MetEnsGeo-U1

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EA
D
Desenvolvimento
Histórico da 
Geometria
1. OBJETIVOS
• Interpretar a relação existente entre o desenvolvimento his-
tórico da Geometria e como suas aplicações podem contri-
buir para a aprendizagem e para o ensino desta disciplina.
• Reconhecer a importância do ensino e aprendizagem da 
Geometria.
• Identificar problemas que permeiam a compreensão da 
Geometria.
2. CONTEÚDOS
• História.
• Problemática do ensino da Geometria.
• Importância do ensino da Geometria.
• Atividades com figuras geométricas planas.
• Matemática e as artes visuais.
28 © Metodologia do Ensino da Geometria
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
Antes de iniciar o estudo desta unidade, é importante que 
você leia as orientações a seguir:
1) Tenha sempre à mão o significado dos conceitos expli-
citados no Glossário e suas ligações pelo Esquema de 
Conceitos-chave para o estudo de todas as unidades 
deste CRC. Isso poderá facilitar sua aprendizagem e seu 
desempenho.
2) Nesta primeira unidade, estudaremos alguns problemas 
geométricos que historicamente foram utilizados para 
solucionar problemas práticos do dia a dia dos povos an-
tigos e atuais. É fundamental que você compreenda que 
a História é uma grande aliada na compreensão de im-
portantes conteúdos e conceitos matemáticos e geomé-
tricos. Portanto, leia e analise com atenção os conteúdos 
e exemplos disponíveis no decorrer desta unidade, pois 
eles facilitam o entendimento dos conceitos e teorias re-
lacionados. 
3) Lembre-se de que no ensino a distância, o aprendizado 
é realizado de forma cooperativa e colaborativa. Portan-
to, compartilhe com seus colegas suas dúvidas e conhe-
cimentos. Se necessitar de auxílio sobre algum assunto 
relacionado a esta unidade, entre em contato com seu 
tutor. Ele estará sempre pronto para ajudá-lo.
4) Para conhecer as relações geométricas expostas em 
mosaicos que compõem o trabalho do artista gráfico 
Maurits Cornelis Escher, acesse o site disponível em: 
<http://www.mcescher.com/Shopmain/ShopEU/facsili-
meprints/prints.html>. Acesso em: 1º dez. 2011. 
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE
Deve se aprender fazendo o que se aprende; porque, embora se 
pense que aprendeu uma coisa, só se terá certeza quando se tentar 
fazer a coisa.
Sopholes
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© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
A preparação das terras férteis para o plantio nas margens 
dos rios, a construção de moradias e templos e a observação dos 
astros no céu (necessidades diárias de sobrevivência para o ho-
mem) são algumas das variadas atividades humanas que sempre 
dependeram do conhecimento e de operações geométricas.
Você, como educador, sabe a importância do desenvolvi-
mento histórico da Geometria para o ensino deste Caderno Refe-
rência de Conteúdo? Conhece os problemas que se interpõem em 
sua compreensão? 
Vamos iniciar, então, nosso estudo realizando um breve re-
trospecto histórico da Geometria. Nele, conheceremos alguns pro-
blemas e debateremos sobre a importância do seu ensino.
Bom estudo!
5. HISTÓRIA
A civilização egípcia desenvolveu-se ao longo de uma extensa fai-
xa de terra fértil propícia à agricultura que margeava o rio Nilo. A pirâmi-
de social egípcia era fixa e composta de um faraó (nobreza), sacerdotes, 
escribas, camponeses e escravos. Havia uma administração estatal, cen-
tralizada no faraó, fortalecida pela crença de que o poder divino estava 
vinculado ao poder civil na pessoa do faraó. A família do faraó, os sacer-
dotes e os nobres tinham acesso a uma educação rudimentar e alguns 
escribas obtinham, mediante aprovação do faraó, acesso à educação.
A economia egípcia era baseada na agricultura e no trabalho 
escravo. Os camponeses cultivavam a terra e entregavam o que co-
lhiam aos nobres e ao faraó. Tinham direitos a uma pequena par-
cela do que produziam para sua subsistência. Posteriormente, a 
economia foi ampliada para um comércio de troca de mercadorias 
com outros povos que viviam em outras regiões (Mesopotâmia).
O desenvolvimento da Geometria está relacionado ao con-
ceito de medida, tendo início, talvez, a 3500 a.C., quando os habi-
tantes da Mesopotâmia e Egito começaram a erguer os primeiros 
templos em homenagem aos deuses e faraós.
30 © Metodologia do Ensino da Geometria
Os construtores adotavam unidades de medidas das partes 
do corpo do Rei, assim como palmo, pé, passo e outras. De pos-
se dessas medidas construíam réguas de madeira, ou cordas com 
nós, que serviam como unidade de referência de medida. 
A divisão dos campos férteis, às margens do rio Nilo, era rea-
lizada de maneira que eles ficassem com a forma retangular. Suas 
construções abrigavam cômodos regulares e retangulares, o que 
obrigava os construtores a estruturarem ângulos retos (de 90°). 
Como eles conseguiam fazer isso?
Simples! Eles cravavam duas estacas na terra e assinalavam 
um segmento de reta. A seguir, utilizavam cordas como compassos 
e determinavam dois arcos de circunferência que se interseciona-
vam em dois pontos. Uniam esses dois pontos por um segmento 
de reta que interceptava o segmento (corda) determinado pelas 
duas estacas, obtendo-se nesse ponto de intersecção dois ângulos 
retos. Não entendeu? Observe na Figura 1 o desenho geométrico. 
Figura 1 Mediatriz. 
O problema mais comum, para um construtor, era traçar a 
perpendicular a uma reta por um ponto dado. Os antigos geôme-
tras e construtores utilizavam três cordas de comprimentos 3, 4 e 5 
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© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
unidades, respectivamente. Para obter a perpendicular, formavam 
com essas cordas um triângulo retângulo que determina, pelas 
cordas 3 e 4, uma perpendicular.
Observe que as medidas utilizadas se referem às medidas de 
um triângulo retângulo que amplamente estudamos e ensinamos 
em nossas aulas de Matemática por meio do Teorema de Pitágo-
ras que enuncia: "a soma dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da hipotenusa (maior lado)". No caso anterior, teríamos: 
2 2 23 4 5+ = , isto é, 9+16=25 como mostra a Figura 2. 
Figura 2 Teorema de Pitágoras.
Na antiguidade, foram desenvolvidos e padronizados instru-
mentos para medir ou traçar ângulos retos e construir linhas per-
pendiculares que recebiam o nome de esquadros. 
Durante muito tempo, os arrecadadores de impostos de ter-
ras provavelmente calculavam a extensão dos campos férteis por 
meio de um simples golpe de vista. Dessa maneira, sem fazer uso 
de nenhuma técnica que os ajudassem a medir com precisão, cal-
culavam o imposto devido ao rei. 
