Clever Pereira - Redes Elétricas(edit)

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Redes Eiétricas no Dominic d3 Frequéncia @ Clever Pereira/ U FMG 
PREFACIO DO AUTOR 
0 estudo dos sistemas elétricos de poténcia é um dos mais fascinantes na érea da 
engenharia elétrica. Ié se falou one as redes elétricas de poténcia constituem os 
sistemas mais complexos de engenharia concebidos pelo ser humano. Estas redes 
possuem o objetivo maior de cola-tar a energia produzida nas usinas de energia 
elétrica e entregé-la ao consumidor de forma limpa, segura e dentro de pardmetros 
normalizados. Esta tarefa envolve, entre outros, o dominio dos fenfimenos envolvidos 
na rode, a modelagem dos seus componentes, a concepgéo e o desenvolvimento de 
técnicas de anélise e a aplicagz‘io destas técnicas em estudos pertinentes. 
Desde meu ingresso no quadro de docentes da Universidade Federal de Minas Gerais 
—- UFMG, em 1982, venho me dedicando fa pesquisa e 210 ensino deste tema e venho 
lecionando muitas disciplinas relacionadas ao assunto, tendo contato diério com 
alunos dos cursos de pos-graduagfio e de graduagfio e profissionais da érea. Durante 
todo este tempo, venho observando certs dificuldade no seu aprendizado, 
principalmente devido ao seu extenso contefido e, muitas vezes, i1 fonna 
automatizada que alguns textos tentam apresentar as técnicas relacionadas é anélise 
de redes elétricas, na forma de uma espécie de receita, sem nenhum apelo logico. 
Considero que tal prética desmotiva o aprendizado da matéria e este fator foi 
elemento principal nests texto. Também noto a auséncia de livros textos em 
portugués que cubram de forma parcial on total as ementas dos 'cursos da UFMG 
ligados ‘a érea. Embora num mundo com a economia fortemente globalizada, seja 
necessério a0 moderno profissional das engenharias o dominio de outros idiomas, é 
desejével que este profissional tenha os primeiros contatos com as técnicas de anélise 
dos sistemas elétricos de poténcia na sua propria lingua. Isto torna o aprendizado 
mais natural e, portanto, torna a fifagfio destes novos conceitos mais firms,- 
_ " h IIIIIIII 
Prefaoio do Autor @ Clever Pereira/ U FMG 
contribuindo para uma Inelhor capacitacao do aluno e futuro profissional para 
aplicagao correta destas técnicas e conceitos. 
E dentro desta contexto que acredito que esta obra venha contribuir para o ensino 
das técnicas associadas a analise dos sistemas elétricos de poténcia. Também por isto, 
tentei fazer o texto com caracteristicas fortemente didaticas, de leitura relativamente 
facil e consulta agradavel, com um nfimero significatjvo de exemplos resolvidos e 
outros tantos propostos, mas principalmente, feito na lingua portuguesa, tao carente 
de trabalhos técnicos a nivel de graduagao e pés-graduacao. 
0 livro tem como tema principal as Redes Elétricas no Dominio da Freqfiéncia. Cobre 
os trés principais topicos associados a estas redes, ou seja, as Técnicas de Analise, os 
Modelos dos Principais Componentes e as Técnicas Computacionais Aplicadas. Pode 
ser utilizado tanto na graduagao como na pos-graduagao, tomando—se o cuidado para 
qua num nivel introdutério, nao sejam tratados temas Inuito complexes, antes da 
fixagao e compreensao por parte dos alunos das partes mais simples. 
O primeiro capitulo introduz conceitos basicos fundamentais, algumas Vezes tratados 
em livros de analise de circuitos elétricos sob o enfoque de circuitos elétricos e nao do 
redes elétricas de poténcia, chamando atengé‘io para a notagao fasorial de grandezas 
_ elétricas em regime permanente senoidal e a representagao em pu das redes elétricas. 
E também apresentada a notacao utilizada no livro, de forma a nortear o leitor 
durante a leitura do mesmo. Os capitulos 2 a 5 5510 dedicados as principais técnicas de 
analise das redes elétricas no dominio da frequéncia. No capitulo 2 $50 apresentadas 
as técnicas de analise das redes, elétricas polifasicas em regime permanente senoidal. 
No capitulo 3 é feita uma particularizagfio do capitulo 2, sendo estudadas as técnioas 
especificas para circuitos trifasicos, equilibrados e desequilibrados. No capitulo 4 e 
apresentado o teorema de Fortescue, de uma forma mais moderna, introduzindo as 
bases das componentes simétricas e as técnicas de analise associadas a elas. O 
capitulo 5 apresenta a tecnica geral de transformagao de componentes, concluindo 
que as componentes simétricas, apresentadas no capitulo 4, podem ser consideradas 
como caso particular desta técnica mais geral, embora em 1918, quando da 
apresentacao das componentes simétricas ‘a comunidade cientifica, F ortescue 
certamente nao tenha feito uso destas novas técnicas de transformagziio de 
componentes, desconhecidas até ent‘ao. 
Os capitulos 6 a 9 apresentam os modelos em regime permanente senoidal dos 
principais componentes dos sistemas elétricos de poténcia, a saber, transformadores 
de poténcia, monofasicos e trifasicos, e linhas de transmissfio. Inicialmente no 
capitulo 6 5510 introduzidos os circuitos magnéticos. Este capitulo serve de base para 
o estudo dos transformadores do poténcia monofasicos e trifésicos, apresentados 
respectivamente nos capitulos 7 e’8. Esta divisao feita no estudo dos transformadores 
teve oomo principal objetivo introduzir inicialmente o transformation com suas 
propriedades basicas, de forma que o entendimento dos processes de modelagem 
fosse natural, sem se preocupar com outros fatores, como por example, 0 nfimero de 
fases. Os modelos obtidos para os transformadores de poténcia monofasicos sao 
estendidos para os trafos trifasicos de uma forma natural, ficando mais simples a 
ii 
Hades Elétricas no Dominio da Frequéncia @ Clever Pereira/UFMG 
compreensao destes modalos. No Capitulo 9 é feita a analise da linha de transmissao 
trifasica em regime permanente senoidal, sendo obtidos sens diversos modelos, 
incluindo sous modelos de quadripolo e de circuito. 
Os capitulos 10 a 13 apresentam algumas das principais técnicas computationais 
aplicadas a redes elétricas no dominio da freqfléncia. Estes capitulos procuram 
introduzir técnicas adequadas para o tratamento de grandes redes elétricas, tendo 
em vista que o aumento e a difiisfio dos sistemas elétricos de poténcia tornaram 
impossivel a analise e projeto dos mesmos sem a utilizagao de computadores. No 
capitulo 10 é feita a introdugao dos modelos matriciais de redes, utilizando teoria de 
grafos, de forma a tratar redes elétricas do grande ports. Nesta capitulo sao 
apresentadas as maneiras como os Inétodos das tensfies de nos 6 das correntes de 
malha podem ser automatizados para aplicagao em computadores. No capitulo 11 sao 
feitos estudos para a solugfio efetiva das equagfies lineares associadas as grandes 
redes elétricas apresentado os métodos indiretos e diretos de solugao das mesmas. O 
capitulo 12 trata especificamente das técnicas utilizadas para estudos de 
curto-circuito, tendo corno objetivo principal a apresentagao das técnicas que 
utilizam as componentes simétricas, Vistas no capitulo 4. O capitulo 13 é dedicado ao 
estudo do fluxo de poténcia, introduzindo as técnicas necessarias para que o analista 
de redes elétricas esteja capacitaclo a entender a relagao entre a produgé‘io e o 
consume de energia numa grande rede elétrica, ou seja, como se da 0 despacho das 
geragfies e cargas nestas redes, de forma que as mesmas oparem adequadamente 
para condigdes topologicas especificas. 
Uma obra coma esta nao tern do __forn:_1a alguma o objetivo do conter todas as técnicas 
utilizadas na analise das redes elétricas no dominio da freqfiéncia. O principal 
objetivo é introduzir didaticarnente o assunto, demonstrar através de um 
consideravel nfimero de exemplos as técnicas apresentadas e fornecer subsidios para 
que o leitor possa prosseguir sous estudos em areas especificas relacionadas as 
grandes redes elétricas. Além disto, Inuitas das técnicas aqui estudadas para o 
dominio da frequéncia podem ser aplicadas quase diretamente no dominio do tempo, 
necessitando apenas de pequenas adaptagfies, tornando ainda mais importante 0 
estudo dossistemas elétricos de poténcia no dominio da frequéncia. 
E esta a abordagem qne venho utilizando durante todos estes anos em meus cursos, 
contribuindo na preparagao e formagao de jovens para ingressar nas areas 
relacionadas aos sistemas elétricos de poténcia. E para estes futuros profissionais que 
dedico este trabalho. 
Belo Horizonte, julho de 2011 
Prof. Clever Pereira 
iii 
fndice Remissivo . © Clever PereiraFMG 
ESTRUTU RA DO LIVRO 
I I I I Partes Capitulo Titulos dos Capltulos FAG NA 
Initial Final 
1 Conceitos Fundamentais 1 38 
, . 2 Circuitos Polifésicos 39 69 
Tecm,°"f‘s ‘16 3 Circuitos Trifa’sicos 70 116 Anahse 
4— Componentes Simétricas 117 202 
5 Transformagfio de Componentes 203 225 
6 Circuitos Magnéticos 226 252 
Modelos de 7 Transformadores Monofésicos 253 345 
Componentes 8 Transformadores Trifésicos 346 392 
9 Linhas de Transmisséio 393 440 
10 Modelos Matriciais de Redes 441 495 
Confegggfflsnais 11 Sistemas de Grande Porte 496 543 
Agucaaas 12 Estudos de Curta—Circuito 544 584 
13 Estudos de Fluxo de Poténcia 585 631 
iv 
Hades EIétricas no Dnminio da Frequéncia IE) Cieuer Pereira/UFMG 
[NDICE 
CAPiTULo 1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS ....1 
1.1 ENERGIA ELETRICA 1 
1.2 GERACAO, TRANSMISSAO E DISTRIBUIQfiO DE ENERGIA ELETRICA 3 
1.3 BREVE HISTGRICO DA ELETRICIDADE S 
1.4 NOTACAO 7 
1.5 VALOR EFICAZ DE ONDAS SENOIDAIS 8 
1.6 REPRESENTACAO FASORIAL DE ONDAS SENOIDAIS 9 
1.7 POTENCIA EM CIRCUITOS MONOFASICOS DE CORRENTE ALTERNADA ............................. 13 
1.8 POTENCIA CONSUMIDA POR ELEMENTOS IDEAIS DE CIRCUITO 15 
1.9 DIAGRAMAS UNIFILARES 20 
1.10 DIAGRAMAS DE IMPEDANCIA E DE REATANCIA 22 
1.11 REPRESENTAQAO DE GRANDEZAS EM PU 23 
1.11.1 Vantagens da representagfio em PU 24 
1.11.2 Formulz’irio para circuit-.05 monofésicos 25 
1.11.3 Mudanga the base 27 
1.12 UTILIZACEKO DE MATRIZES E VETORES REAIS PARA REPRESENTAR EQUACGES DE 
CIRCUITO CA. - 32 
1.13 SUMARIO 35 
1.14- PROBLEMAS ' 36 
J . -‘ .u-.;., 
fndice Remissivo {C} Ciever Pereira/UFMG 
CAPfTULO 2 - CIRCUITOS POLIFASICOS 39 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
2.10 
2.11 
' 2.12 
2.13 
2.14 
2.15 
2.16 
2.17 
SISTEMA 1301113115100 DE k TENséEs 513190102115 SIMETIECAS A k F103 39 
0 OPERADOR n ' 40 
5EOUENCIA DE BASES 43 
CIRCUITOS POLIFASICOS EQUILIBRADOS A 16 FIGS 46 
0111001105 1301113151005 EQUILIBRADOS A 2+1 FIGS 46' 
013360.310 DE TENsfiEs POLIEASICAS SIMETRICAS 47 
TEN50E5 E CORRENTES EM CIRCUITOS POLIEESIEOS 49 
RELAEAO ENT'RE TENséEs DE LINHA E DE FASE EM UM SISTEMA 120111015100 DE 
TENSOES SIMETRICAS 50 
1301131501111 COMPLEXA EM CIRCUITOS 13011123151005 EQUILIBRADOS 00M TEN 50135 
SIMETRICAS 52 
EAT0R DE POTENEIA EM CIRCUITOS POLIEASICOS EQUILIBRADOS COM TENséEs 
SIMETRICAS - 52 
CARGAS POLIEASICAS EQUILIBRADAS 53 
CIRCUITOS 1201113351005 EQUILIBRADOS [SEM 11113111115] 54 
01110111105 POLIFASICOS EQUILIBRADOS (COM METUASJ 61 
111130o DE POTENCIA ATIVA EM CIRCUITOS POLIFASICOS DE CURRENTE 
ALTERNADA 63 
PROVAS DAS PROPRIEDADES 5 E 6 DA TABELA 2.1 66 
5111911111110 67 
PROBLEMAS 67 
CAPfTULO 3 - CIRCUITOS TRIFASICOS 70 
3.1 
3.2 
3.3 
3.4- 
3.5 
3.6 
ANGELO CARACTERiSTICO E OPERADOR a 71 
SEQI'1ENCIA DE FASE E FATOR CARACTERiSTIco y. ‘ 71 
RELAcéES DE TEsjEs EM CIRCUITOS TRIFASICOS EQUILIBRADOS COM TENSGES 
SIMETRICAS E SEQUENCIA POSITIVA DE FASE 71 . 
