Mecanismos da Fratura_Cap_3_fratura elástica

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3333. . . . NOÇÕES DE NOÇÕES DE NOÇÕES DE NOÇÕES DE MECÂNICA DA FRATURAMECÂNICA DA FRATURAMECÂNICA DA FRATURAMECÂNICA DA FRATURA ELASTO ELASTO ELASTO ELASTO----PLÁSTICAPLÁSTICAPLÁSTICAPLÁSTICA / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira 
 
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3. NOÇÕES DE MECÂNICA DE FRATURA ELASTO-PLÁSTICA 
 
3.1. Introdução 
3.2. Deslocamento de abertura da ponta da trinca (CTOD) 
3.3. Integral J 
3.4. Relação entre CTOD e J 
3.5. Referências Bibliográficas 
 
 
3.1. Introdução 
 
A mecânica da fratura é uma ferramenta poderosa usada na avaliação da 
confiabilidade e vida de estruturas e na seleção de materiais. A mecânica da fratura elástica 
linear estabelece critérios de falha para uma classe limitada de problemas; aqueles que se 
referem a corpos trincados com escoamento em pequena escala onde a região plástica na 
ponta da trinca é pequena quando comparada com a menor dimensão do espécime. Assim, 
como visto anteriormente, a mecânica da fratura elástica linear aplica-se aos materiais de 
baixa tenacidade, o que representa uma séria restrição. Foram desenvolvidos critérios de 
prevenção de fratura em situações de escoamento em pequena e grande escala, no sentido 
de ampliar o campo de aplicação da mecânica de fratura; com isso surgiu a mecânica de 
fratura com escoamento ou mecânica de fratura elasto-plástica. A figura 3.1 mostra, 
esquematicamente, o campo de aplicação da mecânica de fratura elasto-plástica. 
 
Na mecânica de fratura elástica linear o campo de tensões e de deformações na 
ponta da trinca é único e é caracterizado pelo parâmetro K - fator de intensidade de tensão. 
 
 
 
Figura 3.1. Representação esquemática dos regimes de comportamento na fratura, 
mostrando os campos de aplicação da mecânica de fratura elástica linear e elasto-plástica. 
 
Wells [15] estabeleceu que também há um único campo de tensão e deformação na 
ponta da trinca quando a fratura ocorre com escoamento em grande escala e que este 
campo pode ser caracterizado pelo deslocamento de abertura da ponta da trinca (CTOD) na 
interface com a zona plástica, criando, com isso, a mecânica de fratura com escoamento. 
Hutchinson, Rice e Rosengren mostraram que, para condições de escoamento em grande 
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escala, a integral J - definida por Rice - também caracteriza o campo de tensões e 
deformações na ponta da trinca [15]. 
 
3.2. Deslocamento de abertura da ponta da trinca (CTOD) 
 
No desenvolvimento do CTOD várias definições físicas do mesmo tem sido 
propostas, sendo que as mais importantes estão ilustradas na figura 3.2. 
 
 
 
Figura 3.2. Várias definições físicas do CTOD: a) primeira idealização; b) foram mais 
realista; c) interface elasto-plástica; d) CTOD tangente; e) CTOD na posição da ponta da 
trinca original; f) CTOD formando um ângulo de 90º com a ponta da trinca /36/. 
 
As duas definições de CTOD mais importantes são: 
 
a) o deslocamento da posição da ponta da trinca original, proposto por Dawes, e ilustrado 
na Figura 3.2.e. Nessa definição o movimento da ponta da trinca é causado pela contração 
do material na zona plástica e não pela formação de novas superfícies da trinca por 
crescimento estável. No ensaio de tenacidade à fratura para a determinação do CTOD 
crítico o movimento da ponta da trinca pode ser identificado na região entre a pré-trinca de 
fadiga e o posterior crescimento da trinca instável ou estável, sendo que esta região é 
conhecida por zona estirada (“streched zone”) - (ver Figura 3.3). Esta região, na superfície 
de fratura, corresponde então ao arredondamento da ponta da trinca; 
b) o deslocamento medido em uma posição que forma um triângulo retângulo com a ponta 
da trinca, proposto por Rice, e ilustrado na Figura 3.2.f. 
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Figura 3.3. Formação e definições da zona estirada. a) -d) formação da zona estirada com o 
aumento da carga; e) definições dos parâmetros da zona estirada; f) e g) efeito do ângulo 
de observação da amostra sobre as dimensões da zona estirada. 
 
 O CTOD relaciona-se com G1 (força de extensão da trinca) e com K de acordo com 
a equação (3.1). 
 
( )CTOD
G K
E
I
e
I
e
= = −
λσ λ σ
υ
2
21 (3.1) 
 
na qual λ é um fator que depende do local exato onde CTOD é determinado, ou seja, do 
local que está sendo considerado como ponta da trinca. Na tabela 3.2 encontram-se alguns 
valores de λ. 
 
