PROVA FINAL OBJETIVA

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1 Resolva o seguinte sistema linear usando o método de eliminação de Gauss: 
 
 
A 
X1=-1; X2=3; X3=9 
B 
X1=-2; X2=2; X3=5 
C 
X1=-1; X2=2; X3=3 
D 
X1=-5; X2=2; X3=6 
2 Para destacar a importância de trabalhar com sistemas de equações não lineares, 
vamos levantar a situação em que existe a necessidade de realizar a análise do 
comportamento de um regime permanente do circuito não linear, quando os valores de 
tensão através dos resistores podem ser obtidos através da resolução de um sistema de 
equações não lineares, e o problema se reduz a encontrar uma raiz para o sistema de 
equações. Uma segunda situação permite mencionar que, no sistema aéreo, os 
controladores de voo trabalham com radares e, quando dois destes radares estão 
localizados em posições conhecidas, eles podem determinar a distância de suas 
localizações até uma aeronave que está se aproximando dentro do espaço aéreo. Neste 
caso, também temos um sistema de equações não lineares, e a solução está em calcular 
o valor das raízes das equações. Assim, efetue os seguintes cálculos: Dado o sistema de 
equações não lineares: 
A 
O Método de Newton é apropriado para calcular o erro relativo das variáveis com 
referência às raízes de ambas as funções. 
B 
No sistema, as variáveis x e y assumem o mesmo valor. 
C 
As derivadas parciais das duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de 
descontinuidade. 
D 
As duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de descontinuidade. 
3 Com relação à integração numérica, o método 1/3 de Simpson Generalizado consiste 
em aplicar o método de Simpson tantas vezes quantos forem os pontos em que 
conheçamos o valor da função f. Consideremos então o intervalo [1, 2], e vamos aplicar 
este método para a função f, supondo n = 4. Se utilizarmos 4 casas decimais nos 
cálculos, o valor encontrado para a integral numérica de f(x) = ln(x) será: 
A 
0,3837 
B 
0,3866 
C 
0,3900 
D 
0,3846 
 
CN - Regra 1/3 Simpson Gen2 
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4 (ENADE, 2008) A Matemática no Ensino Médio tem papel formativo - contribui para 
o desenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisição de atitudes - e caráter 
instrumental - pode ser aplicada às diversas áreas do conhecimento -, mas deve ser vista 
também como ciência, com suas características estruturais específicas. OCNEM (com 
adaptações). Ao planejar o estudo de funções no Ensino Médio, o professor deve 
observar que: 
A 
a função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de crescimento 
populacional. 
B 
o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções. 
C 
as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto. 
D 
o estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e de 
equações algébricas. 
5 Com relação à integração numérica, o método 1/3 de Simpson Generalizado consiste 
em aplicar o método de Simpson tantas vezes quantas forem os pontos em que 
conheçamos o valor da função f. Consideremos então o intervalo [1, 5], e vamos aplicar 
este método para a função f, supondo n = 4. Se utilizarmos 4 casas decimais nos 
cálculos, o valor encontrado para a integral numérica de f(x) = ln(x) será: Atenção: h = 
(b-a)/n 
A 
O valor encontrado para a integral será 4,8746. 
B 
O valor encontrado para a integral será 6,2832. 
C 
O valor encontrado para a integral será 4,0414. 
D 
O valor encontrado para a integral será 6,1248. 
6 Estudamos cinco métodos iterativos para obter as aproximações das raízes de uma 
função real qualquer. No entanto, dentre os cincos métodos, cada um apresenta suas 
vantagens e limitações. Neste caso, é de interesse do pensador escolher qual destes 
métodos é o mais conveniente, ou seja, vantajoso para aplicar na sua situação problema 
para a tomada de decisão. Sobre esses métodos, associe os itens, utilizando o código a 
seguir: I- Método da bisseção. II- Método das cordas. III- Método de Newton. IV- 
Método das secantes. V- Método da iteração linear. ( ) Para trabalhar com este método, 
a grande dificuldade está centrada na descoberta da função de iteração apropriada, e sua 
vantagem é que a convergência é rápida. ( ) Este método não exige as derivadas da 
função. Para chegarmos a uma aproximação confiável da raiz são necessárias várias 
iterações. É utilizado para refinar o intervalo que contém a raiz. ( ) Este método exige 
que o pesquisador conheça a derivada da função e a sua forma analítica; no entanto, 
quando modificado, ele mantém constante o valor da primeira derivada durante todo o 
processo interativo. ( ) Método utilizado quando o pesquisador tem a certeza de que o 
sinal da segunda derivada da função é constante, com a necessidade da realização de 
uma análise gráfica e possui uma convergência lenta. ( ) A ordem de convergência está 
situada entre a convergência linear da iteração linear e a convergência quadrática do 
método de Newton. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
V - I - III - II - IV. 
B 
IV - V - I - II - III. 
C 
IV - V - II - I - III. 
D 
V - II - I - III - IV. 
7 
Considere a equação y4 + 13x2 + 36 = 0. 
Sobre ela, assinale a alternativa CORRETA: 
A 
Tem três raízes reais e uma raiz complexa. 
B 
A solução não é real. 
C 
Todas as raízes são números reais. 
D 
Tem apenas duas raízes reais e duas complexas. 
8 Com relação à integração numérica, o método do Trapézio Generalizado consiste em 
aplicar o método do Trapézio tantas vezes quantas forem os pontos em que conheçamos 
o valor da função f. Consideremos então o intervalo [0, 6], considerando n = 6. O valor 
encontrado para a integral de f(x) = 3x é igual a: (Atenção: h = (b-a)/n) 
A 
O valor encontrado para a integral é 54. 
B 
O valor encontrado para a integral é 108. 
C 
O valor encontrado para a integral é 36. 
D 
O valor encontrado para a integral é 27. 
 
