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Aula 36
Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação
Acadêmica) - Março/2020
Guilherme Neves
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1.	 Medidas Separatrizes ...................................................................................................................................... 3	
1.1.	 Mediana .......................................................................................................................................................... 3	
1.1.1.	 Mediana para Dados Não-Agrupados ......................................................................................................... 3	
1.1.2.	 Mediana para Dados Agrupados sem Intervalos de Classe ........................................................................ 7	
1.1.3.	 Mediana para Dados Agrupados em Classes ............................................................................................ 10	
1.2.	 Propriedades da Mediana ............................................................................................................................. 14	
2.	 Quartil, Decil e Percentil ................................................................................................................................ 18	
3.	 Box Plot ........................................................................................................................................................ 25	
Lista de Questões de Concursos sem Comentários ................................................................................................. 27	
Gabarito sem comentário ...................................................................................................................................... 45	
Lista de Questões de Concursos com Comentários ................................................................................................ 47	
Considerações Finais ............................................................................................................................................. 99	
 
 
 
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1. MEDIDAS SEPARATRIZES 
Nesta aula, vamos estudar as medidas separatrizes, que também são chamadas de “quantis”. 
As medidas separatrizes servem para dividir o conjunto de dados em partes. Por exemplo, a 
mediana divide o conjunto de dados em duas partes de mesma frequência. 
Além da mediana, vamos estudar também os quartis, decis e percentis. 
É importante lembrar que, para calcular uma medida separatriz, precisamos dispor os dados em 
ordem crescente (ou decrescente). Quando os dados estão ordenados, dizemos que os eles estão 
dispostos em “rol”. 
 
1.1. MEDIANA 
 
A mediana (ou valor mediano) é outra medida de posição definida como número que se encontra 
no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras 
palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o 
valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de 
elementos. 
 
1.1.1. MEDIANA PARA DADOS NÃO-AGRUPADOS 
 
Tomemos como exemplo a seguinte série de valores: 
5,10,13,12,7,8,4,3,9. 
 
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (colocar os 
dados brutos em rol) dos valores. 
3,4,5,7,8,9,10,12,13. 
 
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita 
e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o número 8, já que, nessa série, há 4 elementos 
acima dele e quatro abaixo. 
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3, 4, 5, 7&'(')
*	,-,.,/012
, 	8⏟
5,678/8
, 9, 10, 12, 13&'''(''')
*	,-,.,/012
 
Temos então, 
𝑀6 = 8 
O símbolo para mediana não é tão convencional quanto o da média (	𝑥	@@@). Além de 𝑀𝑑, já vi livros 
utilizarem os seguintes símbolos para a mediana: 	𝑥	B ou 𝜂 (letra grega eta). Doravante, utilizarei o 
símbolo 𝑀6. 
 
Se a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer dos 
números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto 
médio. 
Assim, a série de valores 2,6,7,10,12,13,18,21 tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12, 
são os dois termos centrais. 
2, 6, 7&()
E	0,F.12
, 10, 12&()
0,F.12	G,/0F872
, 13, 18	, 21&''('')
E	0,F.12
 
 
𝑀6 =
10 + 12
2 = 11 
 
Por definição, quando o número de elementos for par, a mediana será QUALQUER 
número entre os dois termos centrais. Como há infinitos valores entre os dois termos 
centrais e, portanto, infinitas medianas, CONVENCIONOU-SE utilizar o ponto médio para 
o cálculo da mediana. 
 
Você facilmente pode encontrar o termo central (ou termos centrais) quando forem poucos 
números. 
Mas como você encontraria a posição central se fossem, por exemplo, 1.000 termos? 
Quando o número de termos for ímpar, a mediana será o termo de posição /IJ
K
. 
Assim, por exemplo, se houver 27 termos, a mediana será o termo de posição 
27 + 1
2 = 14 
Em outras palavras, se o número de termos for 27, a mediana será o 14º termo. Dessa forma, 
haverá 13 termos à esquerda da mediana e 13 termos à direita da mediana. 
 
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Por outro lado, se o número de termos for par, haverá dois termos no centro. O primeiro deles 
será o termo de posição /
K
. O outro será o termo imediatamente à sua direita, ou seja, o termo de 
posição /
K
+ 1. A mediana, por definição, será a média aritmética desses dois termos centrais. 
 
Imagine que queremos calcular a mediana de 1.000 termos. O primeiro termo central é o termo de 
posição 
𝑛
2 =
1000
2 = 500 
O outro termo central é o termo de posição 501. Assim, se o número de termos é 1.000, a mediana 
será a média aritmética entre o 500º termo e o 501º termo. 
𝑀6 =
𝑥MNN + 𝑥MNJ
2 
Ficou claro? 
 
Estando ordenados os dados numéricos e sendo 𝑛 o número de elementos, o valor 
mediano será: 
 
- O termo de ordem /IJ
K
 , se 𝑛 for ímpar. 
 
- A média aritmética dos termos de ordem /
K
 e /
K
+ 1, se 𝑛 for par. 
 
O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. Quando o número 
de elementos da série é ímpar, há coincidência. O mesmo não acontece, porém, quando 
esse número é par. 
 
 
 
 
A mediana depende da posição e não é influenciada por valores extremos dos 
elementos na série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana e a 
média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos,também chamados de 
outliers). 
 
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Imagine que os dados a seguir representam os salários de 5 funcionários de uma pequena 
empresa. 
 
1000, 1000, 1000, 1000, 30000 
 
 
A média desses valores é: 
	𝑥	@@@ =
1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 30000
5 = 6.800 
Como o número de elementos é 5, então a mediana será o termo de posição 
𝑛 + 1
2 =
5 + 1
2 = 3 
 
O terceiro termo é 1.000. Portanto, 
 
𝑀6 = 1.000 
 
Observe que a média foi bastante alterada pela introdução de um dado atípico enquanto a 
mediana não foi alterada. Se o último salário fosse alterado para 1 milhão de reais, a mediana 
continuaria sendo 1.000 e a média seria bastante alterada. 
 
Com este exemplo fica bem claro que nem sempre a média é a melhor medida para descrever um 
conjunto de dados. 
 
 
 
(FCC 2018/ALE-SE) 
Em um grupo de pessoas encontramos as seguintes idades: 20, 30, 50, 39, 20, 25, 41, 47, 36, 
45, 41, 52, 18, 41. A mediana é 
 
a) 36. 
b) 40. 
c) 41. 
d) 42. 
e) 39. 
Resolução 
O primeiro passo é dispor os termos em ordem crescente. 
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18, 20, 20, 25, 30, 36, 39, 41, 41, 41, 45, 47, 50, 52 
 
Quando o número de termos 𝑛 é ímpar, a mediana é o termo central, ou seja, é o termo de 
posição /IJ
K
. 
 
Quando o número de termos 𝑛 é par, temos dois termos centrais: o termo de posição /
K
 e o 
próximo. A mediana será a média aritmética entre os dois termos centrais. 
No nosso caso, temos 14 números. Como 14 é par, então a mediana será a média aritmética 
entre os dois termos centrais: o sétimo e o oitavo. 
O sétimo termo é 39 e o oitavo termo é 41. Portanto, 
 
𝑀6 =
39 + 41
2 = 40 
Gabarito: B 
 
 
 
1.1.2. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE 
Imagine que um professor de Matemática realizou uma prova e elaborou a seguinte tabela com as 
notas de seus alunos. 
 
Notas Frequência 
2 2 
4 6 
6 10 
8 12 
10 9 
 
O total de alunos é 
𝟐 + 𝟔 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟐 + 𝟗 = 𝟑𝟗 
 
Como o número de termos é ímpar, então a mediana será o termo de posição 
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𝒏 + 𝟏
𝟐 =
𝟑𝟗 + 𝟏
𝟐 = 𝟐𝟎 
 
Em outras palavras, a mediana será o 20º termo. 
 
Observe que 2 pessoas tiraram nota 2. 
 
Sabemos ainda que 6 pessoas tiraram nota 4 e que 10 pessoas tiraram nota 6. 
 
Já contamos 𝟐 + 𝟔 + 𝟏𝟎 = 𝟏𝟖	𝒑𝒆𝒔𝒔𝒐𝒂𝒔. 
 
Assim, a 20ª pessoa estará na próxima linha da tabela, pois 12 pessoas tiraram nota 8. Portanto, 
 
𝑴𝒅 = 𝒙𝟐𝟎 = 𝟖 
 
Podemos sistematizar esse raciocínio com o auxílio da “frequência acumulada”. Para calcular a 
frequência acumulada, devemos repetir a primeira frequência e ir somando com as frequências 
seguintes. Observe: 
 
 
Deixe-me limpar a tabela. 
 
Notas Frequência 
Frequência 
Acumulada 
2 2 2 
4 6 8 
6 10 18 
8 12 30 
10 9 39 
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O que o número 8 (frequência acumulada da segunda linha) significa? 
 
Ora, o número 8 é a soma 2 + 6. Portanto, 8 é a soma das frequências absolutas simples das duas 
primeiras linhas. Assim, há 8 alunos com nota igual ou inferior a 4. 
 
Analogamente, há 18 alunos com nota igual ou inferior a 6. 
 
Assim, é bem rápido calcular a mediana quando a coluna de frequências acumuladas é construída. 
 
Até a terceira linha contamos 18 elementos. Até a quarta linha contamos 30 elementos. Portanto, 
a mediana, que é o 20º termo, está na quarta linha. 
 
𝑴𝒅 = 𝒙𝟐𝟎 = 𝟖 
 
Vejamos outro exemplo. Considere a seguinte tabela. 
 
𝑿𝒊 𝒇𝒊	 
2 2 
4 6 
6 10 
8 12 
10 6 
 
Vamos construir a coluna da frequência acumulada para calcular a mediana. 
 
