Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à saúde Aula 9: Estudo de limites e derivadas Apresentação Nesta aula, você entrará em contato com o conteúdo conhecido na matemática como Introdução ao Cálculo Diferencial, que está fundamentada em um conjunto de operações que envolvem limite, diferencial, derivada e integral. Introduziremos o primeiro destes operadores: limite. O conceito de limite é utilizado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor. Além disso, o limite é importante para estudarmos o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice da sequência cresce. Os limites são fundamentais para de�nirmos as derivadas. Posteriormente iniciaremos uma discussão sobre variação e taxas de variação de funções reais de variáveis reais, estudando em seguida as ideias e técnicas para encontrar derivadas, que compõem a área do conhecimento conhecida como Cálculo Diferencial. Aqui vamos desenvolver estratégias para recuperarmos informações sobre uma quantidade expressa por uma função no caso de conhecermos a sua taxa de variação instantânea, ou seja, sua derivada. Estabelecemos também uma relação importante entre o cálculo de derivadas e determinação de retas tangentes. Objetivos Distinguir os conceitos de função, limite, continuidade e diferenciabilidade de funções de uma variável real; Desenvolver e aplicar técnicas de cálculo de limites e derivadas; Examinar propriedades locais e globais de funções contínuas deriváveis. De�nição de limite No nosso dia a dia, usamos a palavra limite para indicar um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado. Fonte: Por mantinov / Shutterstock. Exemplo Na área de toxicologia ocupacional existe o Limite de Tolerância (LT): concentração máxima que uma substância pode alcançar no ambiente de trabalho sem que isso represente um dano à saúde do trabalhador. Quando injetamos ar em um balão de borracha ininterruptamente, há um momento em que ele estoura, pois existe o limite de elasticidade da borracha. Ao construir um elevador, um engenheiro estabelece o limite de carga que pode ser carregado. No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita. Atividade 1. Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, o preço dos aparelhos no mercado diminui. Suponha que daqui a x meses a partir de agora o preço de certo modelo seja de P x = 40 + 30 x + 1 unidades monetárias (u. m.). a) Qual será o preço daqui a 5 meses? b) Quanto cairá o preço durante o quinto mês? c) Quando o preço será de $43 u.m. d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x → ∞)? ( ) 2. Imagine que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de: P(t) = 20 - 6 t + 1 milhares. a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? b) Quanto a população crescerá durante o nono ano? c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Conceito de limite Para facilitar o entendimento, veremos dois exemplos de aplicações relacionadas aos limites. Vamos lá. Aplicação 1 Inicialmente, tomaremos a função (x pertence ao conjunto de números reais) de�nida por y = f(x) = x – 2 e determinar o valor de f(x), quando os valores de x, encontram-se muito próximos de 2. Atribuindo a x uma sequência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos valores menores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme ilustra o quadro a seguir: x f(x) 1 -1 1,5 -0,5 1,8 -0,2 1,9 -0,1 1,99 -0,01 1,999 -0,001 1,9999 -0,0001 1,99999 -0,00001 1,999999 -0,000001 Perceba que conforme os valores de x aproximam-se de 2 (dois), os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), ou seja lim x → 2 - f(x) → 0 Por outro lado, atribuindo-se a x uma sequência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos maiores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme observa-se no seguinte quadro: x f(x) 3 1 2,5 0,5 2,3 0,3 2,1 0,1 2,01 0,01 2,001 0,001 2,0001 0,0001 2,00001 0,00001 2,000001 0,000001 Novamente, os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), à medida que os valores de x aproximam-se de 2 (dois), ou seja lim x → 2 + f(x) → 0 Neste caso, escrevemos em linguagem matemática: lim x → 2 - f(x) = lim x → 2 + f(x) = lim x → 2 f(x) = 0 Limites laterais de f(x) são iguais ao limite de f(x), quando x tende para 2 e é igual a 0. Aplicação 2 Para nosso