Probabilidade: Experimento aleatório, espaço amostral e eventos

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Matemática
Probabilidade 
A1 – Experimento aleatório, 
espaço amostral e eventos
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Experimento aleatório, espaço 
amostral e eventos
A1 – Experimento aleatório, espaço amostral e eventos
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Experimento aleatório, espaço amostral e eventos:
Os experimentos aleatórios constituem situações onde os
acontecimentos possuem variabilidade de ocorrência, isto é, o
mesmo experimento pode ter vários resultados diferentes, por
exemplo, no lançamento de um dado podemos obter seis
resultados aleatórios. No sorteio de um número entre 1 e 100,
não teremos a certeza de qual número será sorteado, podemos
ter várias ocorrências de resultados. Essas variações de
resultados dentro de uma mesma situação são características
dos experimentos aleatórios.
A1 – Experimento aleatório, espaço amostral e eventos
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Espaço amostral, é o conjunto de
possibilidades de resultados. No exemplo
acima, o espaço amostral, representado pela
letra S, é: S= {cara, coroa}. Para explicar
melhor, caso o objeto usado seja um dado, o
espaço amostral compreenderá os números
desse dado: S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Eventos
Evento, é o nome dado ao lançamento do 
dado ou da moeda, por exemplo. Esses, 
podem ser classificados como:
Simples Evento simples é a classificação dada quando é 
formado por apenas um número.
Impossível
Ao lançarmos dois dados, qual seria a 
probabilidade de a soma dos números das 
duas faces que ficaram para cima ser igual 
a 15? Isso caracteriza um evento 
impossível.
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Intersecção
Vejamos o grupo A = {2, 4}, que tem como evento
a ocorrência de face superior de um dado par,
inferior ou igual a 4, e o grupo B= {4, 6} que tem
como evento a ocorrência da face do dado para
cima sendo igual ou superior a 4, e par, o
conjunto C= {4}, que representa a intersecção
dos conjuntos A e B, sendo que contém apenas
os elementos que são comuns aos outros dois
grupos. Podemos representar: C = A∩ B
União
Vejamos o grupo A = {1,3} tendo como evento
a ocorrência de face superior de um dado
ímpar e menor ou igual a 3, B = {3, 5}, o evento
compreendendo a ocorrência de face superior
ímpar e maior ou igual a 3, teremos o grupo C
= {1, 3, 5}, que representa o evento de
ocorrência de números ímpares na face
superior, que é a união dos conjuntos A e B.
Isso pode ser representado da seguinte forma:
C = A U B.
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Probabilidade
A2 - Probabilidade
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Conceito de probabilidade:
É um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente 
prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
O lançamento de um dado por exemplo, um número par pode ocorrer 
de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 
3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando 
seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de 
ocorrência de um evento A é sempre:
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Probabilidade de frequência ou
probabilidade aleatória:
Representa uma série de
eventos futuros cuja
ocorrência é definida por
alguns fenômenos físicos
aleatórios. Este conceito pode
ser dividido em fenômenos
físicos que são previsíveis
através de informação
suficiente e fenômenos que
são essencialmente
imprevisíveis. Tendo como
exemplo para o primeiro tipo é
uma roleta, e um exemplo para
o segundo tipo é
um decaimento radioativo.
Probabilidade epistemológica 
ou probabilidade Bayesiana, 
que representa nossas 
incertezas sobre proposições 
quando não se tem 
conhecimento completo das 
circunstâncias causativas
Qual é a 
probabilidade de 
terem o mesmo 
resultado?
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade_de_frequ%C3%AAncia
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade_de_frequ%C3%AAncia
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Decaimento_radioativo
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade_epistemol%C3%B3gica
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Probabilidade
A3 – União de dois Eventos
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União de dois Eventos
Se notificarmos dois eventos A e B de um 
espaço amostral S a probabilidade de 
ocorrer A ou B é dada por: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Verificação: O Número de elementos de A U B é igual à 
soma do número de elementos de A com o 
número de elementos de B, menos uma 
vez o número de elementos de A ∩ B que 
foi contado duas vezes (uma em A e outra 
em B). Assim temos:
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Dividindo por n(S) [S ≠ ] resulta
A3 – União de dois Eventos
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Exemplo:
Numa caixa existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. 
Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de 
ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3?
A é o evento “múltiplo de 2”.
B é o evento “múltiplo de 3”.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) =
A3 – União de dois Eventos
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A3 – Probabilidade condicional
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A3 – Probabilidade condicional
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Probabilidade condicional
A probabilidade de ocorrência de um evento A em relação a um evento
ocorrido B é expressa como:
Para calculá-la podemos nos utilizar da fórmula:
Sabemos que , a probabilidade da intersecção, é a razão do seu número de elementos,
para o número de elementos do espaço amostral:
A probabilidade de B também é a razão do seu número de elementos, 
para o número de elementos do espaço amostral:
Os substituindo na fórmula original temos:
A3 – Probabilidade condicional
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Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 
deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, 
que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 
200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual 
a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que 
utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que 
utilizam cartões de crédito da bandeira Master Card?
A probabilidade procurada é dada pela fórmula:
Exemplo: 
A3 – Probabilidade condicional
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Como citado a probabilidade da intersecção é a razão do seu 
número de elementos, para o número de elementos do espaço 
amostral, então a fórmula acima (slide anterior) pode ser reduzida 
a:
O número de pessoas que utilizam as duas bandeiras, ou seja, a 
quantidade de elementos da intersecção é igual a 200, já o número 
de consumidores que utilizam ao menos a bandeira VISA é 550, 
portanto:
Resposta: A probabilidade de escolhida uma 
pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também 
um usuário da bandeira MASTERCARD é 4/11.
Continuação do exercício anterior.
A3 – Probabilidade condicional