𝑿𝒊 𝒇𝒊	 𝒇𝒂𝒄 
2 2 2 
4 6 8 
6 10 18 
8 12 30 
10 6 36 
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 Agora o número de elementos é par. Temos dois termos de posição central. O primeiro deles é o 
termo de posição 𝒏
𝟐
. O outro é o termo de posição 𝒏
𝟐
+ 𝟏. 
 
Como 𝒏 = 𝟑𝟔, devemos encontrar os termos de posição 18 e 19. 
 
A frequência acumulada indica que 18 termos foram contados até a terceira linha. Portanto, 
𝒙𝟏𝟖 = 𝟔 
 
O termo de posição 19 estará na próxima linha. 
 
𝒙𝟏𝟗 = 𝟖 
 
Portanto, a mediana é: 
 
𝑴𝒅 =
𝒙𝟏𝟖 + 𝒙𝟏𝟗
𝟐 =
𝟔 + 𝟖
𝟐 = 𝟕 
 
1.1.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES 
Vamos agora estudar o cálculo da mediana para dados agrupados em classe. Neste tópico, não nos 
interessa saber se o número de elementos é par ou ímpar. 
 
Tomemos como exemplo a seguinte tabela. 
 
Classes Frequência 
40 – 50 2 
50 – 60 5 
60 – 70 7 
70 – 80 8 
80 – 90 3 
 
O primeiro passo para calcular a mediana para dados agrupados em classes é construir a coluna da 
frequência acumulada. 
 
 
 
 
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Classes Frequência 𝒇𝒂𝒄	 
40 – 50 2 2 
50 – 60 5 7 
60 – 70 7 14 
70 – 80 8 22 
80 – 90 3 25 
 
 
Conforme já mencionei, não interessa se o o número de elementos é par ou ímpar. 
 
Devemos descobrir em qual classe se encontra a mediana. Tal classe é chamada de “classe 
mediana”. 
 
Para determinar a classe mediana, devemos calcular 𝒏/𝟐. 
 
𝒏
𝟐 =
𝟐𝟓
𝟐 = 𝟏𝟐, 𝟓 
 
Vamos agora comparar esse valor com os valores da frequência acumulada. Comece olhando de 
cima para baixo. A classe mediana será a primeira classe em que a frequência acumulada é maior 
ou igual a 𝒏
𝟐
= 𝟏𝟐, 𝟓. 
 
A primeira frequência acumulada é 2. Este número é maior ou igual a 12,5? Não. 
A segunda frequência acumulada é 7. Este número é maior ou igual a 12,5? Não. 
A terceira frequência acumulada é 15. Este número é maior ou igual a 12,5? Sim. 
 
Opa! 
 
Encontramos a classe mediana. A terceira classe é a classe em que a mediana se encontra, em 
outras palavras, a mediana é um número entre 60 e 70. 
 
Agora é só aplicar a fórmula da mediana. 
 
𝑴𝒅 = 𝒍𝒊 + h
𝒏
𝟐 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
k ∙ 𝒉 
 
Em que: 
 
• 𝒍𝒊 é o limite inferior da classe mediana. 
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• 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕 é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana. 
• 𝒇𝒊 é a frequência simples da classe mediana 
• 𝒉 é a amplitude da classe mediana 
 
A amplitude é a diferença entre os limites da classe.No nosso exemplo, 𝒉 = 𝟕𝟎 − 𝟔𝟎 = 𝟏𝟎. 
 
Observe na tabela a seguir os outros elementos. 
 
 
 
Vamos aplicar a fórmula. 
 
𝑴𝒅 = 𝒍𝒊 + h
𝒏
𝟐 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
k ∙ 𝒉 
 
 
𝑴𝒅 = 𝟔𝟎 + n
𝟏𝟐, 𝟓 − 𝟕
𝟕 o ∙ 𝟏𝟎 
 
 
𝑴𝒅 ≅ 𝟔𝟕, 𝟖𝟓 
 
Isso quer dizer que 50% dos valores estão abaixo de 67,85 e 50% dos valores estão acima de 67,85. 
 
Mais fácil do que passar manteiga em beiço de bode!!! 
 
Vamos a mais um exemplo. Imagine que foi realizada uma pesquisa e as idades de algumas 
crianças foram colocadas na tabela a seguir. 
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Classes (em anos) 𝒇𝒊 
0 – 2 5 
2 – 4 2 
4 – 6 4 
6 – 8 2 
8 – 10 7 
 
Vamos calcular a mediana. O primeiro passo é construir a coluna da frequência acumulada. 
 
Classes (em anos) 𝒇𝒊 𝑓8G 
0 – 2 5 5 
2 – 4 2 7 
4 – 6 4 11 
6 – 8 2 13 
8 – 10 7 20 
 
Agora devemos calcular a classe mediana. O número de elementos é 20. Vamos calcular 𝒏/𝟐. 
 
𝒏
𝟐 =
𝟐𝟎
𝟐 = 𝟏𝟎 
 
Devemos olhar a coluna da frequência acumulada de cima para baixo. Ao encontrar a primeira 
frequência acumulada maior do que ou igual a 10 teremos a classe mediana. 
 
A primeira 𝒇𝒂𝒄 ≥ 𝟏𝟎 é 11. Portanto, a classe mediana é a terceira. Dessa forma, temos: 
 
𝒍𝒊 = 𝟒, 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕 = 𝟕, 𝒇𝒊 = 𝟒 e 𝒉 = 𝟔 − 𝟒 = 𝟐. 
 
Agora é só aplicar a fórmula. 
 
𝑴𝒅 = 𝒍𝒊 + h
𝒏
𝟐 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
k ∙ 𝒉 
 
 
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𝑴𝒅 = 𝟒 + n
𝟏𝟎 − 𝟕
𝟒 o ∙ 𝟐 
 
 
𝑴𝒅 = 𝟓, 𝟓 
 
 
 
1.2. PROPRIEDADES DA MEDIANA 
Vamos agora estudar algumas propriedades importantes da mediana. 
 
i) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de números, a 
mediana da lista fica aumentada (ou diminuída) desta constante. 
Vejamos um exemplo para entender a propriedade. A mediana da sequência (4, 7, 8, 29) é 
7 + 8
2 = 7,5 
Vamos somar o número 3 a cada um dos números desta lista. A nova lista obtida será (7, 10, 11, 
32). 
A nova mediana é igual a: 
10 + 11
2 = 10,5 
Observe que como acrescentamos 3 a cada um dos números da lista, a mediana também 
aumentou 3 unidades (de 7,5 foi para 10,5). 
ii) Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de 
números, a mediana da lista fica multiplicada (ou dividida) por esta constante. 
O raciocínio é análogo e agora já fica bem mais fácil de entender. Por exemplo, se multiplicarmos 
todos os elementos de uma lista por 4, a mediana também será multiplicada por 4. 
Tomemos como exemplo novamente a lista (4, 7, 8, 29) cuja mediana é 7,5. 
Vamos multiplicar todos os termos por 4 e obter a seguinte lista: (16, 28, 32, 116). 
A nova mediana é igual a: 
28 + 32
2 = 30 
Como era de se esperar, a nova mediana é igual a 4 × 7,5 = 30. 
 
iii) A soma dos módulos dos desvios da sequência de números 𝑥7 em relação a um número 𝑎 é 
mínima se 𝑎 for a mediana dos números. 
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Tomemos como exemplo a sequência (2, 4, 6, 8, 10, 10, 12, 12). 
Como o número de elementos é par, a mediana, por convenção, é a média aritmética dos dois 
termos centrais. 
8 + 10
2 = 9 
 
A sequência possui 8 elementos. Portanto, há 8 desvios para calcular. Basta calcular a diferença 
entre cada elemento e a mediana. 
𝑑J = 𝑥J − 𝑀6 = 2 − 9 = −7 
𝑑K = 𝑥K − 𝑀6 = 4 − 9 = −5 
𝑑E = 𝑥E − 𝑀6 = 6 − 9 = −3 
𝑑* = 𝑥* − 𝑀6 = 8 − 9 = −1 
𝑑M = 𝑥M − 𝑀6 = 10 − 9 = 1 
𝑑x = 𝑥x − 𝑀6 = 10 − 9 = 1 
𝑑y = 𝑥y − 𝑀6 = 12 − 9 = 3 
𝑑z = 𝑥z − 𝑀6 = 12 − 9 = 3 
Vamos agora somar os módulos desses desvios. 
{|𝑑7|
z
7}J
= |𝑑J| + |𝑑K| + |𝑑E| + |𝑑*| + |𝑑M| + |𝑑x| + |𝑑y| + |𝑑z| 
 
{|𝑑7|
z
7}J
= 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 3 = 24 
A propriedade nos diz que, para essa sequência numérica, o valor 24 é um valor mínimo. O que 
isso quer dizer? 
Isso quer dizer que se calcularmos os desvios em relação a outro número qualquer diferente da 
mediana e, em seguida, calcularmos a soma dos módulos dos desvios, obteremos um valor maior 
que 24. 
 
 
 
 
 
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Quando o número de elementos é ímpar, a mediana é única e igual ao termo central. 
Neste caso, o valor mínimo da soma dos módulos dos desvios só pode ser atingido 
quando esses desvios são calculados em relação a esse número único, que é a mediana. 
 
Quando o número de elementos é par, a mediana pode ser QUALQUER VALOR ENTRE os 
termos centrais. Portanto, há infinitos possíveis valores para a mediana. Por convenção, 
adotamos como valor mediano a média entre os dois valores centrais. Neste caso, o 
valor mínimo da soma dos módulos dos desvios é atingido quando os desvios são 
calculados em relação a qualquer número entre os dois termos centrais (ou em relação 
aos termos centrais inclusive). 
 
 
Se, em vez do ponto médio dos termos centrais, utilizássemos outro número no intervalo [8,10], a 
soma dos módulos dos desvios também seria igual a 24. Lembre-se que qualquer número entre 8 e 
10 poderia ser utilizado como mediana, mas, POR CONVENÇÃO utilizamos o ponto médio 9. 
Vamos calcular, por exemplo, a soma dos módulos dos desvios em relação a 9,5, que seria outra 
possível mediana pela definição. 
- Guilherme, por que 9,5? 
- Porque eu quis. Kkkkk.. 
- Ah, não, Guilherme. Eu prefiro o número 9,437. Pode? 
- Claro!! A propriedade é válida para QUALQUER número entre os valores centrais. 
 