segundo exemplo, tomemos a função f(x) = x2 - 9 x - 3 . Suponha que estejamos interessados em saber de que valor se aproxima f(x) quando x se aproxima de 3. Faremos uma tabela atribuindo a x valores menores que 3. x f(x) 2,5 5,5 2,8 5,8 2,9 5,9 2,99 5,99 2,999 5,999 2,9999 5,9999 ... ... Note que, quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos aproximamos de x por valores menores do que 3. Matematicamente, representamos esta situação por: lim x → 3 - f x = 6( ) O limite de f(x) quando x tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis). Tomemos agora valores próximos a três, mas maiores que 3. x f(x) 3,4 6,4 3,2 6,2 3,1 6,1 3,01 6,01 3,001 6,001 3,0001 6,0001 ... ... Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais f(x) se aproxima de 6. Matematicamente, representamos esta situação por lim x → 3 + f x = 6 O limite de f(x) quando x tende a três pela direita é igual a 6 (seis). Estes limites são chamados limites laterais. ( ) O limite de uma função existe se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais. Simbolicamente: lim x → a f x = L ↔ lim x → a - f x = lim x → a + f x = L( ) ( ) ( ) Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que: lim x → 3 f x = 6( ) lim x → 3 - f x = 6( ) Pois lim x → 3 + f x = 6( ) Atenção Limites laterais são obtidos quando se considera os valores menores que x (limite de f(x), quando x tende a 3 pela esquerda) e quando considera-se os valores maiores que x (limite de f(x), quando x tende a 3 pela direita). Fonte: Por Peter Gudella / Shutterstock. Atividade 3. Assista ao vídeo Introdução a Limite <https://www.comofaz.com.br/video/introducao-a-limite > e depois faça o a atividade. Analise a função y, de�nida por, y = f x = x2 - 1 x - 1 , quando x tende para 1.( ) Limite de uma função https://www.comofaz.com.br/video/introducao-a-limite A ideia precisa do limite foi formalizada pelo matemático francês Cauchy (1789-1857). Dizemos que a função f(x) tem como limite o número L quando x tende para o número p. Ela é descrita da seguinte forma: lim x → p f x = L Os valores de x podem se aproximar do valor de p pela direita ou pela esquerda. Estudaremos estes casos precisamente em limites laterais. ( ) Augustin-Louis Cauchy. (Paris, 21 de agosto de 1789 — Paris, 23 de maio de 1857) | Fonte: https://pt.wikipedia.org/ <https://pt.wikipedia.org/wiki/Augustin- Louis_Cauchy > Veja a aplicação a seguir: Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja pela direita (valores superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2). Seja a função f(x) = 2x+1, calcule utilizando a ideia intuitiva de limite: limx→2(2x+1) https://pt.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Esquerda (2-) x 2x + 1 1 2 . 1 + 1 = 3 1,5 2 . 1,5 + 1 = 4 1,7 2 . 1,7 + 1 = 4,4 1,8 2 . 1,8 + 1 = 4,6 1,9 2 . 1,9 + 1 = 4,8 1,95 2 . 1,9 5 + 1 = 4,9 1,99 2 . 1,99 + 1 = 4,98 ... ... 2 5 Direita (2+) x 2x + 1 3 2 . 3 + 1 = 7 2,5 2 . 2,5 + 1 = 6 2,1 2 . 2,1 + 1 = 5,2 2,01 2 . 2,01 + 1 = 5,02 2,001 2 . 2,001 + 1 = 5,002 2,0001 2 . 2,0001 + 1 = 5,0002 2,00001 2 . 2,00001 + 1 = 5,00002 ... ... 2 5 Assim, substituindo estes valores, observamos que quando x se aproxima de 2 a função f(x) se aproxima de 5. Como o Domínio de f(x) = 2x + 1 são todos os Reais, temos lim x → 2 2x + 1= 2 · 2 + 1 = 5( ) Atividade 4. Resolva o limite da função: lim x → 1 x 2 - 4 =( ) Propriedades operatórias dos limites A seguir veremos quais são as propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem utilizar a pesquisa do número L, que aparece na de�nição de limite. Clique nos botões para ver as informações. Se ,entao L = L (Teorema da Unicidade do limite). Propriedade 1 lim x → a f x = L1 e lim x → a f x = L2( ) ( ) 1 2 Sejam a e c números reais quaisquer, então lim x → a c = c, isto é, o limite de uma constante é a própria constante. Propriedade 2 Se a, b, m são números reais, então: Exemplo: Propriedade 3 lim x → a mx + b = ma + b( ) lim x → 4 3x + 5 = 3 · 4 - 5 = 7( ) Propriedade 4 Se limx → af(x) = L e limx → ag(x) = M, então: a) limx → a[f(x) ± g(x)] = L + M b) limx → a[f(x). g(x)] = L. M c) limx → a f ( x ) g ( x ) = L M , desde que M ≠ 0 d) limx → a[f(x)]n = Ln, para todo n inteiro positivo e) limx → a n √f(x) = n √L, desde que L > 0 para n par f) limx → a ln[f(x)] = lnL, desde