) 
Assim, se tomarmos como exemplo a primeira área parcial correspondente ao primeiro 
retângulo, teremos: 
• Área = f(x). ∆𝑥𝑥 
• Área = 1 (–0,25) 
• Área = 0,25 
Utilizamos valores positivos para o cálculo de medidas de superfície; no caso, a área da 
função no intervalo [–1; 1,5]. 
A área desse retângulo é uma aproximação da área sob a curva e o eixo x no intervalo 
[–1; 1,5]. É intuitivo que, quanto menor a base ∆𝑥𝑥, menor seja a diferença entre as áreas do 
retângulo e a área sob a curva que corresponde ao mesmo intervalo. Então, ao construir 
pequenos retângulos, como vimos no intervalo do gráfico [–1; 1,5], e somando suas áreas, 
obtemos um valor aproximado da área da figura formada pela curva e o eixo x naquele 
intervalo. 
1.1 Integral de Riemann 
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e a = x0 <x1< x2<...<xn = b, a subdivisão do 
intervalo [a, b] em intervalos parciais. Em cada um desses intervalos parciais, escolhemos 
um ponto p. 
A soma a seguir recebe o nome de soma de Riemann da função f sobre o intervalo [a, b] 
para a divisão adotada e para a escolha dos pontos p em cada intervalo. 
 
5 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
�𝒇𝒇(𝒑𝒑𝟏𝟏).∆𝒙𝒙𝟏𝟏
𝒏𝒏
𝒊𝒊=𝟏𝟏
= 𝒇𝒇(𝒑𝒑𝟏𝟏).∆𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒇𝒇(𝒑𝒑𝟐𝟐).∆𝒙𝒙𝟐𝟐 + … + 𝒇𝒇(𝒑𝒑𝒏𝒏).∆𝒙𝒙𝒏𝒏 
Caso o limite seja um número real, recebe o nome de integral de Riemann ou integral 
definida da função f sobre o intervalo [a, b]: 
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝒏𝒏→∞
�𝒇𝒇(𝒑𝒑𝒊𝒊).∆𝒙𝒙𝒊𝒊
𝒏𝒏
𝒊𝒊=𝟏𝟏
 𝒆𝒆𝐥𝐥𝐦𝐦𝐦𝐦∆𝒙𝒙 → 𝟎𝟎 
Esse número será indicado por: 
∫ 𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒃𝒃𝒂𝒂 
Lê-se integral de f sobre o intervalo [a, b]. 
Se f é uma função não negativa no intervalo [a, b], o número dado pela integral de f 
sobre esse intervalo é a área definida pela curva e o eixo x no intervalo. 
Área = ∫ 𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒆𝒆 𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒃𝒃𝒂𝒂 ≥ 𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒆𝒆 [𝒂𝒂,𝒃𝒃] 
Na prática, a integral de f sobre [a, b] não é calculada usando-se a definição, pois, a não 
ser em casos particulares, a determinação do limite da soma de Riemann apresenta-se como 
um caminho um tanto complexo. Existe uma forma prática para esse cálculo, baseado no 
conceito de primitiva de uma função. 
1.2 Primitiva de uma função 
Seja F uma função derivável em um intervalo aberto qualquer que podemos denominar 
A. 
Chamando de f sua derivada, podemos escrever, para todo ponto x do intervalo A: 
F’(x) = f(x) com x ∈ A 
 
6 
Matemática II 
Senac São Paulo - Todos os Direitos Reservados 
 
A função F é, assim,