Vamos calcular os desvios dos números da sequência	(2,4, 6, 8, 10, 10, 12, 12) em relação a 9,437. 
𝑑J = 𝑥J − 𝑀6 = 2 − 9,437 = −7,437 
𝑑K = 𝑥K − 𝑀6 = 4 − 9,437 = −5,437 
𝑑E = 𝑥E − 𝑀6 = 6 − 9,437 = −3,437 
𝑑* = 𝑥* − 𝑀6 = 8 − 9,437 = −1,437 
𝑑M = 𝑥M − 𝑀6 = 10 − 9,437 = 0,563 
𝑑x = 𝑥x − 𝑀6 = 10 − 9,437 = 0,563 
𝑑y = 𝑥y − 𝑀6 = 12 − 9,437 = 2,563 
𝑑z = 𝑥z − 𝑀6 = 12 − 9,437 = 2,563 
 
 
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Vamos agora calcular a soma dos módulos dos desvios. 
 
{|𝒅𝒊|
𝟖
𝒊}𝟏
= 𝟕, 𝟒𝟑𝟕 + 𝟓, 𝟒𝟑𝟕 + 𝟑, 𝟒𝟑𝟕 + 𝟏, 𝟒𝟑𝟕 + 𝟎, 𝟓𝟔𝟑 + 𝟎, 𝟓𝟔𝟑 + 𝟐, 𝟓𝟔𝟑 + 𝟐, 𝟓𝟔𝟑 
 
{|𝒅𝒊|
𝟖
𝒊}𝟏
= 𝟐𝟒 
 
Como esperávamos! 
 
Se esses desvios forem calculados em relação a qualquer número fora do intervalo fechado [8,10] 
a soma dos módulos dos desvios será superior a 24. A soma será igual a 24 inclusive se você utilizar 
8 ou 10, que são os termos centrais. 
 
Apenas para ilustrar, vou calcular os desvios em relação a 8. 
 
𝑑J = 2 − 8 = −6 
𝑑K = 4 − 8 = −4 
𝑑E = 6 − 8 = −2 
𝑑* = 8 − 8 = 0 
𝑑M = 10 − 8 = 2 
𝑑x = 10 − 8 = 2 
𝑑y = 12 − 8 = 4 
𝑑z = 12 − 8 = 4 
 
Agora vamos calcular a soma dos módulos desses desvios. 
 
{|𝒅𝒊|
𝟖
𝒊}𝟏
= 𝟔 + 𝟒 + 𝟐 + 𝟎 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 + 𝟒 = 𝟐𝟒 
 
Vamos agora utilizar um valor qualquerfora do intervalo [8,10] e verificar que a soma dos módulos 
dos desvios é superior a 24. Vamos utilizar como exemplo os desvios em relação a 11. Só para 
lembrar, a sequência é (𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎, 𝟏𝟎, 𝟏𝟐, 𝟏𝟐). 
 
𝑑J = 2 − 11 = −9 
𝑑K = 4 − 11 = −7 
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𝑑E = 6 − 11 = −5 
𝑑* = 8 − 11 = −3 
𝑑M = 10 − 11 = −1 
𝑑x = 10 − 11 = −1 
𝑑y = 12 − 11 = 1 
𝑑z = 12 − 11 = 1 
 
Agora vamos calcular a soma dos módulos desses desvios. 
 
{|𝒅𝒊|
𝟖
𝒊}𝟏
= 𝟗 + 𝟕 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟐𝟖 
 
Como esperávamos, 28 > 24. 
 
 
2. QUARTIL, DECIL E PERCENTIL 
A mediana divide os dados em duas partes de mesma frequência. Vamos agora estudar as outras 
medidas separatrizes. 
 
Os quartis dividem os dados em 4 partes de mesma frequência. São sempre 3 quartis. Cada parte 
conterá 25% dos dados. 
 
 
 
 
O primeiro quartil (Q1) – valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados 
é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores. 
 
O segundo quartil (Q2) – evidentemente, coincide com a mediana (Q2=Md) e separa os 50% 
menores dos 50% maiores. 
O terceiro quartil (Q3) – valor situado de tal modo que as três quartas partes (75%) dos termos são 
menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior. 
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Para dados não agrupados, podemos adotar o seguinte procedimento para calcular os quartis: 
 
- Calculamos o segundo quartil, que coincide com a mediana. 
- O primeiro quartil será a mediana dos números que sobrarem à esquerda da mediana e o terceiro 
quartil será a mediana dos números que sobrem à direita da mediana. 
 
Veja que essa é apenas uma convenção, pois, da mesma forma que a mediana, poderiam existir 
outras formas para calcular os quartis atendendo à definição. 
 
Vamos, por exemplo, calcular os quartis da sequência (2,4, 6, 8, 10, 10, 12, 12, 13). 
 
Como são 9 termos, a mediana (segundo quartil) será o termo de posição ~IJ
K
= 5. 
O quinto termo é 10. 
 
2,4, 6, 8&'(')
�ú.,F12	à	,2��,F68	68	.,678/8
, 10�
��
, 10, 12, 12, 13&'''(''')
�ú.,F12	à	67F,708	68	.,678/8
 
 
A mediana do conjunto de números à esquerda é 5 (ponto médio entre 4 e 6) e a mediana do 
conjunto de números à direita é 12 (ponto médio entre 12 e 12). 
Portanto, 𝑄J = 5 e 𝑄E = 12. 
 
A diferença 𝑄E − 𝑄J é denominada amplitude interquartílica. 
 
A metade desse valor, �����
K
 é denominada amplitude semi-interquartílica ou desvio 
quartílico. 
 
 
 
 
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(CESPE 2018/IPHAN) 
Uma pesquisa a respeito das quantidades de teatros em cada uma de 11 cidades brasileiras 
selecionadas apresentou o seguinte resultado: {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}. 
Com referência a esses dados, julgue os itens seguintes. 
01. A mediana do conjunto é igual a 3. 
02. O valor do primeiro quartil do conjunto de dados (Q1/4) é igual a 3. 
03. O valor do terceiro quartil do conjunto de dados (Q3/4) é igual a 4. 
Resolução 
São 11 termos e eles já estão dispostos em ordem crescentes. Como o número de termos é 
ímpar, então a mediana será o termo de posição /IJ
K
= JJIJ
K
= 6. 
O sexto termo da sequência é 3. 
𝑀6 = 𝑄K = 3 
 
Observe como fica a sequência. 
 
1, 2, 2, 3, 3&''('')
�ú.,F12	à	,2��,F68	68	.,678/8
, 3⏟
��
, 4, 4, 4, 4, 4&''('')
�ú.,F12	à	67F,708	68	.,678/8
 
 
A mediana dos números à esquerda será o primeiro quartil. Portanto, 𝑄J = 2. 
A mediana dos números à direita será o terceiro quartil. Portanto, 𝑄E = 4. 
 
Gabarito: Certo, Errado, Certo 
 
Vamos agora aprender como calcular os quartis para dados agrupados em classes. O processo é 
idêntico ao da mediana. 
 
Tomemos como exemplo a tabela a seguir em que são apresentados os salários de 200 
funcionários de uma empresa. 
 
 
 
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Salário (R$) Frequência 
260 – 520 50 
520 – 1040 100 
1040 – 1560 30 
1560 - 2600 20 
 
Vamos construir a coluna de frequências acumuladas. 
 
Salário (R$) Frequência 𝒇𝒂𝒄	 
260 – 520 50 50 
520 – 1040 100 150 
1040 – 1560 30 180 
1560 - 2600 20 200 
 
Vamos calcular, por exemplo, o terceiro quartil. Os quartis dividem a distribuição em 4 partes de 
mesma frequência. Assim, em vez de calcular 𝒏/𝟐, vamos calcular 1𝒏/𝟒. 
 
𝟏𝒏
𝟒 =
𝟐𝟎𝟎
𝟒 = 𝟓𝟎 
 
Observe que multipliquei n por 1 porque queremos o primeiro quartil. Se fosse o terceiro quartil, 
bastaria calcular 𝟑𝒏/𝟒. 
 
Agora devemos descobrir em qual classe se encontra o primeiro quartil. Devemos procurar, de 
cima para baixo, a primeira frequência acumulada que é maior do que ou igual a 50. 
 
A primeira frequência acumulada que é maior do que ou igual a 50 é a primeira, que é igual a 50. 
 
Portanto, 𝑸𝟏 está na primeira classe. 
 
Agora é só aplicar a fórmula do primeiro quartil, que é bem parecida com a fórmula da mediana. 
 
 
 
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𝑸𝟏 = 𝒍𝒊 + h
𝟏𝒏
𝟒 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
k ∙ 𝒉 
 
 
Observe que a única diferença é que trocamos 𝒏
𝟐
 por 𝟏𝒏
𝟒
 no numerador. 
 
Como a classe do primeiro quartil é a primeira, 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕 = 𝟎, pois não há classe anterior. 
 
O limite inferior da primeira classe é 260, a frequência simples da primeira classe é 50 e a 
amplitude da primeira classe é 𝒉 = 𝟓𝟐𝟎 − 𝟐𝟔𝟎 = 𝟐𝟔𝟎. 
 
𝑸𝟏 = 𝟐𝟔𝟎 + n
𝟓𝟎 − 𝟎
𝟓𝟎 o ∙ 𝟐𝟔𝟎 
 
𝑸𝟏 = 𝟐𝟔𝟎 + 𝟏 ∙ 𝟐𝟔𝟎 
 
𝑸𝟏 = 𝟓𝟐𝟎 
 
Vamos calcular o terceiro quartil? Para tanto, vamos tomar como referência o valor 𝟑𝒏
𝟒
. 
 