que L > 0 g) lim x → a e f ( x ) = e L Exemplo: Determine o seguinte limite: limx → 2 x2 - 3x + 1 = limx → 2x2 - limx → 23x + limx → 21 = 22 - 3 · 2 + 1 = - 1 Vemos neste exemplo que o valor de limx → af(x) = f(a) Isto ocorre para todos os polinômios. ( ) Então, temos: Teorema I Se f é uma função polinomial, então: limx → af(x) = f(a) Exemplos: 1) limx → 2 x2 - 5x + 1 = 22 - 5 · 2 + 1 = - 5 ( ) Teorema II Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então: limx → aq(x) = q(a) Atividade 5. Calcule limx → 3 5x2 - 2x + 1 6x - 7 Derivadas O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, que está presente no cotidiano das pessoas, por exemplo: Taxa de redução da mortalidade infantil. Taxa de variação de temperaturas. Taxa de crescimento econômico do país. Taxa de crescimento de uma certa população. Poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento [Bornatto]. Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a de�nição matemática da derivada de uma função em um ponto. Exemplo Se uma função f é de�nida em um intervalo aberto contendo x , a derivada de f em x , denotada por f ’(x ), é dada por: f ' x0 = limx → x0 f ( x ) - f x0 Δx Se este limite existir, Δx representa uma pequena variação em x, próximo de x , ou seja, tomando x = x + ∆x (∆x = x – x ), a derivada de f em x pode também ser expressa por f ' x0 = limx → x0 f ( x ) - f x0 x - x0 Notações para a derivada de uma função f(x): f ' x0 , df dx x = x0 , df dx 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) | Interpretação física A derivada de uma função f em um ponto x fornece taxa de variação instantânea de f em x [Friedli, S, 2013].0 0 Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y = f(x). Se x variar de um valor x até um valor x , representaremos esta variação como x, que também é chamada de incremento de x, por Δx = x - x , e a variação de y é dada por Δy = f(x )- f (x ), o que é ilustrado na �gura a seguir: 0 1 1 0 1 0 Interpretação física da derivada. | Fonte: Friedli, 2013. O quociente das diferenças, dado por Δy Δx = f x1 - f x0 x1 - x0 , é dito taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [x , x ]. O limite destas taxas médias de variação, quando Δx → 0, é chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x = x . Assim, temos a taxa de variação instantânea. ( ) ( ) 0 1 0 limx → x0 f x1 - f x0 x1 - x0 = limΔx → 0 f x0 + Δx - f x0 Δx Porém, limΔx → 0 f x0 + Δx - f x0 Δx = f' x0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Portanto, a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto é dada pela sua derivada neste ponto. Veja os dois exemplos a seguir: Clique nos botões para ver as informações. Para calcular a derivada de y = f (x) = x , escrevemos primeiro a taxa média de variação de f em um ponto x ; Agora, devemos calcular o “limite” dessa expressão quando Δx �ca bem pequeno. Esse é um “ponto delicado” do cálculo, pois já sabemos que não podemos fazer Δx = 0 na expressão. Fazendo 𝛥𝑥 → 0 na expressão acima, obtemos a derivada f`(x): Cálculo da derivada de y = f (x) = x2 2 Δy Δx = f ( x + Δx ) - f ( x ) Δx = ( x + Δx ) 2 - x2 Δx = x2 + 2xΔx + ( Δx ) 2 - x2 Δx Δy Δx = Δx ( 2x + Δx ) Δx = 2x + Δx f ` (x) df dx = limΔx → 0 f ( x + Δx ) - f ( x ) Δx = limΔx → 0(2x + Δx) = 2x Vamos calcular a derivada da função y = f (x) = x , para qualquer valor de n inteiro e positivo. Como no exemplo anterior, escrevemos: A solução, não cabe ser deduzida aqui, será f’(x) = x A derivada de y = f (x) = x , para qualquer valor de n inteiro e positivon n Δy Δx = f ( x + Δx ) - f ( x ) Δx = ( x + Δx ) n - xn Δx n-1 Regras de Derivação Uma função é diferenciável em a se 𝑓′(𝑎) existir. O que torna válido dizer que 𝑓 é diferenciável no intervalo aberto (a, b), se for diferenciável em cada valor desse intervalo. Para estudarmos as regras de derivação, vamos considerar que a derivada de uma função 𝑓, em x, é representada por 𝑓′ ou df dx Veja as regras a seguir: Derivada de uma constante A função constante 𝑓(𝑥) = c, possui o grá�co como sendo uma reta paralela ao eixo x, com y = c. Sendo assim, a taxa de variação é zero. De onde concluímos que: Se f(x) = c , f’(x) = 0 Derivada de uma potência Sendo 𝑛 um número inteiro positivo e 𝑓(𝑥) = x , temos que: 𝑓′(𝑥) = 𝑛 . 𝑥 De onde podemos concluir que a derivada da função 𝑥 é igual a 1, pois: 𝑓′(𝑥) = 1 . 