ANALISE DE CIRCUITOS TRIEASICOS EQUILIBRADOS E SIMETRICOS 75 
P0TENCIA EM CIRCUITOS 131131151005 EQUILIBRADOS SIMETRICOS 85 
SISTEMA PU EM CIRCUITOS TRIEASICOS 92 
3.6.1 Bases primérias e secundérias _ 92 
3.6.2 Célculo da poféncia complexa em pu em sistemas trifésicos :94 
Estrutura 1111 Lie ({3} Ciever Pereira/UFMG 
3.7 
3.8 
3.9 
CIRCUITOS TRIFASICOS EQUILIBRADOS COM TENSfiES SIMETRICAS E CARGAS 
DESEQUILIBRADAS . 96 
SUMARIO 113 
PROBLEMAS . 114 
CAP’I'TULO 4 — COMPONENTES SIMETRICAS ...... ....117 
4.1 
4.2 
4.3 
4.4 
4.5 
4.6 
4.7 
4.8 
4.9 
4.10 
4.11 
4.12 
4.13 
4.14 
4.15 
4.16 
4.17 
4.18 
TEOREMA DE FORTESCUE [COMPONENTES SIMETRICAS] 117 
COMPONENTES SIME‘TRICAS EM SISTEMAS TRIFASICOS 123 
PROPRIEDADES UTEIS DAS COMPONENTES SIMETRICAS EM SISTEMAS TRIFASICOS 
126 
DESCRICfiO GERAL D0 ME’TOOO DAS COMP ONENTES mffiififiEFTE’ERO ‘ ------- 4... 
501111140 DE SEP \Iirro! Indicador n46 definido. 
CARGA TRIFASICA DESEQUILIBRADA SEM MOTUAS, EM ESfiEfiK‘ETRfiS-RJ—Osream ””””” 
CENTRO-ESTRELA ISOLADO 139 
CARGA TRIPASICA DESEQUILIB RADA SEM MUTUAS LIGADA EM DELTA ........................ 145 
CARGA TRIFASICA DESEQUILIB RADA SEM MUTUAS, LIGADA EM ESTRELA ATERRADA 
POR IMPEDANCIA DE NEUTRO, ONDE DUAS O43 IMPEDANCIAS DE FASE $1310 IGUAIS 
ENTRE s: 145 
CARGA TRIFASICA DESEQUILIB RADA SEM MfiTUAS, LIGADA EM ESTRELA COM 
CENTRO-ESTRELA ISOLADO. UNDE'. DUAS DAS IMPEDANCIAS DE FASE SAD IGUAIS 
ENTRE 51 149 
CARGA MONOFASICA ENTRE DUAS FASES {BC} 156 
CURTO-CIRCUITO FRANCO ENTRE 131145 945195 [BC] 158 
CARGA MONOFASICA ENTRE DUAS FASES E TERRA [B CT] 158 
CURTO-CIRCUITO FRANCO ENTRE DUAS FASES E TERRA [BET] 161 
CARGA MONOFASICA ENTRE FASE E TERRA (41') . 162 
CURTO-CIRCUITO FRANCO ENTRE FASE E TERRA [AT] _ 164 
ASSIMETRIA SERIE NA FASE A 164 
ASSIMETRIA SERIE NAS FASES B E C 167 
SUMARIO - 197 
PROBLEMAS 199 
vii 
Indice Remissivo © Clever Pereira/UFMG 
CAPiTULO 5 - TRANSF. DE COMPONENTES ........... 203 
5.1 ANALISE DE CIRCUITOS TRIFASICOS UTILIZANDO TRANSFORMACCES DE 
SIMILARIDADE 204 
5.1.1 Componentes modais para 8 case geral 011818 a matriz das impedfincias de fase 
Z F 6': desequilihrada gene’rica 206 
5.1.2 Componentes modais para 0 case particular onde a matriz das impedfincias d8 
viii 
fase Z... 8- equilibrada .208 
5.2 TRANSFORMACGES DE COMPONENTES PARA CIRCUITOS PGLIFASICOS........................ 221 
5.3 SUMARIO 222 
5.4 PROBLEMAS 223 
CAPTTULO 6 - CIRCUITOS MAGNETICOS .................. 226 
6.1 INTENSIDADE DE CAMPO MAGNETICO H 226 
6.2 DENSIDADE DE CAMPO MAGNETICO B 227 
- 6.3 CIRCUITO MAGNETICO EQUIVALENTE 228 
6.4 CURVAS DE MAGNETIZAcAO 230 
6.5 CIRCUITOS MAGNETICOS COM GAP DE AR 234 
6.6 INDUTANCIA ‘ 239 
6.7 HISTERESE 240 
6.8 PERDAS POR HISTERESF. 242 
6.9 CURRENTES PARASITAS DE FOUCAULT [EDDY CURRENTS] 244 
6.18 PERDAS NO NUCLEO 244 
6.11 EXCITACAO SENOIDAL 244 
6.12 CORRENTE DE 8163124940 246 
6.13 SUMARIO 248 
6.14 PROBLEMAS 248 
CAP‘I'TULO 7 - TRAFOS MONOFASICOS ....................... 253 
7.1 o TRANSFORMAD OR MONOFASICO ID EAL 254 
7.1.1 Relagfio détensfio 255 
7.1.2 Reiagfio de corrente 256 
Estrutura do Liwe {is} Ciever Pereira/UFMG 
7.2 
7.3 
7.4 
7.5 
7.6 
7.7 
7.8 
7.9 
7.10 
7.11 
7.12 
7.1.3 Relagfio de peténcia 257 
7.1.4 Representagéo de circuito [esqueméticfl de um trafe ideal 258 
7.1.5 Impedi—incia vista, ou referida, a um dos lados do train 258 
CIRCUITO EQUIVALENTE DE UM TRAFO MONOFI-‘ZSICO REAL 262 
REPRESENTACAO DE TRAFOS MONOFASICOS EM PU 269 
DETERMINACAO DOS PARAMETROS DE TRAFO ATRAVES DE TESTES ............................ 287 
METODO ALTERNATIVO PARA DETERMINACAO DOS PARfiMETROS DO MODE-11.0 2 A 
PARTIR DOS TESTES A VAZIO E DE CURTO—CIRCUITO 293 
DETERMINACAO DOS PARAMETROS DO MODELO 1 . - . 301 
AUTOTRANSFORMADOR MONOFASICD 307 
7.7.1 Relagfie de transforifiagfie de um autetransfermador ideal 308 
7.7.2 Relagfie de tensfie de um autotransformader ideal 308 
7.7.3 Relagéie de cerrente de um autotransfermader ideal 308 
7.7.4 Relagfie de peténcia do autotransformador ideal 308 
7.7.5 Relagéio entre as potE-ncias de um autetransfermador ideal e do trafe ideal 
associado 309 
7.7.6 Analise cemparativa de um autetransfermader e de um trafe quando utilizados 
numa mesma aplicagz’ie. 3 1 0 
CIRCUITO ‘Ii'. EQUIVALENTE DE TRAFOS MONOFASICOS DE TAP VARIAVEL ................... 315 
TRANSFORMAD OR MONOFASICO DE TRES ENROLAMENTOS 319 
CHOQUE DE BASES 329 
SUMARIO 341 
PROBLEMAS 342 
CAP‘I'TULO 8 — TRAFOS TRIFASICOS 346 
8.1 
8.2 
8.3 
8.4 
8.5 
8.6 
8.7 
TRANSFORMADORES TRIFASICOS 346 
BANces TRIFASIcos DE TRAFos MONOFASICOS 349 
IDENTIFICAcAo DOS TERMINAIS DE TRAFosDE POTENCIA ' 349 
DEFASAGENS ANGULARES EM TRANSFORMADORES TRIFASICUS ‘ 350 
CIRCUITOS EQUIVALENTES SEQETENCIAIS PARA TRAFOS TRIFASIcos ............................ 354 
CIRCUITes EQUIVALENTES SEQUENCIAIS PARA BANCOS TRIFASICOS DE TRAFOS 
MONOFASICOS 360 
CONSIDERACGES PRATICAS _ 331 
ix 
fndice Remissivo LEI) Clever Pereira/UFMG 
8.8 SUMARIO 382 
8.9 PRoBLEMAs 383 
CAPiTULO 9 - LINHAS DE TRANSMlssAo ...............393 
9.1 5001400135 DE 0NDA 0A5 LTS . 394 
9.2 501.0040 0A5 EQUACGES DE 0N0A 0A5 LTS NA FORMA EXPONENCIAL....................... 400 
9.3 501.0040 FECHADA 00 HIPERBGLICA DAS EQUAcéEs DE ONDA 0A8 LTS 403 
9.4 INTERPRETAQAO DAS 501110085 0A5 EQUACGES 05 0NDA 0.45 LTS 404 
9.5 CONSTANTES GENERALIZADAS 00 MODELOS EFGH E .4800 DE LTS 409 
9.6 11901055 DE DESEMPENHO DE LTS 412 
9.7 MODELOS A EQUIVALENTE 5 1'5 NOMINAL 417 
9.8 SURGE IMPEDANCE LOADING (SIL) OU CARGA NATURAL 00 POTENCIA NATURAL DE 
UMA LT 422 
9.9 FLUXO DE POTENCIA EM LTS 429 
9.10 SUMARIO 438 
‘ 9.11 PROBLEMAS 439 
CAPiTULo 10 - MODELOS MATRICIAIS DE REDES .441 
10.1 MATRIZES PRIMITIVAS DE REDES 441 
10.2 TOPOLOGIA DE REDFS 446 
10.2.1 Diagramas unifilares, d8 impedfinciaé e de reatéincias 446 
10.2.2 Definigfies fimdamentais ass0ciadas :‘A teoria de grafos 447 
10.2.3 Teorema bésico dB redps 451 
10.3 MATRIZES DE INCIDENCIA DE UM GRAFO 455 
10.3.1 Matriz de Incidéncia Element0«Nfi 455 
10.3.2 Matriz dB Incidéncia ElementmNé Reduzida 456 
10.3.3 Matriz d8 Incidéncia memento—Lag!) 547 
10.3.4 Matriz de lncidéncia Elemento—Lago Reduzidn 458 
10.4 508140c0 045 EQUACGES DE REDF' 459 
10.5 MATRIZ DE ADMITANCIA DE BARRAS UTILIZANDO ALGORITMO DE MONTAGEM DIRETA...“....473 
474 10.6 PROPRIEDADES d8 373m 8 2" 
Bdrm 
10.6.1 Propriedades (18 173mg 5474 
Estrutura do Livro Ciovor Poroira/UFMG 
10.6-2 Propriedades do Z 3.44.: 4.79 
10.7 SUMARIO 491 
10.8 PROBLEMAS 492 
CAPiTULo 11 - SISTEMAS DE EQUACOES 
ALGEBRICAS LINEARES DE GRANDE PORTE .496 
11.1 50111n DE SISTEMAS DE EQUAQOES ALGEBRICAS LINEARES DE GRANDES 
DIMENSE’JES 496 
11.3 METODOS DIRETOS 500 
1 1.3.1 Método Iterativo r14 lacobi 501 
11.3.2 Método Iterativo de Gauss-Soidel ou Aprom'magfies Sucossivas ........................... 502 
11.3.3 Convergéncia dos Métodos Indiretos 505 
11.3.4 Préticas Adotadas no Implementagfio dos Métodos Indiretos 505 
1 1.4 METODOS INDIRETOS . 5 14 
I 11.4.1 Método do Eliminagfio de Gauss 514 
11.4.2 Fatoragfio E 12 519 
11.4.3 Fatoragfio _L: - 5 - Q __ 524 
11.4.4 Fatoragfio L" - E7 525 
11.4.5 Aprimoramento no Solugfio dos Méto dos Diretos 532 
11.4.6 Rofinamento no 50111950 dos Métodos Diretos 537 
11.4.7 Conditionamonto da Matriz dos Coefioientos 538 
11.5 SUMARIO 540 
11.6 PROBLEMAS ' 541 
CAPiTULO 12 -— ESTUDOS DE CURTO-CIRCUITO......... 544 
12.1 REPRESENTACAO DA REDE ELETRICA NOS ESTUDOS DE CURTO-CIRCUITO ................ 545 
12.1.1 Introdugfio 54-5 
12.1.2 Circuitos de Falta, Pré—Falta e Superposto ou Puro de Falta 546 
12.2 LIGACAO DOS CIRCUITOS EQUIVALENTE5 SEQUENCIAIS DE FORMA A REPEESENTAR 
OS DIVERSOS TIPOS DE CURTOS—CIRCUITOS 551 
12.2.1 Consideragfies Iniciais 551 
xi 
fndice Remissivo © Clever Pereira/UFMG 
12.3 
12.4- 
12.5 
12.6 
12.7 
12.2.2 Curto-Circuito Monofésico [1—113 552 
12.2.3 CurtOwCircuito Bifésico [BC] 554 
12.2.4 Curto-Circuito Bifésico para a Terra (BET) 556 
12.2.5 Curto-Circuito Trifésicn-Terra [ABCT] ou Trifésico (ABC) ..... 559 
CALCULO COMPUTACIONAL DE CURTOS-CIRCUITOS EM REDES ELETRICAS DE 
GRANDE FORTE .. 561 
LIGACOES DOS DIAGRAMAS DE SEQUENCIA PARA AS FALTAS BASICAS 578 
TMTAMENTO DE REDES ELETRICAS QUEAPOSSUEM GERADORES, TRAFOS E CARGAS 
COM LIGACAO ESTRELA ISOLADA 0U TRIANGULO 580 
SUMARIO 583 
PROBLEMAS ‘ 583 
CAPiTULo 13 - ESTUDOS DE FLUXO DE POTENCIA- 585 
13.1 
- 13.2 
13.3 
13.4 
13.5 
NOTAcAO UTILIZADA NESTE CAPI’TULO 586 
FORMULACEO BASICA D0 PROBLEMA DO FLUXO DE POTENCIA 586 
