Flexo_Simples

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Uma viga é um elemento estrutural que resiste às cargas aplicadas basicamente
através de seus momentos e cortantes resistentes provenientes da resistência dos
materiais que compõem sua seção transversal. Quando o plano onde atua o
carregamento é perpendicular a um eixo principal da seção transversal, a flexão é
denominada plana ou normal. Em outro caso a flexão é oblíqua. De acordo com os
esforços solicitantes que atuam na seção, a flexão pode ser classificada em:
a) flexão pura, quando atua apenas momento fletor;
b) flexão simples, quando se tem momento fletor e esforço cortante na seção; 
c) flexão composta, quando atuam momento fletor e esforço normal.
O cálculo da armadura necessária para resistir a um momento fletor (causa
tensões normais nas seções em que atua) é um dos pontos mais importantes no
detalhamento das peças de concreto armado. O dimensionamento é feito no estado
limite último de ruína, impondo que na seção mais solicitada sejam alcançadas as
deformações específicas limites dos materiais, ou seja, o estado limite último pode
ocorrer tanto pela ruptura do concreto comprimido quanto pelo deformação
excessiva da armadura tracionada.
Em situações de projeto é usual o dimensionamento de vigas sob flexão simples, pois
geralmente existem cargas de lajes, paredes, vigas e até pilares solicitando o elemento a ser
dimensionado.
Quando uma viga de concreto armado é submetida a ensaios de flexão, pode-se estudar o
comportamento em cada fase de carregamento através das flechas, deformações do concreto,
deformações das armaduras e rotações ao longo da peça. Desta forma é possível estabelecer
parâmetros para avaliar a capacidade resistente destes elementos, facilitando o
dimensionamento dos mesmos. A ruptura à flexão de uma viga de concreto armado depende
basicamente da taxa de armadura longitudinal e das dimensões da peça. Assim, a ruptura de
uma viga à flexão pode ser:
• Ruptura por compressão;
• Ruptura balanceada;
• Ruptura por tração.
• : a ruptura se dá por esmagamento das fibras mais
comprimidas do concreto antes do escoamento da armadura longitudinal de flexão. As
seções, neste caso, são consideradas superarmadas;
• ocorre na ruptura o esmagamento das fibras mais
comprimidas do concreto simultaneamente ao escoamento da armadura longitudinal de
flexão. Neste tipo de ruptura são utilizadas as resistências máximas dos materiais e é
comumente chamada de ruptura ideal. As seções transversais que rompem desta forma são
ditas sub-armadas. Neste regime de ruptura as peças caracterizam-se pelo elevado grau de
fissuração na região tracionada, apresentando assim sinais visíveis da provável ruptura.
Quando a ruptura ocorre com o aço no início do patamar de escoamento a seção é
chamada de normalmente armada.
• a peça rompe devido ao escoamento do aço ocorrer antes do
esmagamento do concreto. Esta ruptura pode ocorrer sem aviso prévio quando as seções
apresentam taxas de armadura de flexão inferiores a mínima. As seções são chamadas
fracamente armadas e a deformação do aço ultrapassa 10‰.
Seja uma viga de concreto armado simplesmente
apoiada (Figura 4.1), sujeita a um carregamento
crescente que causa flexão pura na região central
(V = 0 e M constante); dessa maneira, na seção
central, a viga é submetida a um momento fletor
M crescente, que varia de zero até a um valor que
leve ao colapso.
Figura 4.1 Ensaio de flexão em uma viga de concreto armado
Na situação de ensaio mostrada, as deformações
da armadura de flexão e do concreto
foram obtidas com a utilização de extensômetros
elétricos de resistência (EER’s). Nas
armaduras é conveniente monitorar a região
superior e a inferior das barras para que, no
tratamento dos dados, seja adotada uma
deformação média, objetivando minimizar
qualquer efeito causado por flexões localizadas no
trecho instrumentado.
Figura 4.1 Ensaio de flexão em uma viga de concreto armado
A seção transversal central da viga de concreto armado, retangular neste caso, como
mostrado na Figura 4.2, submetida ao momento fletor M crescente, passa por três níveis de
deformação, denominados de estádios, que determinam o comportamento da peça até a sua
ruína.
Figura 4.2 Comportamento seção transversal de uma viga de CA na flexão normal
Estádio I (estado elástico) – sob a ação de um
momento fletor 𝑀𝐼 de pequena intensidade, a tensão
de tração no concreto não ultrapassa sua resistência
característica à tração (𝐹𝑡𝑘).
• Diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear;
• As tensões nas fibras mais comprimidas são
proporcionais às deformações, correspondendo ao
trecho linear d diagrama tensão-deformação do
concreto;
• Não há fissuras visíveis.
Figura 4.3 Comportamento seção transversal de uma viga 
de CA na flexão normal
Estádio II (estado de fissuração) – aumentado o
valor do momento fletor para 𝑀𝐼𝐼 , as tensões de
tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra
(LN) terão valores superiores ao da resistência
características do concreto à tração (𝐹𝑡𝑘):
• Considera-se que apenas o aço passa a resistir aos
esforços de tração;
• Admite-se que a tensão de compressão no concreto
continue linear;
• As fissuras de tração na flexão no concreto são visíveis.
Figura 4.4 Comportamento seção transversal de uma viga 
de CA na flexão normal
Estádio III – aumenta-se o momento fletor até um
valor próximo ao de ruína (Mu), e, para os concretos
até C50:
• A fibra mais comprimida do concreto começa a
plastificar a partir da deformação específica (2,0‰),
chegando a atingir, sem aumento da tensão, a
deformação específica de (3,5‰);
• Diagrama de tensões tende a ficar vertical (uniforme),
com quase todas as fibras trabalhando com sua tensão
máxima, ou seja, praticamente todas as fibras atingiram
deformações superiores a 2‰ e chegando até 3,5‰;
• A peça está bastante fissurada, com as fissuras se
aproximando da linha neutra, fazendo com que sua
profundidade diminua e, consequentemente, a região
comprimida de concreto também..