Mais tarde, por meio da observação do trabalho de operá-
rios que pavimentavam retângulos com mosaicos quadrados, no-
32 © Metodologia do Ensino da Geometria
taram que, para conhecer o total de mosaicos que seriam utiliza-
dos, bastaria contar os de uma fileira e repetir esse número tantas 
vezes quantas fileiras houvesse. Assim, nasceu a fórmula da área 
do retângulo: multiplicar a base pela altura. 
Para descobrirem a área do triângulo, os arrecadadores de 
impostos seguiram um raciocínio geométrico relacionado à área 
de um retângulo. Bastava tomar um quadrado ou um retângulo e 
dividi-lo em quadradinhos iguais. 
Suponhamos que o quadrado da Figura 3 tenha 16 "quadra-
dinhos iguais" e o triângulo oito. Esses números exprimem, en-
tão, a área dessas figuras. Realizando um corte, segundo a linha 
diagonal do quadrado, obtiveram dois triângulos iguais, cuja área, 
naturalmente, é a metade da área do quadrado, conforme pode 
ser observado (Figura 3). 
Figura 3 Medida da área. 
Como faziam quando a superfície era irregular?
A solução era utilizar o método da triangulação que consiste, 
a partir de um vértice qualquer da figura, traçar segmentos aos 
demais vértices, obtendo-se triângulos cujas áreas somadas resul-
tem a área total da superfície, como mostra a Figura 4. 
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© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
Figura 4 Triangulação de uma área irregular.
Com o desenvolvimento dos métodosde medidas, novos 
problemas surgiram, como o mencionado a seguir.
Alguns terrenos seguem o contorno de um morro ou a curva 
de um rio. Assim, um novo problema se apresenta: como determi-
nar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo? 
Para demarcar círculos, era necessário usar uma corda (raio) 
e girá-la em torno de um ponto fixo que era uma estaca cravada no 
solo como centro da figura. 
Um conceito geométrico muito importante que os povos da 
antiguidade dominavam era de que o diâmetro da circunferência 
correspondia a aproximadamente um terço do comprimento total 
da circunferência, qualquer que fosse o comprimento do diâmetro.
Há cerca de 2000 anos a.C., Ahmes, um escriba egípcio, pre-
tendia, diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o 
respectivo raio, determinar sua área. Para resolver esse problema 
considerou o raio do círculo como o lado de um quadrado, cons-
tatando que esse quadrado estava contido no círculo entre três 
vezes e quatro vezes. 
Ahmes concluiu que para determinar a área de um círculo, 
bastaria calcular a área de um quadrado de lado igual ao raio desse 
34 © Metodologia do Ensino da Geometria
círculo e multiplicar a área desse quadrado por 3,14. O número 
3,14 é fundamental na Geometria e na Matemática e é conhecido 
como π (pi).
No entanto, foram os gregos que tornaram o número 3,14 um 
pouco menos inexato: 3,1416, e hoje este número irracional tem 
uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome, 
designado pela letra pi (π ) do alfabeto grego, foi originado da pri-
meira sílaba da palavra peripheria, que significa circunferência.
No século 18 d.C., foram descobertos vários papiros em es-
cavações no Egito. Do ponto de vista matemático, os mais impor-
tantes são os papiros de Moscou e os de Rhind. 
O papiro de Rhind está escrito em hierático, da direita para a 
esquerda, tem 32cm de largura por 513cm de comprimento. É da-
tado de cerca de 1650 a.C., embora o texto diga que foi copiado de 
um manuscrito cerca de 200 anos antes. O papiro tem o nome do 
escocês Alexander Henry Rhind que o comprou, por volta de 1850, 
em Luxor, no Egito. É também designado por papiro de Ahmes, o 
escriba egípcio que o copiou. Encontra-se atualmente no Museu 
Britânico. O papiro contém uma série de tabelas e 84 problemas e 
as suas soluções. 
No papiro de Rhind, o cálculo de áreas tendia a empregar a 
conversão da figura a analisar em uma figura de área conhecida 
que a aproximasse. A Figura 5 do papiro de Rhind, compara a área 
do círculo com a de um quadrado circunscrito. Na resolução, o es-
criba considera um diâmetro igual a nove e calcula a área do cír-
culo. Obtém, assim, um valor de 64 setat. Um quadrado com nove 
jet de lado tem 81 setat. Portanto, a área do quadrado é maior que 
a do círculo como pode ser observado, também, no site disponí-
vel em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/
rhind/P48_55.htm>. Acesso em: 6 jan. 2011.
O papiro de Moscou (Figura 6), escrito em hierático por um 
escriba desconhecido por volta de 1850 a.C., possui dimensões 
aproximadas de 8cm de largura por 5m de comprimento. Contém 
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© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
25 problemas, sendo impossível interpretar muitos deles devido 
ao grau de degradação do manuscrito. Nesse papiro, é apresenta-
da uma forma de cálculo do tronco de pirâmide descrita na Figura 
6: um tronco de pirâmide tem seis cúbitos de altura, quatro cúbi-
tos de base por dois cúbitos no topo. Qual o volume?
Figura 5 Papiro de Rhind. 
Figura 6 Papiro de Moscou.
36 © Metodologia do Ensino da Geometria
Os egípcios faziam cálculos astronômicos para determinar 
quando iriam ocorrer as cheias do Nilo. Baseados nesses cálculos eles 
construíram um calendário com 12 meses de 30 dias. A construção 
das grandes pirâmides faz supor que o conhecimento matemático 
dos egípcios era muito mais avançado que o conhecido nos papiros. É 
possível afirmar, que a matemática egípcia foi um dos pilares da mate-
mática grega, a qual foi a base para o desenvolvimento da matemática 
moderna nas áreas da Álgebra, Geometria e Trigonometria. 
Mesopotâmia, em Grego significa "terra entre rios". Situava-
-se no oriente médio, no chamado crescente fértil, entre os rios 
Tigre e Eufrates, onde hoje está situado o Iraque e a Síria. A socie-
dade da Mesopotâmia tinha uma pirâmide social extremamente 
rígida, não permitindo a mobilidade social. A camada mais alta 
era formada pelo rei e seus familiares, seguidos por uma nobreza 
fundiária, sacerdotes e ricos mercadores. Na base da sociedade, 
estavam os camponeses e os escravos. 
Esta sociedade era altamente militarizada e cruel para com os 
povos dominados por meio de guerras ou da cobrança de impostos. 
As mesmas dificuldades que acarretaram o desenvolvimento das 
ciências no Egito foram a mola propulsora do desenvolvimento nessa 
região. Porém, ao contrário do que ocorria com as águas do rio Nilo, 
os períodos de cheia dos rios Tigre e Eufrates eram irregulares, obri-
gando a realização de numerosas obras de irrigação e drenagem. 