CN - Regra do Trapezio Gen2 
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9 
Equações biquadradas são equações de quarto grau com a forma geral a + b + c 
=0. Esse tipo de equação pode ter até 4 raízes reais. 
Assim, as raízes da equação -13 +36=0 serão quais, respectivamente? 
A 
0, 0, 6, -1. 
B 
-3, -2, 2, 3. 
C 
1 ,1, 0, 0. 
D 
-2, -3, -1, 0. 
10 Uma função f(x) é contínua num intervalo fechado [-1, 4] de tal forma que f(-1) = 
2,97 e f(4) = 6,12. A fórmula explícita desta função não é conhecida. Trabalhando com 
a regra do trapézio, calcule o valor da integral da referida função no intervalo [-1, 4] e, 
na sequência, assinale a alternativa CORRETA: 
A 
O valor da integral é 22,635. 
B 
O valor da integral é 13,725. 
C 
O valor da integral é 13,635. 
D 
O valor da integral é 22,725. 
11 (ENADE, 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e 
borracha, de um único tipo, cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro 
comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu 
duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três 
canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00. Os estudantes, após as 
compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o 
problema: " A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por 
eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?". Para isso, montaram um sistema 
de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Esse sistema de 
equações é: 
A 
impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução. 
B 
possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e 
da borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00. 
C 
possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis. 
D 
possível determinado, podendo admitir como solução, o valor do preço da caneta, do 
lápis e da borracha. 
12 Em matemática, nos processos de otimização,os multiplicadores de Lagrange 
permitem encontrar máximos e mínimos de uma função de uma ou mais variáveis que 
podem ter uma ou mais restrições. De acordo com os dados no quadro a seguir, assinale 
a alternativa CORRETA que apresenta o polinômio interpolador obtido via método de 
Lagrange para a função: 
A 
0,9845x² + x + 0,6125 
B 
x² + 0,9845x + 0,6125 
C 
0,6125x² + 0,9845x + 1 
D 
0,9845x² + 0,6125x + 1 
 
CN - Interpolacao de Lagrange2 
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