Figura 4.5 Comportamento seção transversal de uma viga 
de CA na flexão normal
Pode-se dizer simplificadamente:
Estádios I e II – correspondem às situações de serviços (quando atuam as ações reais);
Estádio III – Corresponde ao estado limite último (ações majoradas, resistências minoradas), que só
ocorre em situações extremas.
IMPORTANTE: O cálculo de dimensionamento das estruturas de concreto armado será feito no estado
limite último (estádio III), pois o objetivo principal é projetar estruturas que resistam, de forma
econômica, aos esforços sem chegar ao colapso; as situações de serviço são importantes, porém muitas
vezes o próprio cálculo no estado limite último e o bom detalhamento da armadura conduzem às
verificações destas que deverão ser feitas quando necessário.
https://www.youtube.com/watch?v=oXlBrQf3xaU
Conforme já apontado, a ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado
limite último é caracterizado pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço,
que atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos (máximos) das deformações
específicas desses materiais.
Os domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção; a cada par de deformações
específicas de cálculo c e s correspondem um esforço normal, se houver, e um momento fletor atuantes
na seção.
Figura 4.6 – Domínios de estado-limite último de uma seção transversal para concretos até C50
https://www.youtube.com/watch?v=PC2PDA6zUc8
Ruptura convencional por deformação plástica excessiva:
— reta a: tração uniforme;
— domínio 1: tração não uniforme, sem compressão;
— domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (𝜀𝑐 < 𝜀𝑐𝑢 e com o máximo 
alongamento permitido).
Ruptura convencional por encurtamento-limite do concreto:
— domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com 
escoamento do aço (𝜀𝑠 ≥ 𝜀𝑦𝑑);
— domínio 4: flexão simples (seção superarmada)ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço 
tracionado sem escoamento ( 𝜀𝑠 < 𝜀𝑦𝑑);
— domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas;
— domínio 5: compressão não uniforme, sem tração;
— reta b: compressão uniforme
Nas vigas é necessário garantir boas condições de dutilidade respeitando os limites da posição
da linha neutra (x/d) dados no item no 14.6.4.3 da ABNT NBR 6118:2014, sendo adotada, se
necessário, armadura de compressão.
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores
da posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos
estruturais com ruptura frágil. A ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no
domínio 4, com ou sem armadura de compressão.
Conhecido a resistência a compressão (𝑓𝑐𝑘), a largura da seção (𝑏𝑤), a altura útil (𝑑) e o tipo de aço (𝑓𝑦𝑑 e
𝜀𝑦𝑑 ), é feito, de maneira simples, a partir do equilíbrio das forças atuantes na seção.
A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto
menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. Para proporcionar o adequado comportamento dúctil em
vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:
a)
x
d
≤ 0,45 para concretos com fck ≤ 50 MPa
b)
x
d
≤ 0,35para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa
a) Equilíbrio da seção: σ𝐹 = 0 → 𝐹𝑠 − 𝐹𝑐 = 0 → 𝐹𝑠 = 𝐹𝑐
Equilíbrio dos momentos: σ𝑀 = 𝑀𝑑 → 𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 . 𝑧 = σ𝑀 = 𝑀𝑑 → 𝑀𝑑 = 𝐹𝑠 . 𝑧
b) Posição da linha neutra: 𝐹𝑐 = 0,85 . 𝑓𝑐𝑑 . (𝑏𝑤) . (0,8 . 𝑥)
𝑧 = 𝑑 − 0,4 . 𝑥
Colocando 𝐹𝑐 𝑒 𝑧 na equação do momento, tem-se
𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 . 𝑧 = 0,85 . 𝑓𝑐𝑑 . (𝑏𝑤) . 0,8 . 𝑥 . 𝑑 − 0,4 . 𝑥 = 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 . 0,68 . 𝑥 . (𝑑 − 0,4 . 𝑥)
𝑀𝑑 = 0,68 . 𝑥 . 𝑑 − 0,272 . 𝑥
2 . 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
𝑀𝑑 = 0,68 . 𝑥 . 𝑑 − 0,272 . 𝑥
2 . 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
𝑥 =
0,68. 𝑑 ± 0,68𝑑 2 − 4 . 0,272 .
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑓𝑐𝑑
0,544
Posição da Linha Neutra
c) Cálculo da área necessária de armadura (𝑨𝒔)
Com o valor de x, é possível encontrar 𝐴𝑠. A força na armadura (𝐹𝑠) vem do produto da área 
de aço (𝐴𝑠) pela tensão atuante no aço (𝑓𝑠). Logo, 
𝑀𝑑
𝑧
= 𝐹𝑠 = 𝑓𝑠 . 𝐴𝑠, resultando:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑠
Admitindo que a peça esteja trabalhando nos domínios 2 ou 3, para um melhor
aproveitamento da armadura, tem-se 𝜀𝑠 ≥ 𝜀𝑦𝑑 , resultando para tensão na armadura a de
escoamento ( 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦𝑑 ); caso contrário, tira-se o valor de 𝜀𝑠 do diagrama de tensão x
deformação do aço e calcula-se 𝑓𝑠 ,mas a peça trabalharia no domínio 4, o que não é possível.
A equação ficará:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑦𝑑
d) Verificação do domínio em que a peça atingirá o estado limite último:
• Relação entre deformações: como as seções permanecem planas após a deformação, por
semelhança dos triângulos ABC e ADE do diagrama de deformação, é possível obter a
relação entre a posição da linha neutra (x) e a altura útil (d):
Posição da linha neutra: no limite do domínio 2 e
em todo o 3, a deformação específica do
concreto é 𝜀𝑐 = 0,0035, colocando na equação
resulta:
𝑥
𝑑
=
0,0035
0,0035 . 𝜀𝑠
d) Verificação do domínio em que a peça atingirá o estado limite último:
Conclui-se que, para uma seção conhecida, a posição da linha neutra, no domínio 3
depende apenas da deformação específica do aço, e o limite entre os domínios 3 e
4 depende do tipo de aço, caracterizado pela deformação específica de escoamento
de cálculo do aço. (𝜀𝑦𝑑).