𝑥 (x = 1) 𝑓′(𝑥) = 1 Leia mais. n 𝑛−1 1−1 0 1 Derivada de um produto entre duas funções Sejam f e g duas funções diferenciáveis, a derivada do produto f . g será expressa da seguinte forma: d dx [ f(x). g(x)] = f '(x). g(x) + f(x). g' x( ) Derivada de um quociente entre duas funções Sejam f e g duas funções diferenciáveis e g(x) ≠ 0, a derivada do quociente será expressa por: d dx f ( x ) g ( x ) = f' ( x ) . g ( x ) - f ( x ) . g' x [ g ( x ) ] 2[ ] ( ) Interpretação geométrica da derivada https://estacio.webaula.com.br/cursos/go0048/aula9.html A derivada de uma função f em um ponto a fornece o coe�ciente angular (inclinação) da reta tangente ao grá�co de f no ponto (a, f(a)). Dada uma curva plana que representa o grá�co de f, se conhecermos um ponto P(a, f(a)), então a equação da reta tangente r à curva em P é dada por y - f(a) = m (x - a), onde m é o coe�ciente angular da reta. Portanto, basta que conheçamos o coe�ciente angular m da reta e um de seus pontos, para conhecermos a sua equação (Friedli, 2013). A equação da reta tangente ao ponto P que tem um par de coordenadas (x , y ) é a seguinte: y – y = f’(x ).(x – x ) 0 0 0 0 0 Interpretação geométrica da derivada. | Fonte: Friedli, 2013. Exemplo Se f(x) = x , para determinar a equação da reta tangente ao grá�co de f, no ponto P(2,4), é preciso fazer o seguinte: Na equação da reta tangente y – y = f’(x ) . (x – x ), temos que x = 2 e y = 4, substituindo, temos: y – 4 = f’(x ) . (x – 2) Mas, f(x) = x f’(x) = 2x e f’(x = 2) = 2 . 2 = 4 Finalmente: y – 4 = 4 . (x – 2) Transformando a equação acima no formato: y = ax + b , teremos: y – 4 = 4x – 8 y = 4x - 4 Essa é a equação da reta tangente à curva f(x) = x , no ponto P(2,4). 2 0 0 0 0 0 0 2 0 2 Atividade 6. Calcule limx → 5√3x2 - 4x + 9 7. Resolva os limites a seguir. a) limx → 2 4x3 - 8 = b) limx → 1 x3 + x2 + 1 x + 1 c) limx → 1 √x3 + 2x x + 2 x + 4 ( ) ( ) 8. Lembra que (x – a ) = (x + a). (x - a)? Resolva os limites indeterminados do tipo 0/0 a seguir. a) limx → 2 x2 - 4 x - 2 b) limx → 5 6x - 30 x2 - 25 2 2 9. Suponha que a posição de uma partícula em movimento sobre uma reta r seja dada por p(t) = t2- 6t, onde p(t) é medida em metros e t em segundos. a) Determine a velocidade em um instante t = aqualquer. b) Determine a velocidade da partícula em t = 0 e t = 4. c) Em que instante a velocidade é nula? Notas Derivada de uma potência 1 Quando f(x) for igual ao produto de uma função por uma constante: f(x) = c . x → f’(x) = c.nx f(x) = c . g(x) → f’(x) = c.g’(x) n n-1 Referências Friedli, S. Apostila de Cálculo 1. Disponível em: https://pt.scribd.com/doc/201913579/Www-mat-Ufmg-br-Sacha-Textos-Calculo- Apostila-2013-02-16 <https://pt.scribd.com/doc/201913579/Www-mat-Ufmg-br-Sacha-Textos-Calculo-Apostila-2013-02-16> . Acesso em: 19 fev. 2019. Bornatto G. Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I. Disponível em: https://pt.scribd.com/document/102691003/Apostila- Calculo-1-1-1 <https://pt.scribd.com/document/102691003/Apostila-Calculo-1-1-1> . Acesso em: 19 fev. 2019. Próxima aula https://pt.scribd.com/doc/201913579/Www-mat-Ufmg-br-Sacha-Textos-Calculo-Apostila-2013-02-16 https://pt.scribd.com/document/102691003/Apostila-Calculo-1-1-1 Integrais; Aplicações das integrais e derivadas. Explore mais Pesquise na internet sites, vídeos e artigos relacionados ao conteúdo visto. Em caso de dúvidas, converse com seu professor online por meio dos recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem. Assista aos vídeos: Cálculo da derivada de polinômios; <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/taking-derivatives-calc/polynomial- functions-differentiation-calc/v/differentiating-polynomials-example > . Regras básicas de derivação. <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/taking-derivatives-calc/polynomial- functions-differentiation-calc/v/derivative-properties-and-polynomial-derivatives > . https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/taking-derivatives-calc/polynomial-functions-differentiation-calc/v/differentiating-polynomials-example https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/taking-derivatives-calc/polynomial-functions-differentiation-calc/v/derivative-properties-and-polynomial-derivatives
Compartilhar