GEOMETRIA PLANA - AULA 03 - TRIÂNGULOS

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GEOMETRIA PLANA EEAr – AULA 03 
Prof. Wellington Nishio 
TRIÂNGULOS 
 
Definição 
Dados três pontos A, B e C não colineares, a reunião 
dos segmentos 
____
AB , 
____
AC e 
____
BC chama-se triângulo 
ABC. 
 
Indicação: triângulo ABC = ABC 
 
Elementos 
a) Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do 
ABC . 
b) Lados: os segmentos 
____
AB (de medida c), 
____
AC (de 
medida b) e 
____
BC (de medida a) são os lados do 
triângulo. 
c) Ângulos: os ângulos 

BAC ou A

, 

ABC ou 

B e 

ACB ou 

C são os ângulos do ABC (ou ângulos 
internos do ABC ). 
 
Classificação: 
a) Quantos aos lados, os triângulos se classificam em: 
- Equiláteros: os três lados são congruentes; 
- Isósceles: dois lados são congruentes; e 
- Escaleno: os três lados não são congruentes. 
 
Obs: 
- Num triângulo com dois lados congruentes é 
isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo 
oposto à base é o ângulo do vértice. 
- Num triângulo isósceles, os ângulos da base são 
iguais 
- Num triângulo equilátero cada ângulo mede 60º. 
 
b) Quanto aos ângulos, os triângulos se classificam 
em: 
- Retângulo: têm um ângulo reto; 
- Acutângulo: têm os três ângulos agudos; 
- Obtusângulo: têm um ângulos obtuso. 
 
 
Síntese de Clarineaut 
A partir dos lados, podemos classificar os triângulos em 
relação aos ângulos. 
 
- Acutângulo: a2 < b2 + c2 
- Retângulo: a2 = b2 + c2 
- Obtusângulo: a2 > b2 + c2 
 
Exemplo: O triângulo cujos lados medem 6 cm, 7 cm e 
10 cm é classificado como 
a) equilátero e retângulo 
b) escaleno e acutângulo 
c) isósceles e acutângulo 
d) escaleno e obtusângulo 
 
Desigualdade nos triângulos(Condição de 
Existência de um Triângulo) 
 
1º - Ao maior lado opõem-se ao maior ângulo 
2º - Em todo triângulo, cada lado é maior que a 
diferença entre os outros dois e menor que a soma. 
 
Exemplo: (EEAr) Se 2x + 3, 5 e 3x - 5 são as três 
medidas, em cm, dos lados de um triângulo, um valor 
que NÃO é possível para x é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
Soma dos ângulos internos de um triângulo(Lei 
Angular de Tales) 
A soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a 
180º. 
 
Considerando as medidas dos ângulos, temos: 
 
 
Exemplo: (EEAr) Os números (2x + 10º), 3x, (3x – 20º) 
são medidas em graus dos ângulos de um triângulo. 
Esse triângulo pode ser classificado em: 
a) acutângulo. 
b) retângulo. 
c) equiângulo. 
d) obtusângulo. 
 
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Ângulo externo 
Ângulo externo é o ângulo formado por um lado do 
triângulo e um prolongamento de outro lado do 
triângulo. 
O ângulo externo é o suplementar do seu ângulo 
interno adjacente. 
Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à 
soma dos dois ângulos internos adjacentes a ele. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: (EEAr) Em um triângulo ABC, o ângulo 
externo de vértice A mede 116º. Se a diferença entre 
as medidas dos ângulos internos �̂� e �̂� é 30º, então o 
maior ângulo interno do triângulo mede 
a) 75º 
b) 73º 
c) 70º 
d) 68º 
 
Exemplo: (EEAr) No triângulo ABC da figura, x é a 
medida de um ângulo interno e z e w são medidas de 
ângulos externos. Se z + w = 220° e z - 20° = w, então 
x é 
a) complemento de 120° 
b) complemento de 60° 
c) suplemento de 140° 
d) suplemento de 50° 
 
Exemplo: (EEAr) Na figura, 𝐵�̂�𝐴 e CÂD, 𝐴�̂�𝐵 medem, 
respectivamente, 60°, 30° e 110°. A medida de �̂� é 
a) 15°. 
b) 20°. 
c) 25°. 
d) 30°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cevianas de um Triângulo 
São segmentos de reta, com origem em um vértice de 
um triângulo e chegam ao lado ou prolongamento do 
lado oposto ao vértice. 
 