Aço CA50 (𝜺𝒚𝒅 = 𝟐, 𝟎𝟕‰, no limite entre os domínios 3 e 4)
𝑥34
𝑑
=
0,0035
0,0035 . 0,00207
= 0,6283
𝑥34 = 0,6283 . 𝑑 (limite entre os domínios 3 e 4);
𝑥23 = 0,259 . 𝑑 (limite entre os domínios 2 e 3);
Para 𝑥 < 0,259 . 𝑑 →(domínio 2);
Para 𝑥 < 0,259 . 𝑑 < 𝑥 < 0,6283 . 𝑑 → (domínio 3);
Exemplo 1: Para uma seção retangular de concreto armado com 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 𝑒 𝑑 = 0,29 𝑚 sob a ação de
um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚 (𝑀𝑑 = 1,4 .𝑀 = 1,4 . 12,2 = 17,08 𝑘𝑁.𝑚), determinar a quantidade de
armadura longitudinal necessária (A). Dados: 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa (20.000 kN/m²); aço CA50 (𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
=
500
1,15
=
434,78 MPa = 43,478 kN/cm²).
1° Passo: determinar o valor de x:
𝑀𝑑 = 0,68 . 𝑥 . 𝑑 − 0,272 . 𝑥
2 . 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 ⟹ 17,08 = 0,68 . 𝑥 . 0,29 − 0,272 . 𝑥
2 . 0,12.
20000
1,4
𝑥 =
0,68. 𝑑 ± 0,68𝑑 2 − 4 . 0,272 .
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
0,544
𝑥 =
0,68 . 0,29 ± 0,68 . 0,29 2 − 4 . 0,272 .
17,08
0,12 . 20000/1,4
0,544
Resultando 𝑥1 = 0,6705 𝑚 𝑒 𝑥2 = 0,0545 𝑚
A primeira solução 𝑥1 = 0,6705 𝑚 , indica que a linha neutra passa fora da seção transversal, não atendendo 
ao caso de flexão simples; assim o valor correto é 𝑥2= 0,0545 𝑚.
Exemplo 1: Para uma seção retangular de concreto armado com 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 𝑒 𝑑 = 0,29 𝑚 sob a ação de
um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚 (𝑀𝑑 = 1,4 .𝑀 = 1,4 . 12,2 = 17,08 𝑘𝑁.𝑚), determinar a quantidade de
armadura longitudinal necessária (A). Dados: 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa (20.000 kN/m²); aço CA50 (𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
=
500
1,15
=
434,78 MPa = 43,478 kN/cm²).
2° Passo: Verificação do domínio:
No limite entre os domínios 2 e 3 (𝜀𝑐 = 3,5‰, 𝜀𝑠 = 10‰), a posição da linha neutra é 𝑥 = 0,259 . 𝑑 =
0,259 . 0,29 = 0,0751 𝑚, maior que o valor encontrado para x na equação, indicando que o problema ocorre
no domínio 2 e, portanto, de fato, o aço já escoou e 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦𝑑 =
50
1,15
= 43,478 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
3° Passo: Cálculo do valor do braço de alavanca:
Com x = 0,0545 m, resulta:
𝒛 = 𝒅 – 𝟎, 𝟒 . 𝒙 = 0,29 – 0,4 . 0,0545 = 0,27 𝑚
4° Passo: Cálculo área de aço 𝐴𝑠:
Com os valores do 𝑀𝑑 = 17,08 𝑘𝑁.𝑚), 𝑧 = 0,27 𝑚 𝑒𝑓𝑦𝑑 = 43,478 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑦𝑑
=
17,08
0,27 . 43,478
= 𝑨𝒔 = 𝟏,𝟒𝟔 𝒄𝒎²
a) Equilíbrio da seção: σ𝐹 = 0 → 𝐹𝑠 − 𝐹𝑐 = 0 → 𝐹𝑠 = 𝐹𝑐
Equilíbrio dos momentos: σ𝑀 = 𝑀𝑑 → 𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 . 𝑧 = σ𝑀 = 𝑀𝑑 → 𝑀𝑑 = 𝐹𝑠 . 𝑧
b) Posição da linha neutra: 𝐹𝑐 = 𝛼𝑐 . 𝑓𝑐𝑑 . (𝑏𝑤) . (𝜆 . 𝑥)
𝑧 = 𝑑 − 0,5 . 𝜆. 𝑥
Colocando 𝐹𝑐 𝑒 𝑧 na equação do momento, tem-se
𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 . 𝑧 = 𝑏𝑤 . 𝛼𝑐 . 𝑓𝑐𝑑 . 𝜆. 𝑥. (𝑑 − 0,5 . 𝜆 . 𝑥)
𝑀𝑑 = 𝜆 . 𝑥 . 𝑑 − 0,5 . 𝜆
2. 𝑥² . 𝑏𝑤 . 𝛼𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
𝑥 =
𝑑 ± 𝑑2 − 2 .
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝛼𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
𝜆
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑦𝑑
𝑥
𝑑
=
0,0035
0,0035 . 𝜀𝑠
Exemplo 2: Para uma seção retangular de concreto armado com 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 𝑒 𝑑 = 0,29 𝑚 sob a ação de
um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚 (𝑀𝑑 = 1,4 .𝑀 = 1,4 . 12,2 = 17,08 𝑘𝑁.𝑚), determinar a quantidade de
armadura longitudinal necessária (A). Dados: 𝑓𝑐𝑘 = 90 MPa (90.000 kN/m²); aço CA50 (𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
=
500
1,15
=
434,78 MPa = 43,478 kN/cm²).
1° Passo: Cálculo de 𝜆 𝑒 𝛼𝑐 e x:
𝜆 = 0,8 − (𝑓𝑐𝑘−50)/400 = 0,8 − (90 − 50)/400 = 0,7
𝑥 =
0,29 ± 0,292 − 2 .