Em mecânica da fratura elástica linear o critério de fratura estabelece que a trinca 
começa a se propagar quando o fator de intensidade de tensão (K
I
) atinge um valor crítico 
que define a tenacidade à fratura em deformação plana (KIC). A Equação (3.1) mostra que 
quando K
I
 atinge o valor crítico K
IC
, o CTOD também atinge um valor crítico, o que faz 
com que o CTOD seja também um critério de fratura. 
 
A medição experimental do CTOD é praticamente impossível; o que se faz, nos 
ensaios de tenacidade à fratura, é medir o valor do COD - deslocamento de abertura da 
boca da trinca e correlacioná-lo com o CTOD - deslocamento de abertura da ponta da 
trinca. 
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Tabela 3.1. Valores de λλλλ na Equação (3.1) [15]. 
 
Autor Método λ 
Broek estereoscopia 2,3 
Spitzig microscopia eletrônica de transmissão 1,8 
Bates e Clark microscopia eletrônica de transmissão 2,6 
Schwalbe microscopia eletrônica de varredura 2,3 
Robinson e Tetelman infiltração de borracha de silicone 0,97 
Levy et al elementos finitos 2,14 
Sumpter et al elementos finitos 1,15 
 
Nota-se, na tabela 3.1, que os valores de λ estão distribuídos em torno de 2, sendo 
que a “British Standard Institution’’ - BS5762: 1.979 - estabeleceu, em sua primeira 
proposta de determinação do CTOD, este valor de λ para o cálculo do componente elástico 
do CTOD. 
 
Em um ensaio de tenacidade à fratura de metais de média e alta tenacidade, quando 
a carga é aumentada para as condições de escoamento generalizado, as cargas admissíveis 
tendem a um valor limite enquanto o valor do CTOD aumenta continuamente até a 
condição de falha ser atingida; isto faz com que o método CTOD possa se estender desde a 
faixa elástica - onde a mecânica de fratura elástica linear aplica-se - até as condições onde 
ocorre escoamento generalizado do material nas proximidades da trinca [15]. 
 
3.3. Integral J 
 
Uma aproximação alternativa para estabelecer critérios de fratura em condições 
elasto-plásticas é a utilização da integral J, introduzida por Rice em 1968, e que é definida 
para problemas bidimensionais e dada por [8]: 
 
 
 
na qual Γ é um contorno ao redor da trinca na direção anti-horária como mostrado na 
Figura 3.3.a; W é a energia de deformação por unidade de volume ou densidade de energia 
de deformação, definida, na forma tensorial, por [8]: 
 
∫=
mn
o ijij
dW
ε
εσ (3.3) 
 
sendo que 
−
T é o vetor de tração definido pela normal 
−
n , ao longo de Γ, jiji nT ⋅= σ ; 
−
u é o 
vetor deslocamento e ds é um elemento de comprimento do arcoao longo de Γ. Como 
material elasto-plástica, entende-se um material elástico não linear exibindo uma resposta 
linear e a partir daí uma superfície de escoamento com endurecimento não linear. 
 
Para um contorno fechado Rice demonstrou que J = 0. Considerando, agora, a 
trinca mostrada na Figura 3.3.b com dois contornos Γ1 e Γ2 ao seu redor. Para a linha 
(3.2) 
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ABCDEFA tem-se J = 0, pois o contorno é fechado. Como as linhas AF e CD estão sobre a 
superfície da trinca, 
−
T e dy são iguais a zero e não contribuem no valor de J. Então 
)(J)(J 21 ΓΓ −= J, ou seja, o valor de J é independente do caminho quando considerado ao 
redor da ponta da trinca. 
 
 
 
Figura 3.3. Contorno ao redor da ponta de uma trinca definindo a integral J (a) e dois 
contornos diferentes (Γ1 e Γ2) ao redor da ponta dessa trinca (b). 
 
Como J independe do caminho, ela pode ser avaliada para um contorno 
conveniente, onde a integração pode ser executada sem grandes dificuldades. 
 
Usando espécimes de dois tipos de aço, Ni Cr Mo V e A 533-B, Begley e Landes 
[15] mostraram por meio de experiências, que o valor de JIC obtido a partir de pequenos 
espécimes é substancialmente igual ao valor de GIC obtido previamente de muitos 
espécimes grandes. Em outras palavras: 
 
JIC(p) = GIC (g) = 
( )K IC2 21− υ
Ε
 (3.4) 
 
na qual p e g indicam, respectivamente, espécimes pequenos e grandes; JIC é o valor crítico 
de J no qual a trinca começa a se propagar, sendo semelhante para os casos elástico e 
elásto-plástico. Rice mostrou, ainda, que para condições elásticas J é equivalente à taxa de 
dissipação de energia potencial com o crescimento da trinca, ou seja: 
 
G
a
U
J E =−=
δ
δ
 (3.5) 
 
sendo que a equação (3.5) é semelhante à equação (2.12). Entretanto, no caso geral, a 
equação (3.5) é válida também para as situações onde ocorre apreciável deformação 
plástica na ponta da trinca, o que está de acordo com as observações experimentais de 
Begley e Landes [15] - equação (3.4). 
 