 
 
 
Principais Cevianas 
 
Mediana 
É um segmento com extremidades num vértice e no 
ponto médio do lado oposto. 
As três medianas de um triângulo interceptam-se num 
mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes 
tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. 
G é o baricentro do triângulo. 
Nota: O baricentro é o centro da gravidade do 
triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: (EEAr) Sendo E o baricentro do triângulo 
ABC, AE = 10cm, EN = 6cm, e CE = 14cm, o valor, em 
cm, de x + y + z é 
 
 
 
 
 
 
 
a) 18 
b) 20 
c) 22 
d) 24 
 
 
• , β, θ são ângulos internos do triângulo. 
• x, y, z são ângulos externos do triângulo. 
•  + x = β + z = θ + y = 180º 
• x + y + z = 360º(Soma dos ângulos externos). 
•  + β = y 
• β + θ = x 
•  + θ = z 
Os segmentos 𝐴𝑋̅̅ ̅̅ , 𝑍𝐶̅̅̅̅ 𝑒 𝐵𝑌̅̅ ̅̅ são cevianas do triângulo ABC. 
• 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐵𝑁̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐶𝑃̅̅ ̅̅ são medianas do triângulo ABC. 
• G é o ponto de encontro das medianas(Baricentro). 
• O Baricentro também pode ser chamado de Centro de 
Gravidade do Triângulo. 
• 𝐴𝐺̅̅ ̅̅ = 2𝐺𝑀̅̅̅̅̅, 𝐵𝐺̅̅ ̅̅ = 2𝐺𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ = 2𝐺𝑃̅̅ ̅̅ 
• 𝐴𝐺̅̅ ̅̅ =
2
3
𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐵𝐺̅̅ ̅̅ =
2
3
𝐵𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ =
2
3
𝐶𝑃̅̅ ̅̅ 
• 𝐺𝑀̅̅̅̅̅ =
1
3
𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐺𝑁̅̅ ̅̅ =
1
3
𝐵𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐺𝑃̅̅ ̅̅ =
1
3
𝐶𝑃̅̅ ̅̅ 
 
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BC
AM BM MC
2
= = =
 
Observação: Mediana no Triângulo Retângulo 
Em um triângulo retângulo, a medida da mediana 
relativa à hipotenusa é a metade dela(hipotenusa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Base Média do Triângulo 
Dado um triângulo qualquer, o segmento com extremos 
nos pontos médios de dois lados desse triângulo é 
paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual a metade 
desse terceiro lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Na figura abaixo, segmentos com marcas 
iguais são congruentes. Determine o valor de x em 
cada caso. 
 
Bissetrizes internas 
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento, com 
extremidades num vértice e no lado oposto, que divide 
o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. 
As três bissetrizes internas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto que está a igual 
distância dos lados do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
Bissetrizes externas 
Bissetriz externa de um triângulo é o segmento, com 
extremidades num vértice e no prolongamento do lado 
oposto, que divide o ângulo externo desse vértice em 
dois ângulos congruentes. 
 
 
 
 
 
Alturas 
A altura de um triângulo é o segmento de reta 
perpendicular a reta suporte de um lado do triângulo 
com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao 
lado considerado. 
As três retas suportes das alturas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
Alturas 
A altura de um triângulo é o segmento de reta 
perpendicular a reta suporte de um lado do triângulo 
com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao 
lado considerado. 
As três retas suportes das alturas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
Mediatriz 
Mediatriz é uma reta perpendicular a um segmento de 
reta e que passa pelo ponto médio deste segmento. 
Em regra, Mediatriz não é uma ceviana. 
 
As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-
se num mesmo ponto que está a igual distância dos 
vértices do triângulo. 
 
I é o ponto de encontro das bissetrizes(Incentro) do 
triângulo ABC. 
𝐵𝑃̅̅ ̅̅ é uma bissetriz externa do triângulo ABC. 
O é ponto de encontro das alturas(Ortocentro) 
BC
MN
2
=
 
I
A
 é chamado de Ex-Incentro 
 
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Observação 
Todo triângulo é inscritível e circunscritível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Triângulo Isósceles 
Em um triângulo isósceles, a bissetriz que divide o 
ângulo que é diferente dos outros dois, também é: 
mediana, mediatriz e altura do triângulo. 
 
Observação: Triângulo Equilátero 
Em um triângulo equilátero, a bissetriz que divide o 
ângulo também é: mediana, mediatriz e altura do 
triângulo. 
 
 
Exemplo: (EEAr) Dado um triângulo qualquer, é 
FALSO afirmar que 
a) uma de suas alturas pode coincidir com um de seus 
lados. 
b) suas alturas podem interceptar-se num ponto 
externo a ele. 
c) o incentro é o centro da circunferência nele inscrita. 
d) o circuncentro é o encontro das suas medianas. 
 
Exemplo: No triângulo retângulo ABC, representadona 
figura abaixo, AH é a altura relativa à hipotenusa e AM 
é a mediana. Nestas condições, a medida do ângulo x 
assinalado é: 
 
 
 
 
 
 
a) 55º 
b) 65º 
c) 70º 
d) 75º 
 
Exemplo: (EEAr) Na figura, BN é a bissetriz do ângulo 
�̂�. Se �̂� = 50º e �̂� = 30º, então a medida x do ângulo 
𝐻�̂�𝑁 é 
 
a) 5º. 
b) 10°. 
c) 15º. 
d) 20º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P é o ponto de encontro das 
mediatrizes(Circuncentro). 
Triângulo Circunscrito 
O Incentro é o centro da circunferência 
inscrita no triângulo. 
Triângulo Inscrito 
O Circuncentro é o centro da circunferência 
circunscrita no triângulo