17,08
0,12 . 0,68. 90000/1,4
0,7
Resultando 𝑥1 = 0,812 𝑚 𝑒 𝑥2 = 0,0164 𝑚
A primeira solução 𝑥1 = 0,812 𝑚 , indica que a linha neutra passa fora da seção transversal, não atendendo 
ao caso de flexão simples; assim o valor correto é 𝑥2= 0,0164 𝑚.
𝛼𝑐 = 0,85. 1,0 − (𝑓𝑐𝑘−
50
200
= 0,85 − [1,0 −
90 − 50
200
] = 0,68
𝑥 =
𝑑 ± 𝑑2 − 2 .
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝛼𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
𝜆
Exemplo 2: Para uma seção retangular de concreto armado com 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 𝑒 𝑑 = 0,29 𝑚 sob a ação de
um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚 (𝑀𝑑 = 1,4 .𝑀 = 1,4 . 12,2 = 17,08 𝑘𝑁.𝑚), determinar a quantidade de
armadura longitudinal necessária (A). Dados: 𝑓𝑐𝑘 = 90 MPa (90.000 kN/m²); aço CA50 (𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
=
500
1,15
=
434,78 MPa = 43,478 kN/cm²).
2° Passo: Verificação do domínio:
No limite entre os domínios 2 e 3 (𝜀𝑐 = 3,5‰, 𝜀𝑠 = 10‰), a posição da linha neutra é 𝑥 = 0,259 . 𝑑 =
0,259 . 0,29 = 0,0751 𝑚, maior que o valor encontrado para x na equação, indicando que o problema ocorre
no domínio 2 e, portanto, de fato, o aço já escoou e 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦𝑑 =
50
1,15
= 43,478 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
3° Passo: Cálculo do valor do braço de alavanca:
Com x = 0,0164 m, resulta:
𝒛 = 𝒅 – 𝟎, 𝟓 . 𝝀 . 𝒙 = 0,29 – 0,5 . 0,7. 0,0164 = 0,284 𝑚
4° Passo: Cálculo área de aço 𝐴𝑠:
Com os valores do 𝑀𝑑 = 17,08 𝑘𝑁.𝑚), 𝑧 = 0,27 𝑚 𝑒𝑓𝑦𝑑 = 43,478 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑦𝑑
=
17,08
0,284 . 43,478
= 𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟑𝟗 𝒄𝒎²
Exemplo 3: Para uma viga de seção retangular de concreto armado com largura 𝑏𝑤 =
12 𝑐𝑚 𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 𝑑 = 17,65 𝑐𝑚, determine o momento resistente da seção e o valor da área de aço
necessária correspondente a esse momento. Considerar 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa (20.000 kN/m²) e aço CA50. Apenas
para efeito de comparação, os cálculos serão feitos para o limite entre dos domínios 3 e 4 e para relação
x/d = 0,45.
1° Passo: Cálculo para o limite entre os domínios 3 e 4:
• Momento resistente:
O limite entre os domínios 3 e 4 para CA50 que tem 𝜀𝑦𝑑 = 0,00207 é:
2° Passo: Cálculo do Momento 𝑀𝑑:
𝑥34 =
0,0035
0,0035 + 𝜀𝑦𝑑
. 𝑑 = 𝑥34 =
0,0035
0,0035 + 0,00207
. 0,1765 = 0,1109 𝑚
𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 . 𝑧 = 0,85. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤 . 0,8. 𝑥34 . 𝑑 − 0,4. 𝑥34 = 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 . 0,68. 𝑥34. (𝑑 − 0,4. 𝑥34)
𝑀𝑑 = 0,12 .
20000
1.4
.0,68 . 0,1109. 0,1765 − 0,4.0,1109 = 17,08𝑘𝑁.𝑚
O momento máximo que pode atuar na viga, sabendo que 𝑀𝑑 = 1,4 .𝑀:
𝑀 =
𝑀𝑑
1,4
=
17,08
1,4
= 12,20 𝑘𝑁𝑚
3° Passo: Cálculo área de aço 𝐴𝑠:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑑
(𝑑 − 0,4. 𝑥34) . 𝑓𝑦𝑑
=
17,08
(0,1765 − 0,4. 0,1109) . 50/1,15
= 𝑨𝒔 = 𝟐, 𝟗𝟕 𝒄𝒎²
4° Passo: Cálculo para x/d = 0,45, pois a resistência do concreto é menor que 50 MPa:
• Momento resistente:
Colocando x/d = 0,45 (x = 0,45 . d)
𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 . 𝑧 = 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 . 0,68. 0,45 . 𝑑. (𝑑 − 0,4. 0,45 . 𝑑)
𝑀𝑑 = 0,12 .
20000
1.4
.0,68 . 0,45 . 0,1765. 0,1765 − 0,4. 0,45 . 0,1765 = 13,40 𝑘𝑁.𝑚
𝑀𝑚á𝑥 =
𝑀𝑑
1,4
=
13,40
1,4
= 9,57 𝑘𝑁𝑚
O máximo momento, em serviço, que pode atuar na viga é: 
5° Passo: Cálculo área de aço 𝐴𝑠 p/ x = 0,45 . d:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑑
(𝑑 − 0,4. 0,45 . 𝑑) . 𝑓𝑦𝑑
=
17,08
(0,1765 − 0,4. 0,45 . 0,1765) . 50/1,15
= 𝑨𝒔 = 𝟐, 𝟏𝟑 𝒄𝒎²
Conhecido a largura (𝑏𝑤) e a altura útil (d) de uma seção transversal retangular, a resistência do concreto à
compressão (𝑓𝑐𝑘), o tipo de aço (𝑓𝑦𝑘) e a área da seção transversal da armadura longitudinal (𝐴𝑠), qual é o
valor do momento máximo resistido?
A solução do problema é simples, devendo-se inicialmente considerar que a seção poderá trabalhar entre o
início do domínio 2 até o limite x = 0,45 . d, do domínio 3. Em qualquer destes domínios, o aço tracionado
estará escoando.
Conhecendo a área de aço (𝐴𝑠), a força (𝐹𝑠) na armadura é:
𝐹𝑠 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑
Com a expressão da força no concreto, que depende da posição da linha neutra, pode-se obter o valor de x 
a partir do fato de que, por equilíbrio, as forças resultantes no aço e no concreto devem ter a mesma 
intensidade.