𝟑𝒏
𝟒 =
𝟑 ∙ 𝟐𝟎𝟎
𝟒 = 𝟏𝟓𝟎 
 
Salário (R$) Frequência 𝒇𝒂𝒄	 
260 – 520 50 50 
520 – 1040 100 150 
1040 – 1560 30 180 
1560 - 2600 20 200 
 
Vamos procurar a primeira frequência acumulada que é maior do que ou igual a 150. É a segunda 
classe. 
 
Portanto, para calcular o terceiro quartil, temos: 
𝒍𝒊 = 𝟓𝟐𝟎, 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕 = 𝟓𝟎, 𝒇𝒊 = 𝟏𝟎𝟎	𝒆	𝒉 = 𝟏𝟎𝟒𝟎 − 𝟓𝟐𝟎 = 𝟓𝟐𝟎 
 
Observe que as amplitudes das classes não são iguais. Para calcular o terceiro quartil, devemos 
utilizar a amplitude da classe em que se encontra o terceiro quartil. 
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Agora é só aplicar a fórmula. A fórmula é idêntica à da mediana. Devemos apenas trocar 𝒏
𝟐
 por 𝟑𝒏
𝟒
. 
 
𝑸𝟑 = 𝒍𝒊 + h
𝟑𝒏
𝟒 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
k ∙ 𝒉 
 
𝑸𝟑 = 𝟓𝟐𝟎 + n
𝟏𝟓𝟎 − 𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎 o ∙ 𝟓𝟐𝟎 
 
 
𝑸𝟑 = 𝟏. 𝟎𝟒𝟎 
 
Se quiséssemos calcular o segundo quartil,era só utilizar 2n/4 = n/2 (mesmo valor da mediana). 
 
Viu como o processo é fácil? Se sabe calcular mediana, já sabe calcular todas as outras medidas 
separatrizes!!! 
 
- Mas, Guilherme, e o decis e o percentis? 
 
- É a mesma coisa!!! 
 
Primeiro, o conceito. Os decis dividem a distribuição em 10 partes de mesma frequência e os 
percentis em 100 partes de mesma frequência. 
 
 
 
Por exemplo, o 4º decil (𝑫𝟒) separa os 40% menores dos 60% maiores. 
 
Analogamente, o 79º percentil (𝑷𝟕𝟗) separa os 79% menores dos 21% maiores. 
 
Como seria a fórmula do 7º decil? Igualzinha à fórmula da mediana. Basta substituir 𝒏/𝟐 
 por 𝟕𝒏
𝟏𝟎
. 
 
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𝑫𝟕 = 𝒍𝒊 + h
𝟕𝒏
𝟏𝟎 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
k ∙ 𝒉 
 
E a fórmula do 43º percentil? Basta substituir n/2 por 𝟒𝟑𝒏
𝟏𝟎𝟎
. 
 
 
𝑷𝟒𝟑 = 𝒍𝒊 + h
𝟒𝟑𝒏
𝟏𝟎𝟎 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
k ∙ 𝒉 
 
É claro que não precisamos colocar as fórmulas de todos os decis e percentis. Basta fazer uma 
pequena adaptação à fórmula da mediana. 
 
Vamos, por exemplo, calcular o 94º percentil da seguinte distribuição de dados (alturas em 
centímetros de 40 alunos do Estratégia). 
 
𝑿𝒊 𝒇𝒊	 
150 – 154 4 
154 – 158 9 
158 – 162 11 
162 – 166 8 
166 – 170 5 
170 - 174 3 
 
Como sempre, vamos construir a coluna da frequência acumulada. 
 
𝑿𝒊 𝒇𝒊	 𝑓8G 
150 – 154 4 4 
154 – 158 9 13 
158 – 162 11 24 
162 – 166 8 32 
166 – 170 5 37 
170 - 174 3 40 
 
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Como queremos calcular o 94º percentil, vamos calcular o valor 94n/100. 
94𝑛
100 =
94 ∙ 40
100 = 37,6 
Precisamos procurar a primeira frequência acumulada tal que 𝑓𝑎𝑐 ≥ 37,6. A primeira frequência 
acumulada que satisfaz essa condição é a última (40). 
Assim, vamos utilizar os seguintes valores: 
𝑙7 = 170, 𝑓7 = 3, 𝑓8G8/0 = 37, ℎ = 174 − 170 = 4 
 
Agora é só aplicar a fórmula. 
𝑷𝟗𝟒 = 𝒍𝒊 + h
𝟗𝟒𝒏
𝟏𝟎𝟎 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
k ∙ 𝒉 
 
𝑷𝟗𝟒 = 𝟏𝟕𝟎 + n
𝟑𝟕, 𝟔 − 𝟑𝟕
𝟑 o ∙ 𝟒 
 
𝑷𝟗𝟒 = 𝟏𝟕𝟎, 𝟖 
 
Assim, 94% dos alunos do Estratégia tem altura abaixo de 170,8 cm. 
 
3. BOX PLOT 
O Box Plot (ou Box-and-whisker plot) ou diagrama de caixas é um gráfico que utiliza os quartis para 
representação dos dados. 
O Box Plot pode ser representado tanto na horizontal quanto na vertical. Observe o exemplo a 
seguir. 
 
Vamos entender o significado de cada elemento do Box Plot. 
 
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Sempre teremos um retângulo (box) com um traço no meio. Assim, teremos três segmentos 
paralelos. Um deles é o primeiro quartil, o outro o segundo quartil (mediana) e o outro é o terceiro 
quartil. 
 
Teremos também dois traços (whiskers). Eles vão representar o menor valor e o maior valor que 
não forem discrepantes (outliers). 
 
Teremos ainda os valores discrepantes (outliers) representados por bolinhas ou asteriscos. 
 
Como determinar o comprimento máximo dos traços? O comprimento máximo dos traços é 
1,5𝐷𝐼𝑄, em que 𝐷𝐼𝑄 é a distância interquartil 𝐷𝐼𝑄 = 𝑄E − 𝑄J. 
 
Assim, o maior valor que não é considerado um outlier é 𝑄E + 1,5𝐷𝐼𝑄 e o menor valor que não é 
considerado um outlier é 𝑄J − 1,5𝐷𝐼𝑄. 
Valores que forem menores do que 𝑄J − 1,5𝐷𝐼𝑄 ou maiores do que 𝑄E + 1,5𝐷𝐼𝑄 serão 
considerados valores extremos (outliers) e serão representados por bolinhas ou asteriscos. 
 
 
É importante destacar que o comprimento máximo dos traços (whiskers) é 1,5𝐷𝐼𝑄. 
 
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LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS SEM COMENTÁRIOS 
 
01. (VUNESP 2019/MP-SP) 
 
Considere o seguinte conjunto de dados numéricos para estatística. 
 
Então, a soma da moda com a mediana e a média é igual a: 
a) 22. 
b) 24. 
c) 26. 
d) 28. 
e) 30. 
02. (VUNESP 2019/TJ-SP) 
Durante um período, decidiu-se analisar o comportamento do número de processos especiais 
autuados por dia em uma repartição pública. A tabela a seguir apresenta os resultados obtidos, 
sendo k a quantidade de dias em que não foram autuados processos. 
 
Com relação a esta tabela, foram obtidos os respectivos valores da moda (Mo), mediana (Md) e 
média aritmética (Me), em número de processos por dia. Verifica-se então que (Mo + Md + Me) é 
igual a 
(A) 6,30 
(B) 7,85 
(C) 6,80 
(D) 6,85 
(E) 7,35 
 
 
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03. (VUNESP 2019/UNICAMP) 
O gráfico apresenta a distribuição dos salários dos funcionários de um escritório. 
 
Sabendo-se que, em cada classe a distribuição de salários é uniforme, 30% dos salários mais baixos 
desse grupo variam de R$ 900,00 a 
(A) R$ 1.768,25. 
(B) R$ 1.779,25. 
(C) R$ 1.781,25. 
(D) R$ 1.795,25. 
(E) R$ 1.801,25. 
04. (VUNESP 2016/Câmara Municipal de Registro) 
Foi construída uma amostra com 10 funcionários de uma determinada repartição para a 
verificação do consumo de papel A4 por mês naquela área. A verificação do consumo desses 
funcionários mostrou-se conforme a tabela a seguir. 
 
Assinale a alternativa que contém, correta e respectivamente, os valores do consumo médio e do 
consumo mediano de papel A4 dessa repartição. 
a) 15 e 16. 
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b) 17 e 17,5. 
c) 17,5 e 17. 
d) 18 e 19. 
e) 19,5 e 18. 
05. (FCC 2019/BANRISUL) 
 
Os números de processos com uma determinada característica autuados em um órgão público, de 
janeiro a agosto de 2018, podem ser visualizados pelo gráfico abaixo. 
 
A respectiva média aritmética (número de processos por mês) está para a mediana assim como 
(A) 1 está para 16. 
(B) 2 está para 3. 
(C) 1 está para 8. 
(D) 5 está para 6. 
(E) 4 está para 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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06. (FCC 2019/BANRISUL) 
As idades dos 120 funcionários lotados em uma repartição pública estão distribuídas conforme a 
tabela de frequências absolutas abaixo. 
 
Utilizando o método da interpolação linear, obteve-se o primeiro quartil (𝑄J) e a mediana (𝑀6) 
desta distribuição em anos. A amplitude do intervalo [𝑄J,𝑀6] é então igual a 
(A) 4,0. 
(B) 6,5. 
(C) 10,0. 
(D) 3,5. 
(E) 7,5. 
 
07. (FCC 2019/Prefeiturado Recife) 
A empresa Sigma apresenta pela tabela abaixo a distribuição dos salários registrados de seus 100 
empregados em reais. 
 