13.2.1 Modelo de Reds-*- 586 
13.2.2. Modelos para Carga e Geragfio 588 
13.2.3 Definigéo Analitica 'do Problema do Fluxo de Poténcia 590 
METODOS DE sowcfxo 594 
13.3.1 Consideragfies Iniciais 594 
13.3.2 Método de Gauss-Seidel 595 
13.3.3 Método de Newton-Raphson 609 
13.3.4 MétodoDesacoplado Répido 617 
SUMARIO 631 
PROB LEMAS 63 1 
Redes Elétricas no Dominic: da Frequéncia © Clever Pereira/UFMG 
CAPi'TULo 1 
CONCEITOS 
FUNDAMENTAIS 
A analise de redes elétricas no dominio da freqfiéneia tem como principal objetivo a 
solugfio dos circuitos associados as redes elétricas e, desta forma, se fundamenta em 
conceitos relacionados a teoria de circuitos elétricos tais como elementos ideals de 
circuitos, representagéio de ondas senoidais por fasores, energia, poténcia instantanea 
e poténcia complexa, entre outros. 
0 objetivo 'deste capitulo é introduzir os principais conceitos necessarios para se 
iniciar o estudo das redes elétricas no dominio da freqiiéncia, ou seja, redes onde 3e 
considera 'que as tensoes e correntes estejam em regime permanente senoidal, ou 
seja, permeate senoidais. 
1.1 mam 'E'LETRICA 
0 termo energia vem do grego epyos [ergosJ e significa ”trabalho". Trata—se de um 
conceito primordial, aceito pela Ffsica, sem necessidade de definigéo. Pode ser 
encontrada na natureza de muitas formas, entre elas a energia potencial, cinética, 
quimica, radiante, nuclear, mecaniea e elétrica. Trata-se do insumo essencial a Vida do 
ser humano e a humanidade vern Se tornando cada vez mais dependente de um alto 
consumo de energia para a sua subsisténcia. Esta dependéncia fez corn que, ao longo 
da historia da humanidade, fossem desenvolvidos infimeros processos para a sua 
produgfio, transporte e armazenamento. 
A energia, ou seja, aquilo que produz trabalho, sempre foi utilizada pelo homem de 
maneira a aumentar seu conforto e lhe permitir uma Vida mais segura e amena, 
propiciandodhe poder e longevidade. Um dos primeiros processos dominados pelo 
homem de forma a lhe fornecer energia foi o fogo, que proporcionava o calor nas 
estagfies mais frias do ano e possibilitava o cozimento dos alimentos, de forma :a 
Capitulo 1 - Conceitos Fundamentals © Clever Pereira/UFMG 
torna—lo mais saudavel e preparado para os percalgos da Vida. 0 fogo era também 
utilizado para iluminar e aquecer suas noites, afugentando os animais solvagens e 
mesmo os mans espiritos, presentes em seus medos. O homem tambérn se dedicou ao 
dominio de outros processos capazes de gerar trabalho. Domesticou animais 
selvagens, de forma a aumentar sua oapacidade de transporter grandes pesos sobre 
veiculos, poupando-lhe o esforgo do faZé-lo. Percebeu que pequenos pesos poderiam 
ser utilizados juntamente com roldanas e cordas, de forma a movimentar grandes e 
pesados volumes, 0 1150 de eixos e engrenagens, de forma a reduzir a velocidade do 
acionamento e aumentar o torque, foi quase imediato. Foram desenvolvidas as 
maquinas hidraulicas e a combustfio interna, que podiam realizar tarefas 
praticamente impossiveis para um ser humano. 
Com 0 passar do tempo 0 homem percebeu que a natureza podia lhe propiciar outras 
formas de energia, mais refinadas, que poderiam ser utilizadas para todas suas 
necessidades basicas relacionadas a tragao, iluminagao e aquecirnento. Entre estas 
formas destaca-se a energia elétrica. O 1.130 da energia elétrica se disseminou de forma 
rapida por todo o planeta. A figure 1.1 apresenta uma foto composta do planeta Terra 
a noite montada pela NASA, agéncia espacial norte-americana, mostrando como a 
energia elétrica se encontra disseminada em todas as partes do mundo. As partes 
mais brilhantes indicam locais mais urbanizados, mostrando o quao importante é a 
energi'a elétrica nos dias de hoje e quanta o homem moderno depende deste tipo de 
lenergia. 
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Sid” "- - 51.223915; “Ea-Egtwflfl—fll ’f‘fijg rig.- 
Figura 1.1—- Faro composta do Terra 6: mafia. 
\ A razfio principal da rapida disseminagao da energia elétrica se dove a relative 
facilidade de transporté-la, converte-la em outras formas de energia e produzi-la a 
partir de fontes primaries de energia, seja de origem fossil, hidraulica, nuclear ou 
alternativa, abundantes no planeta. Algumas destas fontes sao renovaveis, outras 1:150. 
330 exemplo de fontes primaries de energia fosseis o petroleo, 0 gas natural e o 
carvfio mineral. A geragao de energia elétrica ntilizando este tipo de fonte primaria de 
energia passa pela queima destes produtos e a formagao de vapores que Vaopfazer 
Fiedes Eletricas no Dominic: da Frequéncia © Clever Pereira/UFMG 
girar uma turbina que, por sua vez, faz girar urn gerador de energia elétrica, 
produzindo a energia elétrica desejada. As usinas produtoras de energia que utilizam 
este processo séo chamadas de centrais termelétricas. Nos dias de hoje, 
aproximadamente 63% de toda energia elétrica produzida no planeta é de origem 
fossil. Trata—se de fonte nao renovavel e poluidora, pois a geracfio da energia elétrica 
passa pela queima dos combustiveis produzindo gas carbono e outros compostos 
prejudiciais ao ser humane. 
A energia hidraulica é a energia contida na agua armazenada num reservatorio que, 
ao ser captada por dutos e conduzida até turbinas localizadas eIn cotas inferiores, 
possibilita a geracao de energia elétrica através dos geradores. Neste processo nao 
existe a queima de combustiveis fosseis sugerindo se tratar de um processo 
renovavel. Entretanto, é um processo altamente dependente do regime de chuvas da 
regiao onde se dé a captacao daagua e envolve a formacao do reservatorio, que pode 
ocupar extensas areas produtivas. A energia hidraulica pode tarnbém ser 3 energia 
captada por usinas hidrelétricas a fio d'égua, sern a necessidade de se formar o 
reservatério. No entanto, este processo é menos utilizado por ser menos eficiente que 
o primeiro. As usinas produtoras de energia elétrica que utilizam a energia hidraulica 
dos reservatérios on a fio d’agua sfio chamadas de centrais hidrele’tricas. Mais de 70% 
de toda energia elétrica gerada no Brasil é atualmente de origem hidraulica. 
Outra fonte primaria de energia elétrica sin 05 processes nucleares. Atualmente, 
aproximadamente 17% da energia elétrica de todo o planeta é produzida 
utilizando-se a energia nuclear, obtida através de reacfies nucleares exotérmicas. O 
caior liberado é utilizado, como nas centrais termelétricas para a producéo de 
vapores de elevada pressao para movimentar turbinas adequadas. Estas turbinas 
fazem girar os geradores elétricos, denominados turbogeradores, produzindo' a 
energia elétrica. Um dos grandes problemas deste processo diz respeito ao lixo 
nuclear produzido, uma vez que este lixo é altamente toxico tanto para a humanidade 
quanto para o planeta em 51. No BrasiI existem atualmente apenas duas usinas 
nucleares de producao de energia elétrica, situadas no estado do Rio de Ianeiro — 
Angra 1 e Angra 2 - que contribuem corn apenas 2% do consume do pais. 
Sfio exemplos de fontes primarias alternativas os vapores internos da Terra [energia 
geotérmica), o sol, os ventos, as marés, o alcool hidratado, 0 gas do lixo e a biomassa, 
entre outros. No entanto, as fontes alternativas de energia possuem atualmente 
pequena importancia, pois representam apenas um pequeno percentual na matriz de 
geracao de energia elétrica no cenario brasileiro e mundial 
1.2 GERAcAo, TRANSMlssAo E DISTRIBUIcAo DE 
ENERGIA ELETRICA 
Os sistemas elétricos de poténcia (SEP) séio atualmente extensos sisternas destinados 
a geracfio, transmissao e distribuigfio da energia elétrica, conduzindo esta energia 
desde as usinas produtoras até as unidades consumidoras [residenciaL comercial ou 
.... :::: 
Capitulo 1 - Conceitos Fundamentals © Clover Poreira/UFMG 
industrial]. No Brasil, praticarnento todos ostos sistomas utilizarn onergia olétrica na 
forma do corronto altornada sonoidal trifasica do 60 Hz. 
0 sistoma do goragao do onergia olétrioa é formado basicamonto por usinas 
tormolétricas [fontos fosseis o nuclearos] e hidrolétricas [fontos hidraulicas]. Nostas 
usinas, a goragao da onorgia olétrica é feita através do maquinas sincronas, gorando 
onorgia olétrica na forma do tonsc‘ios o corrontos sonoidais trifasicas. Atualmonto, as 
unidados geradoras sincronas possuom tonsoes nominais quo v50 do 2 kV até 20 kV. 