Uma interpretação física de J pode ser feita por meio da curva carga-deslocamento 
para espécimes cujo crescimento da trinca se dá estavelmente. Na Figura 3.4.a a área 
tracejada é igual a: aBJ δ⋅⋅ . 
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Figura 3.4. Interpretação física esquemática da integral J (a) e configuração esquemática da 
trinca (b). B é a espessura do espécime. 
 
Originalmente, o método de ensaio para obter JIC baseava-se na equação (3.5). A 
Figura 3.5 ilustra três curvas carga-deslocamento para espécimes solicitados à tração e com 
diferentes comprimentos de trinca; o esquema da Figura 3.5.b mostra a energia potencial 
por unidade de espessura do espécime (UE) em função do comprimento da trinca, para 
valores de deslocamento fixados. 
 
 
 
Figura 3.5. Diagramas esquemáticos mostrando a carga em função do deslocamento 
(a); a energia potencial em função do comprimento da trinca (b) e a integral J em 
função do deslocamento (c). 
 
Como a/UJ E δδ−= , pode-se, a partir da Figura 3.5.b, chegar na Figura 3.5.c que 
mostra esquematicamente J em função do deslocamento u, para diferentes comprimentos 
da trinca. JIC pode ser determinado pela medida do deslocamento quando a trinca começa a 
se propagar. O método de determinar JIC, acima descrito, apresenta grande dificuldade 
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além de ser difícil observar quando a trinca começa a se propagar. Atualmente, existe 
técnicas normalizadas para se determinar esse parâmetro que são muito mais simples. 
 
 Torna-se importante salientar que as integrais de linha energéticas, descrevendo o 
desenvolvimento da plasticidade em espécimes entalhados, foram inicialmente 
desenvolvidas por Eshelby e Cherepanov antes da integral J de Rice [15]. Em mecânica de 
fratura, Rice é considerado o idealizador da integral J porque McClintockd combinou sua 
teoria as soluções de tensões e deformações para um modelo na ponta da trinca não elástica 
de Hutchinson, Rice e Rosengren. Este modelo, conhecido como HRR - iniciais dos nomes 
dos autores -, mostra que as tensões e as deformações na ponta de uma trinca com 
comportamento elasto-plástico também possuem uma singularidade e podem ser 
expressadas em termos da integral J. O campo de tensões e deformações, na forma 
tensorial, são normalmente dados por [15]: 
 
( ) ( )θ
σ
σθσ ij)n(n
n
n
n
ij f
rI
J
,r
1
1
1
1
1
+⋅






+
−
−








⋅
= (3.6.a) 
 
( )
( )
( )θ
σ
θε ij)n/(
n
nI
ij grI
J
,r
11
1
1
1
+
+
− 







⋅
= (3.6.b) 
 
nas quais n é o coeficiente (ou expoente) de encruamento na relação entre a tensão 
equivalente 
−
σ e a deformação plástica equivalente p
−
ε , é dada por: 
 
n
p 





⋅=
−−−
εσσ 1 (3.7) 
 
fij(θ) e gij(θ) são funções de θ e o termo In é uma função de n e do modo de solicitação da 
trinca. Para uma trinca solicitada à tração em deformação plana In é aproximadamente 
igual a 5,0 para uma grande faixa de n [15]. 
 
 As equações (3.6.a) e (3.6.b) mostram que, em condições elasto-plásticas, os 
campos de tensões e deformações na ponta da trinca dependem, além do parâmetro J, 
também das propriedades do material, principalmente do coeficiente de encruamento. É 
importante lembrar que em condições elásticas lineares os campos de tensões e 
deslocamentos, dados pelas equações (2.17) a (2.21), dependem somente do parâmetro K. 
 
