Aula 2 - Tensão

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS
Faculdade de Engenharia: Curso de Engenharia Civil
Prof. Me. André Felipe Ap. de Mello
Resistência dos Materiais I
Aula 2: Tensão
2.1 Conceito de tensão
2.2 Tensão normal média
2.3 Tensão de cisalhamento média
CONCEITO DE TENSÃO2.1
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 2]
Considera-se que o material seja contínuo
(possui distribuição uniforme de matéria sem
vazios).
O material é coeso (todas as suas porções estão
bem interligadas, sem trincas ou separações).
Se ∆F, uma pequena força finita, age sobre uma
área ∆A, tensão é o quociente ∆F/∆A e
representa a intensidade da força interna
sobre um plano específico (área) que passa
por um ponto. Distribuição de forças 
que agem sobre a
área secionada
CONCEITO DE TENSÃO2.1
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 3]
Tensão normal (σ)
É a intensidade da força, ou força por unidade de área, que age
perpendicularmente a ∆A.
Tração: força normal traciona o elemento de área ∆A.
Compressão: força normal comprime o elemento de área ∆A.
Tensão de cisalhamento (τ)
É a intensidade da força, ou força por unidade de
área, que age tangencialmente a ∆A.
Índice z: orientação da área 
Índices x e y: direção das 
tensões de cisalhamento
CONCEITO DE TENSÃO2.1
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 4]
Estado geral de tensão
Corpo secionado por planos 
paralelos a x-y, x-z e y-z
Elemento cúbico de volume de
material representa o estado 
de tensão que age em torno 
de um ponto
TENSÃO NORMAL MÉDIA2.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 5]
1) A barra deve permanecer reta antes e
depois da aplicação da carga, e, além
disso, a seção transversal deve
permanecer plana durante a
deformação. Assim, as linhas
horizontais e verticais da grade aplicada
a barra se deformarão uniformemente.
2) A fim de que a barra possa sofrer
deformação uniforme, é necessário que
P seja aplicada ao longo do eixo do
centróide da seção transversal e o
material deve ser homogêneo e
isotrópico.
Premissas Simplificadoras
Não são consideradas regiões da
barra próximas as extremidades,
onde a aplicação de cargas externas
pode provocar distorções localizadas.
Materiais homogêneos: mesmas
propriedades físicas e mecânicas em todo o
seu volume.
Materiais isotrópicos: mesmas
propriedades em todas as direções.
TENSÃO NORMAL MÉDIA2.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 6]
COMPRESSÃOTRAÇÃO 
Distribuição da tensão normal média
Considerando uma barra submetida a uma
deformação uniforme e constante (tensão normal
constante).
Cada área ∆A está submetida a uma força ∆F = σ ∆A.
Se ∆A→ dA e ∆F→ dF então:
σ: tensão normal média em
qualquer ponto da área da
seção transversal.
P: força normal interna resultante
aplicada no centroide da área.
A: área da seção transversal da
barra.
න𝑑𝐹 = න
𝐴
𝜎𝑑𝐴
𝑃 = 𝜎𝐴
𝜎 =
𝑃
𝐴
TENSÃO NORMAL MÉDIA2.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 7]
Exemplo 1 (1.6 – Hibbeler, 7 ed.)
A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determine
a tensão normal média máxima na barra quando ela é submetida à carga
mostrada.
TENSÃO NORMAL MÉDIA2.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 8]
Exemplo 1: Solução
Por inspeção, a maior carga é 
na região BC, onde PBC= 30 kN.
Visto que a área da seção 
transversal da barra é 
constante, a tensão normal 
média máxima é:
Usando o método das seções, obtem-se:
Diagrama da força normal
TENSÃO NORMAL MÉDIA2.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 9]
Exemplo 2 (1.8 – Hibbeler, 7 ed.)
A peça fundida mostrada é feita de aço,
cuja massa especifica é γaço= 80 kN/m
3.
Determine a tensão de compressão
média, devido ao peso, que age nos
pontos A e B.
TENSÃO NORMAL MÉDIA2.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 10]
Exemplo 2: Solução
A partir do diagrama de corpo livre do segmento 
superior obtem-se:
𝑊𝑎ç𝑜 = 𝛾𝑎ç𝑜 ∙ 𝑉𝑎ç𝑜
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA2.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 11]
A tensão de cisalhamento distribuída sobre cada área secionada que desenvolve a
força de cisalhamento V é definida por:
Dois tipos diferentes de cisalhamento:
Cisalhamento simples Cisalhamento duplo
τméd: tensão de
cisalhamento média
V: força de cisalhamento
interna resultante
A: área da seção
transversal.