As unidados goradoras do poquono porto geralmonto utilizam tensfios nominais do 
monor valor. As unidados goradoras do Itaipu 550 as maioros oxistontos no Brasil o 
utilizam tonsfies nominais do 20 kV, com poténcia nominal do aproximadamonto 
800 MW. 
A onergia olétrica gorada nas usinas olétricas dove sor transmitida até as unidados 
consumidoras. 0 sistoma responsavol por osta tarofa é chamado do sistoma do 
transmisséo do onorgia olétrica e é composto principalmonto por linhas do 
transmissao, aéroas o subtorréinoas, o outros oquipamontos tais como 
transformadoros, autotransformadoros, bancos do roatoros e do capacitoros, 
disjuntoros, barramontos o outros. Normalmente as linhas do transmissao fazom a 
conoxfio do usinas goradoras do energia olétrica aos contros consumidores. Em cada 
extrema do uma linha do transmissao existe o quo so chama do subostagao do onergia 
elétrica, onde os domais oquipamontos do transmissao estao rounidos. As linhas do 
transmissao do onorgia olétrica oporam com divorsas tonsfies nominais. No Brasil as 
tonsoos nominais do operagfio das linhas do transmissao vao do 230 kV até 765 kV 
om corronto altornada sonoidal, passando por 345 Id], 400 kV o 500 kV. Existom 
aponas duas linhas do transmis'sao, da classo do 1200 kV om corronto continua, 
ohamadas do bipolos on links do, responsaveis pola transmissao do aproximadamonto 
95% da onergia gorada em 50 Hz na Usina Hidrolétrica do Itaipu. Isto é feito apos a 
rotificagao dosta onergia para corrento continua ainda om Foz do Iguagu. 0 
aproveitamonto dosta onergia é foito apos a conversao desta onorgia elétrica om 
corronto continua para corronto altornada do 60 Hz om solo paulista. Estao 
projotados o em faso do construcao novos links do corrento continua que trarao a 
onergia olotrica do sistema' do Rio Madeira, situado no estado do Rondonia, rogiao 
norte do Brasil. ' 
A distribuigéio da onergia olétrica para os consumidoros finais é foita através do um 
sistoma primario do distribuigfio, cuja tonsao do oporag’ao vai do 13,8 kV até 138 kV, 
passando por nivois intermediarios, ontro olos 24 kV, 34,5 kV, 69 kV o outros. Existo 
ainda um sistema socundario do distribuigao, no qual a onergia olétrica é ontroguo ao 
consumidor final corn uivois do tonsao abaixo do 600 V, normalmonto 220 V o 380 V. 
0 nivol do tonsao do faso para neutro do 127 V que é comumente utilizado no Brasil 
na distribuigao socundéria advém da oscolha feita por Tomas Alva Edison do forma a 
tornar suas lampadas do filamento do oarhono oconomicamonto oompotitivas om 
rolagao a iluminaoao a gas, propondoranto no século XIX. O nivol do tonsao do fase 
para noutro do 220 V, também muito comum om sistomas mais modernos do 
distribuigao socundaria no Brasil o om toda a Europa advém da invongao das , 
lampadas com filamento metalico, quo suportavam maioros tonsfios quo as lfimpadas 
4 
Redes Elétricas no Dominio da Frequéncia @ Clever Pereira/UFMG 
de filamento de carbono de Edison. Este nivel de tensao foi adotado inicialmente pela 
Berliner Elektricitats—Werke [BEW], concessionéria de distribuigao de Berlim, em 
1899, medida seguida por praticamente todas as outras concessionarias européias da 
época, em fungao da economia nas perdas joulicas nos condutores. Ao contrario da 
Europa, os Estados Unidos mantiveram o padrao inicial, prética inicialmente seguida 
pelo Brasil, nos seus sistemas mais antigos. 
1.3 BREVE HISTORIco DA ELETRICIDADE 
A historia da eletricidade tem seu inicio com Tales de Mileto, um dos sete sabios da 
Grecia antiga, apos verificar que pedagos depalha eram atraidos pelo ambar [resina 
fossil de coloragfio amarela, marrom on vermelha, derivada de arvores coniferas] 
- quando este era esfregado com-pole de carneiro. 
Ate o século XVI, eletricidade e magnetismo eram desvinculados um do outro e 
estudados sem nenhum rigor cientifico. Do século XVI ate 0 seculo XIX Varios 
cientistas estudaram a eletricidade, podendo—se destacar Otto von Guericke, inventor 
do primeiro gerador eletrostatico, Luigi Aloisio Galvani e suas experiéncias com 
eletricidade em animais, Benjamin Franklin e seu para—rams, Henry Cavendish com 
trabalhos visionarios sobre a eletricidade, incluindo a lei de Ohm, Alessandro Volta e 
sua pilha voltaica, Hans Christian Orsted e Andre—Marie Ampere com as explicagfies 
sobre o efeito magnético das correntes elétricas, Georg Simon Ohm e os estudos sobre 
a proporcionalidade entre a diferenga de potencial e a corrente elétrica em materiais 
condutores de energia elétrica, Gustav Robert Kirchhoff e as leis basicas dos circuitos 
elétricos, Michael Faraday e 05 estudos sobre a indugao magnética entre duas 
bobinas, possibilitando a construgéio dos transformadores e motores elétricos, James 
Clerk Maxwell e a unificagao das teorias da eletrioidade e do magnetismo, 
consolidando os experimentos de Faraday e criando o eletromagnetismo. 
No entanto, o uso da energia elétrica em escala comercial so foi disseminado a partir 
do fim do século XIX, mais especificamente em 1879 com a invengao da lampada 
elétrica por Thomas Alva Edison nos laboratorios da GE, seguida do patenteamento e 
construgfio da Usina Termelétrica de Pearl Street e de um pequeno sistema de 
distribuigfio de energia elétrica em 110 V de corrente continua, na cidade de Nova 
York, nos anos de 1880 e 1882 respectivamente. A primeira linha de transmissao de 
energia elétrica do mundo foi construida nos Estados Unidos ainda em 1882. 
Tratava-se de uma linha de transmissao de 59 km de extensfio, operando com tensao 
de 2400 VDC (corrente continua). A primeira linha de transmissiio de energia elétrica 
do Brasil foi construida jé em 1883, no municipio de Diamantina, Minas Gerais, com 2 
km de extensfio e tensao nominal também de 2400 VDC', demonstrando a rapidez com 
que a tecnologia associada a energia elétrica disseminava pelo mundo, até mesmo 
pelas colfinias de paises enropeus. Em 1885, William Stanley desenvolveu o atual 
transformador de poténcia a niveis comerciais, acenando para a possibilidade do 1150 
comercial da energia elétrica 11a forma de corrente alternada. Em 1888 Nicola Tesla 
apresentou no AIEE artigo técnico sobre motores bifasicos de corrente alternada, 
. I - v' - ,.-I z." 
Capituio 1 — Conceitos Fundamentais © Ciever Pereira/UFMG 
iniciando a chamada gnerra das correntes. Suas idéias sobre 0 uso de corrente 
alternada foram patrocinadas por George Westinghouse e conseguiram predominar 
sobre as de Edison que preoonizava o uso da corrente continua, principalmente 
devido os transformadores possibilitarem a elevagao das tensfiies, diminuindo as 
perdas na transmissfio da energia elétrica. Também coneorreram para a 
disseminagao do use da corrente alternada frente a corrente continua a possibilidade 
de se utilizar sisternas polifasicos [bifasicos e trifasicos] e a robustez dos motores de 
corrente alternada quando comparados aos motores de corrente continua. Em 1893, 
Charles Proteus Steinmetz desenvolven a formulage'io matematica para o estudo de 
circuitos em corrente alternada, mostrando a relagao biunivoca entre grandezas 
senoidais e fasores. Também em 1893 Nikola Tesla realizon a primeira transmissao 
de radio. No entanto, sea invengao seria creditada, com controvérsias, a Guglielmo 
Marconi, em 1904. A utilizagao destes equipamentos elétricos, tais come 0 radio, a 
lampada elétrica e 0 motor elétrieo, se tornou obrigatoria a tal ponto que, ja em 1901 
existia no interior paulista uma companhia de geragao, transmissao e distribuigao de 
energia eiétrioa, denominada Centrais Hidrelétricas do Santana do Parnaiba, corn 
Iinhas de transmissao trifasicas, em corrente alternada, com tensoes de operagao de 
40' kV, comprovando a rapidez na qual os sistemas de energia elétrica se 
disseminavam pelo mundo. 
Atualmente os sistemas de energia elétrica sao sistemas complexes, com elevado 
' nfimero de equipamentos, cuja operagéio exige o conhecimento de técnicas 
elaboradas para a solugao das redes elétricas, de forma a fornecer subsidies a uma 
operagao segura, dentro de limites de tensao, corrente e poténcia, compativeis com os 
sens equipamentos. Este conjunto de técnicas constitui as técnicas de analise dos SEP. 
A tabela 1.1 apresenta as diversas areas do estudo relacionadas a analise dos SEP 6 o 
espectro de freqiiéncia das correntes e tensoes associadas aos fenfirnenos tratados 
nestas areas. 
Tabela 1.1 - Areas do estudo reiacionadas d anéiise dos sfstemas elérricos de paranoia. 
”nonsense-g m Am co _ _ BEGUM! TRANSITORIO 
to "1 Hz a 100 Hz} I. (1H2: 100 MHz) 
. Anollseno Anfilisa no Iio‘III-I'nio I 
-Idoml’nio a“ do tempo e do» . Anilis'e' no dominio 
'f 1... . freqiiéncio toIII _ - do tempo e/oll do freqiiéntio 
. Plum dB “"9" ' Estuhiiidnde o Folios - Nionohros ' ““6995“; I Corona 
- Corio-cirmiio ironiorIo utmosfericos 
mm W m ”s n m 10 kHz 100 kHz 1 MHz 100 MHz 
O leitor po de notar pela tabela anterior que a analise de sistemas elétricos de 
poténcia pode ser feita nos dominios da freqiiéncia e do tempo, dependendo__ do 
Redes Elétrices no Dominio de Frequéncia © Clever Pereira/UFMG 
objetivo do estudo e do fendmeno de interesse. Assim, estudos de fluxo de carga, 
eurto—circuito e estabilidede estetice sao reelizedos no dominio da freqiiéncia, ume 
vez que envolvem o calculo de grandezas elétrices em regime permanente senoidel. Ia 
estudos de estabilidade transitoria e transitorios eletromecenicos em maquines 
elétricas utilizem simultaneemente técnicas no dominio de freqiiéncie e do tempo. 
Normelmente nestes estudos, a rede elétrice é tratade no dominio da freqiieneia e as 
mequines rotetivas no dominio do tempo. Estudos de transitorios associedos a 
fenomenos de feltas, menobras, sobretensfies atmosférices e efeito corona podem ser 
realized-0's no dominio do tempo on de freqiiéncia, embore as técnicas no dominio do 
tempo sej'em mats difundidas e meis bem conhecides pele comunidade cientifica. 
E rezoevel edmitir oue, na maior perte do tempo, 0 sisteme elétrico de poténeie esteja 
operando dentro de limites eSpecificedos a priori para a tenseo e freqiiéncie, ou seja, 
em estedo normal de operageo, denominedo regime permanente senoidal. No 
entento, em alguns mementos podem ocorrer perturbagoes teis como curtos- 
circuitos, aumento ou diminuigeo abrupte de cerge, cheveemento de linhas de 
transmisseo, entrede on seida de operageo de equipementos, entreda de cargas 
essimétricas e outres contingencies que ireo lever o sisteme a estados trensitérios, 
onde podem aparecer componentes continues e hermfinicos de ordem superior nes 
tensfies e correntes do SEP. No entento, passedo estes mementos iniciais, o sisteme 
tende e retornar eo regime permenente senoidel, mesmo com a presenge da 
perturbageo que ocasionou o regime transitorio. E de interesse neste livro treter de 
fenémenos essociedos as redes elétrices nos queis as tensées e correntes possem ser 
consideradas em condigfies de regime permenente senoidel, e portento, possam ser 
representedas por senoides pures. Desta forma, todos os capitulos $50 dedicedos 
epenas a analise das redes elétricas no dominio da freqiiéncia, embore muitos 
conceitos equi epresentados possam ser estendidos para eplicegfies no dominio do 
tempo. 
