Matemática_Financeira

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Matemática Financeira
Márcio de Menezes
© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por 
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Todos os direitos reservados.
M543 Menezes, Márcio de / Matemática Financeira. / Márcio de 
Menezes. — Curitiba : IESDE Brasil S.A. , 2009.
316 p.
ISBN: 978-85-7638-879-1
1. Matemática Financeira. 2. Valor do dinheiro. 3. Juros. 
4. Taxas de juros. 5. Matemática aplicada à finanças. I. Título.
 
CDD 650.01513
Márcio de Menezes
Doutorando em Física pela Universidade Estadu-
al Paulista (Unesp). Mestre em Física pela Unesp. 
Graduado em Física pela Universidade de São 
Paulo (USP). Profissionalmente tem se dedica-
do ao desenvolvimento de software de análise 
estatística de dados. Professor na área quantita-
tiva aplicada a negócios, ministrando: Métodos 
Quantitativos para Tomada de Decisão, Estatísti-
ca Aplicada a Negócios, Matemática Financeira e 
Pesquisa Operacional.
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Introdução à Matemática Financeira 
11
11 | Valor do dinheiro no tempo
13 | Terminologia
17 | Diagramas de fluxo de caixa
20 | Juros simples
Juros compostos 
33
33 | Problemas dos juros simples
35 | Formulando os juros compostos
38 | Comparando os juros simples com os juros compostos
39 | Simulações com juros compostos
43 | Cálculos com períodos fracionários
44 | Equivalência de capitais a juros compostos
45 | Outra comparação dos juros simples e dos juros compostos
47 | Compra de bens à vista ou a prazo
Taxas de juros 
55
55 | Taxas de juros equivalentes
60 | Taxa de juros nominal e efetiva
63 | Taxas de juros variáveis
70 | Taxa ao dia útil
Desconto 
77
77 | Desconto racional (ou financeiro)
79 | Desconto comercial
80 | Comparação entre desconto racional e desconto comercial
82 | Taxa de juros efetiva de um desconto comercial
84 | Aplicação do desconto comercial
A inflação 
99
99 | O que é a inflação
101 | Renda e inflação
102 | Taxa de juros nominal e real
105 | Taxa de desvalorização da moeda
106 | A deflação
107 | Taxa acumulada de inflação
108 | Taxa média de inflação
110 | Índices de inflação do Brasil
112 | Dinheiro para aposentadoria
Estrutura das taxas de juros 
121
121 | Spread bancário
128 | Taxa over
133 | Taxa spot e taxa forward
Tributação e rendimento 
145
145 | Tributações
150 | Outros custos de transação
150 | O cálculo dos tributos e do rendimento líquido de taxas
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Série de pagamentos 
165
169 | Usando a calculadora HP12c para cálculos financeiros
170 | Usando o Excel para cálculos financeiros
170 | Fazendo contas
172 | Exemplos usando a HP12c, o Excel e algumas contas
181 | Séries de pagamentos antecipados
Perpetuidade e série de pagamentos constantes e variáveis 
191
191 | Perpetuidade
201 | Série de pagamentos
210 | Aposentadoria 
Amortização 
217
218 | Sistema de Amortização Francês (SAF)
221 | Sistema de Amortização Constante (SAC)
223 | Sistema de Amortização Crescente (SACRE)
224 | Sistema de Amortizaçao Americano (SAA)
226 | Amortização com carência
229 | Outros sistemas de amortização
Avaliação de investimentos 
237
238 | Valor de um projeto
239 | Método do Valor Presente Líquido – VPL
242 | Método do Pay-Back descontado
243 | Método da Taxa Interna de Retorno – TIR
246 | Método da Taxa Interna de Retorno Modificada – TIRM
248 | Comparação entre as metodologias
Títulos de renda fixa 
257
258 | A emissão de títulos
259 | Os títulos públicos
261 | Preço dos títulos pré-fixados
265 | Preço dos títulos pós-fixados
267 | Composição das taxas dos títulos pós-fixados
268 | A decisão de investimento: títulos pré-fixados X pós-fixados
Gabarito 
275
Referências 
315
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Introdução M
atem
ática Financeira
Esta obra trata da Matemática Financeira apenas 
como um primeiro passo a ser dado para se co-
nhecer o mundo das Finanças. Através dela, 
você será capaz de saber mais sobre as taxas de 
juros que estão presentes nas aplicações e em-
préstimos, assim como nos financiamentos, que 
são tão comuns atualmente.
Todo o conhecimento aqui apresentado, prati-
camente não exige pré-requisitos. O único co-
nhecimento prévio que você necessita é saber 
as operações matemáticas básicas (soma, subtra-
ção, divisão e multiplicação), bem como saber a 
potenciação.
O conhecimento que você vai adquirir aqui vai 
além da matemática das taxas de juros. Você 
também vai poder aprender um pouco o fun-
cionamento do mercado financeiro, sua termi-
nologia técnica, juntamente com as operações 
mais comuns.
Introdução 
à Matemática Financeira
Valor do dinheiro no tempo
Moeda
Antes de detalharmos a Matemática Financeira, vejamos algumas defini-
ções sobre o que são moeda e capital. Moeda é o meio que facilita a troca de 
bens e serviços, possuindo basicamente três funções: meio de troca, unidade 
de valor e acúmulo de riquezas. A moeda é essencial como um meio de troca, 
por ser melhor que o escambo. Entretanto, veremos ao longo desta obra que, 
apesar de importante, é insuficiente para algumas operações financeiras.
Capital é o dinheiro acumulado que está investido ou disponível para ser 
investido. Existem outras possíveis denotações para capital, mas vislumbrar 
capital como recursos disponíveis para uma aplicação é a que mais se aplica 
nesta obra.
Gastar X investir
Indivíduos e empresas têm de saber como lidar com o seu dinheiro. Ele 
pode ser gasto imediatamente ou economizado. É claro que é possível fazer 
as duas coisas, ou seja, gastar parte do dinheiro e economizar outra parte. 
Decidir por economizar é o mesmo que adiar o consumo para realizar um 
investimento.
Aquele que possui o dinheiro decide entre consumo e investimento com 
o intuito de maximizar a sua utilidade (nível de satisfação). O presente é 
certo, enquanto o futuro é incerto. Assim, quando se decide pelo investi-
mento, espera-se uma remuneração que pague pelo adiamento do consu-
mo e também pela incerteza do próprio investimento. O resultado de um 
investimento é quase sempre incerto; assim, para que uma pessoa (ou em-
presa) decida pelo investimento, ele deve gerar uma remuneração que seja 
atrativa, apesar da incerteza no valor a receber no futuro. Caso contrário, não 
haverá interesse em poupar.
12
Matemática Financeira
Remuneração pelo investimento
A remuneração pelo investimento é chamada de juro. É uma quantidade 
dependente do tempo que o consumo está sendo adiado. Juro é a remune-
ração pelo consumo adiado, ou, em outras palavras, a remuneração sobre o 
capital investido.
Exemplo: Você empresta R$100.000,00 a José hoje que serão devolvidos 
daqui a um ano. A questão é: quanto José deve lhe entregar após um ano? 
Com certeza o valor, daqui a um ano, deve ser corrigido pela inflação. Se a in-
flação for de 5% ao ano, então o valor devolvido depois desse período deve 
ser de R$105.000,00.
Agora fica uma outra pergunta: será que José deve pagar apenas o valor 
emprestado corrigido pela inflação? De acordo com o que já foi dito ante-
riormente, você esperaria ser remunerado por adiar o consumo. Assim, você 
espera receber a correção relativa à inflação, mais uma parcela que chamamos 
de juro real. Dessa forma você espera receber mais do que os R$105.000,00 
mencionados anteriormente. Digamos que a inflação nesse período acresci-
da dos juros reais que a economia está proporcionando seja de 15%. Então, 
você espera receber R$115.000,00. 
Existe mais um problema. Será que José vai realmente pagar o emprés-
timo? Mesmo que você o conheça e saiba da sua boa índole, existe a pos-
sibilidade de ele perder o emprego, por exemplo. Assim, resta uma última 
pergunta: como devemos tratar a incerteza com relação ao recebimento da 
quantia emprestada? Com certeza você terá de cobrar mais aindado José. 
Os R$115.000,00 não serão suficientes para cobrir aquilo que você espera 
ganhar. O governo, nesse nosso exemplo, está pagando 15% de juros no-
minais (que são os juros reais mais a inflação). Mas você sabe que, se o go-
verno não tiver dinheiro, ele pode emitir moeda para a dívida. Mas o pobre 
José não pode fazer isso. Portanto, você vai cobrar mais do José do que você 
ganha fazendo um investimento num título do governo.
O juro cobrado num empréstimo deve cobrir:
 a inflação esperada;
 o juro real;
 o risco.
Introdução à Matemática Financeira
13
Vimos então que existem três motivos para que o valor do dinheiro varie 
no tempo. Agora que fizemos essa discussão sobre o dinheiro, é fácil ver que 
receber R$100,00 hoje vale mais do que receber R$100,00 daqui a um ano. 
Primeiramente, isso ocorre devido à inflação. O segundo motivo que faz com 
que o dinheiro valha mais hoje do que no futuro é a possibilidade que você 
tem de investi-lo e receber mais no futuro (juro real). O terceiro motivo está 
relacionado à incerteza (risco); você não tem certeza se receberá o dinheiro 
no futuro (risco de crédito), além disso, em muitos investimentos não sabe-
mos o valor exato que receberemos no futuro (risco de mercado).
É importante notar que, como o dinheiro perde seu valor ao longo do 
tempo, os juros são a forma de garantir que o valor financeiro disponível 
hoje seja equivalente ao que teremos no futuro. Em economia é comum con-
siderar o custo de oportunidade, que é o custo de desistir de um ganho certo 
hoje para trocá-lo por um ganho futuro. O custo de oportunidade é exata-
mente a mesma coisa que o valor do dinheiro.
Juro pré-fixado e pós-fixado
É interessante notar que não sabemos qual será a inflação daqui para o 
futuro. Assim, dizemos que devemos cobrar pela inflação esperada. Entre-
tanto, se não quisermos confiar nas nossas expectativas podemos conside-
rar o juro como pós-fixado. Considerando o exemplo acima, você poderia 
emprestar a José a uma taxa pós-fixada. Você poderia dizer a ele que em-
prestaria a uma taxa de 10% mais a inflação que ocorrer no período. Como a 
inflação não é conhecida de antemão, José não sabe ao certo quanto pagará, 
assim como você também não sabe o quanto receberá. Todavia, você sabe 
que, se a inflação ao longo do próximo ano for de 20% ao ano, você não 
perderá dinheiro.
Terminologia
Imagine que você faz um investimento de R$100,00. Você aplica essa 
quantia e no futuro (após um ano) resgatará um outro valor, por exemplo, 
R$120,00. Precisamos usar uma terminologia única, que não traga dúvidas 
no momento que formos identificar e resolver os problemas.