𝑥 =
𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑
0,68. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤
𝐹𝑐 = 0,85. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤 . 0,8. 𝑥 e, como 𝐹𝑐 = 𝐹𝑠, temos:
0,85. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤 . 0,8. 𝑥 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑 , Logo:
Exemplo 4: Determine o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto armado, com
largura 𝑏𝑤 = 12 𝑐𝑚 𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 𝑑 = 17,65 𝑐𝑚, para as seguintes situações: a) 𝐴𝑠 = 0,5 𝑐𝑚
2; b) 𝐴𝑠 =
2,0 𝑐𝑚2. Considerar 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa (20.000 kN/m²) e aço CA50.
1° Passo: Para armadura 𝐴𝑠 = 0,5 𝑐𝑚
2
• Profundidade da linha neutra, considerando inicialmente que a seção trabalhe nos domínios 2 ou 3:
𝑥23 =
0,035
0,035 . 𝜀𝑠
. 𝑑 = 𝑥23 =
0,035
0,035 . 0,1
. 0,1765 = 0,0457 𝑚
𝑥 =
𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑
0,68. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤
=
0,5 . (
50
1.15
)
0,68 . 0,12 . (20000/1.4)
= 0,0186 𝑚
• Verificação da posição da linha neutra (domínios) em que a viga trabalha: deformação especifica
1,0% (domínios 2 e 3).
𝑥0,45 = 0,45 . 𝑑 = 0,45 . 0,1765 = 0,0794 𝑚
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 = 0,0186 𝑚 < 𝑥23 = 0,0457 , Confirmando o domínio 2.
Exemplo 4: Determine o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto armado, com
largura 𝑏𝑤 = 12 𝑐𝑚 𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 𝑑 = 17,65 𝑐𝑚, para as seguintes situações: a) 𝐴𝑠 = 0,5 𝑐𝑚
2; b) 𝐴𝑠 =
2,0 𝑐𝑚2. Considerar 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa (20.000 kN/m²) e aço CA50.
2° Passo: Cálculo do Momento 𝑀𝑑:
𝑀𝑑 = 𝐹𝑠 . 𝑧 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑 . 𝑑 − 0,4. 𝑥 = 0,5 .
50
1.15
. 0,1765 − 0,4 . 0,0186 = 3,675 𝑘𝑁.𝑚
O momento máximo que pode atuar na viga, sabendo que 𝑀𝑑 = 1,4 .𝑀:
𝑀 =
𝑀𝑑
1,4
=
3,675
1,4
= 2,625 𝑘𝑁𝑚
Exemplo 4: Determine o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto armado, com
largura 𝑏𝑤 = 12 𝑐𝑚 𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 𝑑 = 17,65 𝑐𝑚, para as seguintes situações: a) 𝐴𝑠 = 0,5 𝑐𝑚
2; b) 𝐴𝑠 =
2,0 𝑐𝑚2. Considerar 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa (20.000 kN/m²) e aço CA50.
1° Passo: Para armadura 𝐴𝑠 = 2,0 𝑐𝑚
2
• Profundidade da linha neutra, considerando inicialmente que a seção trabalhe nos domínios 2 ou 3:
𝑥 =
𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑
0,68. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤
=
2,0 . (
50
1.15
)
0,68 . 0,12 . (20000/1.4)
= 0,0746 𝑚
• Verificação da posição da linha neutra (domínios) em que a viga trabalha.
O valor encontrado para x = 0,07459 é menor que o limite de 0,45 . d e superior ao 𝑥23 = 0,0457 𝑚, limite 2;
portanto, a viga trabalha no domínio 3.
2° Passo: Cálculo do Momento 𝑀𝑑:
𝑀𝑑 = 𝐹𝑠 . 𝑧 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑 . 𝑑 − 0,4. 𝑥 = 2,0 .
50
1.15
. 0,1765 − 0,4 . 0,0746 = 12,753 𝑘𝑁.𝑚
O momento máximo que pode atuar na viga, sabendo que 𝑀𝑑 = 1,4 .𝑀:
𝑀 =
𝑀𝑑
1,4
=
12,753
1,4
= 9,11 𝑘𝑁𝑚
A partir as equações abaixo, é possível determinar o valor da altura útil d de uma viga:
Fazendo ξ =
𝑥
𝑑
=
𝜀𝑐
𝜀𝑐 + 𝜀𝑠
, obtém-se, x = ξ . 𝑑, logo:
Com a limitação x/d ≤ 0,45 (𝜉 =
𝑥
𝑑
≤ 0,45) , de acordo com a ABNT NBR 6118:2014, a altura mínima ocorre 
quando 𝜉 = 0,45, e assim para encontrá-la, basta colocar esse valor na equação:
𝑀𝑑 = 0,68. 𝑥 . 𝑑. −0,272 . 𝑥
2 . 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 .
𝑥
𝑑
=
𝜀𝑐
𝜀𝑐 + 𝜀𝑠
𝑀𝑑 = 0,68. 𝜉 . 𝑑
2. −0,272 . 𝜉2. 𝑑² . 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 .
𝑑 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 . 0,68. 𝜉 . −0,272 . 𝜉
2
𝑑 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 . 0,68. 0,45 .−0,272 . 0,45
2
=
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 . 0,25092
= 2,0 .
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
Exemplo 5: Para uma seção retangular de concreto armado com 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 𝑒 𝑑 = 0,29 𝑚, determinar a
altura mínima (𝑑𝑚𝑖𝑛) e a quantidade de armadura longitudinal necessária (𝐴𝑠 ). Dados nas unidades
necessária: 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚 (𝑀𝑑 = 1,4 .𝑀 = 1,4 . 12,2 = 17,08 𝑘𝑁.𝑚), 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa (20.000
kN
m2
= 2𝑘𝑁/𝑐𝑚²);
aço CA50 (𝑓𝑦𝑑 = 500 𝑀𝑃𝑎 = 50 kN/cm²).