A população residia em cidades governadas por um rei-sacerdo-
te, chamado Patesi. É dessa região a elaboração do primeiro código es-
crito de leis. O código de Hamurabi, conhecido como "Lei de Talião", es-
crito pelo rei Hamurabi, em torno de 2.000 a.C., privilegiava a nobreza. 
A economia estava baseada na agricultura e no comércio de 
trocas. A localização geográfica da região facilitava o contato en-
tre os povos conhecidos da época. No período entre 4.000 a.C. e 
1200 a.C., com o desenvolvimento da escrita cuneiforme, muitas 
cidades se desenvolveram (Lasash, Ur, Uruk e Babilônia). A escrita 
cuneiforme era realizada por meio de cunhas, produzidas em ta-
bletes de barro cozido. Uma das tabelas mais importantes, sob o 
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© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
ponto de vista matemático, foi a chamada tábua "Plimpton 322", 
a qual traz uma série de informações matemáticas, entre elas a 
relação entre os três lados de um triângulo. 
Há evidências de que os babilônios antigos sabiam calcular 
os ternos pitagóricos, pois na tábula matemática, catalogada como 
Plimpton 322 (Figura 7), escrita, aproximadamente, entre 1900 e 
1600 a.C., aparecem duas colunas que correspondem à hipotenu-
sa e um dos catetos de triângulos retângulos de lados inteiros.
Figura 7 Tábua "Plimpton 322".
Os babilônios conheciam as regras gerais da área do retân-
gulo, do triângulo retângulo, do triângulo isósceles e dos trapézios. 
Dominavam o cálculo do volume de um paralelepípedo, do volu-
me de um prisma reto de base trapezoidal. Consideravam o com-
primento de uma circunferência como o triplo de seu diâmetro, a 
área do círculo como um duodécimo da área do quadrado de lado 
igual ao comprimento da respectiva circunferência e sabiam que 
para calcular o volume de um cilindro circular reto bastava calcular 
o produto da área da base pela altura. 
Eles tinham conhecimento de que os lados correspondentes 
de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais e de 
que a perpendicular baixada do vértice de um triângulo isósceles, 
em que incidem os lados congruentes, divide ao meio a base. Sa-
38 © Metodologia do Ensino da Geometria
biam, também, que um ângulo inscrito em uma semicircunferên-
cia é um ângulo reto, conheciam o Teorema de Pitágoras e utiliza-
vam 3 1/8 como estimativa para pi e desenvolveram técnicas para 
equações quadráticas e biquadráticas. 
Figura 8 Ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.
A história da civilização grega tem suas origens nas invasões de 
povos bárbaros (dórios, aqueus, jónicos e eólios), na península balcâni-
ca por volta do segundo milênio a.C. Esses povos foram conquistando 
as civilizações ali estabelecidas e avançando em direção à ilha de Creta. 
O período histórico da civilização grega teria início, por volta 
de 800 a.C. Nesse período, os gregos mudaram do sistema de es-crita hieroglífica para o alfabeto fenício. Isso lhes permitiu transmi-
tir por escrito a sua literatura, utilizando o papiro. 
Com o crescente comércio e a necessidade de defesa, o povo 
reunia-se em torno de fortificações, formando a principal unidade 
política de Grécia Antiga: a cidade-Estado ou polis (Atenas, Espar-
ta, Tebas, Corinto, Argos,...). 
A Geometria Dedutiva Demonstrativa começou com Tales de Mi-
leto, mercador e viajante que viveu algum tempo no Egito, despertando 
admiração ao calcular a altura de uma pirâmide por meio da sombra. 
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Descobertas matemáticas e geométricas associam-se a Ta-
les, como:
1) Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado em cada 
um deles respectivamente iguais, então esses triângulos 
são iguais. 
2) Em um triângulo retângulo isósceles os ângulos agudos 
medem 45°.
3) Qualquer diâmetro efetua a bissecção do círculo.
4) Os ângulos da base de um triângulo isósceles são con-
gruentes e, por consequência, os catetos também são 
congruentes.
5) Ângulos opostos pelo vértice são iguais.
É atribuído a Tales, o fato de ter determinado a altura da pirâ-
mide de Quéops no Egito. Ele utilizou um artifício geométrico muito 
simples: cravou verticalmente uma estaca no solo e esperou o ins-
tante do dia em que a extensão de sua sombra projetada no solo 
fosse igual ao comprimento da própria estaca. Nesse momento, me-
diu o comprimento da sombra projetada no solo pela pirâmide, ob-
tendo, assim, a sua altura por semelhança de triângulos. Na Figura 
9, é possível observar o esquema geométrico desse acontecimento. 
Figura 9 Esquema geométrico – semelhança de triângulos.
40 © Metodologia do Ensino da Geometria
Na Grécia, por volta de 500 a.C., foram fundadas as primei-
ras universidades. Alguns instrumentos geométricos foram cria-
dos, como, por exemplo, o compasso, que substituiu a utilização 
de cordas e estacas. 
Os gregos conseguiam medir, por exemplo, a distância de uma 
embarcação à praia utilizando o seguinte artifício: dois observadores 
(A e B) posicionavam-se de maneira que um deles (A) observasse o 
barco sob um ângulo de 90° em relação à linha da praia, e o outro 
observador (B), observasse o mesmo barco sob um ângulo de 45° 
como esquematizado na Figura 10. Feito isso, o barco e os observa-
dores ficavam posicionados exatamente nos vértices de um triângulo 
retângulo isósceles. Para determinar a distância do barco até a praia 
(observador A) bastava medir a distância entre os observadores A e B. 
Figura 10 Determinação da distância de um barco à praia.
A principal fonte de informações sobre a Matemática grega 
é o Sumário Eudemiano (335 a. C), escrito por Eudemo, discípulo 
de Aristóteles. A obra evidencia que já se conheciam três médias: 
aritmética, geométrica e subcontrária (harmônica). 
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© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
Pitágoras (572 a.C. 475 a.C.) fundou, nesse período, a escola 
Pitagórica em Crotona (sul da Itália). 
À Pitágoras, foi atribuído a axiomatização das relações entre 
os lados de um triângulo retângulo (terminologia geométrica). Os 
três problemas clássicos da Geometria grega que deram início ao 
estudo da axiomática geométrica foram: 
• Trissecção de um ângulo (dado um ângulo, construir com ré-
gua e compasso um ângulo com um terço de sua amplitude).
• A duplicação do volume do cubo (dado um cubo, cons-
truir com régua e compasso outro com o dobro do volu-
me do anterior).
• A quadratura do círculo (dado um círculo, construir com 
régua e compasso um quadrado de mesma área).
A procura pela solução desses problemas ilustra o valor heu-
rístico de problemas matemáticos não resolvidos. Em sua álgebra 
geométrica, os gregos utilizaram dois métodos para resolver cer-
tas equações simples: das proporções e da aplicação de áreas. 
O problema de transformar a área de uma figura retilínea em 
outra figura retilínea era de interesse dos pitagóricos. Na Figura 
11, temos que a área do quadrilátero AEDRA (em azul) é igual a 
área do pentágono AEDCBA (em amarelo). 