14
Matemática Financeira
Os vários livros de Matemática Financeira não possuem uma terminologia 
única para os vários termos. Assim, vamos nos concentrar apenas em alguns, 
para que não haja confusão.
Valor presente, valor futuro e juro
O valor investido costuma ser chamado de valor presente, principal ou 
capital. Já o valor resgatado pode ser chamado de valor futuro, montante, 
valor de resgate ou saldo futuro. Apesar de cada obra utilizar um desses di-
ferentes termos, vale ressaltar que as calculadoras financeiras, assim como o 
Excel, utilizam os termos valor presente (para fazer referência ao valor inicial 
de uma aplicação ou dívida) e valor futuro (para o valor final da aplicação ou 
dívida). 
O valor presente nada mais é do que o valor do capital investido. O valor 
futuro é o capital resgatado ao final do período de investimento. Portanto o 
valor presente da sua aplicação é de R$100,00, enquanto que o valor futuro 
é de R$120,00.
Assim como precisamos de nomes para os valores inicial e final da apli-
cação, utilizamos um nome para a diferença entre o valor final e o valor ini-
cial da aplicação. Conforme vimos, a remuneração sobre o capital investido 
é chamada de juro. Portanto o incremento sofrido pelo capital investido é 
chamado de juro.
Dessa forma, o juro nada mais é do que o valor futuro menos o valor pre-
sente, ou seja:
Juro = Valor Futuro – Valor Presente
Retomando o início desta seção, quando você investiu R$100,00 e resga-
tou R$120,00, podemos afirmar agora que o juro (remuneração pelo capital 
investido) foi de R$20,00.
Em outras palavras, o juro representa o aumento do capital investido. 
Exemplo: Manoel aplicou R$100,00 na caderneta de poupança. Depois 
de um ano sem mais nenhuma movimentação, ele possuía R$110,00. Quanto 
ele obteve de juro?
Introdução à Matemática Financeira
15
Juro = Valor Futuro – Valor Presente
Juro = R$110,00 – R$100,00
Juro = R$10,00
Observe que a equação acima pode ser reescrita como:
Valor Futuro = Valor Presente + Juro
Agora podemos escrever o valor futuro em termos do valor presente e 
do juro.
Exemplo: Silvana investiu R$100,00. Após dois anos o juro foi de R$ 25,00. 
Qual era o montante que Silvana possuía ao final desses dois anos?
Valor Futuro = Valor Presente + Juro
Valor Futuro = R$100,00 + R$25,00
Valor Futuro = R$125,00.
Para simplificar ainda mais a notação que utilizamos, usaremos, de agora 
em diante, letras para representar o valor presente, o valor futuro e o juro. 
Isso será feito assim:
 Valor Presente (P);
 Valor Futuro (F);
 Juro (J).
Reescrevendo as equações acima temos:
J = F – P F = P + J
Taxa de juros
A taxa de juros (i) é a razão entre o juro e o capital investido (valor presen-
te), ou seja:
16
Matemática Financeira
Taxa de Juros = Juro / Valor Presente
Também podemos escrever essa equação da seguinte forma:
i = J / P
A taxa de juros é uma quantidade adimensional, mas comumente é 
medida em termos de percentagem ao período.
Considerando novamente que você aplicou R$100,00 e resgatou R$120,00 
depois de um ano, a taxa de juros (i) é de:
i = R$20,00 / R$100,00 = 0,20 = 20% ao ano.
É importante que a taxa de juros seja medida por unidade de tempo. No 
caso apresentado a taxa foi de 20% ao ano. Será que em seis meses essa 
aplicação teria rendido a mesma taxa? Certamente não. Esperamos que na 
metade do tempo a taxa de juros seja aproximadamente a metade.
Assim, o juro (J) pago após um período de tempo é dado por:
J = P . i
ou seja, o juro (J) cobrado após um período de tempo é o produto do valor 
presente (P) pela taxa de juros (i).
Já sabemos que o valor futuro pode ser calculado a partir do valor pre-
sente e do juro (F = P + J). Também sabemos que o juro pode ser calculado a 
partir da taxa de juros e do valor presente (J = P . i). Assim, podemos calcular 
o valor futuro em termos do valor presente e da taxa de juros:
F = P + J
F = P + P . i
F = P . (1 + i)
sendo que na última passagem, da equação acima, simplesmente coloca-
mos o valor presente (P) em evidência.
É importante notar que a taxa de juros é geralmente escrita em porcen-
tagem. Entretanto, sempre fica claro no contexto o que está sendo usado. 
Introdução à Matemática Financeira
17
Podemos escrever uma taxa de juros como i = 15% ao ano, ou i = 0,15 ao ano. 
Sendo que ambos representam exatamente a mesma coisa.
Exemplo: Sebastião aplicou R$100,00 em um fundo que rendeu 12% em 
um ano. Qual o juro e o montante após um ano?
O juro é:
J = P . i
J = R$100,00 . 12%
J = R$100,00 . 12 / 100
J = R$12,00
Já o montante pode ser escrito assim:
F = R$100, 00 . (1 + 12%)
F = R$100,00 . (1 + 0,12)
F = R$100,00 . 1,12
F = R$112,00
Observe que poderíamos ter escrito simplesmente:
F = P + J
F = R$100,00 + R$12,00
F = R$112,00
Diagramas de fluxo de caixa
As operações financeiras nada mais são do que compromissos que duas 
partes assumem entre si. Uma das partes (que pode ser uma pessoa, empresa, 
instituição financeira ou o próprio governo) é um tomador de recursos, 
enquanto a outra parte, um financiador. O financiador possui recursos finan-
ceiros e deseja aplicá-los, para que o seu capital renda juros.
Um diagrama de fluxo de caixa é um fluxo de pagamentos e recebimentos 
em diferentes instantes de tempo. Esse fluxo é gerado por um investimento, 
um empréstimo ou algum outro tipo de negócio.Geralmente, assumimos 
que os fluxos positivos (setas orientadas para cima) representam uma en-
trada de recursos, enquanto que os negativos (setas orientadas para baixo) 
representam saída de recursos.
18
Matemática Financeira
Ponto de vista do tomador de recursos
As operações financeiras fazem com que exista um fluxo de caixa envol-
vendo os dois agentes acima citados. O tomador vislumbra primeiramente 
uma entrada de caixa que é o capital que ele recebe emprestado. Depois de 
algum tempo, o tomador tem uma (ou mais) saída de caixa, que corresponde 
ao pagamento do empréstimo, a qual pode ser feita através de uma única 
parcela, ou através de várias.
Os diagramas abaixo representam fluxos de caixa do ponto de vista do 
tomador de recursos. 
 No primeiro diagrama, vemos que foram tomados R$100,00 empresta-
dos no período zero. O pagamento foi feito em 6 parcelas de R$20,00.
 Já no segundo diagrama, também se tomaram emprestados R$100,00 
no período zero. Entretanto, o pagamento ocorreu em uma única par-
cela após 6 períodos de tempo (possivelmente 6 meses). O valor do 
pagamento foi de R$130,00.
Figura 1 – Fluxo de caixa de empréstimos
R$100,00
R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00
R$100,00
R$130,00
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
Ponto de vista do aplicador de recursos
Do ponto de vista do aplicador ocorre exatamente o oposto, ou seja, 
ocorre uma saída de caixa, pois o dinheiro foi aplicado (emprestado). Depois 
de algum tempo, o tomador devolve o dinheiro, ocorrendo assim uma en-
trada de caixa.
Os diagramas a seguir representam fluxos de caixa do ponto de vista do 
aplicador. 
Introdução à Matemática Financeira
19
 No primeiro diagrama, vemos que R$100,00 foram aplicados no ins-
tante zero. O retorno da aplicação ocorrerá através de 6 parcelas de 
R$20,00. 
 Já no segundo diagrama, também foram aplicados R$100,00 no perío-
do zero. Entretanto, o retorno ocorreu em uma única parcela após 6 
períodos de tempo (possivelmente 6 meses). O valor recebido ao final 
da aplicação foi de R$130,00.
Figura 2 – Fluxo de caixa de aplicações
R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00
R$100,00R$100,00
R$130,00
1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
Outros diagramas de fluxo de caixa
Conforme vimos, nos diagramas de fluxo de caixa, as setas para baixo 
significam saída de capital, enquanto as setas para cima denotam entrada 
de capital.
Além disso, vale ressaltar que os fluxos de caixa podem ocorrer de várias 
outras formas. As mais comuns foram citadas acima, ou seja, ocorre um 
fluxo positivo seguido de outros negativos. A outra possibilidade que vimos 
é quando temos um fluxo negativo seguido de outros positivos. Contudo, 
podem ocorrer outros tipos, tal como mostrado nas figuras a seguir.
Figura 3 – Fluxo de caixa diversos
R$100,00
R$50,00 R$50,00 R$50,00 R$50,00 R$50,00
R$50,00
1 2 3 4 5
6
R$200,00
R$60,00R$60,00
R$60,00 R$60,00 R$60,00 R$60,00
1 2 3 4
5 6
20
Matemática Financeira
Observação: todos os exemplos serão resolvidos com o auxílio dos dia-
gramas de fluxo de caixa. Isso nos auxiliará no entendimento dos exemplos, 
assim como na sua resolução.
Juros simples
Vimos anteriormente aplicações em que o período da aplicação é igual a 
um. Nesse caso, o cálculo do juro é sempre o mesmo, indiferente de traba-
lharmos com juros simples ou juros compostos. Vamos começar esta seção 
estudando o caso em que o período da aplicação é um inteiro maior que um. 
Depois estudaremos o caso em que o período da aplicação é fracionário.
Período da aplicação é um inteiro maior que um
Quando temos um capital sendo investido por n períodos, a cada período 
recebemos um juro. Da seguinte forma:
período 1 : J1 = P . i
período 2 : J2 = P . i
 
período n : Jn = P . i
onde Jn é o juro no período n.
Portanto, os juros totais acumulados após n períodos é igual a:
J = J1 + J2 + · · · + Jn
J = P . i . n
Assim, o valor futuro será dado por:
F = P + J
F = P + P . i . n
F = P . (1 + i . n)
Introdução à Matemática Financeira
21
Encontrando o valor futuro
Exemplo: Camila aplica R$100,00 em um fundo de investimento que 
rende 1% ao mês a juros simples. Calcule quanto Camila possuirá após 6 
meses.
Vamos começar montando o fluxo de caixa. Como Camila está aplicando, 
ela primeiramente tem que desembolsar os R$100,00; dessa forma, esse 
fluxo de caixa é negativo e sua seta no diagrama fica para baixo.
Após 6 meses, Camila terá o dinheiro disponível para sua utilização, então 
assumimos que nessa data ela estará recebendo o dinheiro. Logo, esse fluxo 
de caixa será positivo e a seta no diagrama fica para cima.