1° Passo: Para altura mínima (𝜉 =
𝑥
𝑑
≤ 0,45)
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2,0 .
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
= 2,0 .
17,08
0,12 . 20000/1,4
= 0,1996 𝑚 ⟹ 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 19,96 𝑐𝑚
2° Passo: Cálculo da armadura necessária para 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 19,96 𝑐𝑚
𝑥 = 0,45 . 𝑑 = 0,45 . 19,96 ⇒ 𝑥 = 8,98 𝑐𝑚
𝑧 = 𝑑 − 0,4 . 𝑥 = 19,96 − 0,4 . 8,98 ⇒ 𝑧 = 16,34 𝑐𝑚
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑦𝑑
=
17,08
0,1634 . 50/1,15
= 𝑨𝒔 = 𝟐, 𝟒𝟎 𝒄𝒎²
Sempre que possível, é conveniente trabalhar com fórmulas adimensionais, pois facilitam o emprego de
diversos sistemas de unidades e permitem a utilização de quadros e gráficos de modo mais racional. Na
forma adimensional, para concretos até a classe C50, as equações ficam:
a) Equação do 𝑀𝑑
Chamando:
𝑀𝑑
𝑏𝑤 .𝑑
2.𝑓𝑐𝑑
=
0,68 .𝑥 .𝑑 −0,272 .𝑥2 .𝑏𝑤 .𝑓𝑐𝑑
𝑏𝑤 .𝑑
2.𝑓𝑐𝑑
= (0,68 .
𝑥
𝑑
− 0,272 .
𝑥2
𝑑2
)
- Dividindo ambos os membros da equação de 𝑀𝑑 por 𝑏𝑤 . 𝑑
2. 𝑓𝑐𝑑, tem-se:
𝑀𝑑
𝑏𝑤 .𝑑2.𝑓𝑐𝑑
= 𝐾𝑀𝐷 𝑒
𝑥
𝑑
= 𝐾𝑋, a equação anterior fica:
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑑
2. 𝑓𝑐𝑑
= 0,68 . 𝐾𝑋 − 0,272. (𝐾𝑋)²
- A equação contém apenas termos adimensionais, e KX só pode variar entre 0 e 1 (x = 0 e x = d):
- x = 0 (início do domínio 2) , KX = x/d = 0 (KMD = 0)
- x = d (fim do domínio 4), KX = x/d = 1 (KMD = 0,408)
b) Expressão que fornece o braço de alavanca z (z = d – 0,4 . x)
c) Expressão para o cálculo da armadura
Chamando 
𝑧
𝑑
= 𝐾𝑍, 𝑙𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐾𝑋 =
𝑥
𝑑
𝑧
𝑑
=
𝑑 − 0,4 . 𝑥
𝑑
= 1 − 0,4 .
𝑥
𝑑
Logo: 𝐾𝑍 = 1 − 0,4 . 𝑘𝑋
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑠
=
𝑀𝑑𝐾𝑍 . 𝑑 . 𝑓𝑠
d) Equações que relaciona as deformações com a altura da linha neutra:
𝑥
𝑑
=
𝜀𝑐
𝜀𝑐 + 𝜀𝑠
e, como
x
d
= KX, resulta:
𝐾𝑋 =
𝜀𝑐
𝜀𝑐 + 𝜀𝑠
Exemplo 6: Para uma seção retangular de concreto armado com 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 𝑒𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚
determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (𝐴𝑠), admitindo primeiramente, a altura útil d
= 0,29 m, e em seguida, que ela não seja conhecida. Utilizar fórmulas adimensionais e quadros para o
dimensionamento. Considere: 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa e aço CA50.
1° Passo: Admitindo que a altura útil seja conhecida (d = 0,29 cm) – Cálculo de KMD:
Como KX = x/d < 0,45, portanto abaixo do limite imposta pela norma, podem-se continuar os cálculos. 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑑
2. 𝑓𝑐𝑑
=
17,08
0,12 . 0,292. 20000/1,4
= 0,12
𝐾𝑀𝐷 = 0,12 ⇒ 𝐾𝑋 = 0,1911; 𝐾𝑍 = 0,9236; 𝜀𝑐 = 2,3621‰; 𝜀𝑠 = 10‰
2° Passo: Domínio em que a peça atingirá o estado limite último:
𝜀𝑠 = 10‰; 𝜀𝑐 = 2,3621‰ < 3,5‰ ⟹ domínio 2
3° Passo: Cálculo de 𝐴𝑠:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑍 . 𝑑 . 𝑓𝑠
=
17,08
0,9236 . 0,29 . 50/1,15
= 𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟒𝟔 𝒄𝒎²
Admitindo que a altura útil não seja conhecida 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2,0 .
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
= 2,0 .
17,08
0,12 . 20000/1,4
= 0,20 𝑚
1° Passo: Cálculo de KMD com 𝑑 = 𝑑𝑚𝑖𝑛
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑑
2. 𝑓𝑐𝑑
=
17,08
0,12 . 0,202. 20000/1,4
= 0,250
𝐾𝑀𝐷 = 0,250 ⇒ 𝐾𝑋 = 0,4479;𝐾𝑍 = 0,8208; 𝜀𝑐 = 3,5‰; 𝜀𝑠 = 4,3144‰
𝜀𝑠 = 4,3144‰ >𝜀𝑦𝑑 ⟹ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦𝑑 =
50
1.15
𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑍 . 𝑑 . 𝑓𝑠
=
17,08
0, 8208 . 0,20 . 50/1,15
= 𝑨𝒔 = 𝟐, 𝟑𝟗 𝒄𝒎²
Podem ocorrer situações em que, por imposições de projeto, arquitetônicas etc., seja
necessário utilizar para a viga uma altura menor que a altura mínima exigida pelo momento
fletor atuante de cálculo 𝑀𝑑 .