Figura 11 Figuras planas equivalentes.
42 © Metodologia do Ensino da Geometria
O Teorema de Pitágoras já era conhecido pelos babilônios há 
mais de um milênio, mas sua primeira demonstração geral pode 
ter sido dada por Pitágoras. O Teorema de Pitágoras é válido, tam-
bém, para outras figuras geométricas. Observe na Figura 12, que 
a área do semicírculo azul é igual à soma da área do semicírculo 
marrom e a área do semicírculo vermelho. 
Soma das áreas dos semicírculos I e II = 19,57 cm2
Área do semicírculo II = 9,01 cm2
Área do semicírculo = 19,57 cm2
Área do semicírculo I = 10,56 cm2
Figura 12 Teorema de Pitágoras com semicírculos.
Utilizando o mesmo conceito de que retas paralelas inter-
ceptadas por um transversal determinam ângulos alternos inter-
nos congruentes, Eratóstenes media o comprimento da circunfe-
rência da Terra e seu respectivo raio em 200 a.C. 
Como? Vamos ver a seguir. 
Eratóstenes viveu no Egito entre os anos 276 e 194 a.C. e, 
segundo a história, era bibliotecário-chefe da famosa biblioteca 
de Alexandria, e foi lá que encontrou em um velho papiro, indica-
ções de que ao meio-dia de cada 21 de junho, na cidade de Siena, 
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800km ao sul de Alexandria, uma vareta fincada verticalmente no 
solo não produzia sombra.
Eratóstenes percebeu que o mesmo fenômeno não ocorria 
no mesmo dia e horário em Alexandria e concluiu que se o mundo 
é plano como uma mesa, então as sombras das varetas têm de ser 
iguais. Se isso não acontece é porque a Terra deve ser curva!
Erastóstenes resolveu, então, realizar um experimento: fin-
cou uma vareta no solo, em Alexandria, ao meio dia do dia 21 de 
junho, e mediu o comprimento de sua sombra; em seguida, fez 
o mesmo em Siena e percebeu que, quando fazia o mesmo com 
uma vareta de mesmo comprimento, a sombra não era produzida. 
Assim, obteve o ângulo A, conforme a Figura 13. 
Figura 13 Esquema imaginado por Erastóstenes.
Erastóstenes mediu o ângulo A=7° (aproximadamente). Se as 
varetas estão na vertical, imaginou que se fossem longas o bastante 
iriam se encontrar no centro da Terra como esquematizado na Figu-
ra 13. Assim, concluiu que ângulo B terá o mesmo valor que A, pois o 
desenho de Erastóstenes se reduz a um conceito geométrico muito 
simples que descreve: se duas retas paralelas interceptam uma reta 
transversal, então os ângulos correspondentes são iguais. 
As retas paralelas são os raios de luz do Sol e a reta transver-
sal é a que passa pelo centro da Terra e pela vareta em Alexandria. 
44 © Metodologia do Ensino da Geometria
O ângulo B (também igual a 7°) é a fração conhecida da circunfe-
rência da Terra e corresponde à distância entre Siena e Alexandria! 
Erastóstenes sabia que essa distância valia cerca de 800km e então 
deduziu que 7° 1/50 da circunferência (360°) e que esta medida 
corresponde a cerca de 800km. Assim, concluiu que 800km vezes 
50 são 40.000km, de modo que deve ser esse o valor da circunfe-
rência da Terra. 
O valor encontrado na atualidade é de cerca de 40.072km ao 
longo da linha do equador. Um erro pequeno para um raciocínio 
simples realizado há tanto tempo. Com a medida da circunferência 
calculada é possível agora calcular o diâmetro, o raio, o volume e a 
área da superfície, por meio de fórmulas simples. 
Sabemos que o comprimento de uma circunferência é obti-
do por 2 TRπ , que em graus corresponde a 360°. Assim, se realizar-
mos uma proporção considerando o comprimento do arco de 7°, 
obtido por Erastóstenes equivalente a 800.000 metros, teremos: 
800.000 360º2 7º 800.000 360º 6.548.000
2 7T
R R mπ
π
⋅
∴ ⋅ = ⋅ ∴ = =
⋅
O valor do raio da Terra RT = 6.548km é o valor obtido em 234 
a.C. e o raio da Terra RT = 6.378km é o valor moderno obtido com a 
utilização de instrumentos de medida mais precisos. Observe que 
o conhecimentoutilizado por Erastóstenes (retas paralelas corta-
das por uma transversal) é formalmente adquirido hoje nas aulas 
de Geometria do Ensino Fundamental e Médio. 
Outro notável matemático da Antiguidade foi Euclides, que 
se destacou como mestre de Matemática na escola de Alexandria, 
então o maior centro de cultura helenística. Escreveu a obra Os Ele-
mentos, em grego, que é, depois da Bíblia, o livro com maior nú-
mero de edições na história do mundo Ocidental. A sua impecável 
estrutura lógica conferiu-lhe uma vitalidade surpreendente que, por 
meio dos séculos, o conservou como livro básico de estudo até hoje 
em nossas escolas. A Geometria que é ensinada nas escolas de qua-
se todo o mundo é inspirada nos textos de Geometria Euclidiana. 
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Euclides nasceu na Síria e era descendente de pais gregos. 
Estudou em Atenas e foi chamado pelo rei Ptolomeu I do Egito 
(306-283 a.C.) para ensinar Geometria e Aritmética na escola de 
Alexandria. Conta-se que o jovem faraó Ptolomeu, desejando pe-
netrar naquele mundo fascinante de linhas e círculos, pediu a Eu-
clides que adotasse um método mais fácil para ele aprender Geo-
metria, ao que Euclides, teria respondido: "Não existem estradas 
régias para chegar a Geometria".
Os Elementos são constituídos por treze livros, além de dois 
outros que teriam sido publicados muito depois de Euclides (275 
a.C), no qual são descritos uma apresentação sistemática das pro-
priedades, teoremas, axiomas e postulados da Geometria métrica.
A seguir, transcrevemos a definição de ângulo plano, retira-
do do livro I de Os Elementos:
Ângulo plano retilíneo é a inclinação recíproca de duas linhas retas, 
que se encontram, e não estão em direitura uma com outra. Se 
alguns ângulos existirem no mesmo ponto B, cada um deles vem 
indicado com três letras do alfabeto; e a, que estiver no vértice do 
ângulo, isto é, no ponto no qual se encontram as retas, que formam 
o ângulo, se põe no meio das outras duas; e destas uma está posta 
perto de uma das descritas retas, em alguma parte, e a outra perto 
da outra linha. Assim o ângulo feito pelas retas AB, CB representar-
-se-á com as letras ABC, ou CBA; o ângulo formado pelas retas AB, 
DB, com as letras ABD, ou DBA; e o ângulo que fazem as retas DB, 
CB, com as letras DBC, ou CBD. Mas, se um ângulo estiver separado 
de outro qualquer, poder-se-á marcar com a mesma letra, que es-
tiver no vértice, como o angulo no ponto E (EUCLIDES, 1944, p. 4). 