R$100,00
F = P . (1+ i . n)
1 2 3 4 5 6
As contas ficam tal como mostrado abaixo:
F = P . (1+i . n)
F = R$100,00 . (1 + 0, 01 . 6)
F = R$100,00 . (1,06)
F = R$106,00
Encontrando o valor presente
A equação dos juros simples será bastante usada. Entretanto, podemos 
fazer uma pequena modificação e usá-la para achar o valor presente de 
um investimento quando sabemos apenas o valor futuro, a taxa de juros e 
o número de períodos que o capital estará sendo aplicado. Dessa maneira 
temos:
P =
F
(1+ i . n)
22
Matemática Financeira
Exemplo: Sidney pegou dinheiro emprestado com seu amigo a uma taxa 
de juros de 3% ao mês. Sabendo que depois de três meses ele teve de pagar 
R$130,80, diga qual foi o valor que Sidney pegou emprestado.
R$130,80
1 2 3
P =
F
(1 + i . n)
P = F / (1 + i . n)
P = R$130,80 / (1 + 0,03 . 3)
P = R$130,80 / 1,09
P = R$120,00
Encontrando a taxa
Usando ainda a equação dos juros simples podemos calcular a taxa de 
juros quando temos o valor presente, o valor futuro e o período. Isolando a 
taxa temos:
F – 1
i = P
n 
ou
 
F – 1 .
1
P n
Exemplo: Adalberto pegou R$200,00 emprestado no banco. Depois de 
um ano ele teve de pagar R$250,00. Assumindo que o banco tenha utilizado 
juros simples, calcule a taxa de juros ao mês.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
R$250,00
R$200,00
Introdução à Matemática Financeira
23
i = (F / P – 1) / n
i = (R$250,00 / R$200,00 – 1) / 12
i = (1,25 – 1) / 12
i = 0,02083 = 2,083% ao mês
Encontrando o período
Podemos agora usar a fórmula dos juros simples para encontrar o período. 
Quando sabemos o valor presente, o valor futuro e a taxa de um emprésti-
mo, podemos descobrir quando o empréstimo deve ser pago. A equação 
usada é:
F – 1
n = P
i 
ou
 
F – 1 .
1
P i
Exemplo: Juliana emprestou R$150,00 a uma amiga a uma taxa de juros 
simples de 1% ao mês. Ela disse que a amiga deve pagar R$180,00. Qual é o 
período do empréstimo?
R$180,00
R$150,00
n = (F/P – 1)/i
n = (R$180,00/R$150,00 – 1)/0,01
n = 20 meses
Período de aplicação é 
uma fração do período da taxa
Quando o período (n) da aplicação é menor que um, realizamos os cálculos 
da mesma forma. Ou seja, as fórmulas utilizadas serão as mesmas.
24
Matemática Financeira
J = P . i . n
F = P . (1 + i . n)
Exemplo: Maria aplicou R$100,00 a uma taxa de 10% ao ano (juros sim-
ples). No entanto, ela manteve seu dinheiro aplicado durante seis meses. 
Qual o valor de seu resgate?
Antes de usarmos a equação para juros simples observe que a taxa de 
juros foi dada ao ano e que o período foi dado em meses. Teremos que con-
verter um deles para que os dois estejam expressos no mesmo período.
Poderíamos converter qualquer um dos dois (a taxa ou o período), mas 
vamos converter o período que está expresso em meses para ano. Assim, o 
período fica:
n = 6 meses = 1
2
 ano
Agora que a taxa e o período estão expressos ao ano, podemos achar o 
valor futuro da aplicação de Maria. Mas primeiramente observe o diagrama 
de fluxo de caixa.
F = R$100,00 . (1 + 10% . 1
2
)
R$100,00
6 meses
As contas ficam:
F = P . (1 + i . n)
F = R$100,00 . (1 + 10% . 1
2
)
F = R$100,00 . (1 + 0,10 . 0,5)
F = R$100,00 . (1 + 0,05)
F = R$100,00 . (1,05)
F = R$105,00
Introdução à Matemática Financeira
25
Taxas equivalentes a juros simples
É importante sabermos comparar as taxas de juros, mesmo quando expres-
sas em unidadesde tempo diferentes. Alguns investimentos são expressos ao 
mês, enquanto outros são expressos ao ano.
Suponha que você tem R$1.000,00 disponíveis para investir. Você tem 
duas opções de investimento: uma com taxa de 12% ao ano e outra com 
taxa de 1% ao mês. Qual das duas é a mais interessante?
Quando estamos considerando juros simples as taxas são proporcionais 
ao período de tempo a que elas se referem. Dessa forma uma taxa de juros 
semestral será dada pela metade da taxa de juros anual, pois um semes-
tre equivale à metade de um ano. Para observar melhor veja o exemplo a 
seguir.
Exemplo: Considere uma operação a juros simples com um pagamen-
to único previsto para daqui a 1 ano, a qual foi pré-fixada em 12% ao ano. 
Levando em consideração que estamos usando juros simples, determine as 
taxas de juros mensal, trimestral e semestral que produzem o mesmo efeito 
sobre o capital investido. Leve em conta que foi feito um investimento de 
R$100,00.
Como estamos considerando juros simples, o valor futuro é dado por:
F = P . (1 + i . n)
Quando estamos considerando o problema original, ou seja, apenas o pe-
ríodo de 1 ano, temos n = 1, então:
F = P . (1 + iaa)
onde iaa é a taxa de juros expressa ao ano.
Substituindo os valores na equação acima temos:
R$112,00 = R$100,00 . (1 + 0,12)
Quando consideramos que a capitalização ocorre mensalmente temos 12 
períodos, contudo, a taxa é desconhecida. Veja:
R$112,00 = R$100,00 . (1 + iam . 12)
Observe que podemos comparar as duas expressões mostradas. Como 
o valor presente das duas equações é o mesmo, assim como os dois valores 
26
Matemática Financeira
futuros, podemos ver que o termo entre parênteses em ambos os casos deve 
ser o mesmo:
(1 + 0,12) = (1 + iaa) = (1 + iam . 12)
Dessa expressão podemos ver que:
iaa = iam . 12
Portanto, a taxa mensal poder ser escrita como:
iam = iaa / 12 
12% / 12 = 1% ao mês
Agora vamos calcular a taxa trimestral. Para isso observe que um ano 
possui quatro trimestres, assim:
R$112,00 = R$100,00 . (1 + iat . 4)
Comparando a equação para os juros trimestrais com a que utiliza juros 
anuais, vemos que:
iat = iaa / 4 = 12% / 4 
3% ao trimestre
Finalmente, a taxa de juros semestrais fica:
ias = iaa / 2 = 12% / 2 
6% ao semestre
Como as taxas equivalentes (a juros simples) são proporcionais ao período 
de tempo a que elas se referem, elas são comumente chamadas de taxas 
proporcionais.
Cheque especial
O mercado financeiro no Brasil trabalha quase sempre com juros com-
postos. Poucos são os exemplos no mercado em que os juros simples são 
usados. Um exemplo é o cheque especial.
Quando utilizamos o cheque especial, a cada dia que a conta fica nega-
tiva é aplicada uma taxa de juros sobre o saldo devedor, dessa forma são 
calculados os juros. Os juros totais que incorreram neste mês são debitados 
da conta corrente no mês seguinte.
Introdução à Matemática Financeira
27
Para podermos fazer uma discussão mais ampla sobre os juros simples 
no cheque especial, vamos analisar um exemplo da movimentação de uma 
conta-corrente ao longo de um mês.
Exemplo: Marcelo é um trabalhador que freqüentemente utiliza o cheque 
especial para conseguir honrar os seus compromissos. Sabendo que o banco 
cobra 9% ao mês pela utilização do cheque especial, calcule quanto Marcelo 
terá de pagar ao banco. A tabela a seguir mostra a movimentação da conta 
corrente de Marcelo no mês de abril de 2007.
Data Valor D/C Saldo D/C
Número de dias com 
o respectivo saldo 
negativo
01/04/2007 R$1.500,00 R$1.600,00 C 0
05/04/2007 R$1.000,00 R$600,00 D 0
07/04/2007 R$700,00 –R$100,00 D 3
10/04/2007 R$100,00 –R$200,00 D 5
15/04/2007 R$50,00 –R$250,00 D 5
20/04/2007 R$60,00 –R$310,00 D 10
30/04/2007 R$1.500,00 R$1.190,00 C 0
Observe que o banco informa a taxa com período mensal. Todavia, como 
o saldo muda a cada dia, temos de encontrar a taxa ao dia. Como o mês de 
abril tem 30 dias, a taxa diária é simplesmente a taxa mensal dividida por 30. 
Assim:
iad = iam / 30 
9% / 30 = 0,30% ao dia
O juro total pago é dado pela soma do juro pago a cada dia. Observe 
que no dia 7 a conta ficou negativa. Assim, do dia 7 para o dia 8 o juro será o 
produto do saldo devedor (R$100,00) pela taxa de juros ao dia (0,3%). Entre-
tanto, esse saldo fica negativo em 100 reais por 3 dias; dessa forma, multipli-
camos também pelo período de tempo. Fazendo o mesmo para o restante 
do mês temos:
J = R$100,00 . 0,0030 . 3 + R$200,00. 0,0030 . 5 + R$250,00 . 0,0030 . 5 + 
R$310,00 . 0,0030 . 10
J = R$16,95
Conseqüentemente Marcelo terá de pagar ao banco R$16,95 no próximo 
mês.
28
Matemática Financeira
Ampliando seus conhecimentos
O mercado financeiro
O mercado financeiro é um mercado onde investidores e tomadores de 
recursos se encontram para trocar recursos. Entretanto, não são apenas esses 
dois tipos de agentes que estão presentes no mercado financeiro. Existem, 
por exemplo, os intermediários financeiros que auxiliam na troca de recursos 
entre poupadores e tomadores de recursos.
Um exemplo bastante simples de um intermediário financeiro é o banco. 
O banco aceita depósitos dos poupadores e faz empréstimos para os que 
necessitam de dinheiro.
Conforme vemos na figura abaixo, um agente superavitário entrega recur-
sos ao intermediário financeiro (banco, por exemplo). O banco, em contrapar-
tida, entrega um título a esse investidor. Nesse título, o banco se compromete 
a devolver o dinheiro investido, corrigido por uma taxa. Essa taxa pode ser 
conhecida de antemão (pré-fixada), ou definida com base em algum índice 
de mercado.
Poupador Intermediário financeiro
Tomador
Título
$$
Título
$$
Agora que o intermediário financeiro tem recursos disponíveis, ele pode 
entregá-los a algum agente deficitário. Este tomador de recursos entrega um 
título ao banco comprometendo-se a devolver o dinheiro recebido, corrigido 
por uma taxa. Essa taxa também pode ser pré-fixada ou pós-fixada.
É importante salientar que os tomadores de recursos e os investidores 
podem negociar diretamente uns com os outros. Entretanto, os intermediá-
rios financeiros auxiliam bastante a negociação que ocorre entre os dois tipos 
de agentes.