O modelo de HRR (Hutchinson, Rice e Rosengren) estabelece, então, que a fratura 
se inicia a um valor crítico de J, o que significa dizer que o mesmo evento acontece em 
espécimes diferentes, mas com idênticos valores do parâmetro de campo J; esta é a base da 
metodologia da mecânica de fratura elásto-plástica. Quando as condições na ponta da 
trinca apresentam um certo nível de triaxialidade de tensões, ou seja, quando há condições 
de deformação plana, o valor crítico de J é denominado JIC. Como a integral de linha de 
Rice é expressa somente em duas dimensões (bidimensional) a aproximação de J é, 
entretanto, limitada a problemas de deformação plana ou tensão plana generalizada. A 
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ASTM E813 - que tratava da determinação do parâmetro JIC - estabelecia, dentre outras 
coisas, que a espessura do corpo de prova (B) deve ser dada por: 
 
Β ≥ 25
JIC
y
σ
 (3.8) 
 
na qual σy é a tensão de fluxo (média aritmética entre o limite de escoamento e o limite de 
resistência à tração). Esta restrição [equação (3.8)], quando comparada com a restrição 
imposta à determinação de KIC [equação (2.29)], é bastante fraca pois admite corpos de 
prova com espessuras consideravelmente menores. A equação (3.8) foi obtida a partir de 
várias pesquisassobre a influência da espessura na tenacidade à fratura em condições 
elasto-plásticas (JIC). 
 
3.4. Relação entre CTOD e J 
 
A Equação (3.1) estabelece uma relação entre CTOD e a força de extensão da trinca 
G. Para condições elásticas Rice mostrou que J é equivalente à G - equação (3.5). Re-
arranjando as equações (3.1) e (3.5) chega-se a uma expressão do tipo: 
 
J = m σy δ (3.9) 
 
na qual σy é a tensão de fluxo (média aritmética entre σe σt), δ é o CTOD e m é um fator de 
ajuste, como λ na Equação (3.1). Castro, Spurrier e Hancock, ensaiando um aço estrutural 
em algumas temperaturas, encontraram um valor médio de m igual a 1,8. A ASTM E813 - 
81 utilizava o valor de m igual a 1 para derivar a equação da reta de arredondamento 
teórico da ponta da trinca. Mills verificou, para vários materiais com alto coeficiente de 
encruamento (entre 0,20 e 0,54), um valor de m entre 1,6 e 2,1. Robinson e Tetelman 
verificaram que em materiais de alta resistência e baixo coeficiente de encruamento o valor 
de m se aproxima de 1. No geral, o valor de m obtido por métodos analíticos, numéricos e 
experimentais está na faixa de 1 a 2,6 [15]. Torna-se importante salientar que, juntando as 
equações que relacionam δ (CTOD) com KI, JIC com KIC e J com δ, obtém-se λ σe = m σy, 
onde λ e m são os fatores de ajuste, definidos respectivamente nas equações (3.1) e (3.9). 
 
3.5. Referências Bibliográficas 
 
1. HERTZBERG, R.W. Deformation and fracture mechanics of engineering materials. 
4th Edition, John Wiley & Sons, 1996. 
2. ANDERSON, T.L. Fracture mechanics: Fundamentals and applications. 2nd 
Edition, CRC Press, 1995. 
3. KNOTT, J.F. Fundamentals of fracture mechanics. Butterworths, London, 1973, p. 
114-149. 
4. DIETER, G. E. Mechanical metallurgy. Mc-Graw - Hill Book Company, SI Metric 
Edition, 1988. 
5. Metals Handbook. 9th Edition. Vol. 8: Mechanical testing. American Society for 
Metals, 1985. 
6. ASTM E 399 - 06 Standard Test Method for Plane-strain fracture toughness of 
metallic materials. American Society for Testing and Materials, 2006. 
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7. ASTM E 1290 - 07 Standard Test Method for Crack-Tip Opening Displacement 
(CTOD) Fracture Toughness Measurement. American Society for Testing and 
Materials, 2007. 
8. ASTM E 1820 - 06 Standard Test Method for measurement of fracture toughness. 
American Society for Testing and Materials, 2006. 
9. BS 7448 Part 1: 1991. Fracture mechanics tests. British Standard, 1991. Part 1: 
Method for determination of KIC, critical CTOD and critical J values of metallic 
materials. 
10. BS 7448 Part 2: 1997. Fracture mechanics tests. British Standard, 1997. Part 2: 
Method for determination of KIC, critical CTOD and critical J values of welds in 
metallic materials. 
11. BS 7448 Part 4: 1997. Fracture mechanics tests. British Standard, 1997. Part 4: 
Method for determination of fracture resistance curves and initiation values for 
stable crack extension metallic materials. 
12. BATES, R.C. Mechanics and mechanisms of fracture. Metallurgical Treatises - 
Met. Soc. AIME, 1981, p. 551-570. 
13. ASTM E 1823 - 05 Definition of Terms Relating to Fatigue and Fracture Testing. 
American Society for Testing and Materials, 2005. (Substituiu as normas E 616 e 
E1150). 
14. PARKER, A.P. The Mechanics of fracture and fatigue. E. & F.N. Spon Ltd, USA, 
1981, p. 28-48. 
15. FERREIRA, I. Tenacidade à fratura em condições elasto-plásticas das ligas de 
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Press, 1987.