Nesse caso, determina-se o momento (𝑀𝑙𝑖𝑚) que a seção consegue resistir com sua atual e
armadura apenas tracionada (armadura simples 𝐴𝑠1), trabalhando no limite da relação x =
0,45.d (domínio 3); a diferença entre o momento atuante 𝑀𝑑 e o momento 𝑀𝑙𝑖𝑚, que será
chamado de 𝑀2 (𝑀2 = 𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚), será resistida por uma armadura de compressão, e para
que seja mantido o equilíbrio, por uma adicional de tração. Nessa situação, a viga terá uma
armadura inferior tracionada e uma superior comprimida (armadura dupla).
𝑀𝑙𝑖𝑚 - momento obtido impondo que a seção trabalhe no limite da ductilidade x/d = 0,45; é
resistido pelo concreto comprimido e por uma armadura tracionada 𝐴𝑠1.
𝑀2 - momento que será resistido por uma armadura comprimida 𝐴𝑠
′ e, para que haja equilíbrio,
por uma armadura tracionada A𝑠2 (além de 𝐴𝑠1 já calculada para 𝑀𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒)
Com x = 0,45 . d, determina-se 𝑀𝑙𝑖𝑚 e, com ele, a armadura tracionada, 𝐴𝑠1 e também o
momento 𝑀2 (𝑀2 = 𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚); com 𝑀2 calcula-se finalmente 𝐴𝑠2 e 𝐴𝑠′. É preciso, ainda,
verificar se a armadura comprimida da seção sofre deformações específicas menos que a
região tracionada (até 0,0035, que é a máxima permitida para o concreto comprimido). A
Figura 1 ilustra esquematicamente o problema.
Figura 1. Seção de uma viga com armadura dupla
Procedimento de cálculo:
O momento 𝑀𝑙𝑖𝑚 pode ser obtido com 𝑧𝑙𝑖𝑚 = 𝑑 − 0,4 . 𝑥𝑙𝑖𝑚 e 𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45. 𝑑:
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 𝐹𝑐 . 𝑍𝑙𝑖𝑚 = 0,85. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤. 0,8. 𝑥𝑙𝑖𝑚 . 𝑑 − 0,4. 𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,251. 𝑏𝑤. 𝑑
2. 𝑓𝑐𝑑
A armadura 𝐴𝑠1 é obtida com 𝑀𝑙𝑖𝑚 no lugar de 𝑀𝑑 𝑒 𝑧 = 𝑧𝑙𝑖𝑚 = 𝑑 − 0,4. 𝑥𝑙𝑖𝑚 = 𝑑. ቀ
ቁ
1 −
0,4.
𝑥𝑙𝑖𝑚
𝑑
= 𝑑. 1 − 0,4. 𝐾𝑋 𝑙𝑖𝑚 .
Fazendo o equilíbrio da seção com 𝑀2 (não há mais colaboração do concreto), pode ser
obtida a armadura 𝐴𝑠2, correspondente ao momento 𝑀2 :
𝐴𝑠1 =
𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑧. 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 0,4. 𝑥𝑙𝑖𝑚 . 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑙𝑖𝑚
1 − 0,4. 𝐾𝑋 𝑙𝑖𝑚 . 𝑑. 𝑓𝑦𝑑
𝑀2 = 𝐹𝑠2. 𝑑 − 𝑑
′ = 𝐴𝑠2. 𝑓𝑦𝑑 . 𝑑 − 𝑑
′ , 𝑒 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:
𝐴𝑠2 =
𝑀2
(𝑑 − 𝑑′). 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚
(𝑑 − 𝑑′). 𝑓𝑦𝑑
Procedimento de cálculo:
Chamando de As o total de armadura tracionada, ou seja, 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2, resulta:
Fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao Centro de Gravidade (CG) da armadura
tracionada na seção com 𝑀2, obtém-se 𝐴𝑠′.
𝐴𝑠
′ . 𝑓𝑐 . (d - d’) = 𝑀2
Finalmente, é preciso conhecer a deformação específica da armadura comprimida 𝜀𝑠
′ para
encontrar a tensão na armadura comprimida 𝑓𝑠
′.
𝐴𝑠 =
𝑀𝑙𝑖𝑚
1 − 0,4. 𝐾𝑋 𝑙𝑖𝑚 . 𝑑. 𝑓𝑦𝑑
+
𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚
(𝑑 − 𝑑′). 𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑠
′ =
𝑀2
(𝑑 − 𝑑′). 𝑓𝑠′
=
𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚
(𝑑 − 𝑑′). 𝑓𝑠′
𝜀𝑠
′ =
0,35
𝑥𝑙𝑖𝑚
=
𝜀𝑠
′
(𝑥𝑙𝑖𝑚 − 𝑑′)
→ 𝜀𝑠
′ =
0,35 . (𝑥𝑙𝑖𝑚 − 𝑑′)
𝑥𝑙𝑖𝑚
Exemplo 7: Para um momento M = 45 kNm, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 𝑒 𝑑 = 0,29 𝑚 , 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa e aço CA50. Considerar estribos de 𝜙 = 6 𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙 = 10 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm, de acordo com Tabela
7.2 da ABNT NBR 6118:2014,para vigas em ambientes com classe de agressividade ambiental I.
1° Passo: Cálculo da altura mínima da seção para M = 45 kNm:
Como d = 0,29 m < 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0,383 m portanto armadura dupla
2° Passo: Cálculo do momento limite 𝑀𝑙𝑖𝑚 :
𝑑𝑚𝑖𝑛 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 . 0,68. 0,45 .−0,272 . 0,45
2
= 2,0 .
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
= 2,0 .
1,4 . 45
0,12 . 20000/1,4
= 0,383 𝑚
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0,251 . 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 . 𝑑
2 = 0,251 . 0,12 . 0,292.
20000
1,4
= 36,19 𝑘𝑁.𝑚
3° Passo: Cálculo do momento 𝑀2 :
𝑀2 = 𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚 = 1,4 . 45 − 36,19 = 26,81 𝑘𝑁.𝑚
Exemplo 7: Para um momento M = 45 kNm, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 𝑒 𝑑 = 0,29 𝑚 , 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa e aço CA50. Considerar estribos de 𝜙 = 6 𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙 = 10 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm, de acordo com Tabela
7.2 da ABNT NBR 6118:2014,para vigas em ambientes com classe de agressividade ambiental I.