Vamos observar agora um grande problema que ocorre no mercado fi-
nanceiro. Quase sempre os investidores querem investir no curto prazo. Os 
investidores querem ter a possibilidade de sacar os seus recursos a qualquer 
Introdução à Matemática Financeira
29
momento, ou, pelo menos, após um período curto de tempo. Já os tomadores 
querem receber recursos para serem devolvidos depois de um prazo mais 
longo.
Para ilustrar essa situação pense nas empresas que precisam de recursos 
para construir uma nova fábrica. Dependendo da fábrica, somente depois 
de alguns anos a empresa começa a ver disponível o retorno daquilo que foi 
aplicado. Entretanto é difícil encontrar alguém que possa deixar seus recursos 
investidos por vários anos sem a possibilidade de rever o seu dinheiro até o 
final do período combinado.
Assim, vemos a importância dos intermediários financeiros. Eles vão ge-
renciar essa diferença de prazos entre investidores e tomadores.
O governo
É importante salientar que não apenas pessoas e empresas podem ser to-
madores de recursos. Um grande tomador de recursos no mercado financeiro 
é o governo. Para arcar com os seus custos, o governo cobra impostos, mas 
mesmo assim não consegue cumprir com as suas obrigações. Portanto, o go-
verno vende títulos para conseguir arrecadar mais recursos.
Existem outros motivos que levam o governo a vender títulos. A venda de 
títulos pode estar relacionada a mudanças que o governo pretenda provo-
car na inflação, pois quando o governo absorve recursos da economia, sobra 
menos dinheiro para ser aplicado na indústria e demais setores da economia.
Os vários agentes financeiros
O mercado financeiro não é formado apenas por tomadores de recursos, 
investidores e intermediários financeiros. Existem vários outros agentes que 
têm funções bastante importantes. O mercadofinanceiro é mais complexo 
que o mercado de bens e baseia-se na Matemática Financeira.
A figura abaixo mostra a organização do Sistema Financeiro Nacional (SFN). 
O SFN tem por objetivo facilitar a interação entre aplicadores e tomadores de 
recursos.
Vemos que existem várias instituições atuando no mercado financeiro.
30
Matemática Financeira
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(FARIA 2003).
Introdução à Matemática Financeira
31
Atividades de aplicação
1. Calcule os juros ganhos por R$4.000,00 aplicados por um ano com 
taxa simples de 25% ao ano.
2. Qual o valor futuro de R$1.500,00 aplicados por um ano com taxa sim-
ples de 50% ao ano?
3. Qual é a taxa simples que transforma R$4.500,00 em um valor futuro 
de R$8.100,00 em um ano?
4. Qual o rendimento de R$10.000,00 aplicados por um mês com taxa 
simples de 36% ao ano?
5. Determine a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa 
de 3,06% ao mês.
6. Calcule o rendimento de R$30.000,00 aplicados durante 6 meses e 10 
dias com taxa de juros simples de 40% a.a. Efetuar os cálculos consi-
derando o ano comercial (360 dias), o ano exato (365 dias) e cada mês 
com 30 dias.
7. Calcule o rendimento de R$20.000,00 aplicados por 13 dias com taxa 
simples de 2,4% ao mês. 
8. Em seis meses R$20.000,00 renderam R$4.000,00 de juros. Qual é a 
taxa anual simples ganha?
9. Um capital de R$5.000,00 rendeu R$1.250,00 em 180 dias. Qual é a 
taxa simples anual ganha?
10. Um capital aplicado por três meses a juros simples de 4% a.m. rendeu 
R$360,00. Determine o valor aplicado.
Juros compostos
Conforme veremos nesta aula, os juros simples não são adequados para 
se realizar investimentos. Eles não são muito utilizados, mas é importante 
ressaltar que em alguns poucos casos os juros simples são usados como o 
cheque especial por exemplo.
Mostrando que os juros simples não são muito adequados para tratarmos 
de investimentos e empréstimos, veremos que os juros compostos resolvem 
o problema que os juros simples não conseguem resolver.
Problemas dos juros simples
Para tratarmos dos juros e do valor do dinheiro no tempo, vamos utilizar 
alguns termos. Para fixar a notação, observe que o valor inicial de um investi-
mento, ou de uma dívida, é chamado de valor presente. Já o valor final do inves-
timento, ou da dívida, é chamado de valor futuro.
Um investidor possui R$1.000,00 para serem investidos pelo período de 
2 anos, e precisa decidir entre dois investimentos em dois bancos diferentes. 
Ambos os investimentos oferecem juros de 10% ao ano (com juros simples), 
mas o banco A oferece a possibilidade de o investidor resgatar o investi-
mento após um ano e reaplicá-lo com a mesma taxa. Já o banco B oferece a 
possibilidade de aplicar os recursos por dois anos, não sendo possível resga-
tá-los no meio desse período. Será que o investidor deve ser indiferente às 
propostas que têm em mãos?
Banco A: Vamos começar analisando a proposta do banco A. Nesse banco 
o investidor pode aplicar por um ano, resgatar os seus recursos e reaplicá-los 
por mais um ano. Após esse período o investidor terá:
Valor Futuro = Valor Presente . (1 + Taxa de Juros . Período)
F = P . (1 + i . n)
F = R$1.000,00 . (1 + 0,10 . 1)
F = R$1.100,00
34
Matemática Financeira
Depois de um ano o investidor resgata os R$1.100,00 e reaplica por mais 
um ano. Agora o valor presente é de R$1.100,00. Vamos então calcular o 
valor futuro.
F = P . (1 + i . n)
F = R$1.100,00 . (1 + 0,10 . 1)
F = R$1.210,00
Sabemos que o investidor terá R$1.210,00 aplicando no banco A. Mas 
quanto ele terá se aplicar no banco B?
Banco B: No banco B ele aplica pelo prazo de dois anos a juros simples. 
Assim:
F = P . (1 + i . n)
F = R$1.000,00 . (1 + 0,10 . 2)
F = R$1.200,00
R$1.000,00 R$1.000,00
R$1.210,00 R$1.200,00
1 12 2
Banco A Banco B
Vemos que no banco B o investidor terá, ao final de dois anos, 
R$1.200,00.
Comparando as duas propostas, vemos que a proposta do banco A, que 
permite que os recursos sejam resgatados e reaplicados, é a mais interessan-
te para o investidor.
Essa diferença entre os dois investimentos, que rendem à mesma taxa, 
chegando a valores diferentes no futuro é característico dos juros simples. 
Esse problema será solucionado utilizando os juros compostos.
Juros compostos
35
Formulando os juros compostos
A formulação que considera os juros compostos faz com que o montante 
seja corrigido baseado no saldo do período anterior. Lembre-se que nos 
juros simples os juros incidiam somente sobre o saldo original, mas agora 
(juros compostos) eles incidem também sobre os juros acumulados.
No regime de juros compostos temos juros sobre juros. Isso ocorre porque 
os juros incidem não apenas sobre o valor original, mas também sobre os 
juros que já estão acumulados.
Para entender melhor o que foi dito aqui, vamos retomar o problema 
enfrentado pelo investidor que poderia decidir entre dois diferentes tipos de 
investimentos.
Vamos continuar considerando o investidor que possui R$1.000,00 dispo-
níveis para serem aplicados. Entretanto, vamos considerar que ele pretende 
aplicar por um período de tempo maior, nesse caso, por 10 anos.
Vamos calcular o valor futuro da aplicação a cada ano. Comecemos consi-
derando o valor que o investidor terá depois de um ano.
F1 = P . (1 + i)
F1 = R$1.000,00 . (1 + 0,10)
F1 = R$1.100,00
A partir do saldo que o investidor tem depois de um ano, vamos calcular 
o seu saldo no período 2. Observe que o valor presente é o valor futuro do 
período anterior.
F2 = F1 . (1 + i)
F2 = R$1.100,00 . (1 + 0,10)
F2 = R$1.210,00
No período 3 temos:
F3 = F2 . (1 + i)
F3 = R$1.210,00 . (1 + 0,10)
F3 = R$1.331,00
36
Matemática Financeira
Agora, ao invés de continuarmos escrevendo esta equação para todos os 
períodos, vamos tentar generalizá-la.
F1 = P . (1 + i) = P . (1 + i)
1
F2 = F1 . (1 + i) = [P . (1 + i)] . (1 + i) = P . (1 + i)
2
F3 = F2 . (1 + i) = [P . (1 + i) . (1 + i)] . (1 + i) = P . (1 + i)
3
Podemos ver que todos os membros são escritos como o produto do valor 
presente do investimento pelo fator de capitalização (1 + i) elevado ao perío-
do. Dessa forma, podemos generalizar essa expressão escrevendo assim:
Fn = P . (1 + i)
n
Essa é a expressão dos juros compostos. A cada período o capital que 
existia no período anterior é multiplicado por (1 + i). Dessa maneira, após n 
períodos o valor total da aplicação será o valor originalmente aplicado mul-
tiplicado por (1 + i) em cada um dos períodos.
Agora que conseguimos generalizar a expressão, podemos responder 
quanto o investidor terá após 10 anos.
F10 = P . (1 + i)
10
F10 = R$1.000,00 . (1 + 0,10)
10
F10 = R$2.593,74
Fator de capitalização e fator de desconto
Agora vemos que ovalor futuro após n períodos de tempo é dado pelo 
produto do valor presente (P) pelo fator (1 + i)n. Este fator, (1 + i)n, é chamado de 
fator de capitalização, pois o valor presente foi capitalizado para dar origem 
a um valor futuro (F). É fácil ver que podemos trazer um valor futuro a valor 
presente dividindo por (1 + i)n.
P = F / (1 + i)n
Em outras palavras, podemos multiplicar o valor futuro (F) por 1/(1 + i)n. 
Desse modo, o fator 1/(1 + i)n é chamado de fator de desconto. Observe que, 
se multiplicarmos o valor futuro (F) por 1/(1 + i)n, obtemos o valor presente P. 
Juros compostos
37
Assim, vemos que o fator de desconto faz com que o valor futuro seja trazido 
a valor presente (P).
Exemplo: Moacir aplicou R$100,00 na caderneta de poupança, e depois 
de 12 meses o fator de capitalização era igual a dois. Calcule a taxa de juros 
ao mês nesse período.
Observamos primeiramente que o diagrama de fluxo de caixa é tal como 
apresentado abaixo.
R$100,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F = P . (1 + i)12
Como o fator de capitalização é igual a 2 sabemos que o valor futuro será 
o dobro do valor presente: F = 2 . P. Sabemos também que:
(1 + i)n = 2
(1 + i)12 = 2
Para resolver essa expressão, devemos elevar cada um dos dois lados a 
1
12
, assim:
[(1 + i)12]
1
12 = 2
1
12
Como o termo (1 + i) está elevado a duas potências, devemos multiplicar 
uma pela outra. Como o produto de 12 por 1
12
 é um, temos:
(1 + i) = 2
1
12
i = 2
1
12 – 1 = 0,0595
i = 5,95%
Portanto, a taxa de juros da caderneta de poupança nesse período foi de 
5,95% ao mês.