Não foram fornecidos os números de empregados que ganham R$ 10.000,00 e R$ 15.000,00 
(denotados na tabela por x e y, respectivamente), mas sabe-se que a média aritmética dos salários 
é igual a R$ 8.400,00. O valor da soma da respectiva moda e da respectiva mediana desses salários 
é, em reais, igual a 
(A) 600y. 
(B) 625y. 
(C) 1.000y. 
(D) 750y. 
(E) 500y. 
 
 
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08. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Com o objetivo de analisar a distribuição dos salários dos empregados de uma empresa, verificou-
se que 10 empregados ganham, cada um, R$ 15.000,00; 20 ganham, cada um, R$ 2.500,00; 25 
ganham, cada um, R$ 12.000,00; 60 ganham, cada um, R$ 5.000,00 e os restantes ganham, cada 
um, R$ 8.000,00. Sabendo-se que a mediana dos salários apresentou um valor igual a R$ 6.500,00, 
obtém-se que o valor da média aritmética supera o da moda em 
(A) R$ 2.750.00. 
(B) R$ 3.250,00. 
(C) R$ 3.000,00. 
(D) R$ 2.250,00. 
(E) R$ 2.500,00. 
09. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Durante 40 dias, foi registrado o número de pessoas atendidas por dia em um guichê de uma 
repartição. A tabela abaixo apresentou os dados observados sendo que não foram fornecidas as 
quantidades de dias em que foram atendidas uma pessoa por dia e duas pessoas por dia, indicadas 
na tabela por 𝑞J e 𝑞K, respectivamente. 
 
Sabendo-se que a mediana correspondente foi igual 1,5, tem-se que a soma da moda e da média 
aritmética (número de pessoas atendidas por dia) foi igual a 
a) 3,00. 
b) 2,80. 
c) 3,45. 
d) 3,20. 
e) 2,95. 
 
 
 
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10. (FCC 2018/ALESE) 
Em um grupo de pessoas encontramos as seguintes idades: 20, 30, 50, 39, 20, 25, 41, 47, 36, 45, 
41, 52, 18, 41. A mediana e a moda são, respectivamente, 
a) 36 e 45. 
b) 40 e 41. 
c) 41 e 20. 
d) 42 e 39. 
e) 39 e 42. 
11. (FCC 2018/SEDU-ES) 
As notas dos dez alunos de uma sala foram: 1, 2, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 10. A diferença entre a moda e a 
mediana dessas notas é 
a) 1,5. 
b) 2,5. 
c) 0,5. 
d) 2,0. 
e) 1,0. 
12. (FCC 2018/ISS-São Luís) 
Um levantamento foi realizado com 40 instituições financeiras, localizadas em uma região, com 
relação às taxas mensais de juros aplicadas para financiamento de veículos. Verificou-se que cinco 
instituições aplicam a taxa de 0,80% ao mês, duas aplicam a taxa de 1,20% ao mês, oito aplicam a 
taxa de 1,25% ao mês, x aplicam a taxa de 1,12% ao mês e y aplicam a taxa de 0,96% ao mês. Se a 
média aritmética destas taxas foi igual a 1,05%, então a soma da mediana e a moda 
correspondentes foi de 
a) 2,00% 
b) 2,24% 
c) 2,08% 
d) 2,16% 
e) 1,92% 
 
 
 
 
 
 
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13. (FCC 2016/CNMP) 
A tabela de frequências absolutas abaixo corresponde à distribuição dos valores dos salários dos 
funcionários de nível médio lotados em um órgão público no mês de dezembro de 2014. 
 
 
O valor da mediana destes salários, obtido pelo método da interpolação linear, é, em R$, igual a 
a) 5.320,00. 
b) 5.040,00. 
c) 5.260,00. 
d) 4.900,00. 
e) 5.400,00. 
 
14. (CESPE 2018/Polícia Federal) 
 
 
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade X, em kg, de drogas 
em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela precedente, 
que apresenta os valores observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 dias de 
apreensões no citado aeroporto, julgue o próximo item. 
A mediana das quantidades X observadas na amostra em questão foi igual a 18kg. 
 
 
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15. (CESPE 2018/IPHAN) 
Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada para descrever e resumir 
dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir. 
A mediana é o valor que ocupa a posição central da série de observações de uma variável, 
dividindo-se o conjunto de valores ordenados em partes assimétricas desiguais. 
(CESPE 2018/IPHAN) 
Uma pesquisa a respeito das quantidades de teatros em cada uma de 11 cidades brasileiras 
selecionadas apresentou o seguinte resultado: {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}. 
Com referência a esses dados, julgue os itens seguintes. 
16. A mediana do conjunto é igual a 3. 
17. O valor do primeiro quartil do conjunto de dados (Q1/4) é igual a 3. 
18. O valor do terceiro quartil do conjunto de dados (Q3/4) é igual a 4. 
 
 
19. (CESPE 2017/Prefeitura de São Luís) 
Texto 11A2CCC 
A tabela a seguir apresenta uma comparação entre a evolução populacional ocorrida na cidade de 
São Luís, no estado do Maranhão e no Brasil, a cada cinco anos, de 1985 a 2010. 
 
Com base na tabela do texto 11A2CCC, considerando-se a sequência dos seis valores 
correspondentes à população de São Luís, infere-se que a mediana desses valores é igual a 
a) 725.000. 
b) 775.000. 
c) 825.000. 
d) 875.000. 
e) 700.000. 
 
 
 
 
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(CESPE 2017/SEE-DF) 
Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, mostrou que jovens com 
idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 horas por dia. A tabela a seguir 
apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
20. O desvio quartílico dos tempos T foi igual a 3. 
21. Segundo esse levantamento, metade dos jovens com idades entre 4 e 17 anos assistem à 
televisão durante 8 horas por dia. 
 
 
22. (CESPE 2016/TCE-PA) 
 
 
 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa 
o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição pública. A partir 
das informações dessa tabela, julgue o item seguinte. 
 A mediana do número diário de denúncias registradas é igual a 2. 
 
 
 
 
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23. (CESPE 2015/DEPEN) 
 
Com base nos dados dessa tabela, julgue o item a seguir. 
 
A mediana da distribuição mostrada é igual ou superior a 30 anos, pois as idades mínima e máxima 
na população prisional brasileira em 2010 foram, respectivamente, 18 e 60 anos. 
24. (CESPE 2015/TELEBRAS) 
Considerando que os possíveis valores de um indicador X, elaborado para monitorar a qualidadede um serviço de cabeamento residencial para a comunicação de dados, sejam elementos do 
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5} e que uma amostra aleatória de 5 residências tenha apontado os 
seguintes indicadores: 4, 4, 5, 4 e 3, julgue o próximo item. 
 A mediana e a moda dos indicadores registrados na amostra foram iguais a 4. 
25. (CESPE 2014/ANTAQ) 
 
A tabela acima apresenta os resultados de uma pesquisa de satisfação realizada em uma amostra 
de usuários dos serviços de transporte fluvial prestados por uma empresa. Com base nessas 
informações e na tabela, julgue o próximo item. 
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A mediana da série de notas obtidas pela empresa é 3. 
26. (CESPE 2013/PRF) 
 
Considerando os dados apresentados no gráfico, julgue o item seguinte. 
A média do número de acidentes ocorridos no período de 2007 a 2010 é inferior à mediana da 
sequência de dados apresentada no gráfico. 
27. (CESPE 2013/BACEN) 
2 4 8 4 8 1 2 32 12 1 5 7 5 5 3 4 24 19 4 14 
Os dados mostrados acima representam uma amostra, em minutos, do tempo utilizado na 
armazenagem de formulários no almoxarifado central de certa instituição por diversos 
funcionários. 
Com base nesses dados, julgue o próximo item. 
A mediana é maior que o 50º percentil. 
28. (CESPE 2012/Polícia Federal) 
Com relação a estatística, julgue o item seguinte. 
Ao contrário da mediana amostral, a média aritmética é menos sensível à presença de valores 
extremos (ou valores atípicos ou outliers). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29. (CESPE 2012/Câmara dos Deputados) 
 
Para avaliar os gastos com transporte de determinada diretoria, um analista coletou amostras de 
despesas com transportes (em R$) registradas por servidores dos setores1 e 2. Para cada setor, a 
amostra é constituída por 50 registros. Essas amostras foram organizadas graficamente, e os 
resultados são mostrados na figura acima. Nesta figura, as frequências absolutas estão indicadas 
nos histogramas correspondentes. Os dados foram os seguintes: 
 
Considerando essas informações, julgue o item a seguir. 
A mediana das despesas registradas pelos servidores do setor 2 é igual a R$ 693,35. 
 
 
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30. (CESPE 2012/TCE-ES) 
Uma instituição possui 15 empregados: 2 da referência A, 4 da B e 9 da referência C. O salário 
mensal de cada empregado da referência C é igual a R$ 2.000,00; o de cada empregado da 
referência B, R$ 3.500,00; e o salário mensal de cada empregado da referência A é igual a R$ 
5.000,00. 
 
A partir dessas informações, julgue o item a seguir. 
 
O salário mediano dos 15 empregados dessa instituição é igual a R$ 2.800,00. 
 