1.4 NorAcfio 
De forme a facilitar a leitura do texto, sera edotede ume notagfio {mica em todos os 
capitulos para representar as diverses grendezas elétricas envolvides ne enalise dos 
sistemes de energie elétrice. Desta forme, ondes no tempo serfio representedas por 
letres minfiscules em italieo. Assim, 12(3), on simplesmente v, vei representarume onda 
de tensfio no tempo. No item 1.6 a seguir sera mostredo que ondes puremente 
senoidais podem ser essociades a entidades denominedes fesores que, por sue vez, 
podem ser representados por nfimeros ou verieveis complexes. lmpedfincies e 
admitancies associadas e circuitos elétricos em regime permenente senoidel, embore 
neo sejem fesores, tembém podem ser representades por nfimeros e verieveis 
complexes. Verieveis complexes essoeiedas e fesores on a grandezes do tipo 
impedancia ou admitfincia serfio representedes por letres meifiscules em italico. O 
modulo do nfimero complexo vei ser representado pela letre meifiscula em italico 
entre barres verticais. Desta forma, Vvai representer o fasor associedo e ume onda 
v(t) puramente senoidal, enquento IV] indica o modulo deste fesor e Vmfl. o valor 
maximo da onda senoidel v09. De mesma forma, Z é ume impedancie complexe de um 
Capitulo 1 —- Conceitos Fundamentais © Clever Pereira/UFMG 
determinado circuito, enquanto |Z| indica o seu modulo. Sam nenhuma distingao, 
serfio também utilizadas letras maifisculas italicas para representar grandezas 
escalares reais, tal como T para indicar o perfodo de Luna onda ou s para 
representar o valor eficaz de uma tensfio, cahendo ao leitor distinguir se determinada 
variavel é complexa 011 real. 
Na formulagfio das equagfies de circuitos associados as redes elétricas, vao ser 
utilizados em muitas ocasioes matrizes e vetores, representados respectivamente por 
letras maifisculas em italico com um til e uma barra acima. Esta notagao visa 
distinguir matrizes e vetores de variaveis puramente escalares. Assim, I7" representa 
um vetor cle fasores de tensfies enquanto Z representa uma matriz de impedancias. 
EXEMPLO 1.1 
ldentificar as variaveis abaixo, indicando a sua natureza: 
(a) v0) = 141 003 (cot+ 11/6) kV 
(b) V= 100 130° kV 
(o) W = [100430° 14301—90" IOOASOD] kV 
SOLUQKO 
(a) v0) é uma onda senoidal no tempo, de valor maximo ou de pico igual a 141 1:16. 
freqiiéncia angular co e angulo de fase igual a 1:26 radianos ou 30°. 
(b) Vé um fasor eficaz de modulo igual a 100 kVe angulo de fase igual a 30°. 
[c] 17? é um vetor linha _de trés tensfies senoidais, representadas pelos fasores 
100 430° kV, 100 1- 90° kVe 100 A150” kV‘ 
15 VALOR EFICAZ DE 0NDAS SENOIDAIS 
Co nsidare uma onda senoidal de tensfio, mostrada na equagao [1.1) a seguir 
120) =Vm cos(a).r+§) (1.1) 
Nesta equagao, m é uma variavel real positiva que representa o valor de pico da 
onda, a) é a freqfiéncia angular em rad/s e 5 é o fingulo de fase em radianos, sendo 
a: = 27: f [1-2] 
onde f é a freqfiéncia da onda 120*) am Hz. Trata-se de uma onda senoidal periodica, de 
periodo Tdado por 
T =1/f [1.3] 
0 valor eficaz Var de uma onda periédica qualquer 120:), de periodo T, é definido por 
I; 51—1 11(1d ‘ [1%) Va” 
Redes Elétricas no Dominic da Frequéncia Clevar Pereira/UFMG 
Para a onda senoidal em [1.1) tem-se que 
Iva) cit: HVM cos( (m+5)]_dr (15] 
Considere entéo uma mudanga de variavel dada por 
=cor+5 ::> 531;:d :> dt=~1~du (15] 
a? 
Os limites de integragéo para esta nova variével a: definida em [1.6] vac ser dados por 
i = 0 2} 145:5 (1.7] 
i=7” :5 u=wT+6=27r+§=27r+5 
Assim sendo, substituindo as equagfies [1.6) e [1.7] na equagéo [1.5] resulta em 
T 23+; 2 1 (V )2 2:74-5 
Iva): dt = J- [m cosu] —du x "m I cos2 1: du = 
o a ‘0 a) a 
2 21r+5 F 2 ‘” ZINE : ( m ) I [14-605231] d” = (Vm) u + sen 2H] 3 (1.8) 
a: a. 2 2w _ a 
2. _ : (Vm) {[(21:+6)+ sen2(2a:+ 5)}, 6+ sen 25]} _—._ 
2a) 2 _ 2 
2 2 
( m ) [2713-4-54' 531125 _6_ 3311225] = ”'(Vmax) 
Desta forma, substituindo (1.8] em (1.4), resulta finalmente que 
= 4 1 H ? " Iva)2 dt =J1(HJI):)E(VM2“) (1'9) 
Ila/I‘d :22?)2 "WW =J§ 
A equagéo [1.9] mostra que 0 valor eficaz de uma onda senoidal é seu valor méximo 
ou de pica dividido pela raiz quadrada de 2. Na maioria das vezes neste trabalho, o 
valor eficaz de uma grandeza val ser representado omitindo—se o subscrito "ef". 
1.6 REPRESENTACAO FASORIAL DE ONDAS SENOIDAIS 
Chama—se fasorA o vetor de comprimento ou médulo [A], que gira no plano complexo 
com uma velocidade angular constante a), no sentido anti—horério. A figura 1.2 a 
seguir mostra o fasor maximo A num instants genérico t, destacando suas partes real 
AR e imaginaria A;. 
..-I' M'. ''''' 
Capitulo 1 -- Coneeitos Fundamentals @ Clever Pereira/UFMG 
Im M 
a) 
V- A , ------- A; = Im(A) 
E MI 
I ............. 
: i i i i 3.6 : (1)334“ 60 
I I'I‘. 
: : 
AR = 32394) Re 
Figure 1.2 — FosorA e sues portes constitufntes. 
Utilizando—se a identidade de Euler, este fasor maximo A pode ser descrito por 
A = A R + j A I = l A l c o s ( a J t + 6 9 ) + j E A | s e n ( w t + ( 9 g ) : 
‘ (1.10] 
: |A| [cos(wt+ 60+ jsen (a): + 6‘9 )1 = ]A[ ellfl’ll‘g”) = (lAl ejg“ )ej‘in 
Aplicando—se a formula de Euler na onda senoidal da equagao [1.1) resulta 
v(1‘)= Vm 003(02): + 5) = ReDm cos (out+ 5) + j |Vmfl|sen (a): + 6)] = (1.11) 
= Re [II/2...! corral] = :Re [( V... | e‘” l 6W] = Re [V] 
As equagoes [1.10] e [1.11] anteriores mostram que a onda senoidal no tempo v(t) 
pode ser associada a projegzao de um fasor valor maximo ou simplesmente fasor 
méximo V no eixo real. Este fasor recebe este nome porque esta associado ao valor 
maximo da onda no tempo vfit). Por sua vez, 3. parte real do fasor méximo Vpode ser 
associada a uma finica onda senoidal no tempo v05). Esta correspondéncia biunfvoca 
sugere a utilizagao de fasores maximos para representar ondas senoidais no tempo. 
Isto foi feito pela primeira vez por Charles Proteus Steinmetz, matematico e 
engenheiro eletricista alemfio, no final do séeulo XIX. A figura 1.3 a seguir mostra o 
fasor maximo V e suas principais partes constituintes, representado em urn instante 
genérico I. 
Im A 
(0 V’ 
V 
. - - - - - - - V} = 1141 (V) 
E Wm! 
: '''''''''' “Wm-HE: m t + 6' 
FR = :Re (V) 122 
Figure 1.3 - Fosor Ve sues portes constitufntes. 
10 
Redes Eiétricas no Dominio cla Frequéncia © Clever Pereira/UFMG 
Normalmente, para fins de normalizagao, todo fasor é representado na origem dos 
tempos, ou seja, no instante r = 0, Como se fosse um vetor estacionério, ficando 
subentendida a sua rotagéio. A figura 1.4 a seguir mostra o fasor maximo A da figura 
1.2 anterior, representado no instante t 2 0. 0 leitor pode verificar que, mesmo em 
I = 0, todas as partes constituintes do fasor méximo A estao presentes, a saber, seu 
modulo |A[, seu anguio inicial 90, suas partes real AR e imaginaria A; e a sua velocidade 
angular a). Desta forma, todos os parametros para o estabelecimento da onda senoidal 
no tempo também estéio definidos, continuando valida a relagzao bium’voca entre os 
dois. 
Im A 
A; = Im (A) ----------- A 
90 
“5—. 
ar— 
AR=R3(A) m 
Figaro 1.4 — FasarA e suns portes cansdtuin res em I = 0. 
A figura 1.5 a seguir mostra o fasor maximo V e suas partes constituintes, 
representado no instante t e 0. 
Im A 
‘
1
 
V}=Im(V) - - - - - - - - - - - ~ 
—
n
—
-
—
-
-
-
-
 
E . 
F 
Var-33(V) Re 
Figaro 1.5 «- Fasor Ve sues parties constitufntes em 2‘ = 0. 
Por ser urn vetor no plane e ser considerado apenas no instante t = 0, o fasor méximo 
V pode ser representado por um m‘imero complexo nas suas trés formas, a saber, 
eXponenciaI, cartesiana e polar. A equagao [1.12) a seguir mostra estas notagfies para 
o fasor méximo Vda figura 1.5 anterior. . 
V=|leja =iVm1cos§+j|Vm|sen5=n +jVI ={Vm|z§ (1.12) 
Pela equagfio anterior pode-se concluir que as partes real 6 imaginéria do fasor Vvfio 
valer respectivamente 
VR =|Vmaoos§ (1.13) 
V; = Ilsené‘ 
. ._I- ........ 
11 
Capitulo 1 - Conceitos Fundamentals {{1} Clever PereiraFMG 
A representagfio de fasores por nfimeros complexes é extremamente vantajosa, uma 
vez que toda a matematica associada aos nfimeros e variaveis complexes pode ser 
utilizada para o tratamento dos fasores (ondas senoidais de tensao e corrente] em 
redes elétricas em regime permanente senoidal, ou seja, redes onde estao presentes 
apenas ondasperfeitamente senoidais, de freqfiéncia constante a). 
No item 1.7 adiante sera mostrado que algumas grandezas efetivamente importantes 
das redes elétrioas em regime permanente senoidal tal como potencia e energia 
podem ser expresses de forma mais simples quando se utiliza os valores eficazes das 
ondas de tensao e corrente. Desta forma, torna-se conveniente definir outro tipo de 
fasor, denominado fasor eficaz ou fasor RMS ou simplesmente fasor, onde se utiliza o 
valor eficaz da onda senoidal em vez do seu valor de pico. A equaga‘io [1.14) a seguir 
mostra a relagao entre o fasor eficaz e a onda senoidal no tempo v(r) em (1.1). 
1)“): KM; 008(60t + 5) ___ me[Vmax e,f(wr+é‘}] :- 918 [J5 (1%; eilmr-I-cfljj = [1.14] 
L 
= 9%: [x5 (Kfej(m+§))] = 938[\/§ 0V] oi as”? 2: SR8[\5 (V)] 
O leitor deve observer nesta equagao que o valor eficaz de v0?) foi representado tanto 
por Vef como por W] e que a letra V foi utilizada para representar o fasor efioaz 
associado a onda de tensao v(r) e 1130 mais o fasor maximo. Desta forma, para obter a 
onda no tempo nao se deve esquecer do fator multiplicador \12. Na equagao anterior, 
o fasor eficaz Vé da forma 
V=IV1 e"? =lV| cos§+j |V13en§=|V| 45 I (1-15] 
Este novo fasor mantém a mesma relagao biunivoca com a onda senoidal anterior, 
uma vez que a relagao entre o valor eficaz e o valor de maximo ou de pico de ondas 
senoidais é finica. 
Nota—se pois que as ondas senoidais no tempo podem ser associadas tanto a fasores 
maximos quanto a fasores eficazes. Entretanto, a préitica tem mostrado que o uso de 
fasores associados aos valores eficazes é mais adequado, pois facilita alguns calculos 
relacionados a poténcia e energia em circuitos elétricos de corrente alternada. Em 
razfio disto, ficou estabelecido como padrao o uso dos fasores eficazes para se 
representar ondas senoidais na forma fasorial. A onda senoidal v(t) apresentada em 
[1.1] vai ser entao representada de forma padréo por um fasor RMS através de trés 
notagfi es distintas, a saber: 
lVlefi <2}: [Vlcosé' + j ”156115 <=> IVléé‘ [1.16] 
W L f. r’ ‘—"—'V"'.—"'“ NOTACAO Nomoao noraoao EXTONENCLAL ommsma POLAR 
onde [VI é o valor eficaz da onda senoidal v(t). 