38
Matemática Financeira
Comparando os juros simples com os juros 
compostos
Continuando com o exemplo que estávamos tratando, daquele investi-
dor com R$1.000,00 disponíveis, vamos ressaltar o que ocorre com o seu ca-
pital quando consideramos juros simples e juros compostos. Lembre-se que 
a taxa de juros é de 10% ao ano e que o investimento é feito por um prazo 
de 10 anos.
Juros Simples Juros Compostos
Período Juro Valor Futuro Juro Valor Futuro
0 R$0,00 R$1.000,00 R$0,00 R$1.000,00
1 R$100,00 R$1.100,00 R$100,00 R$1.100,00
2 R$100,00 R$1.200,00 R$110,00 R$1.210,00 
3 R$100,00 R$1.300,00 R$121,00 R$1.331,00
4 R$100,00 R$1.400,00 R$133,10 R$1.464,10
5 R$100,00 R$1.500,00 R$146,41 R$1.610,51
6 R$100,00 R$1.600,00 R$161,05 R$1.771,56
7 R$100,00 R$1.700,00 R$177,16 R$1.948,72
8 R$100,00 R$1.800,00 R$194,87 R$2.143,59
9 R$100,00 R$1.900,00 R$214,36 R$2.357,95
10 R$100,00 R$2.000,00 R$235,79 R$2.593,74
De acordo com a tabela acima vemos que o valor futuro a juros compos-
tos cresce mais rapidamente do que a juros simples. Para visualizar a diferen-
ça do crescimento do valor futuro, os valores da tabela foram colocados na 
figura abaixo.
R$2.500,00
 Juros simples Juros compostos
R$2.000,00
R$1.500,00
R$1.000,00
R$500,00
R$0,00
0 2 4 6 8 10
Regimes de Capitalização
Período
Va
lo
r F
ut
ur
o
Juros compostos
39
Observe que o crescimento a juros simples é linear, ou seja, podemos 
traçar uma linha reta que passa sobre todos os pontos. Entretanto, no regime 
de capitalização composta não é possível traçar uma linha reta que passe 
por todos os pontos. Isso ocorre porque a juros compostos o crescimento do 
valor é exponencial.
Simulações com juros compostos
Encontrando o valor futuro
Acabamos de encontrar o valor futuro de um investimento. Agora, para 
fazer um raciocínio diferente utilizando o mesmo cálculo, ao invés de um 
investimento, vamos estudar um empréstimo.
Exemplo: Bartolomeu fez um empréstimo de R$400,00 no banco. Saben-
do que o banco cobra uma taxa de 3% ao mês, responda quanto Bartolomeu 
deverá ao banco após um ano.
P = R$400,00, i = 3% ao mês, n = 12 meses
R$400,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F = 400,00 . (1 + 0,030)12
F = P . (1 + i)n
F = R$400,00. (1,03)12
F = R$570,30
Portanto, Bartolomeu deverá R$570,30 ao banco após um ano.
Encontrando o valor presente
Observe que podemos utilizar a equação dos juros compostos para en-
contrar o valor presente de uma aplicação, ou de um empréstimo, quando 
sabemos o seu valor futuro.
40
Matemática Financeira
Para isso devemos simplesmente isolar o valor presente na expressão que 
vimos anteriormente, obtendo:
P = F / (1 + i)n
De posse dessa expressão podemos encontrar com facilidade o valor pre-
sente de um determinado valor futuro.
Exemplo: Carlos possui R$200,00 na caderneta de poupança. Sabendo 
que nos últimos 12 meses a taxa de juros proporcionada pela poupança foi 
de 0,65% ao mês, diga quanto Carlos aplicou há um ano atrás.
F = R$200,00, i = 0,65% ao mês, n = 12 meses
R$200,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P = F / (1+i)n
P = F / (1 + i)n
P = R$200,00 / (1,0065)12
P = R$185,04
Vemos que Carlos aplicou R$185,04.
Encontrando a taxa de juros
É importante notar que quando temos o valor presente, o valor futuro e 
o prazo de uma dívida ou de uma aplicação, podemos obter a taxa de juros. 
Observe que a equação dos juros compostos deve ser reescrita da seguinte 
forma:
i = (F/P)
1
n – 1
Juros compostos
41
Note que, para escrever essa equação, isolamos a taxa de juros, primei-
ramente dividindo a expressão de juros compostos pelo valor presente (P). 
Depois disso, a expressão ficou assim: F / P = (1 + i)n. Agora precisamos elevar 
toda a expressão a 1
n
, ficando:
(F / P)
1
n = [(1 + i)n]
1
n
O resultado disso é: (F / P)
1
n = (1 + i). Isso ocorre quando temos duas po-
tências para uma mesma base, basta multiplicar as duas potências. Como n . 1
n
 
é igual a um, o termo [(1 + i)n]
1
n fica:
[(1 + i)n]
1
n = (1 + i)1 = (1 + i)
Dessa forma obtemos a expressão que já havíamos visto:
i = (F / P)
1
n – 1
Exemplo: Bertoldo comprou uma bicicleta. A loja ofereceu duas propostas 
para a compra: à vista por R$120,00, ou com pagamento depois de dois meses 
ao valor de R$150,00. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja?
F = P . (1 + i)n
R$150,00 = R$120,00 . (1 + i)2
(1 + i)2 = R$150,00 / R$120,00 = 1,25
Para resolver essa expressão, nós devemos elevar cada um dos lados a 1
2
. 
Assim:
[(1 + i)2]
1
2 = (1,25)
1
2
Para resolver essa expressão é importante lembrar que quando um termo 
está elevado a duas potências, devemos multiplicar cada um desses núme-
ros. Como 2 . 1
2
 é igual a um:
1 + i = 1,1180
i = 0,1180
i = 11,80%
Assim, vemos que a taxa de juros cobrada pela loja é de 11,80% ao mês.
42
Matemática Financeira
Encontrando o período
Podemos fazer uma pequena manipulação na equação de juros com-
postos para encontrar o período de uma aplicação, ou de um empréstimo. 
Usando a fórmula dos juros compostos, temos:
F = P . (1 + i)n
Para isolar o período (n), primeiramente dividimos pelo valor presente (P):
F / P = (1 + i)n
Agora podemos inserir o logaritmo dos dois lados dessa expressão, ficando:
log (F / P) = log (1 + i)n
Podemos então utilizar uma propriedade da função logaritmo e obter:
log (F / P) = n . log (1 + i)
Finalmente isolamos o período (n), obtendo:
n = log (F / P) / log (1 + i)
Exemplo: Ubirajara aplicou R$1.000,00 em um fundo de investimento. 
Ele espera que esse fundo renda a uma taxa de juros de 1% ao mês. Ajude 
Ubirajara a descobrir quanto tempo levará para que o seu capital aplicado 
dobre de valor.
P = R$1.000,00, F = R$2.000,00, i = 1% ao mês
n = log (F / P) / log (1 + i)
n = log (R$2.000,00 / R$1.000,00) / log (1,01)
n = log (2) / log(1,01) = 0,3010 / 0,004321
n = 69,66
Obviamente teremos de arredondar esse valor para 70. Assim, vemos que 
serão necessários 70 meses para o valor que Ubirajara aplicou ser duplicado.
Juros compostos
43
Cálculos com períodos fracionários
Quando estamos utilizando juros simples, a forma de trabalharmos com 
períodos inteiros ou com períodos fracionários é a mesma. Ou seja, utiliza-
mos a equação: F = P . (1 + i . n)
Agora que estamos utilizando juros compostos, ocorre a mesma coisa. A 
forma de trabalharmos com períodos inteiros ou com períodos fracionários 
é a mesma, ou seja, usamos sempre a equação:F = P . (1 + i)n
Para fixar o conceito vejamos um exemplo que utiliza um período de 
tempo não-inteiro.
Exemplo: Murilo pegou R$100,00 emprestados de seu amigo a juros 
compostos, com taxa de juros de 2% ao mês. Murilo devolveu o dinheiro ao 
amigo depois de 20 dias. Qual o valor que ele deve pagar?
20
30
R$100,00
F = R$100,00 . (1+0,02)
20
30
Observe que o período de tempo está informado em dias, enquanto a 
taxa está informada ao mês. Vamos escrever o período ao mês, assim temos: 
n = 20/30.
F = P . (1 + i)n
F = R$100,00 . (1 + 0,02)
20
30
F = R$100,00 . (1,02)
20
30
F = R$101,33
Logo, Murilo deve pagar R$101,33 para seu amigo.
44
Matemática Financeira
Equivalência de capitais a juros compostos
Muitas vezes, um tomador de recursos possui uma dívida que vence numa 
determinada data. Por algum motivo ele não está satisfeito com aquela data 
e decide trocar esta dívida por uma outra com data diferente. Caso o investi-
dor que tenha emprestado os recursos financeiros também esteja disposto a 
trocar a data da dívida, os dois podem fazê-lo desde que a taxa de juros seja 
de comum acordo.
Quando uma dívida é trocada por outra, podemos dizer que as duas 
dívidas são equivalentes. Vamos a um exemplo que mostrará como ocorre a 
equivalência de capitais.
Exemplo: Marisa pegou R$500,00 emprestados no banco há exatamente 
três meses. Ela deve pagar daqui a três meses o valor emprestado corrigido a 
uma taxa de juros de 1% ao mês. Entretanto, ela está com dificuldades finan-
ceiras e decide continuar com a dívida, por mais seis meses. Ela vai ao banco 
negociar a dívida, e o banco decide manter a mesma taxa de juros combi-
nada desde o princípio. Calcule o valor que Marisa teria de pagar daqui a 
três meses. Calcule também o valor que Marisa terá de pagar daqui a nove 
meses. Finalmente discuta a equivalência entre os capitais.
Marisa pegou o dinheiro emprestado há três meses e o vencimento ocorre 
em três meses. Assim, o período do empréstimo é de seis meses, portanto:
F6 = P . (1 + i)
6
F6 = R$500,00 . (1,01)
6
F6 = R$530,76
Mas como ela decidiu estender a dívida por mais seis meses, o prazo total 
será de 12 meses. Como a taxa de juros permanece em 1% ao mês, o valor 
daqui a 9 meses será:
F12 = R$500,00 . (1,01)
12
F12 = R$563,41
Com relação à equivalência de capitais podemos dizer que os R$530,76 a 
serem pagos daqui a três meses são equivalentes a R$563,41 a serem pagos 
daqui a 9 meses.
Observe que, caso o banco não quisesse renovar a dívida de Marisa, ela 
poderia fazer uma nova dívida de R$530,76 em um outro banco daqui a três 
meses e pagá-la daqui a nove meses. Caso o outro banco cobrasse a mesma 
Juros compostos
45
taxa, então para ela seria indiferente continuar com essa dívida nesse banco 
(pensando em trocá-la daqui a três meses por uma outra em outro banco), 
ou trocá-la por uma dívida daqui a nove meses no mesmo banco.