31. (PUC-PR 2017/JUCEPAR) 
Em uma pesquisa, os dados foram coletados e organizados conforme a tabela apresentada. 
Dados xi fi fa 
10 - 30 20 3 3 
30 - 50 40 8 11 
50 - 70 60 10 21 
70 - 90 80 5 26 
90 - 110 100 4 30 
 
A mediana dos dados agrupados é 
a) 50 
b) 56 
c) 58. 
d) 60 
 
 
32. (FEPESE 2017/Fiscal de Rendas e Tributos – Criciúma) 
Uma pizzaria tem no seu cardápio 3 grupos de sabores de pizzas: 
 
• Pizzas Tradicionais 
• Pizzas Especiais 
• Pizzas Gourmet 
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Ao todo, há 15 pizzas Tradicionais, cada uma no valor de R$ 35,00, 10 pizzas Especiais, cada uma 
no valor de R$ 40,00, e 5 pizzas Gourmet, cada uma no valor de R$ 46,00. 
Levando em conta todas as pizzas vendidas por essa pizzaria, podemos afirmar que a média, a 
mediana e a moda dos valores são, respectivamente: 
a) R$ 35,00, R$ 38,50, R$ 37,50 
b) R$ 37,50, R$ 35,00, R$ 38,50 
c) R$ 37,50, R$ 38,50, R$ 35,00 
d) R$ 38,50, R$ 35,00, R$ 37,50 
e) R$ 38,50, R$ 37,50. R$ 35,00 
33. (FEPESE 2010/SEFAZ-SC) 
Certo supermercado calculou medidas de síntese para as compras realizadas por seus clientes em 
um mês típico, obtendo: 
 
- mediana = R$ 120,00; 
- quartil inferior = R$ 40,00; 
- quartil superior = R$ 200,00. 
A interpretação dos resultados das três medidas de síntese seria, respectivamente: 
a) 25% dos clientes gastaram até R$ 120,00 e 75%, acima de R$ 120,00; 50% dos clientes gastaram 
até R$ 200,00 e 50%, acima de R$ 200,00; 75% dos clientes gastaram até R$ 40,00 e 25%, acima de 
R$ 40,00. 
b) 25% dos clientes gastaram até R$ 200,00 e 75%, acima de R$ 200,00; 50% dos clientes gastaram 
até R$ 40,00 e 50%, acima de R$ 40,00; 75% dos clientes gastaram até R$ 40,00 e 25%, acima de R$ 
40,00. 
c) 50% dos clientes gastaram até R$ 40,00 e 50%, acima de R$ 40,00; 25% dos clientes gastaram 
até R$ 200,00 e 75%, acima de R$ 200,00; 75% dos clientes gastaram até R$ 120,00 e 25%, acima 
de R$ 120,00. 
d) 50% dos clientes gastaram até R$ 120,00 e 50%, acima de R$ 120,00; 25% dos clientes gastaram 
até R$ 40,00 e 75%, acima de R$ 40,00; 75% dos clientes gastaram até R$ 200,00 e 25%, acima de 
R$ 200,00. 
e) 75% dos clientes gastaram até R$ 120,00 e 25%, acima de R$ 120,00; 50% dos clientes gastaram 
até R$ 40,00 e 50%, acima de R$ 40,00; 25% dos clientes gastaram até R$ 200,00 e 75%, acima de 
R$ 200,00. 
 
 
 
 
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34. (AOCP 2016/Prefeitura de Juiz de Fora) 
Em uma pesquisa realizada com 75 candidatos de um determinado concurso, levantou-se a 
quantidade de horas diárias em que se dedicavam aos estudos e obteve-se as seguintes 
informações: 
 
Para essa pesquisa, os valores da mediana, da moda e da média da quantidade de horas diárias 
dedicadas ao estudo são, respectivamente, 
a) 38, 0 e 2,64. 
b) 38, 12 e 2,64. 
c) 2, 0 e 2,64. 
d) 38, 12 e 3. 
e) 2, 0 e 3. 
35. (AOCP 2018/SUSIPE-PA) 
Quartis são valores que dividem os dados de uma amostra em quatro grupos, cada um deles 
contendo 1/4 do tamanho total da amostra. Em relação ao assunto, informe se é verdadeiro (V) ou 
falso (F) o que se afirma a seguir e assinale a alternativa com a sequência correta. 
( ) O primeiro quartil Q1 tem 1/4 dos dados acima dele e 3/4 dos dados abaixo dele. 
( ) O terceiro quartil Q3 tem 3/4 dos dados abaixo dele e 1/4 dos dados acima dele. 
( ) O quartil Q3 é a própria mediana. 
( ) A distância interquartílica é dada por DIQ = Q3 – Q1. 
(A) V – F – F – V. 
(B) F – V – F – V. 
(C) F – V – V – V. 
(D) V – V – F – V. 
(E) F – V – F – F. 
36. (AOCP 2018/FUNPAPA) 
O Box plot é um diagrama construído com as informações contidas no esquema de cinco números. 
Uma caixa é construída com o nível superior dado pelo terceiro quartil (q3) e o nível inferior pelo 
primeiro quartil (q1). A mediana (q2) é representada por um traço no interior da caixa, e segmentos 
de reta são colocados da caixa até os valores máximo e mínimo, quenão sejam observações 
discrepantes. As observações discrepantes são valores que excedem a 
 
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a) q2−1,5(q2−q1) e q3+1,5(q3−q1) 
b) q3−3(q3−q1) e q3+3(q3−q1) 
c) q3−(q3−q1) e q3+(q3+q1) 
d) q1−1,5(q3−q1) e q3+1,5(q3−q1) 
e) q3−1,5(q3−q2) e q3+1,5(q3−q2) 
 
37. (FGV 2018/ALE-RO) 
Sejam x, y e z, respectivamente, a média, a mediana e a moda dos sete valores 9, 10, 6, 5, 20, 9 e 4. 
 
É correto concluir que 
a) x < y < z . 
b) x < y = z 
c) x = y < z 
d) y < z = x 
e) x = y = z 
 
38. (FGV 2018/ALE-RO) 
A tabela a seguir mostra o número de gols sofridos por um time de futebol nas dez primeiras 
partidas de um campeonato: 
 
A média e a mediana do número de gols sofridos nesses jogos são respectivamente 
a) 1,2 e 1,0. 
b) 1,2 e 1,5. 
c) 1,1 e 1,0. 
d) 1,0 e 1,0. 
e) 1,0 e 1,5. 
 
 
 
 
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39. (FGV 2016/CODEBA) 
Uma das características principais da mediana é 
a) a invariância à unidade de medida utilizada. 
b) a robustez à presença de outliers. 
c) a identificação da observação mais frequente. 
d) o fato de, em seu cálculo, dar mais peso às observações mais frequentes. 
e) a normalização pelos desvios em relação à média. 
 
40. (FGV 2016/IBGE) 
Após a extração de uma amostra, as observações obtidas são tabuladas, gerando a seguinte 
distribuição de frequências: 
 
Considerando que E(X) = Média de X, Mo(X) = Moda de X e Me(X) = Mediana de X, é correto 
afirmar que: 
a) E(X) = 7 e Mo(X) = 10; 
b) Me(X) = 5 e E(X) = 6,3; 
c) Mo(X) = 9 e Me(X) = 9; 
d) Me(X) = 9 e E(X) = 6,3; 
e) Mo(X) = 9 e E(X) = 7. 
41. (FUNCAB 2014/SECAD-TO) 
Em relação à interpretação dos gráficos do tipo Box-Plot ou Box & Whisker Plot, os valores 
discrepantes estão representados: 
A) dentro do primeiro quartil. 
B) dentro do segundo quartil. 
C) sempre acima do valor máximo. 
D) acima do valor máximo ou abaixo do valor mínimo. 
42. (FUNDATEC 2009/SEFAZ-RS) 
 
A tabela a seguir representa a distribuição de frequências da idade de uma amostra de moradores 
de um asilo. Utilize para resolver a questão. 
 
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A idade aproximada da mediana é: 
a) 78,22. 
b) 80,00. 
c) 79,38. 
d) 78,55. 
e) 79,23. 
 
 
 
 
 
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GABARITO SEM COMENTÁRIO 
 
01. C 
02. B 
03. C 
04. C 
05. D 
06. B 
07. B 
08. D 
09. C 
10. B 
11. A 
12. A 
13. B 
14. Errado 
15. Errado 
16. Certo 
17. Errado 
18. Certo 
19. C 
20. Certo 
21. Errado 
22. Certo 
23. Errado 
24. Certo 
25. Errado 
26. Errado 
27. Errado 
28. Errado 
29. Errado 
30. Errado 
31. C 
32. E 
33. D 
34. C 
35. B 
36. D 
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37. E 
38. A 
39. B 
40. E 
41. D 
42. E 
 
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LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS COM COMENTÁRIOS 
 
01. (VUNESP 2019/MP-SP) 
 
Considere o seguinte conjunto de dados numéricos para estatística. 
 
Então, a soma da moda com a mediana e a média é igual a: 
a) 22. 
b) 24. 
c) 26. 
d) 28. 
e) 30. 
Resolução 
A moda é o termo que mais aparece. O termo que mais aparece é 8. 
𝑀1 = 8 
Para calcular a média, devemos somar todos os números e dividir pela quantidade de termos. 
𝑥 =
8 + 30 + 5 + 6 + 4 + 8 + 12 + 6 + 13 + 8
10 
 
𝑥 =
100
10 = 10 
 
Para calcular a mediana, precisamos dispor os números em ordem crescente (rol). 
4, 5, 6, 6, 8, 8, 8, 12, 13, 30 
 
O número de termos é par (n = 10). Assim, temos duas posições centrais. A primeira posição 
central é a de posição 𝒏
𝟐
= 𝟏𝟎
𝟐
= 𝟓. A outra posição central é a próxima (6º termo). 
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4, 5, 6, 6, 8, 8,�
�,F.12	�,/0F872
	8, 12, 13, 30 
 
 
Por convenção, a mediana será a média dos dois termos centrais. 
 
𝑴𝒅 =
𝒙𝟓 + 𝒙𝟔
𝟐 =
𝟖 + 𝟖
𝟐 = 𝟖 
A soma da moda com a mediana e a média é igual a: 
𝑀1 +𝑀6 + 𝑥 = 
 
= 8 + 8 + 10 
 
= 26 
Gabarito: C 
 
02. (VUNESP 2019/TJ-SP) 
Durante um período, decidiu-se analisar o comportamento do número de processos especiais 
autuados por dia em uma repartição pública. A tabela a seguir apresenta os resultados obtidos, 
sendo k a quantidade de dias em que não foram autuados processos. 
 