Na mesma obra, observe a definição de ângulo reto:
Quando, uma linha reta caindo sobre outra linha reta, fizer com esta, 
dois ângulos iguais, um de uma, e outro de outra parte, cada um 
destes ângulos iguais se chama ângulo reto; e a linha incidente se diz 
perpendicular á outra linha, sobre a qual cai (EUCLIDES, 1944, p. 5). 
Note que a transcrição de alguns postulados era de difícil 
entendimento: "Pede-se como coisa possível, que se tire de um 
ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta" (EUCLI-
DES, 1944, p. 7). Na verdade, esse postulado enuncia que por dois 
pontos distintos é possível traçar uma única reta. 
46 © Metodologia do Ensino da Geometria
Observe também que o postulado "E que uma linha reta de-
terminada se continue em direitura de si mesma, até onde seja 
necessário" pode ser interpretado como "uma reta é infinita" (EU-
CLIDES, 1944, p. 7). 
Nestas transcrições, observa-se a grande dificuldade na épo-
ca de se descrever uma definição geométrica sem, no entanto, lan-
çar mão de desenhos geométricos.
Outros conceitos geométricos da antiguidade são ampla-
mente estudados na Geometria da atualidade. A razão áurea (ou 
número de ouro) tem sido um desses conceitos que determina 
uma proporção entre dois segmentos ou duas medidas equivalen-
te a 1,618: 1, e é identificada por Phi (lê-se Fi).
Se em um retângulo, ao se dividir o lado maior pelo menor, 
temos como resultado o número 1,618, dizemos que estamos pe-
rante um retângulo de ouro, que nos cânones estéticos da antiga 
Grécia era o mesmo que dizer proporção perfeita.
Figura 14 Proporção áurea – número de ouro ou razão áurea – proporção perfeita.
Platão (427 a.C. – 347 a.C.) fundou uma academia orientada 
por propósitos sistemáticos de investigação científica e filosófica, 
em cuja entrada havia a seguinte mensagem: "que aqui não aden-
trem aqueles não versados em geometria". Sua academia foi o elo 
47
Claretiano - Centro Universitário
© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
da matemática pitagórica com a escola de Alexandria. Aristóteles 
(384 a.C. – 322 a.C.), que embora não fosse um matemático de-
clarado, foi o sistematizador da lógica dedutiva. Em 306 a.C. Pto-
lomeu começa a construir a famosa Universidade de Alexandria, 
com salas de aula, laboratórios, jardins, biblioteca que ostentava 
mais de 600.000 rolos de papiro. 
Euclides foi escolhido para chefiar o departamento de ma-
temática. Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente 
usado e estudado e, provavelmente, nenhum exerceu influência 
maior no pensamento científico do que Os Elementos de Euclides.
6. PROBLEMÁTICA DO ENSINO DA GEOMETRIA
Possuir conhecimento básico de Geometria é fundamental 
para os alunos interagirem adequadamente com o meio em que 
vivem, assim como para iniciarem um estudo mais formal desse 
conteúdo. 
Os conhecimentos básicos, que compreendem propriedades, 
conceitos geométricos e suas relações, deveriam, geralmente, ser 
adquiridos pelo aluno por meio das experiências geométricas su-
postamente vivenciadas durante sua escolaridade no Ensino Fun-
damental e Médio. No entanto, observa-se que os alunos possuem 
grandes deficiências em relação à compreensão da Geometria. 
Na prática em sala de aula, é possível perceber que esses fu-
turos professores apresentam um conhecimento geométrico mui-
to restrito, evidenciando que a Geometria não tem sido adequa-
damente ensinada como deveria no Ensino Fundamental e Médio. 
Constata-se que os alunos ingressantes nos cursos de Licen-
ciatura em Matemática chegam à universidade sem atingir níveis 
básicos de conhecimento e compreensão da Geometria que lhes 
possibilitem um razoável entendimento dos conteúdos ministrados. 
48 © Metodologia do Ensino da Geometria
Os holandeses Dina e Pierre Marie Van Hiele iniciaram, por 
volta de 1957, uma pesquisa para responder à questão: por que 
os estudantes entendem tão pouco de Geometria? Após 27 anos 
de pesquisa, eles dividiram o conhecimento geométrico em cinco 
níveis de compreensão hierarquizados. Segundo o modelo, não se 
atinge um nível sem dominar os anteriores (RIBEIRO, 2005). 
De acordo com a teoria de Van Hiele, existem cinco níveis de 
aprendizagem geométrica ou níveis de desenvolvimento do pen-
samento geométrico: 
1) Nível 1 (ou nível básico): agrega alunos que só conse-
guem reconhecer ou reproduzir figuras. 
2) Nível 2: composto por alunos que conseguem perceber 
características das figuras e descrever algumas de suas 
propriedades. 
3) Nível 3: alunos que ordenam logicamente as proprieda-
des das figuras. 
4) Nível 4: alunos que conseguem construir demonstrações. 
5) Nível 5: alunos que, não só constroem demonstrações, 
mas também conseguem comparar diferentes sistemas 
axiomáticos. 
Assim, nossos alunos pouco dominam os conceitos elemen-
tares e fundamentais da Geometria. Também não compreendem 
os objetos geométricos, confundindo propriedades do desenho 
com propriedades do objeto.
Infere-se, portanto, que esses alunos estariam incluídos, de 
acordo com os níveis de Van Hiele, no primeiro nível (nível básico) 
ou mesmo no segundo nível.
Em grande parte, toda essa problemática tem como origem 
os programas e práticas de nossas instituições de ensino. Nelas, a 
Geometria é abordada pelo professor de forma tradicional, apre-
sentando demonstrações com argumentos ordenados e prontos. 
Exemplo disso é o quadrado com lados paralelos às bordas da fo-
lha de papel, retângulos sempre com dois lados diferentes,alturas 
em triângulos sempre acutângulos, entre outros. 
49
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© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
Isso induz o aluno a não reconhecer estes desenhos quando 
apresentados em outras situações. Agravando ainda mais a situa-
ção, a posição relativa do desenho ou seu traçado particular passa 
a fazer parte das características do objeto, tanto no aspecto con-
ceitual quanto no aspecto figural. 
Que a Geometria é um importante campo do conhecimento 
matemático não se questiona. Segundo Michel Atiyah (1976), "[...] 
é justamente a Geometria que, por um lado evoca a intuição e 
conduz ao descobrimento, e por outro, permite a conexão entre o 
mundo físico e a matemática". 