Como essas duas dívidas são indiferentes para Marisa podemos dizer que 
estes dois valores (R$530,76 daqui a 3 meses ou R$563,41 daqui a 9 meses) 
são equivalentes.
Observe que o mesmo ocorre do ponto de vista do banco. Caso Marisa 
devolvesse o dinheiro daqui a 3 meses, o banco receberia R$530,76, poden-
do emprestá-lo a outra pessoa a uma mesma taxa de juros por mais 6 meses. 
Caso o banco conseguisse emprestar esse valor daqui a três meses, recebe-
ria R$563,41 daqui a 9 meses. Dessa forma, é indiferente para ele receber 
R$530,76 daqui a 3 meses ou R$563,41 daqui a 9 meses.
Observe que quando começamos a falar de equivalência de capitais, fa-
lamos basicamente de equivalência de dívidas. Entretanto, não apenas as 
dívidas são equivalentes como também as aplicações. É fácil ver isso quando 
analisamos o exemplo acima do ponto de vista do banco. Pois para ele era 
indiferente receber R$530,76 daqui a 3 meses ou R$563,41 daqui a 9 meses.
Outra comparação dos juros simples 
e dos juros compostos
Conforme vimos, os juros compostos rendem mais do que juros simples. 
Mas veremos agora que isso nem sempre ocorre. Ou seja, às vezes a capitali-
zação simples rende mais do que a capitalização composta. Mas quando será 
que isso ocorre?
Para entender mais essa proeza relacionada aos diferentes regimes de ca-
pitalização, vamos recorrer a um exemplo.
Exemplo: você empresta R$100,00 a seu amigo Artur para que sejam 
pagos daqui a oito meses. Artur, por sua vez, pega os R$100,00 e empresta 
ao seu amigo Bernardo. Tanto você quanto o seu amigo decidem cobrar uma 
taxa de juros de 20% ao ano. Você decide emprestar a seu amigo Artur a 
juros compostos, enquanto Artur empresta a Bernardo a juros simples. Diga 
se o seu amigo ganhou ou perdeu dinheiro.
Você emprestou a Artur R$100,00 a juros compostos que devem ser pagos 
em oito meses. Observe que:
46
Matemática Financeira
P = R$100,00, i = 20%, n = 8/12
Assim, o valor futuro será:
F = P . (1 + i)n
F = R$100,00 . (1 + 0,20)
8
12
F = R$112,92
Artur emprestou a Bernardo R$100,00 a juros simples, que devem ser 
pagos em oito meses. Observe que:
P = R$100,00, i = 20%, n = 8/12
Assim, o valor futuro será:
F = P . (1 + i . n)
F = R$100,00 . (1 + 0,20 . 8
12
)
F = R$113,33
O seu amigo Artur vai receber de Bernardo R$113,33. Como Artur terá 
que pagar a você R$112,92, ele teve um ganho de R$0,41.
De acordo com esse exemplo, vemos que foi mais interessante emprestar 
a juros simples do que a juros compostos. Isso ocorre sempre que o período 
da aplicação é menor do que um. Como vimos, o período da aplicação era de 
8/12. Para uma melhor visualização observe o gráfico a seguir, onde compa-
ramos os rendimentos com os diferentes regimes de capitalização.
 Juros simples Juros compostos
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Regimes de Capitalização
Período
Va
lo
r F
ut
ur
o
Juros compostos
47
Nesse gráfico vemos que, quando o período é igual a 1, o valor futuro a 
juros simples e a juros compostos é o mesmo. Observe isso na fórmula:
Juros simples: F = P . (1 + i . 1) = P . (1 + i)
Juros compostos: F = P . (1 + i)1 = P . (1 + i)
O mesmo ocorre quando o período é igual a zero. Isso acontece porque 
o valor será igual ao próprio valor presente, pois não houve nenhuma 
capitalização.
Quando o período de tempo é maior que um, os juros compostos rendem 
mais do que os juros simples, como já havíamos visto em vários exemplos. 
Entretanto, quando o período de tempo é um valor entre zero e um, o rendi-
mento a juros simples é maior do que a juros compostos.
Lembre-se de que os bancos utilizam juros simples para o cheque espe-
cial, quando o período de tempo é menor do que um. Assim, o valor que pa-
gamos pela utilização do cheque especial é maior do que se fosse calculado 
usando juros compostos.
Compra de bens à vista ou a prazo
Uma aplicação que temos dos juros compostos no nosso dia-a-dia é 
quando vamos decidir entre fazer uma compra à vista ou a prazo. Muitas 
vezes a taxa de juros não está muito clara e teremos de fazer algumas contas 
para descobrir a taxa que estamos pagando.
Exemplo: Jurandir foi comprar uma geladeira cujo valor era de R$1.000,00 
a serem pagos daqui a um mês. Todavia, a loja oferece a Jurandir um descon-
to de 3% caso ele pague à vista. Jurandir possui o dinheiro para comprar a 
geladeira agora, mas como o desconto oferecido foi muito pequeno, ele está 
pensando em aplicar o seu dinheiro em um investimento que rende 2% ao 
mês. Jurandir deve pagar à vista ou colocar o dinheiro na caderneta de pou-
pança e pagar a geladeira daqui a um mês?
Precisamos analisar o que ocorre em cada um dos dois casos. Se Jurandir 
pagar à vista ele terá um desconto de 3%, assim, o valor a ser pago será de:
P = R$1.000,00 – 3% . R$1.000,00 
P = R$1.000,00 – 0,03 . R$1.000,00 
48
Matemática Financeira
P = R$1.000,00 – R$30,00
P = R$970,00
Observe que esse é o valor presente da geladeira. Por isso é que utiliza-
mos a letra P.
Caso Jurandir decida comprar a prazo, ele receberá um bem hoje para ser 
pago no futuro. Isso é equivalente a receber um dinheiro hoje, cujovalor é P, 
e pagá-lo depois de um mês. Assim, o diagrama de fluxo de caixa ficaria tal 
como mostrado na figura abaixo.
R$970,00
R$1.000,00
1
Para ajudar Jurandir a tomar essa decisão, vamos ver o que acontece com 
o dinheiro que fica na caderneta de poupança. Caso ele aplique R$970,00, o 
diagrama de fluxo de caixa ficaria assim:
R$970,00
F = R$970,00 . (1,02)1
Depois de um mês ele teria:
F = P . (1 + i)n
F = R$970,00 . (1,02)1
F = R$989,40
Portanto, caso ele aplique na poupança por um mês e resgate o dinhei-
ro para pagar a geladeira, ele resgataria apenas R$989,40 e teria que pagar 
Juros compostos
49
R$1.000,00. Assim, ele teria de desembolsar R$970,00 no ato da compra 
(depositando esse dinheiro no banco) e desembolsar mais R$10,60 depois 
de um mês (para interar os R$1.000,00). Ele teria de fazer esse desembol-
so devido ao rendimento da poupança ser menor do que os juros cobrados 
pelo financiamento da geladeira.
Comparamos os valores que Jurandir teria de desembolsar em cada um 
dos casos. Contudo poderíamos ter comparado a taxa de juros da caderneta 
de poupança com a taxa de juros do financiamento da geladeira. Sabemos 
que a taxa de juros da poupança é de 2%, então, precisamos encontrar a taxa 
de juros que a loja está cobrando. A taxa de juros da loja não é de 3% ao mês. 
Esse é o valor do desconto, na verdade a taxa de juros que está embutida na 
operação é outra.
F = R$1.000,00, P = R$970,00, n = 1
F = P . (1 + i)n
i = (F / P)
1
n – 1
i = (R$1.000,00 / R$970,00)
1
1 – 1 = 0,0309
i = 3,09% ao mês
Veja que a taxa de juros cobrada pela loja é de 3,09%, e não apenas de 
3%.
Como a loja cobra 3,09% de taxa de juros e a caderneta de poupança rende 
2% de juros, é mais interessante comprar a geladeira à vista do que aplicar o 
dinheiro na caderneta de poupança. Isso ocorre porque o retorno que Jurandir 
terá será menor do que o juro que ele terá de pagar pelo financiamento.
Ampliando seus conhecimentos
O governo federal e a emissão de títulos 
de dívida
A Matemática Financeira é bastante usada para calcular empréstimos e 
aplicações. Portanto, agora, vamos falar um pouco sobre como isso ocorre 
na prática quando o governo precisa de dinheiro.
50
Matemática Financeira
O governo federal, quando necessita de recursos, pode emitir títulos de 
dívida. O comprador desses títulos passa a ter o direito de receber depois de 
algum tempo um valor futuro. Quando o governo emite um título, geralmen-
te assumimos que existe certeza de que ele pagará o valor devido.
Qualquer pessoa ou empresa pode comprar um título do governo. O go-
verno emite vários títulos (pré-fixados e pós-fixados). Alguns desses títulos 
pagam juros periodicamente e na data de vencimento do título retornam para 
o investidor o valor que ele investiu. Outros títulos pagam o valor capitalizado 
na data de vencimento, sem pagamentos periódicos.
Quando alguém faz uma dívida, pode não ter dinheiro no futuro para o seu 
pagamento. Entretanto, o governo pode emitir moeda, assim ele não tem o 
problema de não ter dinheiro. Observe que isso não ocorre se ele emite um 
título que pague em moeda estrangeira.
Quando o governo federal decide emitir títulos de dívida em dólares, existe 
um risco de não pagamento, pois o governo não pode emitir dólares. Assim, 
se ele não tiver dólares e não tiver como comprar, ele não poderia pagar a 
dívida. Mas como estamos no Brasil, vamos considerar apenas o caso do go-
verno brasileiro emitindo títulos na moeda nacional.
Como existe certeza no pagamento da dívida, não existe risco. Portanto, a 
taxa de juros deve cobrir apenas a inflação e o juro real da economia.
Existe mais um detalhe a ser considerado. Os títulos podem ser emitidos 
com taxa pré-fixada ou pós-fixada. Um título com taxa pré-fixada já informa 
desde o princípio quanto será pago de juros. Por exemplo, o título pode pagar 
uma taxa de juros de 10% ao ano.
Um título com taxa pós-fixada não informa o valor exato que será pago 
no futuro. O título poderia, por exemplo, informar que paga uma taxa de 5% 
acima da inflação. Dessa forma não sabemos com certeza quanto receberemos 
no futuro, mas temos certeza que receberemos um valor acima da inflação.
Não apenas a inflação pode ser utilizada como um índice para o cálculo do 
valor futuro. Existem outros índices, um que é muito usado é o dólar.
Vale ressaltar que, apesar de sabermos quanto um título pré-fixado vai 
pagar, não sabemos se ele pagará mais do que a inflação. Pois se a inflação for 
muito elevada, pode ocorrer da inflação ser maior do que a taxa que o título 
do governo está pagando.
Juros compostos
51
Assim, o investidor pode escolher entre aplicar em títulos pré-fixados ou 
pós-fixados, de acordo com o que ele acredite que vai ocorrer com a taxa de 
juros no futuro.
