Modelagem Matemática - 2 Ciclo do Simulado AV

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Disc.: MODELAGEM MATEMÁTICA 
Aluno(a): 
Acertos: 9,0 de 10,0 05/2022 
 
 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Sabendo-se que a=3, b=5 e c='3', assinale a alternativa que possui uma expressão em cujo resultado 
o compilador Python será True. 
 
 
a>b 
 
a=b 
 
a=c 
 
b>c 
 
a != c 
Respondido em 03/05/2022 22:11:02 
 
Explicação: 
Gabarito: a != c 
Justificativa: As variáveis a e b são números inteiros e c é uma string, pois encontra-se 
entre aspas simples, logo, embora a representação numérica seja a mesma, a e c são de tipos 
diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Determine a raiz da função: f(x)=x4−2,4x3+1,03x2+0,6x−0,32 
Calcule, a partir de um método que não recorre ao cálculo de derivadas, utilizando um intervalo 
inicial [0,3;0,6] e com 9 iterações. 
 
 
0,50000 
 
0,31000 
 
0,60000 
 
0,45000 
 
0,48000 
Respondido em 03/05/2022 22:10:48 
 
Explicação: 
Gabarito: 0,50000 
Justificativa: Aplicando o método da secante: 
def f(x): 
return x**4 -2.4*x**3 + 1.03*x**2 +0.6*x -0.32 
 
def secante(a, b, iteracoes): 
x_0 = a 
x_1 = b 
for i in range(iteracoes): 
chute = x_0 - f(x_0) * (x_1 - x_0) / (f(x_1) - f(x_0)) 
x_0 = x_1 
x_1 = chute 
erro_rel = (x_1 - x_0)/ x_1 * 100 
return x_1, '{:.2f}%'.format(erro_rel) 
print(secante(0.3, 0.6, 8)) 
0.5000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
A interpolação de Lagrange utiliza os seguintes polinômios básicos pelas 
propriedades desses polinômios podemos afirmar que Ln,m(xk) é igual a: 
 
 
0 
 
1 
 
xk 
 
xm 
 
ym 
Respondido em 03/05/2022 22:14:45 
 
Explicação: 
Pela propriedade e construção dos polinômios básicos de Lagrange temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
É dado um conjunto de pontos que possui 5 coordenadas (x,y), deseja-se usar uma base de 
monômios para obter um polinômio de grau 4 , a ordem da matriz utilizada para calcular os 
coeficientes desse polinômio interpolador é: 
 
 
4x4 
 
7x7 
 
6x6 
 
3x3 
 
5x5 
Respondido em 03/05/2022 22:14:50 
 
Explicação: 
Como temos 5 pontos e o polinômio interpolador possui 5 coeficientes para determinar, 
necessitamos de uma matriz 5x5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de sen2(x) no intervalo de 0 a 1. 
Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2: 
 
 
0,29268 
 
0,25268 
 
0,23268 
 
0,27268 
 
0,21268 
Respondido em 03/05/2022 22:12:05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = sen2(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 0; 
- O valor final do intervalo de integração é 1; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python 
indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x: sp.sin(x)**2 
result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de cos(-x) no intervalo de 0 a 1. 
Divida o intervalo de integração em 10 partes. Utilize o método dos Retângulos: 
 
 
0,742 
 
0,842 
 
0,542 
 
0,942 
 
0,642 
Respondido em 03/05/2022 22:19:16 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo). 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = cos(-x); 
- O valor inicial do intervalo de integração é 0; 
- O valor final do intervalo de integração é 1; e 
- O intervalo de integração é dividido em 10 partes, de modo que o tamanho de cada 
intervalo é 0,1. 
Assim, aplicando os conceitos do método dos Retângulos, temos o seguinte código em 
Python: 
 
 
 
 
import numpy as np 
import math 
f = lambda x: np.cos(-x) 
a = 0; b = 1; N = 10 
x = np.linspace(a,b,N+1) 
y = f(x) 
dx = (b-a)/N 
x_medio = np.linspace(dx/2,b - dx/2,N) 
soma_retangulo = np.sum(f(x_medio) * dx) 
print("Integral:",soma_retangulo) 
 
O resultado obtido corresponde à alternativa indicada como correta na questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(2) em face da resolução da EDO de 1ª 
ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,20. Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 
0,75 
 
0,83 
 
0,77 
 
0,79 
 
0,81 
Respondido em 03/05/2022 22:13:06 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira 
ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 2; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,2; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª 
ordem y'= sen2(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 
0,677 
 
0,777 
 
0,477 
 
0,877 
 
0,577 
Respondido em 03/05/2022 22:22:50 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira 
ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = sen2(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,2. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.477. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª 
ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 
2,603 
 
2,503 
 
2,703 
 
2,303 
 
2,403 
Respondido em 03/05/2022 22:20:09 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial emequações diferenciais ordinárias de primeira 
ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = cos(y) + 
sen(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,2. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª 
ordem y'= y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 
2,585 
 
2,885 
 
2,785 
 
2,985 
 
2,685 
Respondido em 03/05/2022 22:26:58 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira 
ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y'= y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.98.