Com relação a esta tabela, foram obtidos os respectivos valores da moda (Mo), mediana (Md) e 
média aritmética (Me), em número de processos por dia. Verifica-se então que (Mo + Md + Me) é 
igual a 
(A) 6,30 
(B) 7,85 
(C) 6,80 
(D) 6,85 
(E) 7,35 
Resolução 
A soma de todas as frequências é igual a 10𝑘. 
𝑘 + 14 + 18 + 24 + 14 + 2 = 10𝑘 
 
𝑘 + 72 = 10𝑘 
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9𝑘 = 72 → 𝑘 = 8 
Assim, temos a seguinte tabela. 
Número de Processos (𝒙𝒊) Quantidade de Dias (𝒇𝒊) 
0 8 
1 14 
2 18 
3 24 
4 14 
5 2 
Total 80 
A moda é o termo que mais aparece, ou seja, é o termo que possui a maior frequência. Portanto, 
 
𝑴𝒐 = 𝟑 
 
Vamos agora calcular a média aritmética. Para tanto, vamos multiplicar cada valor pela respectiva 
frequência. 
 
Número de Processos (𝒙𝒊) Quantidade de Dias (𝒇𝒊) 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊 
0 8 0 x 8 = 0 
1 14 1 x 14 = 14 
2 18 2 x 18 = 36 
3 24 3 x 24 = 72 
4 14 4 x 14 = 56 
5 2 5 x 2 = 10 
Total 80 188 
 
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Para calcular a média, basta dividir 188 pelo total de observações (80). 
 
𝒙 =
∑𝒙𝒊𝒇𝒊
𝒏 =
𝟏𝟖𝟖
𝟖𝟎 = 𝟐, 𝟑𝟓 
Agora vamos calcular a mediana. 
 
O número de termos é 80. Como 𝒏 é par, há duas posições centrais. A primeira posição centralé a 
de posição 𝒏
𝟐
= 𝟖𝟎
𝟐
= 𝟒𝟎. A outra posição central é a próxima (41º termo). 
 
Por convenção, a mediana será a média dos dois termos centrais. 
 
𝑴𝒅 =
𝒙𝟒𝟎 + 𝒙𝟒𝟏
𝟐 
 
Vamos construir a coluna da frequência acumulada. 
 
Número de Processos (𝒙𝒊) Quantidade de Dias (𝒇𝒊) 𝒇𝒂𝒄 
0 8 8 
1 14 22 
2 18 40 
3 24 64 
4 14 78 
5 2 80 
Total 80 
 
Observe que a frequência acumulada da terceira linha é igual a 40. Isso quer dizer que já foram 
escritos 40 números até a terceira linha. Portanto, 𝑥*N = 2. 
Quando pulamos para a próxima linha da tabela, vamos escrever mais 24 números. Isso quer dizer 
que 𝑥*J = 3. 
Logo, 
𝑴𝒅 =
𝒙𝟒𝟎 + 𝒙𝟒𝟏
𝟐 =
𝟐 + 𝟑
𝟐 = 𝟐, 𝟓 
 
A questão pede o valor de 𝑴𝒐 +𝑴𝒅 +𝑴𝒆. 
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𝑴𝒐 +𝑴𝒅 +𝑴𝒆 = 𝟑 + 𝟐, 𝟓 + 𝟐, 𝟑𝟓 = 𝟕, 𝟖𝟓 
Gabarito: B 
 
03. (VUNESP 2019/UNICAMP) 
O gráfico apresenta a distribuição dos salários dos funcionários de um escritório. 
 
Sabendo-se que, em cada classe a distribuição de salários é uniforme, 30% dos salários mais baixos 
desse grupo variam de R$ 900,00 a 
(A) R$ 1.768,25. 
(B) R$ 1.779,25. 
(C) R$ 1.781,25. 
(D) R$ 1.795,25. 
(E) R$ 1.801,25. 
Resolução 
O gráfico acima é chamado de histograma. Ele representa a seguinte tabela. 
 
Salários (𝒙𝒊) Frequência Relativa (%) 
900 – 1.500 15 
1.500 – 2.100 32 
2.100 – 2.700 26 
2.700 – 3.300 18 
3.300 – 4.000 9 
Total 100 
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A questão pergunta qual salário não é superado por 30% das observações, ou seja, qual salário 
separa os 30% menores valores dos 70% maiores valores. Enfim: queremos calcular o 30º 
percentil. 
 
Para tanto, vamos construir a coluna da frequência acumulada. 
 
Salários (𝒙𝒊) Frequência Relativa (%) 𝒇𝒂𝒄 
900 – 1.500 15 15 
1.500 – 2.100 32 47 
2.100 – 2.700 26 73 
2.700 – 3.300 18 91 
3.300 – 4.000 9 100 
Total 100 
 
Precisamos agora descobrir em qual classe se encontra o 30º percentil. Vamos calcular 𝟑𝟎𝒏
𝟏𝟎𝟎
. Como 
o problema deu a frequência relativa, vamos supor que n = 100. 
 
𝟑𝟎𝒏
𝟏𝟎𝟎 =
𝟑𝟎 × 𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎 = 𝟑𝟎 
 
Devemos agora olhar a coluna da frequência acumulada. Qual é a primeira 𝒇𝒂𝒄 que é maior do 
que ou igual a 30? É a segunda, pois 𝟒𝟕 > 𝟑𝟎. Logo, o 30º percentil pertence à segunda classe. 
 
 
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Agora é só aplicar a fórmula do 𝑷𝟑𝟎. 
 
𝑷𝟑𝟎 = 𝒍𝒊 + h
𝟑𝟎𝒏
𝟏𝟎𝟎 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
k ∙ 𝒉 
 
O limite inferior da classe é 𝒍𝒊 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎. 
A frequência acumulada da classe anterior é 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕 = 𝟏𝟓. 
A frequência da própria classe é 𝒇𝒊 = 𝟑𝟐. 
A amplitude da classe é 𝒉 = 𝟐. 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏. 𝟓𝟎𝟎 = 𝟔𝟎𝟎. 
 
Vamos jogar os valores na fórmula. 
 
𝑷𝟑𝟎 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎 + n
𝟑𝟎 − 𝟏𝟓
𝟑𝟐 o ∙ 𝟔𝟎𝟎 
 
𝑷𝟑𝟎 = 𝟏. 𝟕𝟖𝟏, 𝟐𝟓 
 
Também é possível resolver essa questão fazendo uma regrinha de três (interpolação linear). 
 
Sabemos que 15% das observações estão na primeira classe. Assim, precisamos de mais 15% para 
chegar nos 30%. Esses outros 15% serão obtidos na segunda classe. 
 
 
 
A segunda classe possui uma frequência total de 32% e uma amplitude de 2.100 – 1.500 = 600. 
 
Mas não queremos uma frequência de 32% na segunda classe. Queremos apenas 15%. Qual será a 
amplitude? 
 
Frequência Amplitude 
32 600 
15 𝒉 
Armando a proporção: 
 
𝟑𝟐
𝟏𝟓 =
𝟔𝟎𝟎
𝒉 
 
𝟑𝟐𝒉 = 𝟔𝟎𝟎 × 𝟏𝟓 
 
𝒉 = 𝟐𝟖𝟏, 𝟐𝟓 
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A segunda classe começa em 1.500. Com a amplitude desejada de 281,25 (para obter mais 15%), 
devemos chegar em: 
 
𝟏. 𝟓𝟎𝟎 + 𝟐𝟖𝟏, 𝟐𝟓 = 𝟏. 𝟕𝟖𝟏, 𝟐𝟓 
 
 
Gabarito: C 
 
04. (VUNESP 2016/Câmara Municipal de Registro) 
Foi construída uma amostra com 10 funcionários de uma determinada repartição para a 
verificação do consumo de papel A4 por mês naquela área. A verificação do consumo desses 
funcionários mostrou-se conforme a tabela a seguir. 
 
Assinale a alternativa que contém, correta e respectivamente, os valores do consumo médio e do 
consumo mediano de papel A4 dessa repartição. 
a) 15 e 16. 
b) 17 e 17,5. 
c) 17,5 e 17. 
d) 18 e 19. 
e) 19,5 e 18. 
Resolução 
Para calcular a mediana, precisamos dispor os termos em ordem crescente (rol). 
 
𝟖, 𝟏𝟎, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔, 𝟏𝟖, 𝟐𝟎, 𝟐𝟐, 𝟐𝟒, 𝟑𝟎 
 
O número de termos é par (n = 10). Assim, temos duas posições centrais. A primeira posição 
central é a de posição 𝒏
𝟐
= 𝟏𝟎
𝟐
= 𝟓. A outra posição central é a próxima (6º termo). 
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Por convenção, a mediana será a média dos dois termos centrais. 
 
𝟖, 𝟏𝟎, 𝟏𝟐, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔, 𝟏𝟖&()
𝑻𝒆𝒎𝒐𝒔	𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒊𝒔
, 𝟐𝟎, 𝟐𝟐, 𝟐𝟒, 𝟑𝟎 
 
𝑴𝒅 =
𝒙𝟓 + 𝒙𝟔
𝟐 =
𝟏𝟔 + 𝟏𝟖
𝟐 = 𝟏𝟕 
 
Com isso já poderíamos marcar a resposta na alternativa C. Vamos calcular a média. Para tanto, 
devemos somar os dez valores e dividir o resultado por 10. 
 
𝒙 =
∑ 𝒙𝒊𝟏𝟎𝒊}𝟏
𝟏𝟎 =
𝟏𝟕𝟓
𝟏𝟎 = 𝟏𝟕, 𝟓 
Gabarito: C 
 
05. (FCC 2019/BANRISUL) 
 
Os números de processos com uma determinada característica autuados em um órgão público, de 
janeiro a agosto de 2018, podem ser visualizados pelo gráfico abaixo. 
 
A respectiva média aritmética (número de processos por mês) está para a mediana assim como 
(A) 1 está para 16. 
(B) 2 está para 3. 
(C) 1 está para 8. 
(D) 5 está para 6. 
(E) 4 está para 3. 
Resolução 
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Para calcular a média aritmética, devemos somar os valores e dividir por 8 (número de meses). 
�̅� =
5 + 15 + 10 + 15 + 20 + 15 + 15 + 5
8 
 
�̅� =
100
8 = 12,5 
 
Vamos agora calcular a mediana. Para tanto, precisamos colocar os números em ordem crescente. 
5, 5, 10, 15, 15&()
�,F.12	�,/0F872
, 15, 15, 20 
A mediana é a média dos termos centrais. 
 