12 
Redes Eiétricas no Dominic} da Frequéncia (:3 Clever Pereira/UFMG 
1.7 POTENCIA EM CIRCUITOS MONOFASICOS DE 
CORRENTE ALTERNADA 
Considere uma fonte ideal senoidal fornecendo nos seus terminais tenséo e corrente 
senoidais conforme equagfio [1.17) a seguir 
-. V“ ) = Vim 003a}: [1-17] I 1'0) 2 [mm COS ( w I— 6 ) 
A figura 16(3) 3 seguir mostra 0 circuito considerado. Estas ondas podem ser 
representadas pelos fasores eficazes V e L. mostrados na figura 1.6[b], onde se 
percebe que a currente esté atrasada de um fingulo de fase 6' em relagéo :31 tensfio. 
:— 3 M A I A V k w 
—::— j .2: 
® V 9 Re 
1 
40 
[a] ' (b) 
Figura 1.6 — Fonts senofdal efasnres Va I terminafs. 
P01" definigfio, a poténcia instantinea 3(1‘) fornecida por esta fonte r21 rede é dada pelo 
produto da onda de tensfio pela onda de correlate, on seja 
3(r) = v(r).i(r) = Vm cosmt-Imfl 003(mr—6 ) = 
(1.18] 
=Vm 1mm: 003.591: (:03 (tot—6’) 
Aplicando algumas identidades trigonométricas a esta expressing resulta que 
3(3) = V m . 00360: [coswr COSQ+SEH€JE 56119] = 
= Vm law. [0032 m cos 9 + cos a): sen a}: 36116 1 = 
[1.19] 
Md: I'll-fli- 
= V . I [c0563.(H-n-fl] + senafenzzmtj]: 
r. E”m2‘—HL"H_EI.[0086,(1+COSZQ)r) + Sen9.(sen2a)t)] = 
=I:/—m§£ %[6059.(1+0082m1‘) + sen6.(sen2mr):| = 
Utilizando a definigéo de valor eficaz resulta finalmente que 
:1 _,.-- ~:-.. 
13 
Capitulo 1* Concaitos Fundamentals {Ii} Clavar Paraira/UFMG 
LC?! 01' Imam S“): a E [cosfl.(1+0032afl) + san6.(san2wt)12 
= Kflsf 0036 (1+0052c'02‘) + n 1%,, sent? (sonZaJt) [120] 
= [VI lIl cos 6' (1+0032wt) + IVI II[ 56116 (3611260!) 
p???) all} J 
O u s d a 
s [ f ) : p ( r ) + q ( f ) [1.21] 
onda 
[1.22] {p(f)=lVHI]ooSt9 (1+coszm) 
q(1):lV[|I|sen6 ($811263?) 
sando W] a ll] os valoras aficazas das ondas da tansao a oorranta raspactivamanta. As 
aquagfias [1.21] a (1.22] mostram qua a poténcia instantanaa 3(1) é formada por dois 
tarmos: 190‘) a q(t). 0 primairo tarmo p(t) possui fraqiiéncia angular 2a) a valor médio P 
dado por 
P = lVl l]! 005 9 _ (1-23] 
Esta tarmo racaba 0 name da potancia ativa a ratrata a poténcia efetivamante 
antragua pala fonta a radio, uma vaz qua ala a o valor médio da 30“). Sua unidada no SI 
é 0 watt (W). 
0 sagundo tarmo também possui fraqiiéncia angular 2o), mas valor médio nulo. Isto 
indica qua nada é afativamanta antragua a rade am tarmos de trabalho. Uma vez qua 
possui valor médio nulo, sua idantificagao a faita pelo sau valor do pico, dado por 
Q = IVHII sent? (1,24) 
Esta sagundo tarmo racaba 0 name da paranoia raativa a sua unidade no SI é o 
volt-ampara [ou volt ampara] raativo fVAr). 0 laitor poda raparar que a poténcia 
ativa é obtida palo produto do valor eficaz da tanse'io polo valor aficaz da corranta qua 
se ancontra am fasa com a tensfio. 1a para o célculo da potancia raativa dove-3e 
multiplicar o valor aficaz da tansao pelo valor aficaz da Correnta qua so ancontra em 
quadratura com a tansao. 
Aos dois tarmos P a Q da poténcia instantfinaa, axprassos am [1.23] a (1.24) poda sar 
associada uma potancia complexa S dada par 
14 
Redes Elétricas no Dominio da Frequéncia © Clever Pereira/UFMG 
S=P+jQ=|V||I|cos€+j|VHI|sen€ 
=[V||I|(cosfl +json E9) =|VHI|oj6 
[1,25] 
= [Whig] []1| om]: VI“ 
A equagz’io (1.25] anterior apresenta uma das principais vantagens em so utilizar os 
fasores eficazes para representar ondas senoidais no tempo: a rolativa simplicidade 
para 58 calcular os termos P e Q da poténcia instantanea entregue a uma carga por 
urna fonte senoidal de energia elétrica. A poténcia complexa S pode ser representada 
no plano polar através do triangulo de poténcias mostrado na figura 1.7 a seguir. 
A 
'Q 
Figaro 1.7 — Poténcfa complexa e tridnga de paté‘ncfas. 
Nesta'figura, t9 é o angulo do fase da tensfio em relagéo a corrente, mostrado na 
equagao [1.17] 9 na figura 1.603]. 0 leitor pode notar que o fingulo :9, originariamente 
de sentido negative na figura 1.6, passou a ter sentido positive na figura 1.7, em razao 
do conjugado aplicado a corrente na equagao [1.25). 
Desta forma, correntes atrasadas em relagi-io a tensfio, caracteristica do circuitos 
indutivos, estfio associadas a poténcia reativa positiva, enquanto correntes 
adiantadas em relagao a tensao, caracteristica de Circuitos capacitivos, estfio 
associadas a poténcia reativa negativa. 
1.8 POTENCIA CONSUMIDA POR ELEMENTOS IDEAIS 
DE CIRCUITO 
Deve ter ficado claro ao leitor que o uso de fasores para representar ondas senoidais 
é altamente vantajoso durante o calculo da poténcia instantanea, sendo desnecessério 
o célculo tedioso executado nos corpos das equagfies [1.18) e [1.19). Para deixar 
ainda mais claro as vantagens em 53 utilizar fasores, as tabelas 1.2 a 1.4 mostram lado 
a Iado os célculos dos termos da corrente e da poténcia instantanea em elementos 
ideais de circuitos lineares R, L e C. No lado esquerdo faz-se o calculo utilizando a 
formulagao no dominio do tempo. No direito faz—se o mesmo calculo, utilizando-se a 
formulagao no dominio da freqiiéncia. 0 leitor pode verificar o qufio mais ageis e 
simples 350 05 calculos no dominio da freqfiéncia, facilitando o trabalho do analista, 
principalmente quando se trata do redes de grande ports e equipamentos modelados 
por Varios elementos ideais de circuito. 
15 
Capitulo 1 — Conceitos Fundamentais {it} Ciever Pereira/UFMG 
1.8.1 Poténcia lnstantfinea entregue a um resistor ideal 
—
 
E 
l 
I
~
I
l
~
I
 
Tabela 1.2 ~ Paténcfia fnstan tfinea entregue a um resistor ideal. 
I 'DOMiNIO no TEMPO ] F '- nomimo DA FREafi‘Eucm - I 
v(r )—V mcos cor T/ 2 M40" 
v(t)=Ri(t) V=RI 
{ 1 V 8 
.r ' I :(t)=i’)=‘m 1— 5' .400 
R R R R 
5 £1- 
| 19 = 0° l I a = 0° | 
G {I 
Desenvolvimento das S = V 1* 2:» P :IVHII 003(00) = W M 
equagfies (1.18] e [1.19) ' Q 2 IV‘ III 3611(0")= 0 
1.3.2 Poténcia Instantfinea entregue a um indutor ideal 
Tabela 1.3 - Poténcfa instan tan ea enwegue a um fndutar ideal. 
[-..-=--- - -namimo DBTEMPD [ fl - ;_. -. ._D£|MiNlD BA FREaiiEImA .- 
77 v(t) =Vm cos mt V=|V‘ 10° 
2 v(t)=L—dL—{-(-E—)- V = i I 
L dt 
____ {L 
d:(r)=%v(r)d1 
3 i(r)=i Ive) aim—Vi! com: dt 1 =..........__ LVL 4- 90° 
L L j ml, at) L 
f(t)=£”i~ senwt=£i~ cos(wr-—90°) 
”H" {,L I} 
E] I 9.90:. I I 9-90:: I 
{L {I 
Desenvolvimento das equagfies S 2 Vin z} P = M [II 003(900) “T" 
(1-18) e (1-19) Q=|V| |I[ sen(90°)=|VHI| 
15 
Rode-s EEétricas no Dominio da Frequéncia {D Ciever Pereira/UFMG 
1.8.3 Poténcia [nstantfinea entregue 21 um capacitor ideal 
Tobelo 1.4 — Poténcfo instanto‘neo entrogue o um capacitor ideal. 
F nomimo no TEMPE} J T - . Dumimo DA FaEuij’ENoA ' J 
E v(t) s coscot V=|V|z0° 
a . “0:03:91 1:;i 
4} - J} 
*7 1(1) 2 C d(Vm 6:35am) 
3 5(I)=-wCVmsenwt . I
=£DC IV‘Z90" 
L i ( r )=o)C Vm COS((0!+90°) 
U U. 
m [ a = —90° 1 | a ~90° J 
5 {L 
Desenvolvimento das S = VJ" P = IV! [I I COS(-—90°) = O 
. equagoes [1.18) e [1.19] Q = WI '1' sen(-90°) = "IV” 1| 
u H 
EXEMPLO 1.2 _ f 
0 circuito da figura 1.8 a soguir mostra um circuito elétrico composto de uma fonte do 
tensfio senoidal ideal do freqfléncia nominal de 60 Hz a forpa eletromotriz 
3(1) = 141,4 cos (031+ 30") Valimentando uma carga formada por uma resisténcia de 100 Q. e 
de uma indutancia do 100 mH. Para esto circuito pode-se determinar: 
(a) a corrente que circula na carga na forma fasorial e temporal; 
(b) a poténcia complexa absorvida pela cargo; 
(c) a expressao da poténcia instantanea fornecida pela fonte. 
it) 
+ L o 
Figaro 1.8 — Ciroofto ofétrico do exompfo 1.2 no dominio do tempo. 
__.u- a}?! a. 
17 
Capituio 1 — Conceitus Fundamentals {ii} Clever Pereira/UFMG 
SOLU £0 
[a] Determinar a corrente que circula Ila carga Ila forma fasorial e temporal. 
A imp edfincia equivalents: da carga vai valer 
Z=R+jcoL :100+j27:60-100><10_3 = 
=(100+ 137.6991) Q =106,8701£20,66°Q 
O fasor RMS associado é tenséo gerada pela fonte vale 
' E =1flASO° 2100130017 J5 
A figura 1.9 a seguir mostra o circuito equivalente a0 circuito da figura 1.8 representado no 
dominio da freqfiéncia. 
.+_ 
CE 2 
num 1.9 — Cfrcm'tn ei‘érricn do exemplo 1.2 no dammit: dafreqfiénciu. 
A corrente qua vai circular pela carga, na forma fasorial, vai ser de 
I = K = 100430 20,935749,34°A 
Z 106,8701120,66° 
A figura 1.10 mostra 05 fasores tensfio e carrente, hem coma seus fingulos de fase. 
V 
E300 I 
‘ .5234“ 
I"II-.— 
f — 
Re 
Figure 1.10 ~— Dfagramafasorial mostrana'q a tensfio e a currents: do example 1.2. 
Na forma temporal a corrente vai valer 
18 
Redes Elétricas no Dominic: da Frequéncia @ Clever PereiraXUFMG 
5(2?) = 03357430042}: 60:+9,34°) = 
=1,3233 cos(376,99t+9,34°) A 
(b) Determinar a poténcia complexa absorvida pela carga. 
