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CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL Atividade 3 Interpolar uma função f(x) é aproximá-la por outra função g(x), selecionada entre uma classe de funções que satisfazem certas propriedades. Normalmente, precisamos recorrer a esta ferramenta em 2 situações: a primeira, quando são conhecidos apenas alguns valores numéricos da função para um conjunto de pontos, e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; a segunda, quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou impossíveis) de serem realizadas (FERNANDES, 2015, p. 101). FERNANDES, D. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015. Considere a tabela a seguir, a qual relaciona o calor específico da água e a temperatura e, a partir do exposto acima, utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatura. Em seguida, calcule o calor específico da água a 27,5 graus celsius. Temperatura (graus celsius) 20 25 30 35 Calor específico 0,99907 0,99852 0,99826 0,99818 Resposta: P¹(27,5) = - 0,00026 . 27,5 + 4,991 = 0,99677 5 P(X)=L0.f(X0) + L1.f(X1) + L2.f(X2) + L3.f(X3) Explicação passo a passo: POLIMONIO DE LAGRANGE DE GRAU 3 P(X)=L0.f(X0) + L1.f(X1) + L2.f(X2) + L3.f(X3) X - Temperatura (graus celsius) X0 X1 X2 X3 L0= (X-X1).(X-X2).(X-X3) = (X-25).(X-30).(X-35) = -( X³ -90X²+2675x -26250) (X0-X1).(X0-X2).(X0-X3) (20-25).(20-30).(20-35) 750 L1= (X-X0).(X-X2).(X-X3) = (X-20).(X-30).(X-35) = X³ -85X² +2350X -21000 (X1-X0).(X1-X2).(X1-X3) (25-20).(25-30).(25-35) 250 L2= (X-X0).(X-X1).(X-X3) = (X-20).(X-25).(X-35) = -( X³ -80X² +2075X -17500) (X2-X0).(X2-X1).(X2-X3) (30-20).(30-25).(30-35) 250 L3= (X-X0).(X-X1).(X-X2) = (X-20).(X-25).(X-30) = X³ -75X² +1850X -1500 (X3-X0).(X3-X1).(X3-X2) (35-20).(35-25).(35-30) 250 20 25 30 35 F(X) - Calor específico F(X0) F(X1) F(X2) F(X3) 0,99907 0,99852 0,99826 0,99818 P(X) = 0,99907 . -( X³ -90X²+2675x -26250) + 0,99852 . (X³ -85X² +2350X -21000) + 0,99826 . -( X³ -80X² +2075X -17500) + 0,99818 . (X³ -75X² +1850X -1500) 750 250 250 250 MMC= 750 P(X) = 0,99907 . -( X³ -90X²+2675x -26250) + 3 . { 0,99852 . (X³ -85X² +2350X -21000)} + 3 . {0,99826 . -( X³ -80X² +2075X -17500)} + 3. { 0,99818 . (X³ -75X² +1850X -1500)} 750 P(X) = 1,99625X³ - 149,71X² + 3657,37X + 11263,37 750 Calor especifico da água a 27,5ºC Utilizando as temperaturas 25ºC e 30ºC P¹(X) = y0 + y1 – y0 (x – x0) x1 – x0 P¹(X) = 0,99852 + 0,99826 – 0,99852 (X – 25) = - 0,00026X + 4,991 30 – 25 5 ~ P¹(27,5) = - 0,00026 . 27,5 + 4,991 = 0,99677 5
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