4° Passo: Cálculo de 𝐴𝑠1 ( 𝐾𝑋𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 =
𝑋𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒
𝑑
= 0,45): d = 0,29 cm e d’ = 2,5 + 0,6 + 1,0/2 = 3,6 cm
5° Passo: Cálculo de 𝐴𝑠′ , sendo necessário conhecer antes 𝑓𝑠′ e, portanto, 𝜀𝑠′ :
𝐴𝑠 =
36,19
1 − 0,4. 0,45 . 0,29. 50/1,15
+
1,4 . 45 − 36,19
0,29 − 0,036 . 50/1,15
= 3,50 + 2,43 ⟹ 𝐴𝑠 = 5,93 𝑐𝑚²
𝜀𝑠
′ =
0,0035 . (𝑥𝑙𝑖𝑚 − 𝑑′)
𝑥𝑙𝑖𝑚
=
0,0035 . (0,45 . 0,29 − 0,036)
0,45 . 0,29
= 0,0025
Como 𝜀𝑠
′ > 𝜀𝑦𝑑 (𝜀𝑦𝑑 = 0,00207 𝑝𝑎𝑟𝑎 CA50) ⟹ 𝑓𝑠
′ = 𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑠
′ =
𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚
(𝑑 − 𝑑′). 𝑓𝑦𝑑
=
1,4 . 45 − 36,19
0,29 − 0,036 .
50
1,15
⇒ 𝐴𝑠
′ = 2,43 𝑐𝑚²
Exemplo 8: Para um momento M = 65 kNm, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,14 𝑚 , 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa e aço CA50. Considerar estribos de 𝜙 = 5 𝑚𝑚 e barras longitudinais
(comprimidas ou tracionadas) de 𝜙 = 25 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm, de acordo com Tabela 7.2 da ABNT
NBR 6118:2014,para vigas em ambientes com classe de agressividade ambiental I.
1° Passo: Cálculo da altura útil d e d’
d’ = 2,5 + 0,5 + 1,25 = 4,25 cm
d = h – d’ = 40 – 4,25 = 35,75 cm 
2° Passo: Cálculo do momento de cálculo Md
𝑀𝑑 = 1,4 . 65 = 91 𝑘𝑁.𝑚
3° Passo: Cálculo da linha neutra para Md
𝑥 =
0,68. 𝑑 ± 0,68𝑑 2 − 4 . 0,272 . 𝑘
0,544
𝑘 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑓𝑐𝑑
=
9100 kN. cm
14 .
2 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
1,4
= 455 𝑐𝑚²
𝑥 =
0,68. 35,75 ± 0,68. 35,75 2 − 4 . 0,272 . 455
0,544
= 𝑥 ቊ
62,69 𝑐𝑚 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜
26,68 𝑐𝑚
Exemplo 8: Para um momento M = 65 kNm, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,14 𝑚 , 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa e aço CA50. Considerar estribos de 𝜙 = 5 𝑚𝑚 e barras longitudinais
(comprimidas ou tracionadas) de 𝜙 = 25 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm, de acordo com Tabela 7.2 da ABNT
NBR 6118:2014,para vigas em ambientes com classe de agressividade ambiental I.
4° Passo: Limite para redist. Momentos 6118:2014:
𝑥
𝑑
≤ 0,45 ⟹ 𝑥 ≤ 16,09 𝑐𝑚 < 26,68 cm 
Exemplo 8: Para um momento M = 65 kNm, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,14 𝑚 , 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPae aço CA50. Considerar estribos de 𝜙 = 5 𝑚𝑚 e barras longitudinais
(comprimidas ou tracionadas) de 𝜙 = 25 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm, de acordo com Tabela 7.2 da ABNT
NBR 6118:2014,para vigas em ambientes com classe de agressividade ambiental I.
5° Passo: Cálculo do momento limite 𝑀𝑙𝑖𝑚 :
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0,251 . 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 . 𝑑
2 = 0,251 . 14 . 35,752.
2
1,4
= 6415,87 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
Exemplo 8: Para um momento M = 65 kN.m, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,14 𝑚 , 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa e aço CA50. Considerar estribos de 𝜙 = 5 𝑚𝑚 e barras longitudinais
(comprimidas ou tracionadas) de 𝜙 = 25 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm, de acordo com Tabela 7.2 da ABNT
NBR 6118:2014,para vigas em ambientes com classe de agressividade ambiental I.
6° Passo: Cálculo da 𝐴𝑠1 :
𝐴𝑠1 =
6415,87
0,82 . 35,75 .50/1,15
= 5,03 𝑐𝑚²
7° Passo: Cálculo do momento 𝑀2 :
𝑀2 = 𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚 = 9100 − 6415,87 = 2684,12 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝐴𝑠2 =
2684,12
(35,75 − 4,25) .50/1,15
= 1,96 𝑐𝑚²
8° Passo: Cálculo de 𝐴𝑠′ , sendo necessário conhecer antes 𝑓𝑠′ e, portanto, 𝜀𝑠′ :
𝜀𝑠
′ =
0,0035 . (0,45 . 35,75 − 4,25)
0,45 . 35,75
= 0,00258
Como 𝜀𝑠
′ > 𝜀𝑦𝑑 (𝜀𝑦𝑑 = 0,00207 𝑝𝑎𝑟𝑎 CA50) ⟹ 𝑓𝑠
′ = 𝑓𝑦𝑑; 𝐴𝑠
′ = 1,96 𝑐𝑚²
Exemplo 8: Para um momento M = 65 kN.m, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,14 𝑚 , 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa e aço CA50. Considerar estribos de 𝜙 = 5 𝑚𝑚 e barras longitudinais
(comprimidas ou tracionadas) de 𝜙 = 25 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm, de acordo com Tabela 7.2 da ABNT
NBR 6118:2014,para vigas em ambientes com classe de agressividade ambiental I.
Então temos:
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 = 5,03 𝑐𝑚
2 + 1,96 𝑐𝑚 = 6,99 𝑐𝑚2 − 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
𝐴𝑠
′ = 1,96 𝑐𝑚2 − 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