Lorenzato (1995) destaca que, para justificar a necessidade 
do ensino geométrico na sala de aula, bastaria o argumento de 
que sem estudar Geometria as pessoas não desenvolvem o pensar 
geométrico ou o raciocínio visual. Portanto, sem essa habilidade, 
elas dificilmente conseguirão resolver as situações de vida geome-
trizadas; também não poderão se utilizar da Geometria como fator 
altamente facilitador para a compreensão e resolução de questões 
de outras áreas do conhecimento humano.
Em 1921, Einstein, assim, pronunciou-se sobre a Geometria: 
"Atribuo especial importância à visão que tenho da Geometria, porque 
sem ela eu não teria sido capaz de formular a teoria da relatividade".
Tendo a Geometria relevante importância no desenvolvi-
mento mental do aluno, na resolução de problemas, por que en-
tão a Geometria foi e tem sido relegada a um plano secundário no 
ensino matemático?
Lorenzato (1995) destaca que o ensino da Geometria, se 
comparado com o ensino de outras áreas da Matemática, tem sido 
o mais problemático. No Brasil, a Geometria está ausente ou qua-
se ausente da sala de aula. 
Vários trabalhos de pesquisadores brasileiros, entre eles Peres 
(1991) e Pavanelo (1993), citados por Lorenzato (1995), confirmam 
essa lamentável realidade educacional, que possui inúmeras causas. 
50 © Metodologia do Ensino da Geometria
A primeira causa dessa omissão é que os professores não de-
têm os conhecimentos geométricos necessários para a realização 
de suas práticas pedagógicas, portanto, esses professores estão 
diante de um dilema educacional: tentar ensinar Geometria sem 
conhecê-la ou então não ensiná-la. 
A segunda causa deve-se à exagerada importância que de-
sempenha o livro didático em nosso meio educacional. Em muitos 
deles, a Geometria é apresentada apenas como um aglomerado de 
definições, propriedades, nomes e fórmulas, desligados de quais-
quer aplicações ou explicações de natureza histórica ou lógica. 
A terceira causa é o currículo dos cursos de formação de fu-
turos professores de Matemática. Neles, a Geometria possui uma 
frágil posição, quando consta do currículo. Como ninguém pode 
ensinar bem aquilo que não conhece, aí está mais uma razão para 
o atual esquecimento geométrico no ensino matemático. 
Nos programas e guias curriculares, a Geometria é apresen-
tada rigidamente separada da Aritmética e da Álgebra. O movi-
mento da Matemática Moderna também contribuiu para o atu-
al caos do ensino da Geometria. Antes de sua chegada ao Brasil, 
nosso ensino geométrico era marcadamente lógico-dedutivo, com 
demonstrações não apreciadas pelos nossos alunos. 
A proposta da Matemática Moderna de algebrizar a Geo-
metria não vingou no Brasil, mas conseguiu eliminar os modelos 
anteriores, criando, assim, uma lacuna nas práticas pedagógicas 
que perdura até os nossos dias, surgindo um ciclo vicioso, no qual 
a geração que não estudou Geometria não sabe como ensiná-la. 
A Geometria é a mais eficiente conexão didático-pedagógica 
que a Matemática possui, interligando-se com a Aritmética e com 
a Álgebra. Portanto, os objetos e as relações geométricas são im-
portantes instrumentos de apoio para a compreensão e o enten-
dimento daquelas. 
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© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
Dessa maneira, conceitos, propriedades e questões aritmé-
ticas ou algébricas podem ser ilustrados, facilitados ou realçados 
pela Geometria. Em contrapartida, podemos associar figuras geo-
métricas a equações, do mesmo modo que associamos pontos a 
pares ordenados de números reais, por exemplo. 
Essa associação entre figuras geométricas e equações, per-
mite-nos utilizar os recursos da Álgebra no tratamento de proble-
mas geométricos, dando origem à Geometria Analítica. 
É preciso, portanto, um amplo e contínuo esforço, de dife-
rentes áreas educacionais, para que mudanças se efetivem no atu-
al quadro do ensino da Geometria escolar.
Para isso, é preciso identificar o ponto de equilíbrio dinâmico 
entre o intuitivo e o dedutivo, o concreto e o abstrato, o experi-
mental e o lógico, tendo em vista, uma aprendizagem significativa 
da Geometria. 
É preciso, também, modificar os currículos dos cursos de for-
mação de professores, investir fortemente no aperfeiçoamento do 
educador em exercício e lançar novas publicações com conteúdos 
geométricos tanto para alunos como para professores. 
7. IMPORTÂNCIA DO ENSINO DA GEOMETRIA
Freudenthal (1993, p. 57) eminente matemático e educador, 
destaca que a Geometria é essencialmente a compreensão do es-
paço: a criança "deve aprender a conhecer, explorar, conquistar, 
de modo a poder aí viver, respirar e mover-se melhor".
Em seus estudos, o autor destaca dois aspectos da riqueza 
geométrica que, numa análise superficial, poderiam parecer con-
traditórios, mas que, na verdade, se completam: por um lado, as 
descobertas realizadas "com os próprios olhos e mãos, são mais 
convincentes e surpreendentes"; por outro lado, salientando a ne-
cessidade de explicação lógica das suas conclusões, ele enfatiza que 
52 © Metodologia do Ensino da Geometria
a Geometria pode fazer sentir aos alunos "a força do espírito huma-
no, ou seja, do seu próprio espírito" (FREUDENTHAL, 1993, p. 58). 
A Geometria, tanto no plano quanto no espaço, possibilita 
aos alunos descobrirem propriedades, construir conceitos e explo-
rar conexões com outras disciplinas. 
A Geometria é uma especial fonte de problemas de vários 
tipos: de visualização e representação; de construção e lugares ge-
ométricos; de transformações geométricas. Além disso, permite 
inúmeras conexões com outros domínios da própria Matemática, 
tais como, a Aritmética, a Álgebra, o Cálculo Combinatório, a Aná-
lise Matemática, entre outros. 
Usiskin (1994) destaca que a Geometria se constitui como 
um importante veículo para representar conceitos matemáticos, 
cuja origem não é visual ou física. 
Como exemplo, é possível citar a reta numerada que descre-
ve o conjunto dos números reais, gráficos diversos que nos trans-
mitem mais rapidamente informações numéricas. O conceito de 
simetria, com sua origem no mundo real, é com frequência, in-
troduzido em Álgebra, como propriedade dos gráficos de certas 
funções ou relações. 
Segundo Usiskin (1994, p. 21), a Geometria é composta de 
quatro dimensões distintas de compreensão: 
[...] a geometria como visualização, construção e medida de figu-
ras (contar o número de cubos, sobre os quais estão colocados 
alguns cubos visíveis); a Geometria como estudo do mundo real, 
físico (quando observamos a regularidade dos hexágonos numa 
colméia); a Geometria como veículo para representar outros con-
ceitos matemáticos (a reta numerada descreve o conjunto dos nú-
meros reais); e a Geometria como um exemplo de sistema mate-
mático (idéias de lógica e dedução são facilmente compreendidas 
utilizando-se Geometria).