A poténcia complexa S absorvida pela carga vai ser dada por 
~- 3 = W“ =100¢30°-(0,9357z9,34°)‘ = 
= 93,5715120,66° VA = (87,5563+ j33,0079)VA 
Ou seja, a carga vai absorver 37,5563 Wde poténcia ativa e 33,0079 VA? de poténcia reativa 
indutiva. 
(c) Determinar a expressiio da poténcia instantfinea fornecida pela fonte. 
Como nan existem outros elementos no circuito, a fonte de tensfio deve entregar toda esta 
poténcia compiexa a carga. Desta forma, a expressao para a poténcia instantanea fornecida 
pela fonte vai ser 
5(1‘) =p(t)+g(t) = P(1+cost)+Q(sen2a)r)= 
= 87,5563(1+cos 753,98t) +33,0079(sen 753,98r) 
EXEMPLO 1.3 
W 1 
O circuito da figura 1.11 a seguir mustra um circuito elétrico composto de duas fontes de 
12811550 senoidal ideais de freqfiéncia nominal de 60 Hz e forgas eleu'omotrizes 
E1 = 120 4 0" V a E; = 100 i — 30° V Iigadas por uma Iinha de transmisséio modelada por 
uma impedancia série de ZLT = j 5 Q. Para este sistema, pede-se determinar: 
[a] a corrente que circula na linha de transmissao, indo da fonte 1 para a fonte 2; 
[b] a poténcia ativa gerada ou consumida por cada uma das fontes; 
[c] a poténcia reativa gerada cu consumida por cada uma das fontes. 
[——'_I 
L..__.___J 
I ZLT 
Figure 1.11 - Cfrcufto elém'co do example 1.3. 
_ ‘.. 
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 
19 
Capitulo 1 - Conceitos Fundamentals © Clever Pereira/UFMG 
sowgfio 
(a) Determinar a corrente qua circula na linha de transmissao, indo (la fonte 1 para 
a fonte 2. 
A corrente qua circula na linha de transmissao indo da fonte 1 para a fonte 2 esta mostrada 
no circuito e vale 
__ 13,—E, “1204014002930? 
2,, 549m I =12,02564—33,74°A 
(b) Determinar a poténcia ativa gerada ou consumida por cada uma das fontes. 
Pelo sentido da corrente no circuito, a poténcia complexa gerada pela fonte 1 vai valer 
S, = E, 1* =12020°-(12,02564 —33,74°)* = 
= 1443,0748133,74°VA = (1200,0000 + j801, 5390)VA 
Ainda polo sentido da corrente, a poténcia complexa consumida pela fonte 2 val valor 
S, = E, 1* =1002:-—30°-(12,02564 —33, "may“ .—_ 
z 1202, 562313,?4” VA = (1200, 0000 + j 78, 4610) VA 
Pelas poténcias complexas calculadas anteriormente, nota-se que a fonte 1 051251 gerando 
1200 Wde poténcia ativa e a fonte 2 esta consumindo as 1200 Wgerados. 
, (c) Determinar a poténcia reativa gerada ou consumida por cada uma das fontes. 
Da mesma forma, ou seja, também pelas potencias complexas calculadas anteriormente no 
item (b), nota—se que a fonte 1 esté gerando 801,5390 VAr indutivos a que a fonte 2 esta 
consumindo apenas 78,4610 VAr indutivos, indicando que a linha de transmissao, 
representada pela impedancia 2m esté consumindo o restante, ou seja, 723,0780 VA? 
indutivos. 
O leitor pode reparar que a poténcia ativa est-a fluindo da fonte do maior fingulo de fase 
(fonte 1 com 0°] para a fonte do manor angulo do fase [fonts 2 com — 30°]. Também pode 
reparar que a poténcia reativa indutiva esté indo da fonte do maior valor eficaz (fonte 1 
com 120 1/) para 3 fonts do manor valor eficaz [fonte 2 com 100 V]. Esta situagéio vai ser 
comum em sistemas elétricos do poténcia. 
1.9 DIAGRAMAS UNIFILARES 
Os sistemas elétricos de poténcia sfio sistemas complexes que possuem o objetivo de 
gerar, transmitir e distribuir energia elétrica. Desta forma, sao compostos por urn 
elevado nfimero de componentes, entre eles geradores e motores sincronos, 
transformadores do poténcia, linhas de tran'smissao e cargas. 
2D 
Redes Eiétricas no Dominic d3 Frequéncia LE) Clever Pereira/UFMG 
De forma a prover ao analista suficiente informagfio de como estes equipamentos 
estfio ligados uns ans outros é prética comum a utilizagéo de diagramas denominados 
diagramas unifilares. Estes diagramas 5510 compostos de simbolos que procuram 
descrever cada um dos equipamentos presentes no sistema e como estfio Iigados uns 
com os outros. A tabela 1.5 adiante apresenta os simbolos de alguns dos principais 
equipamentos dos sistemas elétricos de poténcia. 
Tabeia 1.5 - Sfmbolns de alguns dos princz’pafs equfpamen tos presentes nos SEP. 
EQUIPAMENTO SiMBOLU EQU!PAMENTU SiMBULG' 
Méquina rotativa Ligagéo estrela com 
(incluindo gerador O centro-estrela (ou fl 
sincrono) neutro) aterrado "3 
Transformador de Ligagéo estrela com 
poténcia de dois —§ :— centro—estrela (ou \ I / 
enrolamentos neutro) isoiado 
Transformador de __§ §_ 
poténcia de trés Ligagéo delta A 
enrolamentos 
Linha de transmisséo 
entre duas Disjuntor ——|:|— 
subestagées 
Transform ad or de _.IQQ|_ £33,03n com 
corrente .. a. 0 per reatanCIa :1. 
Tfansformador de 3 E I 
potencial Cargas 
A figura 1.12 a seguir mo'stra o diagrama unifilar de um sistema elétrico de poténcia 
com trés méquinas mtativas (geradores sincronos), uma linha de transmissfio, duas 
barras, um transformador de poténcia, duas cargas e sete disjuntores, indicando o 
tipo das ligagfi es das méquinas rotativas, transformadores de poténcia e cargas. 
G. G. 
W: T. LT - {1‘0 fi 
1 _ EL %fl——EJ—Ci3©fi 
A m; 
01 D C I Y 
2 
nura 1.12 -— Dz‘agmma unifilar de um sistema elén'fca de poténcfa. 
..... . ...... 
21 
Capitulo 1— Coneeitos Fundamentais(£2) Clever Pereira/UFMG 
J' Este tipo de diagrama e adequado para se tomar conhecimento das partes 
constituintes do SEP, hem come dos diversos tipos de ligagao. Muitas vezes os 
disjuntores 1150 55.0 representados nos diagramas unifilares de modo a torna-los mais 
simples e de leitura mais agradavel. 
1.10 DIAGRAMAS DE IMPEDANCIA E DE REATANCIA 
Para se proceder a analise dos sistemas elétricos de poténcia torna-se necessaria uma 
tabela com os dados dos diversos equiparnentos presentes no diagrama unifilar da 
figura 1.12, de tal forma que seja possfvel a montagem do diagrama equivalente por 
fase ou diagrama monofésico equivalente, no qua] serao efetuados os calculus das 
grandezas de interesse. A figura 1.13 a seguir mostra o diagrama equivalente por fase 
de impedancias associado ao diagrama unifilar da figura 1.12 anterior. 
—w—fm 
G] C1 T} 117.1 C2 G; G3 
Figure 1.13 — Diagrama de fmpeddncr‘a associado do diagrams: unififer dafigura 1.12. 
0 Ieitor pode reparar que os disjuntores nao sao representados nos diagramas de 
impedancia, Visto que possuem impedancia série desprezivel quando fechados e 
infinita quando abertos. Qualquer impedancia entre neutro e terra também nao é 
representada neste diagrama, uma vez que nenhuma corrente circula por estas 
impedancias em condigfies normais de operagao. A montagem deste tipo de diagrama 
sera feita inicialmente de uma forma natural e apenas para sistemas com um pequeno 
nfimero de componentes, sem se levar em conta a discussao dos modelos utilizados 
para representar cada componente. No capitulo 3 serfio deduzidas expressfies que 
permitem a montagem destes diagramas para sistemas trifasicos equilibrados. No 
capitulo 4 serfio estabelecidos os conceitos para se montar estes circuitos para 
sistemas trifasicos desequilibrados, utilizando componentes simétricas. Nos capitulos 
7 a 10 serao discutidos os modelos a serem utilizados para cada um dos componentes 
na montagern destes diagramas para operagao em regime permanente senoidal de 
baixa freqfiéncia. 
0 diagrama de impedancias da figura 1.13 pode ser convertido para um diagrama de 
reatancias, quando se desprezam as resistancias, hem eomo cargas e ramos shunt, 
indutivos ou capacifivos. A figura 1.14 a seguir mostra o diagrama de reatancias 
associado ao diagrama de impedancias da figura 1.13 anterior, obtido omitindo-se 
todas as cargas, ramos shunt capacitivos das linhas de transmissao e ramos shunt de 
excitagao dos transformadores de poté‘mcia, hem come to das as resisténcias. 
22 
Redes Elétricas no Dominic: da Frequéncia © Clever Pereira/UFMG 
é {m m <5 C : 
G1 T1 LT1 Ga G3 
I Figaro 1.14 —' Diograma equivalents porfase de reatdncfas assocfado 
' ' no diograma de fmpeddnoias dafigura 1.14. 
Este diagrama é especialmente importante no £5116q das correntes de curto-circuito 
em sistemas de energia elétrica. Nestes casos, a omissao das cargas hem como das 
correntes capacitivas do. linhas de transmissao se justificarn, uma vez que as 
corren’ces de cargas nao associadas a maquinas rotativas exercem pouca influéncia 
nas correntes de curto. A resisténcia também é freqfientemente omitida no calculo 
das correntes de falta, uma vez que elas sao significantemente menores que as 
reatancias do sistema. Assim, embora sua omissao introduza alguns erros, eles nao 
sao significativos, uma vez que as resisténcias 1150 se somam diretamente as 
reatancias, de valores Inuito maiores. 
Se 0 diagrama vai ser utilizado para se calcular correntes de falta imediatamen’ce apés 
o inicio da falta, torna—se importante modelar motores de indugfio por fonte de tenséio 
atrés de reatz’incia, uma vez que sua contribuigao é significativa para estas correntes. 
Caso contrario, se 0 objetivo é calcular as correntes de faltas para periodos mais 
longos, mesmo estes motores podem ser desprezados, uma vez que as correntes de 
contribuigao destes motores se tornam despreziveis poucos ciclos apés o inicio das 
faltas. Mas, se um programa computacional esta disponivel para os calculos das 
corren’ces de falta, os diagramas de reatancia nao precisam ser utilizados com 
tamanho grau do simplificagao, sendo razoavel a utilizagao dos diagramas de 
impedancia. Além disto, as simplificagfias aqui discutidas se aplicam apenas para 
calculo de correntes de falta e nao sao aplicaveis em estudos de fluao de poténcia. Os 
diagramas equivalentes por fase ou diagramas equivalentes monofasicos sao também 
conhecidos como diagramas de seqiiéncia positiva. A razao para esta denominagao 
sera vista mais adiante, no capitulo 4. 
1.11 REPRESENTACAO DE GRANDEZAS EM PU 
Atualmente, o Sistema Internacional de Unidades (SI) esta fundamentado em sete 
unidades basicas ou primarias [comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, 
temperatura termodinéimica, quantidade do matéria e intensidade luminosa] que, por 
convengfio, sfio tidas como independentes. Todas as outras unidades sfio 
consideradas unidades derivadas, formadas coerentemente pela multiplicagao ou 
divisao das unidades basicas entre Si, sem fatores numéricos. 
23 
Capitulo 1 - Conceitos Fundamentals Er) Clever Perelra/UFMG 
Existem no entanto, outros sistemas utilizados para expressar grandezas fisicas, em 
especial, grandezas elétricas. Um dos sistemas mais utilizados para expressar 
grandezas elétricas na analise e projeto de sistemas elétricos do poténcia é o sistema 
pm 011 sistema por unidade. For definigfio, uma grandeza elétrica expressa em pu 
possui a seguinte forma: 
Vol or do Grondazo El érrx'oo 
Valor do Groodeza Elémioo ( pa) = [1.26] 
Valor Bose 
Uma variancia da notagfio em pu é a notagao em por canto 0%]. Desta forma, o valor de 
uma grandeza elétrica em por canto é o valor de uma grandeza elétrica em pa 
multiplicado por cem, ou seja 
Valor do Grandezo El ém'oo >< 
Valor do Grandeza Eléo'ico (%) = 100 [1.2 7] 
Valor Bose 
Embora as grandezas elétricas em regime permanente senoidal sejam representadas 
por nfimeros complexos, os valores bases para as grandezas elétricas sao 
normalmente nfimeros reais, de forma a evitar operag‘oes com nfimeros complexos e, 
desta forma, simplificar ao maximo as conversoes para o sistema pa. Mais adiante, o 
leitor tomara conhecimento de algumas regras basicas para a definigéio destes valores 
bases, d e forma a simplificar a representagéio dos equipamentos e, por conseqfiéncia, 
a representagfio e solugao das redes elétricas. 