Se o investidor acredita que a taxa de juros está muito alta, ele deve com-
prar títulos pré-fixados. Pois, se ele estiver certo, as taxas de juros praticadas 
pelo mercado cairão e ele conseguirá aplicar a uma taxa mais alta do que con-
seguiria de outra forma. Entretanto se ele acredita que a taxa de juros vai subir, 
ele deveria comprar um título com taxa pós-fixada. Isso porque à medida que 
as taxas de juros forem subindo, os títulos que ele comprou vão render mais 
do que aqueles que estarão rendendo a uma taxa pré-fixada.
Atividades de aplicação
1. A juros compostos de 8% ao mês, qual o resultado de R$3.000,00 em 
oito meses?
2. Qual o capital que, em seis anos com taxa de juros compostos de 10% 
ao ano, resulta em R$14.000,00?
3. A que taxa de juros um capital de R$10.000,00 pode transformar-se em 
R$15.000,00, considerando um período de aplicação de oito meses?
4. Quanto rende um capital de R$4.000,00 aplicado por oito meses a ju-
ros de 1% ao mês?
5. A que taxa de juros um capital de R$2.000,00 obtém um rendimento 
de R$200,00 em dois meses?
6. Determinar o capital que, aplicado por sete meses a juros efetivos de 
2% ao mês, rende R$10.000,00.
7. Você pega de um amigo R$100,00 emprestados para pagar daqui a 
cinco meses. Se o regime de capitalização for de juros compostos e a 
taxa for de 10% ao mês, quanto você deverá pagar ao seu amigo?
8. Você paga hoje a seu amigo R$161,05 por um empréstimo realizado há 
cinco meses. Se o regime de capitalização for de juros compostos e a 
taxa combinada for de 10% ao mês, quanto você pegou emprestado?
52
Matemática Financeira
9. Você tem R$100,00 disponíveis para aplicar hoje. Contudo, você pre-
tende comprar um aparelho de DVD daqui a cinco meses e ele custará 
R$161,05. Se o regime de capitalização for de juros compostos, a que 
taxa seu dinheiro deve ser aplicado para que o valor do aparelho de 
DVD seja conseguido?
10. Em vendas à vista uma loja oferece 5% de desconto; pagando por 
meio de um cheque pré-datado para um mês, não há cobrança de 
juros; para cheques pré-datados para dois meses, há um acréscimo de 
3%. Qual a melhor forma de pagamento se o rendimento da poupança 
for de 3,5% ao mês?
Taxas de juros
Nesta aula vamos nos concentrar nas taxas de juros, que são essenciais na 
Matemática Financeira. A Matemática Financeira trata do valor do dinheiro 
no tempo e para isso utiliza a remuneração do capital, ou seja, o juro que re-
munera um capital depende do seu valor. Já a taxa de juros não possui essa 
característica. Ela serve como um balizador, independente da quantidade de 
capital que é investido ou tomado emprestado.
Sempre que quisermos comparar investimentos ou empréstimos, po-
demos fazê-lo diretamente pela taxa de juros. Geralmente queremos apli-
car nosso dinheiro no investimento que proporciona a maior taxa de juros. 
Dessa forma receberemos a maior remuneração pelo nosso capital.
Analogamente, sempre que quisermos tomar dinheiro emprestado, vamos 
escolher o empréstimo que cobra a menor taxa de juros. Assim estaremos 
pagando o menor valor pelo capital que estamos tomando emprestado.
Nesta aula vamos fazer também uma discussão sobre as taxas de juros. 
Como comparar taxasde juros que são apresentadas em diferentes períodos 
de tempo, assim como conhecer algumas particularidades que ocorrem na 
divulgação das taxas de juros (taxas divulgadas num período de tempo, mas 
com capitalização em outro período). Além disso, vamos tratar das taxas de 
juros variáveis, que variam ao longo do tempo.
Taxas de juros equivalentes
Quando trabalhamos com juros compostos, é comum usarmos períodos 
de tempo que não são inteiros. Entretanto, além de trabalharmos com 
períodos de tempo não inteiros, podemos converter a taxa de juros para um 
outro período, para que não tenhamos que utilizar períodos fracionários. 
Quando fazemos essa conversão da taxa de juros estamos encontrando a 
taxa de juros equivalente.
56
Matemática Financeira
Taxa de juros mensal e taxa de juros diária
Para uma boa compreensão dos juros equivalentes, vamos a um 
exemplo.
Exemplo: José emprestou R$300,00 a seu amigo por um período de 1 
mês e 10 dias a uma taxa de juros composta de 3% ao mês. Quanto José 
deverá receber depois de 40 dias?
Para encontrar o valor futuro, podemos utilizar a taxa mensal e o período 
de 40/30 meses. Assim:
F = P . (1 + i)n
F = R$300,00 . (1 + 0,03)
40
30
F = R$312,06
Entretanto, para encontrarmos o valor futuro, podemos também utilizar a 
taxa ao dia, ao invés da taxa mensal. Ainda não sabemos como calcular a taxa 
ao dia, mas vamos chamar essa taxa de iad. Assim o valor futuro será:
F = P . (1 + iad)
n
Agora, como a taxa de juros está escrita ao dia, o período também deve 
estar escrito em dias. Logo o período será: n = 40 dias. Dessa forma:
F = R$300,00 . (1 + iad)
40
F = R$312,06
Não sabemos quanto é a taxa de juros ao dia, mas sabemos que o valor 
futuro deve ser o mesmo do que o valor que calculamos usando a taxa de 
juros mensal.
Para que todas essas contas que fizemos sejam válidas, devemos ter o 
seguinte:
(1 + iad)
40 = (1 + 0,03)
40
30
Podemos elevar cada um dos dois lados a 1/40, assim:
[(1 + iad)
40]
1
40 = [(1 + 0,03)
40
30]
1
40
(1 + iad) = (1 + 0,03)
1
30
Taxas de juros
57
iad = (1 + 0,03)
1
30 – 1 = 0,000986
iad = 0,0986% ao dia
No exemplo acima vimos que para converter a taxa mensal em taxa diária 
precisamos usar a expressão:
(1 + iam) = (1 + iad)
30
Acabamos de ver como encontrar a taxa de juros diária equivalente à taxa 
de juros mensal. Com a equação que obtemos podemos encontrar a taxa de 
juros diária a partir da taxa de juros mensal, ou o contrário, a taxa de juros 
mensal a partir da taxa de juros diária.
Exemplo: o banco Sideral cobra uma taxa de 0,1% ao dia para qualquer 
empréstimo. Calcule a taxa de juros mensal equivalente.
(1 + iam) = (1 + iad)
30
(1 + iam) = (1 + 0,001)
30
iam = (1 + 0,001)
30 – 1 = 0,0304
iam = 3,04% ao mês
Veremos agora outras taxas de juros equivalentes que podemos encon-
trar. Sempre que tivermos a taxa de juros expressa num período de tempo, 
podemos convertê-la para qualquer outro período de tempo.
Taxa de juros mensal e taxa de juros ao ano
Vamos novamente utilizar um exemplo. 
Exemplo: Daniel quer pegar dinheiro emprestado pelo prazo de um ano. 
O banco A cobra uma taxa de juros de 2% ao mês. Já o banco B cobra uma 
taxa de juros de 25% ao ano. Em qual dos dois bancos Daniel deve fazer o 
empréstimo?
No banco A temos:
FA = P . (1 + i)
n
FA = P . (1 + 0,02)
12
58
Matemática Financeira
Já no banco B temos:
FB = P . (1 + i)
n
FB = P . (1 + 0,25)
1
Para fazer a comparação devemos converter uma das duas taxas, para 
que ambas estejam expressas no mesmo período de tempo. Podemos esco-
lher qualquer uma das duas para ser convertida. Assim, a nossa escolha será 
encontrar a taxa de juros mensal equivalente da taxa cobrada pelo banco B.
Considerando a taxa de juros equivalente ao mês cobrada pelo banco B 
temos:
FB = P . (1 + i)
n
FB = P . (1 + iam)
12
Como o valor futuro no banco B deve ser o mesmo, independente de con-
siderarmos a taxa de juros mensal ou anual, temos:
(1 + iam)
12 = (1 + 0,25)
Logo, a taxa de juros mensal do banco B é:
iam = (1,25)
1
12 – 1 = 0,0188
iam = 1,88% ao mês
Como a taxa de juros que o banco B cobra é menor do que a taxa de juros 
que o banco A está cobrando, é mais interessante para Daniel pegar dinheiro 
emprestado no banco B, pois ele terá de desembolsar um valor menor pelo 
empréstimo.
Nesse último exemplo vimos que para converter a taxa anual em taxa 
mensal precisamos usar a expressão:
(1 + iaa) = (1 + iam)
12
Vamos voltar ao exemplo anterior e achar a taxa de juros anual equivalen-
te à cobrada pelo banco A.
Exemplo: o banco A cobra uma taxa de juros de 2% ao mês. Calcule a taxa 
de juros anual equivalente.
Taxas de juros
59
(1 + iaa) = (1 + iam)
12
(1 + iaa) = (1 + 0,02)
12
iaa = (1 + 0,02)
12 – 1 = 0,2682
iaa = 26,82% ao ano
Taxa de juros anual e taxa de juros ao dia
Assim como fizemos com os outros exemplos, podemos também conver-
ter as taxas de juros ao ano e as taxas de juros ao dia.
Exemplo: considerando que uma instituição financeira cobra uma taxa 
de juros de 30% ao ano, calcule a taxa de juros ao dia.
Assim como costumamos fazer em Matemática Financeira, vamos consi-
derar o ano composto por 360 dias. Assim:
F = P . (1 + i)n
Considerando a taxa ao ano, temos:
F = P . (1 + iaa)
Considerando a taxa ao dia, temos:
F = P . (1 + iad)
360
Como o valor futuro deve ser o mesmo, independente da capitalização 
ser ao ano ou ao dia, vemos que:
(1 + iaa) = (1 + iad)
360
Dessa forma, podemos calcular a taxa de juros ao dia cobrada pela insti-
tuição financeira.
(1 + iad)
360 = (1 + iaa)
[(1 + iad)
360]
1
360 = (1 + iaa)
1
360
(1 + iad) = (1 + iaa)
1
360
iad = (1 + 0,30)
1
360 – 1
iad = 0,073% ao dia
60
Matemática Financeira
No exemplo anterior vimos que a maneira de realizarmos conversões 
entre taxa de juros ao ano e taxa de juros ao dia é através da fórmula:
(1 + iad) = (1 + iaa)
1
360
Resumo das taxas de juros equivalentes
É possível achar a taxa equivalente para qualquer período que quisermos. 
No entanto as formas mais comuns de apresentar as taxas de juros são as 
que foram dadas acima, ou seja: ao dia, ao mês e ao ano.
Abaixo apresentamos um breve resumo das fórmulas para encontrar as 
taxas de juros equivalentes para estes períodos que já utilizamos. Além destes 
são apresentados mais alguns períodos, são eles: semestral e trimestral.