O autor destaca, ainda, que, "no estudo da Geometria, em 
geral, a visualização, o desenho e a construção de figuras devem 
ser valorizados", e salienta, que:
53
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© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
[...] embora a Geometria derive do mundo físico, suas ligações com 
esse mundo são ignoradas na grande maioria dos textos escolares 
elementares. E, mesmo quando encontradasnesses livros, as liga-
ções da Geometria com o mundo real parecem não ter uma dire-
ção muito precisa. Ordenar essas ligações é um problema curricular 
não resolvido (USISKIN, 1994, p. 21). 
Assim, vamos desenvolver algumas atividades matemáticas 
e geométricas utilizando a composição e decomposição de figuras 
planas.
8. COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE FIGURAS 
PLANAS
A decomposição e a composição de figuras geométricas 
pode constituir-se numa atividade geométrica que permite me-
lhor conhecer as propriedades e as relações entre os elementos 
das figuras. Assim, é importante que o aluno realize experiências, 
faça tentativas e corrija erros. 
Para além da intuição e imaginação necessárias à resolução 
de problemas, poderá, eventualmente, o professor interagir com 
os alunos por meio de uma análise mais detalhada das figuras, no 
sentido de justificar ou confirmar determinados resultados, pro-
priedades e conceitos inerentes às figuras geométricas.
Nesse sentido, algumas habilidades e competências geo-
métricas poderão ser alcançadas pelos alunos com a utilização da 
composição e decomposição de figuras planas, como:
1) Aptidão para realizar construções geométricas e para 
reconhecer e analisar propriedades de figuras geomé-
tricas, nomeadamente recorrendo a materiais manipu-
láveis e a softwares geométricos.
2) Aptidão para utilizar a visualização e o raciocínio espa-
cial na análise de situações e na resolução de problemas 
em Geometria e em outras áreas da Matemática.
3) Compreensão dos conceitos de comprimento e períme-
tro, área, volume e amplitude.
54 © Metodologia do Ensino da Geometria
4) Aptidão para efetuar medições e estimativas em situa-
ções diversas, bem como a compreensão do sistema in-
ternacional de unidades.
5) Predisposição para procurar e explorar padrões geomé-
tricos e o gosto por investigar propriedades e relações 
geométricas.
6) Aptidão para formular argumentos válidos recorrendo à 
visualização e ao raciocínio espacial, explicitando-os em 
linguagem corrente.
7) Sensibilidade para apreciar a geometria no mundo real 
e o reconhecimento e a utilização de ideias geométricas 
em diversas situações.
8) Sensibilidade para a ordem de grandeza de números, as-
sim como a aptidão para estimar valores aproximados 
de resultados de operações e decidir da razoabilidade 
de resultados obtidos por qualquer processo de cálculo 
ou por estimação.
9) Aptidão para concretizar, em casos particulares, relações 
entre variáveis e fórmulas e para procurar soluções de 
equações simples.
Destacam-se, a seguir, alguns objetivos que podem ser obtidos 
com a utilização da composição e decomposição de figuras planas:
1) Decompor um polígono em triângulos e quadriláteros e 
relacionar entre si as figuras obtidas.
2) Por composição de figuras, obter uma figura dada.
3) Resolver problemas, relacionando entre si, proprieda-
des das figuras geométricas.
4) Inventar um puzzle (quebra-cabeça, desafio) ou jogo ge-
ométrico.
5) Resolver problemas utilizando o processo de tentativa e erro.
Nesse sentido, vamos realizar algumas atividades de compo-
sição e decomposição de algumas figuras planas.
1) Conteúdos explorados: 
a) Figuras geométricas, composição e decomposição, área 
e perímetro, semelhança e congruência, vértices e dia-
gonais, entre outros.
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© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
2) Objetivos:
a) Trabalhar conceitos de composição e decomposição de 
figuras geométricas, de forma que os alunos percebam 
as diferentes maneiras de se compor e decompor figuras 
planas.
b) Desenvolver o raciocínio lógico e geométrico.
3) Material:
a) Quadrados no tamanho 10cm x 10cm, ou maiores, dese-
nhados como o da Figura 15, em papel de cores diferen-
tes. Tesoura e cola. Papel quadriculado.
Utilizando um quadrado recortado ao meio pelos pontos 
médios de dois de seus lados opostos, e com uma dessas metades 
recortada pela diagonal (Figura 15), resolva e responda às ques-
tões subsequentes.
Fonte: Rocha (2004, p. 26). 
Figura 15 Quadrado padrão
Utilizando todas as peças obtidas do recorte do quadrado 
da Figura 15, construa, por composição, às figuras a seguir (Figura 
16), lembrando que elas não estão em escala.
56 © Metodologia do Ensino da Geometria
(a) (b)
(c) (d)
Fonte: adaptado de Rocha (2004, p. 127). 
Figura 16 Figuras planas.
O nome de um polígono é determinado de acordo com o 
número de lados e as propriedades geométricas inerentes a ele. 
Assim, que nome recebe cada um dos polígonos representados na 
Figura 16, qual o número de diagonais e o número de vértices?
Para responder a essas perguntas fazemos:
1) Figura (a): hexágono; nove diagonais; seis vértices.
2) Figura (b): triângulo; zero diagonal; três vértices.
3) Figura (c): quadrilátero (paralelogramo); duas diagonais; 
quatro vértices.
4) Figura (d): quadrilátero (trapézio); duas diagonais; qua-
tro vértices.
Das figuras anteriores (Figura 16), quais as que não possuem 
eixo de simetria? 
A resposta seria que somente a figura (d) possui um eixo de si-
metria e, portanto, as demais figuras não possuem eixo de simetria.
Considere um triângulo do recorte do quadrado da Figura 15 
como uma unidade de área. Assim, qual é a área de cada uma das 
figuras (a), (b), (c) e (d) da Figura 16.
Observe que as três peças obtidas do recorte do quadrado 
da Figura 15 se encaixam perfeitamente nas figuras (a), (b), (c), 
57
Claretiano - Centro Universitário
© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
(d) da Figura 16. Como estamos considerando que um triângulo 
é uma unidade de área e na Figura 15 (quadrado) temos quatro 
triângulos congruentes, pode-se concluir que as áreas das figuras 
(a), (b), (c) e (d) são iguais a quatro unidades de área, como pode 
ser observado na Figura 17.
(a) (b)
(c) (d)
Fonte: adaptado de Rocha (2004, p. 127). 
Figura 17 Área das figuras planas.
Podemos também realizar outra atividade utilizando agora, por 
exemplo, um quadrado de 10cm x 10cm recortado em X, como pode ser 
observado na Figura 18, e desenvolver algumas atividades geométricas.
Fonte: adaptado de Rocha (2004, p. 127). 
Figura 18 Área das figuras planas.