𝑀6 =
15 + 15
2 = 15 
Queremos calcular a razão da média para a mediana. 
�̅�
𝑀6
=
12,5
15 
Como há uma casa decimal no numerador, vamos multiplicar numerador e denominador por 10. 
�̅�
𝑀6
=
125
150 
 
Vamos simplificar por 25. 
�̅�
𝑀6
=
5
6 
Gabarito: D 
06. (FCC 2019/BANRISUL) 
As idades dos 120 funcionários lotados em uma repartição pública estão distribuídas conforme a 
tabela de frequências absolutas abaixo. 
 
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Utilizando o método da interpolação linear, obteve-se o primeiro quartil (𝑄J) e a mediana (𝑀6) 
desta distribuição em anos. A amplitude do intervalo [𝑄J,𝑀6] é então igual a 
(A) 4,0. 
(B) 6,5. 
(C) 10,0. 
(D) 3,5. 
(E) 7,5. 
Resolução 
Para calcular os quartis (a mediana é igual ao segundo quartil), precisamos construir a coluna da 
frequência acumulada. 
 
Idades (x) em anos Número de Funcionários Frequência Acumulada 
20 – 30 40 40 
30 – 40 50 90 
40 – 50 20 110 
50 – 60 10 120 
Total 120 
Vamos calcular o primeiro quartil. Para tanto, precisamos calcular 𝟏𝒏
𝟒
. 
 
𝟏𝒏
𝟒 =
𝟏 × 𝟏𝟐𝟎
𝟒 = 𝟑𝟎 
Precisamos agora determinar a classe em que se encontra o primeiro quartil. Devemos procurar a 
primeira frequência acumulada que é maior do que ou igual a 30. 
 
Observe que a primeira frequência acumulada já é maior do que 30. Portanto, o primeiro quartil 
está na primeira classe. 
 
 
Agora é só aplicar a fórmula do 𝑸𝟏. 
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𝑸𝟏 = 𝒍𝒊 + h
𝟏𝒏
𝟒 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
k ∙ 𝒉 
 
• O limite inferior da classe é 𝒍𝒊 = 𝟐𝟎. 
• A frequência acumulada da classe anterior é 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕 = 𝟎 (como não há classe anterior, 
consideramos que 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕 = 𝟎). 
• A frequência da própria classe é 𝒇𝒊 = 𝟒𝟎. 
• A amplitude da classe é 𝒉 = 𝟑𝟎 − 𝟐𝟎 = 𝟏𝟎. 
 
Vamos jogar os valores na fórmula. 
 
𝑸𝟏 = 𝟐𝟎 + n
𝟑𝟎 − 𝟎
𝟒𝟎 o ∙ 𝟏𝟎 
 
𝑸𝟏 = 𝟐𝟕, 𝟓𝟎 
 
Vamos agora calcular a mediana. Para tanto, precisamos calcular 𝒏
𝟐
. 
 
𝒏
𝟐 =
𝟏𝟐𝟎
𝟐 = 𝟔𝟎 
 
Precisamos agora determinar a classe em que se encontra a mediana. Devemos procurar a 
primeira frequência acumulada que é maior do que ou igual a 60. 
 
A primeira frequência acumulada é 40 e 40 não é maior do que ou igual a 60. 
 
A segunda frequência acumulada é 90 e 90 > 60. Portanto, a mediana está na segunda classe. 
 
 
 
Agora é só aplicar a formula da 𝑴𝒅. 
 
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𝑴𝒅 = 𝒍𝒊 + h
𝒏
𝟐 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
k ∙ 𝒉 
 
• O limite inferior da classe é 𝒍𝒊 = 𝟑𝟎. 
• A frequência acumulada da classe anterior é 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕 = 𝟒𝟎. 
• A frequência da própria classe é 𝒇𝒊 = 𝟓𝟎. 
• A amplitude da classe é 𝒉 = 𝟒𝟎 − 𝟑𝟎 = 𝟏𝟎. 
 
Vamos jogar os valores na fórmula. 
 
𝑴𝒅 = 𝟑𝟎 + n
𝟔𝟎 − 𝟒𝟎
𝟓𝟎 o ∙ 𝟏𝟎 
 
𝑴𝒅 = 𝟑𝟒 
 
A amplitude do intervalo [𝑸𝟏,𝑴𝒅] é dada pela diferença entre os extremos. 
 
𝑴𝒅 − 𝑸𝟏 = 
 
= 𝟑𝟒 − 𝟐𝟕, 𝟓𝟎 
 
= 𝟔, 𝟓𝟎 
Gabarito: B 
 
07. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
A empresa Sigma apresenta pela tabela abaixo a distribuição dos salários registrados de seus 100 
empregados em reais. 
 
Não foram fornecidos os números de empregados que ganham R$ 10.000,00 e R$ 15.000,00 
(denotados na tabela por x e y, respectivamente), mas sabe-se que a média aritmética dos salários 
é igual a R$ 8.400,00. O valor da soma da respectiva moda e da respectiva mediana desses salários 
é, em reais, igual a 
(A) 600y. 
(B) 625y. 
(C) 1.000y. 
(D) 750y. 
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(E) 500y. 
Resolução 
O total de empregados é igual a 100. Portanto, a soma das frequências (número de empregados) é 
igual a 100. 
 
0 + 10 + 40 + 𝑥 + 𝑦 = 100 
 
50 + 𝑥 + 𝑦 = 100 
 
𝑥 + 𝑦 = 50 
 
Ademais, sabemos que a média aritmética dos salários é igual a R$ 8.400,00. 
Para calcular a média, devemos multiplicar cada salário pela respectiva frequência, somar todos os 
resultados, e dividir por 100, que é o total de funcionários. 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 8.400 
 
2.000 ∙ 0 + 4.000 ∙ 10 + 5.000 ∙ 40 + 10.000 ∙ 𝑥 + 15.000 ∙ 𝑦
100 = 8.400 
 
0 + 40.000 + 200.000 + 10.000𝑥 + 15.000𝑦
100 = 8.400 
 
Vamos dividir todas as parcelas do numerador por 100. 
400 + 2.000 + 100𝑥 + 150𝑦 = 8.400 
 
2.400 + 100𝑥 + 150𝑦 = 8.400 
 
100𝑥 + 150𝑦 = 6.000 
 
Temos um sistema de equações lineares. 
¥𝑥 + 𝑦 = 50																					100𝑥 + 150𝑦 = 6.000 
 
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Existem muitas maneiras para resolver esse sistema. Vamos multiplicar a primeira equação por 
(−100) para cancelar a incógnita 𝑥. 
¥−100𝑥 − 100𝑦 = −5.000100𝑥 + 150𝑦 = 6.000 
 
Somando as duas equações, temos: 
−100𝑦 + 150𝑦 = −5.000 + 6.000 
 
50𝑦 = 1.000 
 
𝑦 = 20 
 
Como 𝑥 + 𝑦 = 50, temos: 
𝑥 + 20 = 50 
 
𝑥 = 30 
 
Vamos substituir esses valores na tabela. 
Salários (R$) 2.000 4.000 5.000 10.000 15.000 Total 
Número de 
Empregados 0 10 40 30 20 100 
 
A moda é o termo que possui a maior frequência. Facilmente percebemos que o termo com maior 
frequência é o número 5.000. 
𝑀𝑜 = 5.000 
 
Vamos agora calcular a mediana. O número de termos é par (100). Portanto, a mediana será a 
média aritmética dos dois termos centrais. 
Como são 100 termos, os termos centrais são os termos de posição /
K
 e /
K
+ 1. 
Assim, os termos centrais são os termos de posição: 
100
2 = 50				𝑒					
100
2 + 1 = 51 
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A tabela indica que o número 4.000 apareceu 10 vezes, que o número 5.000 apareceu 40 vezes, e 
assim por diante. 
 
(4.000, 4.000, … 4.000&''''''('''''')
JN	0,F.12
, 5.000, 5.000, 5.000, … , 5.000&''''''''('''''''')
*N	0,F.12
, 10.000, … , 10.000&'''''(''''')
EN	0,F.12
, 15.000, … , 15.000&'''''(''''')
KN	0,F.12
) 
 
Assim, o termo de posição 50 é 5.000 e o termo de posição 51 é o número 10.000 (termos 
centrais). 
(4.000, 4.000, … , 4.000, 5.000, 5.000, … , 5.000, 10.000&'''(''')
�,F.12	G,/0F872
, … , 10.000, 15.000, … , 15.000) 
 
A mediana é a média dos termos centrais. 
𝑀𝑑 =
5.000 + 10.000
2 = 7.500 
Portanto, a soma da moda com a mediana é: 
𝑀𝑜 +𝑀𝑑 = 
 
= 5.000 + 7.500 
 
= 12.500 
Vamos calcular os valores indicados nas alternativas. 
a) 600𝑦 = 600 × 20 = 12.000 
b) 625𝑦 = 625 × 20 = 12.500 
Opa, já encontramos a resposta. 
Poderíamos também ter dividido a resposta 12.500 por y para marcar o gabarito mais rápido. 
 
Gabarito: B 
08. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Com o objetivo de analisar a distribuição dos salários dos empregados de uma empresa, verificou-
se que 10 empregados ganham, cada um, R$ 15.000,00; 20 ganham, cada um, R$ 2.500,00; 25 
ganham, cada um, R$ 12.000,00; 60 ganham, cada um, R$ 5.000,00 e os restantes ganham, cada 
um, R$ 8.000,00. Sabendo-se que a mediana dos salários apresentou um valor igual a R$ 6.500,00, 
obtém-se que o valor da média aritmética supera o da moda em 
(A)