 Quadro 1 – Resumo das taxas equivalentes
(1+iaa) = (1+ias)
2
(1+iaa) = (1+iat)
4
(1+iaa) = (1+iam)
12
(1+iaa) = (1+iad)
360
(1+ias) = (1+iat)
2
(1+ias) = (1+iam)
6
(1+ias) = (1+iad)
180
(1+iat) = (1+iam)
3
(1+iat) = (1+iad)
90
(1+iam) = (1+iad)
30
Apesar de não ser comum, você poderia utilizar taxa de juros semanal, ou 
mesmo num outro período. Caso você faça uma aplicação (ou um emprésti-
mo) por um período de 40 dias, seria interessante utilizar a taxa de juros ao 
período de 40 dias.
Taxa de juros nominal e efetiva
Muitas vezes a taxa de juros é informada em um período de tempo, en-
quanto sua capitalização ocorre em um outro período. Para citar um exem-
plo, muitas vezes um certo capital vai ser aplicado a uma taxa de juros que 
sofrerá capitalização todos os meses. Contudo, quando a taxa de juros é in-
formada, simplesmente multiplica-se a taxa de juros mensal por 12, obtendo 
algo que é chamado de taxa de juros nominal.
Taxas de juros
61
É um conceito estranho, pois a taxa de juros nominal não tem serventia. 
Sempre que você for informado da taxa de juros nominal, deverá encontrar 
a taxa de juros efetiva, para que então possa calcular os juros sobre uma apli-
cação ou um empréstimo.
Se foi dito que não tem muita serventia, para que devemos tratar desse 
assunto? Devemos aprender a diferença das duas taxas porque elas apare-
cem no mercado financeiro. O ideal seria que apenas a taxa de juros efetiva 
fosse informada, mas como nem sempre isso ocorre, devemos saber como 
encontrar a taxa de juros efetiva a partir da taxa de juros nominal. Sabendo 
isso, sempre será possível encontrar o valor futuro dado um valor presente.
Exemplo:Joaquim colocou R$1.000,00 em um investimento que prome-
te uma taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. 
Calcule a taxa de juros efetiva dessa aplicação.
Nesse exemplo foi dada a taxa de juros nominal anual. Como a capitaliza-
ção é trimestral, podemos expressar a taxa efetiva como trimestral ou anual. 
(Poderíamos expressar a taxa de juros a outros períodos, mas vamos nos res-
tringir apenas a esses dois que foram apresentados no exemplo.) Como não 
é feita nenhuma menção ao período desejado para a taxa de juros, vamos 
expressá-la nos dois períodos.
O mais fácil é expressar a taxa de juros trimestral efetiva, que é dada por:
ief = in / 4
ief = 6% ao trimestre
Para encontrar a taxa de juros efetiva anual, procedemos da forma que já 
estávamos fazendo para encontrar uma taxa de juros equivalente. Portanto:
(1 + ief(aa)) = (1 + ief(at))
4
ief(aa) = (1 + ief(at))
4 –1
ief(aa) = (1 + 0,06)
4 – 1
ief(aa) = 26,25% ao ano
Abaixo vamos considerar um exemplo real: a caderneta de poupança. 
Muitas vezes a taxa de juros informada é nominal e devemos encontrar a 
taxa de juros real dessa aplicação para que possamos saber o valor futuro de 
nosso investimento.
62
Matemática Financeira
Exemplo: Bruno aplicou R$100,00 na caderneta de poupança. Ele foi in-
formado que a taxa de rendimento da poupança era de 6% ao ano, capitali-
zada mensalmente, mais a variação da Taxa Referencial (TR). A TR é definida 
pelo governo e não tem como saber o seu valor de antemão. Mas Bruno quer 
saber quanto ele terá depois de um ano. Então ele decide assumir que a TR 
será zero ao longo do próximo ano, para descobrir quanto ele terá no pior 
dos casos. (Observe que a TR não deverá assumir o valor zero. Bruno está as-
sumindo isso para saber quanto ele terá, no mínimo, daqui a um ano.)
Assumindo o valor zero para a TR, sabemos que o capital de Bruno será 
aplicado a uma taxa nominal de 6% ao ano, mas precisamos descobrir a taxa 
de juros efetiva. Como a capitalização é mensal, devemos simplesmente 
dividir a taxa de juros nominal (ao ano) por 12. Assim:
ief = in / 12
ief = 6% / 12
ief = 0,5% ao mês
Agora que encontramos a taxa de juros efetiva, devemos realizar a capita-
lização durante 12 meses para encontrar o valor que Bruno terá daqui a um 
ano. Logo:
F = P . (1 + i)n
F = R$100 . (1 + 0,005)12
F = R$106,17
Portanto, daqui a um ano Bruno terá pelo menos R$106,17 na caderneta 
de poupança.
Agora também é fácil calcular a taxa de juros efetiva anual da caderneta 
de poupança. Veja:
i = (F / P)
1
n – 1
Como o prazo é de um ano e a taxa deverá estar expressa ao ano, o período 
é um. Assim:
i = (R$106,17 / R$100,00) – 1
i = 6,17% ao ano
Taxas de juros
63
Taxas de juros variáveis
É comum as taxas de juros variarem com o tempo. Muitas vezes uma em-
presa faz um dívida e a renova ao longo do tempo. A cada vez que a dívida é 
renovada, a taxa de juros cobrada pelo banco é diferente.
Assim, é interessante conhecer a taxa de juros acumulada cobrada na 
operação como um todo. Além disso, podemos descobrir qual é a taxa de 
juros média cobrada nessa operação financeira.
Taxa de juros acumulada
Para entender a taxa de juros acumulada, vamos recorrer a um exemplo, 
pois usando um exemplo numérico fica mais fácil a discussão, do que se 
usarmos várias taxas que teríamos que chamar de i1, i2, i3 etc.
Exemplo: a eletrônica Curto Circuito está com grande necessidade de 
recursos para financiar seus projetos. Por isso, fez um empréstimo no banco 
pelo prazo de um ano com taxa de juros de 25% ao ano. Depois de um ano 
a eletrônica precisou renovar essa dívida por mais um ano, porém, a taxa 
de juros foi de 20% ao ano. A eletrônica continuou renovando dívida por 
mais alguns anos. A tabela abaixo faz um resumo de todas as taxas de juros 
cobradas pelo banco ao longo de 5 anos.
Ano Taxa
1 25%
2 20%
3 22%
4 20%
5 18%
Com base nesses valores, calcule a taxa de juros acumulada paga pela 
eletrônica.
Como não conhecemos o valor do empréstimo, iremos chamá-lo de P. 
Sabemos que após um ano o valor da dívida será:
F1 = P . (1 + i1)
1
F1 = P . (1 + 1,25)
1
64
Matemática Financeira
No cálculo anterior chamamos a taxa de juros do ano 1 de i1.
Depois de mais um ano, o valor da dívida será F1 corrigido por mais um 
período. Assim:
F2 = F1 . (1 + i2)
1
F2 = F1 . (1 + 1,20)
1= P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20)
Onde i2 é a taxa de juros do ano 2.
Continuando para os demais anos, temos:
F3 = P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22)
F4 = P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20)
F5 = P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)
Agora é fácil ver que a cada ano o valor da dívida é corrigido pela nova 
taxa de juros. Vamos supor que exista uma única taxa de juros que transfor-
me o valor presente (P) no valor futuro (F5). Chamaremos essa taxa de juros 
de iAc, pois ela é chamada de taxa de juros acumulada. Então:
F5 = P . (1 + iAc)
Observe que não é preciso elevar o termo (1 + i) à quinta potência. Isso 
porque essa taxa não está expressa ao ano. Mas ao período de cinco anos. 
Portanto, ela não produz o valor futuro depois de um ano, mas sim o valor 
futuro após cinco anos.
Observe que as duas expressões acima produzem o valor futuro após 
cinco anos. Comparando as duas vemos que:
(1 + iAc) = (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)
Reescrevendo-a:
iAc = (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18) – 1
Agora podemos calcular a taxa de juros acumulada, ou seja, a taxa de 
juros que produz o mesmo efeito que a composição das outras cinco taxas 
de juros. Assim:
iAc = 1,59128
iAc = 159,128% ao período de cinco anos
Taxas de juros
65
Vimos que, se a eletrônica pagar a dívida somente ao final de 5 anos, a 
taxa de juros acumulada cobrada pelo banco será de 159,128% ao perío-
do de cinco anos. Assim, se o empréstimo fosse de R$1.000,00, o valor a ser 
pago ao final de cinco anos seria de R$2.591,28.
Resumindo, o valor futuro de uma dívida ou de um investimento após um 
período de tempo é:
F1 = P . (1 + i1)
Observe que colocamos um índice 1 na taxa de juros para indicar que é 
a taxa de juros no período 1. No período 2 a taxa de juros é i2. Assim o valor 
futuro será:
F2 = F1 . (1 + i2) = P . (1 + i1) . (1 + i2)
Seguindo esse raciocínio, vemos que após cinco períodos de tempo o 
valor futuro da dívida (ou do investimento) será:
F5 = P . (1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3) . (1 + i4) . (1 + i5)
Observe que se conhecessemos a taxa de juros ao período de cinco anos 
(iAc) poderíamos escrever simplesmente:
F = P . (1 + iAc)
Comparando as duas expressões vemos que podemos realizar cinco capi-
talizações anuais, ou apenas uma para o período de cinco anos e chegamos 
ao mesmo valor. Portanto, essa única capitalização para o período completo 
deve ser igual ao produto das capitalizações anuais, ou seja:
(1 + iAc) = (1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3) . (1 + i4) . (1 + i5)
Agora que já conhecemos a expressão para a taxa de juros acumulada 
vamos recorrer a mais um exemplo.
Exemplo: Bernardo fez uma dívida pós-fixada, assim ele não sabe qual 
será o valor a ser pago até que chegue a data do pagamento. Essa dívida 
era baseada na variação cambial, ou seja, na taxa de variação do dólar em 
relação ao real. 
66
Matemática Financeira
A tabela abaixo apresenta a taxa de variação do dólar em relação ao real 
para o período da dívida.
Mês Taxa Mês Taxa
1 0,7% 7 -0,9%
2 0,7% 8 2,4%
3 0,5% 9 0,6%
4 2,8% 10 3,0%
5 1,6% 11 -0,6%
6 3,3% 12 -0,5%
Calcule a taxa de juros acumulada que Bernardo teve de pagar em um 
ano.
Observe que a taxa de juros que será utilizada para o empréstimo é a taxa 
de variação do dólar. Depois de passado um ano, conhecemos a variação do 
dólar e podemos calcular a variação da dívida de Bernardo.
A equação para a taxa de juros acumulada é dada por:
(1 + iAc) = (1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3) . (1 + i4) . (1 + i5) . (1 + i6)
 . (1 + i7) . (1 + i8) . (1 + i9) . (1 + i10) . (1