58 © Metodologia do Ensino da Geometria
Compor as figuras (Figura 19), utilizando todas as peças 
do quadrado recortado, lembrando que as figuras não estão em 
escala.
(a) (b)
(c)
(d)
Fonte: adaptado de Rocha (2004, p. 128). 
Figura 19 Área das figuras planas.
O nome de um polígono é determinado de acordo com o 
número de lados e as propriedades geométricas inerentes a ele. 
Assim, que nome recebe cada um dos polígonos da Figura 19 e 
qual o número de diagonais e o número de vértices?
Para responder essas perguntas fazemos:
1) Figura (a): hexágono; nove diagonais; seis vértices.
2) Figura (b): quadrilátero (trapézio); duas diagonais; qua-
tro vértices.
59
Claretiano - Centro Universitário
© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
3) Figura (c): quadrilátero (paralelogramo); duas diagonais; 
quatro vértices.
4) Figura (d): triângulo; zero diagonal; três vértices.
Das figuras mencionadas anteriormente na Figura 19, quais 
não possuem eixo de simetria? 
A resposta seria que somente a figura (c) possui eixo de si-
metria.
Vale destacar que novas atividades podem ser desenvolvidas 
ao se explorarem outros conceitos e figuras geométricas.
9. MATEMÁTICA E ARTES VISUAIS
Algumas atividades geométricas podem ser desenvolvidas 
tendo como contexto as artes visuais. De modo geral, os mosaicos, 
mostram a relação simétrica e harmônica existente entre a Mate-
mática e a Arte. 
Assim, é possível apresentar a Geometria ao aluno como 
parte integrante do conhecimento matemático e da construção 
cultural e artística da humanidade. Desse modo, resgata-se no 
educando o pensamento geométrico, a capacidade de interpreta-
ção e intervenção no espaço em que vive. 
Devemos, por isso, adicionar ao estudo da Geometria a visu-
alização, a representação, a manipulação dos objetos, bem como 
a criação de novos objetosque estão associados aos fenômenos 
físicos, naturais, sociais e culturais do indivíduo e do meio em que 
vive. 
Maurits Cornelis Escher (2010) soube muito bem trabalhar a 
perspectiva, a tridimensionalidade, conceitos e propriedades geo-
métricas de figuras planas para compor seus mosaicos, como pode 
ser observado nas imagens da Figura 20. Uma verdadeira obra de 
arte.
60 © Metodologia do Ensino da Geometria
Fonte: Escher, (2010).
Figura 20 Mosaicos de Escher.
Objetivando fixar os conceitos e conhecimentos adquiridos 
nesta unidade, proponho que leia e responda às questões avaliati-
vas que se seguem.
10. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS 
Sugerimos que você procure resolver e responder as ques-
tões a seguir que tratam da temática desenvolvida nesta unidade, 
ou seja, da aprendizagem de conteúdos geométricos.
A autoavaliação pode ser uma ferramenta importante para 
você testar o seu desempenho. Se você encontrar dificuldades em 
responder a essas questões, procure revisar os conteúdos estuda-
dos para sanar as suas dúvidas. Esse é o momento ideal para que 
você faça uma revisão desta unidade. Lembre-se de que, na edu-
cação a distância, a construção do conhecimento ocorre de forma 
cooperativa e colaborativa; compartilhe, portanto, as suas desco-
bertas com os seus colegas.
Confira, a seguir, as questões propostas para verificar o seu 
desempenho no estudo desta unidade: 
1) Verifique se as medidas 26, 65 e 70 são lados de um triângulo retângulo. 
Justifique sua resposta.
2) Se uma escada de 13 metros está encostada numa parede, com seu "pé" 
a 5 metros dessa parede, a que altura da parede a escada está encostada? 
Justifique sua resposta. 
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© U1 – Desenvolvimento Histórico da Geometria
3) Na determinação da altura de um monumento ou da distância de uma em-
barcação à praia, além do conceito de triângulo retângulo, quais outros con-
ceitos geométricos são considerados? Justifique sua resposta.
4) Quais as principais dificuldades encontradas pelos alunos no aprendizado de 
conteúdos geométricos? Justifique sua resposta.
5) Por que a Geometria foi e tem sido relegada a um plano secundário no ensi-
no matemático? Justifique sua resposta.
6) Por que muitos alunos do Ensino Fundamental e Médio não aprendem de-
vidamente Geometria? Quais as principais dificuldades encontradas pelos 
alunos no aprendizado da Geometria, suas causas e consequências? O aluno 
não aprende Geometria porque o professor não ensina? E o professor, não 
ensina porque não aprendeu? O que está oculto no aprendizado e na com-
preensão da Geometria? Justifique sua resposta. 
7) Defina simetria. Justifique sua resposta.
11. CONSIDERAÇÕES
Com o estudo desta unidade, realizamos um breve retros-
pecto histórico da Geometria e conhecemos alguns problemas ge-
ométricos que foram solucionados com hábil inteligência. 
Vimos que algumas atividades em sala de aula podem ser 
inseridas de acordo com fatos históricos da Geometria, por exem-
plo, a determinação da altura de um monumento ou a largura de 
um rio. Realizamos também algumas atividades geométricas de 
exploração de conceitos utilizando a composição de figuras planas. 
12. E-REFERÊNCIAS
Lista de figuras
Figura 5 Papiro de Rhind. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/
seminario/rhind/images/48.gif>. Acesso em: 6 jan. 2012. 
Figura 6 Papiro de Moscou. Disponível em: <http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/
historia/imagens/ht_moscou.gif>. Acesso em: 13 dez. 2011.
Figura 7 Tábua "Plimpton 322". Disponível em: <http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/
m446-03/pl322/322.jpg>. Acesso em: 13 dez. 2011.
62 © Metodologia do Ensino da Geometria
Figura 13 Esquema imaginado por Eratóstenes. Disponível em: <http://www.zenite.nu/
figs/f08/sombras.gif>. Acesso em: 9 jan. 2012.
Figura 14 Proporção áurea – número de ouro – proporção perfeita. Disponível em: 
<http://www.matematicahoje.com.br/imagens/rev_aureo04.gif>. Acesso em: 13 dez. 
2011.
Sites pesquisados
DMAT – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. Livro I dos elementos de Euclides. Disponível 
em: <http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/euclid/1parte.html>. Acesso em: 13 dez. 2011.
SÓ MATEMÁTICA. História da geometria. Disponível em: <http://www.somatematica.
com.br/geometria.php>. Acesso em: 13 dez. 2011.
ZÊNITE. Medida do raio da Terra. Disponível em: <http://www.zenite.nu/>. Acesso em: 
13 dez. 2011.
13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998.
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______. Para aprender matemática. Campinas, São Paulo: Autores Associados, 2006.
______. O laboratório de ensino de Matemática na formação de professores. Campinas, 
São Paulo: Autores Associados, 2006.
PASSOS, C. L. B. Representações, interpretações e prática pedagógica: a geometria na sala 
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