As equagoes [1.26] e [1.27) mostram que os valores bases desempenham papel de 
suma importancia quando se deseja expressar uma grandeza no sistema pu on em por 
canto. Por exemplo, admitindo um valor base de corrente do 5 A, o valor empu de uma 
corrente de 10 A vai ser do 
I I 10 
I = — = — - — - = — : 2 a (1-23) (pa) I 1b 5 p base 
No entanto, se 0 valor base admitido para a corrente for de 10 A, o valor em pu desta 
mesma corrente vai ser de 
1(pu)= IL=L=1£LQW [1.29) 
base 
As duas equagfies anteriores mostram que uma mesma corren’ce pode possuir dois 
valores completamente diferentes em pa, uma vez que o valor empu de uma grandeza 
elétrica é significantemente influenciado pelo sou valor base. 
1.11.1 Vantagens da representagfio em PU 
Existem diversas vantagens em se representar redes elétricas no sistema pu. Entre 
elas podem ser destacadas: 
24 
Redes Eiét'ricas no Dominic: da Frequénoia ({3} Clever PereiraXUFMG 
(a) Facilidade na comparagao dos valores. 
Uma vez que um sistema elétrico de potencia possui diversos ni'veis de tensao 
deeorrente da utilizagao de transformadores, fica diffcil ter uma idéia de come 0 
sistema elétrico de potencia esta operando em um determinado memento, 
mesmo conhecendo-se os valores de suas grandezas elétricas no SI. 0 leitor vai 
poder constatar a0 final deste item que o sistema pa propicia ao analista a 
facilidade de se comparar os valores das grandezas elétricas nos diversos locais 
de uma redo, mesmo eIas perteneendo a regio'es de diferentes niveis de tensao. 
[b] Simplificag‘io Ila representagfio de transformadores de poténcia.O sistema pu é indicado para se representar transformadores de potencia, uma 
vez que ele proporciona a eliminagao dos transformadores ideais dos seus 
circuitos equivalentes, desde que se faga uma escolha adequada de bases nos 
seus dois lados. Esta propriedade sera estudada de forma mais detalhada no 
capitulo 7 adiante. 
(c) Valores tipicos de impedancias para equipamentos. 
As impedancias dos equipamentos presentes nos sistemas elétricos de poténcia, 
tais como geradores, transformadores e motores, quando fornecidas em pu nas 
bases iguais aos valores nominais dos préprios equipamentos, se situam dentro 
de faixas tipicas para cada equipamento. Isto facilita a0 analista a especificagao e 
ao projetista a decisao sobre se determinado equipamento esta adequadamente 
projetado ou construido. 
(d) Menores erros de aproximaefio. 
Uma escolha adequada das bases vai contribuir para que, muitas vezes, as 
grandezas elétricas resultantes da solugao de redes elétricas associadas a 
sistemas elétricos de poténcia de grande porte se situem proximas da unidade. 
Este fato é altamente desejavel na solugao numerica de redes elétricas de grande 
porte Via computador digital, uma vez que nfimeros préximos da unidade s50 05 
nfimeros cuja representagao possui o menor erro de aproximagao. 
(e) Manor confusfio (grandezas de linha / de fase); 
Nao existe diferenga entre tensao de linha e tensé‘io de fase, bem come entre 
poténcia por fase e poténcia trifasica quando as tensfies e poténcias estao 
expressas em pu. Para tal, as bases de tensfio e de poténcia é que devem ser 
diferentes. 
1.11.2 Formulario para circuitos monofasicos 
A tabela 1.6 a seguir mostra as seis grandezas elétricas mais importantes utilizadas 
na analise de circuitos elétricos: corrente, tensiio, poténcia complexa, impedancia, 
angulo de fase e tempo. 
Em regime permanente senoidal, o tempo nae precisa ser explicitado, uma vez que se 
trabalha com fasores. Por sua vez, angulos de fase sé‘io expresses em radianos e, desta 
forma, sao adimensionais. Assim sendo, restam nesta tabela apenas 'as quatro 
primeiras grandezas, que necessitam da especificagao de valores base para serem 
expresses em pu. Entretanto, a escolha destes valores base nao pode ser feita de 
. -4 ":=." 
25 
Capitulo 1 — Conceitos Fundamentais © Ciever Pereira/UFMG 
Tabela 1.6 - Sfmbofos, dimensfies e unfdades das principafs grendezas elétrfcas 
ufilfzadas em cfrcuftas em regime pennanen re senofdaf. 
GRANDEZAELETRICA SiMBOLO - .DIMENSEO‘Q - .UNIDADE 
CURRENTE I [ I ] ampere 
Tsusfio v [V] volt 
POTENCIA commxn 3 [VI] volt—ampere 
IMPEnfiNcm 2 [WI ] ohm 
ENGULO DE FASE 9 3 (l) 3 6 - radium) 
TEMPO t [ T ] segundo 
forma aleatéria. Uma vez que estas quatro grandezas estao relacionadas entre si per 
equagfies especificas, as bases também devem estar relacienadas entre si pelas 
mesmas equagfies, ou seja 
S=V.I* Sb =Vb-Ib 
Z : — Z!) : — 
I Is 
Desta forma, escolhidos dois valores bases para duas das quatre primeiras grandezas 
elétricas da tabela 1.6, as outros dois valores base devem ser calculados 
obedecendo-se a segunda das equagfies [1.30). Estes dois valores bases inicialmente 
escolhidos, 01.1 fornecidos, $50 conhecidos como bases principais 011 primarias. 
Assim, para expressar as quatro primeiras grandezas elétricas da tabela 1.6 em pu é 
necessaria a definigfio das respectivas bases. Normalmente sao fornecidas, ou 
escolhidas, a potencia base e a tensfio base come bases primaries. A tabela 1.7 a 
seguir mostra os pares de bases primarias, com as respectivas notagfies e unidades. 
TabeIa 1.7 - Pares de bases prima’fias para circuitos monofiisicos. 
- - ' " f . PAR DEN-BASES PRIMfiRIAs' 
POTENCIA Sam] I 5.. [MVA] I MVAb 
music Vb [V] | v... [W] | M 
Nesta tabela, o subscrito b é utilizado para indicar grandezas base. 0 leiter pode 
perceber que 0 par de bases deve possuir unidades compativeis. Desta forma, podem 
ser utilizadas a potencia base e a tensfio base em VA e V011, de forma alternativa, em 
MVA e kV] nae sendo comum combinagfies entre elas. Esta filtirno par de unidades é o 
25 
‘ ‘ ser dados por ' 
'Redes Elétricas no Dominio da Frequencia (C3 Clever Pereira/UFMG 
. 1: . 
de uso mais comum para sistemas elétricos de potencia de tal forma que muitas 
vezes a potencia base em M VA é conhecida como M VAb e a tensao base em kV como 
n, [pronuncia- se "MVA base” e “kV base” respectivemente]. 
As outras duas bases respectivamente impedancia base e corrente base sao 
calculadas a partir do par de bases primarias utilizando— —se as relagoes fornecidas em 
[1. 3Q3. Desta forma tern- se que os valores das bases de corrente e de impedancia vao 
. Ibm ._ 
< 1, . (1.31) 
Z .. 1;. = 14.12. J; 
b .r 
1 [a F3115, 'Sb 
Utilizando-se o segundo par de unidades para as bases primarias, ou seja, MVA e kV, 
as bases de corrente e de impedancia serao calculadas per 
1 
kV; (1.32) 
2 
25.: W [12] 
L MVAb 
As equagfies [1. 323 sao as expressfies mais freqfientemente utilizadas para o calculo 
das grandezas bases secundarias em sistemas elétricos de potencia monofasicos. E 
interessante observar que, independentemente do par de unidades escolhidas para as 
grandezas bases primarias, a impedancia base vai ser sempre expressa e111 ohms. 
1.11.3 Mudanga de base 
Muitas vezes torna-se necessario expressar uma impedancia e111 p11, originariamente 
expressa em fungao de um determinado par de bases [MI/A51, kVM], e111 fungao de um 
outro par de bases (MVAbz, I’d/1,2]. Isto pode ser feito sabendo—se que, “num mesmo 
local do circuito elétrico”, o valor ohmico desta impedfincia é finico, independente do 
par de bases escolhido, ou seja 
Z [Q]=Z [11] [1.33) 
Expressando a impedancia em [1.333 e111 fungao do seu valor em pu para as duas 
impedancias bases distintas Z,;,,.1 e v, vem que 
Z. (W) - 21., = Z. (1W) - 21., [1.34] 
ondeZ Zn(pu) e Z..(pu) sao respectivamente os valores em pu da mesma impedancia no 
par de bases novo [113 e no par de bases antigo ou velho [v]. Assim 
27 
Capitulo 1 - Conceitos Fundamentais {it} Clever Pereira/UFMG 
Zn: [1.35] Z. (pa) = Z. (pa)- 
Em 
Substituindo as expresso'es para 25,, e v ja determinadas em [1.31) on [1.3 2) vem 
kV 2 kV 2 
Zn(pu)._ué1’__=zv(pu).m__bl’_ (1.36) 
MVAbn MVAbv 
onde nesta equagao, os pares de bases primarias devern ser compativeis, ou seja, ou 
bases monofasicas on base trifésicas. 
Rearranjando os termos resulta finalmente que 
2 kV MVAb 
Z a = Z u - 3”“ - ” (1-37) . 0 3 ) . ( P ) [ W u ] Mm“ 
A equagfio [1.37) mostra que o valor em pu da impedancia expressa no nova par de 
bases é diretamente proporcional a poténcia base nova e inversamente proporcional 
ao quadrado da tensfio base nova. 
w m m m 
EXEMPLO 1.4 
A figura 1.15 a seguir mostra o diagrama unifilar de um sistema de poténcia monofasico 
composto de um gerador, uma linha de transmissao e um motor. 05 dados dos seus 
equipamentos sao fornecidos na tabela 1.8 a seguir. 
i i LT .. ® 0 . . 
Figaro 1.15 — Diagrams: unéfilar do example 1.4. 
Tobefa 1.8 - Dndos do rede do example 1.4. 
. . . - ~ ' ' I ‘ . . - - - - - - r - - . - , - _ - . . ‘ . - - ' . . - . . - . . 
:"_I.._‘_ = . ; . _ . . _ . _ ._ ‘ . . . . . ‘ . ' . . 
QUIPAMENTG‘ ==-:---=.' . - . 1- _. .. -- 
"7". - “l”- I-'--I'!"7.: '.- 5- .-‘ “ O M I NALJI ' I .~:.:~ #3:“. 3: _'--r:-.-:_~~.-_ ' .‘ .’.r.-‘-‘ u . n r '— - ;.'.'__ _ _ __ , , .-_'_ ='.'-'-‘--.-.-:-.:. .~" -_-.-. -.~\: 4--.'-:.-:. '. ~- - s : - -.,-. .-v.'~-:'-!.-.-.-—: 1 -- .--. .- - - - - - - - ' '- ' - ‘ ~ ‘ ' .‘.::'--I'-_'-..':".':':.' '~.=.~ ::.-i ' """ " ""5" ' 
Gerador 7,9? 161’ 0,15 pu 
Linha do Transmissfio 7,97 kV — 20 £2 
Motor 7,62 kV 300 kVA 0,20 put I 
[a] Sabendo-se que as tensfies internas do gerador e do motor estao em fase e valem 
1,10 pu nas bases iguais aos seus valores nominais, desenhar o diagrama de reatancia 
em pa: da rede da figura 1.15 nas bases de 300 kVA e 7,97 kV. 
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Redes Elétrieas no Dominio da Frequéncia . @ Clever Pereira/UFMG 
[b] Idem