𝜏𝑚𝑒𝑑 =
𝑉
𝐴
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA2.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 12]
Equilíbrio
Plano da seção
Cisalhamento puro
Considerando um elemento de volume
submetido a tensões de cisalhamento
médias. O equilíbrio exige que:
෍𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝜏𝑧𝑦 Δ𝑥 Δ𝑦 − 𝜏
′
𝑧𝑦 Δ𝑥 Δ𝑦 = 0
𝜏𝑧𝑦 = 𝜏
′
𝑧𝑦
෍𝑀𝑥 = 0 ⟹ −𝜏𝑧𝑦 Δ𝑥 Δ𝑦 Δ𝑧 + 𝜏𝑦𝑧 Δ𝑥 Δ𝑧 Δ𝑦 = 0
𝜏𝑧𝑦 = 𝜏𝑦𝑧
Força
ÁreaTensão
Todas as quatro tensões de
cisalhamento devem ter valores
iguais e serem direcionadas no
mesmo sentido ou em sentido
oposto uma das outras nas bordas
opostas do elemento.
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA2.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 13]
Exemplo 3 (1.10 – Hibbeler, 7 ed.)
A barra mostrada na figura tem seção transversal quadrada para a qual a
profundidade e a largura são de 40 mm. Supondo que seja aplicada uma
força axial de 800 N ao longo do eixo do centróide da área da seção
transversal da barra, determinar a tensão normal média e a tensão de
cisalhamento média que atuam sobre o material (a) no plano da seção a-a e
(b) no plano da seção b-b.
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA2.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 14]
Exemplo 3: Solução
Tensão normal média:
(a) no plano da seção a-a
Tensão de cisalhamento média:
𝜎 =
𝑃
𝐴
=
𝑃
𝑙2
⇒ 𝜎 =
800
0,042
= 500 kPa 𝜏𝑚𝑒𝑑 = 0
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA2.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 15]
Exemplo 3: Solução
Tensão normal média:
(b) no plano da seção b-b 
Tensão de cisalhamento média:Área da seção transversal:
𝑏 = 40 mm
ℎ =
40
𝑠𝑒𝑛60°
= 46,18 mm
𝐴 = 𝑏ℎ = 0,04 ∙ 0,04618
𝜎 =
𝑁
𝐴
=
692,82
0,04 ∙ 0,04618
𝜎 = 375,06 kPa
𝜏 =
𝑉
𝐴
=
400
0,04 ∙ 0,04618
𝜏 = 216,49 kPa
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA2.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 16]
Exemplo 4 (1.12 – Hibbeler, 7 ed.)
O elemento inclinado está submetido a uma força de compressão de 3.000
N. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato
lisas definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do
plano horizontal definido por EDB.
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA2.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 17]
Exemplo 4: Solução
As forças de compressão agindo nas áreas de
contato são:
A força de cisalhamento agindo no plano
horizontal secionado EDB é:
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA2.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 18]
Exemplo 4: Solução
As tensões de compressão médias ao longo
dos planos horizontal e vertical do elemento
inclinado são:
A tensão de cisalhamento média que age no
plano horizontal definido por BD é:
Exercício 1 (1.34 – Hibbeler, 7 ed.)
Resposta:
𝜎 = 1,82 MPa (C)
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 19]
EXERCÍCIOS PROPOSTOS2.4
A coluna está sujeita a uma força axial de 8
kN aplicada no centroide da área da seção
transversal. Determine a tensão normal
média que age na seção a-a. Mostre como
fica essa distribuição de tensão sobre a
seção transversal da área.
Exercício 2 (1.35 – Hibbeler, 7 ed.)
Resposta:
𝜏 = 53,05 MPa
O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de
3 kN. Se o pino tiver diâmetro de 6 mm, determine
a tensão média de cisalhamento no pino.
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 20]
EXERCÍCIOS PROPOSTOS2.4
Exercício 3 (1.37 – Hibbeler, 7 ed.)
Resposta:
𝜎𝐵 = 150,7 kPa (C)
𝜎𝐶 = 32,5 kPa (C)
𝜎𝐷 = 25,5 kPa (C)
O mancal de encosto está sujeito às cargas
mostradas. Determine a tensão normal média
desenvolvida nas seções transversais que passampelos pontos B, C e D.
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 21]
EXERCÍCIOS PROPOSTOS2.4
Exercício 4 (1.49 – Hibbeler, 7 ed.)
Resposta:
𝜎 = 25 kPa (T)
𝜏 = 14,43 kPa
A junta de topo quadrada aberta é usada para transmitir uma força de 250
N de uma placa a outra. Determine as componentes da tensão de
cisalhamento média e da tensão normal média que essa carga cria na face
da solda, seção AB.
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 22]
EXERCÍCIOS PROPOSTOS2.4
Exercício 5 (1.57 – Hibbeler, 7 ed.)
Resposta:
𝜃 = 63,61°
𝜎 = 315,86 MPa (T)
Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm, respectivamente. Se a
carga vertical de 8 kN for aplicada ao anel em B, determine o ângulo θ da
haste BC de modo que a tensão normal média em cada haste seja
equivalente. Qual é essa tensão?
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 23]
EXERCÍCIOS PROPOSTOS2.4
Exercícios complementares (Hibbeler, 7 ed.)
Problemas (Capítulo 1):
1.41; 1.42; 1.43; 1.45; 1.46; 1.48; 1.50; 1.54; 1.56; 1.61.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 24]
2.4
BEER, F.P.; JOHNSTON Jr., E.R; et al. Mecânica dos
Materiais. 7 ed., Porto Alegre: McGraw-Hill, 2015. 839 p.
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7 ed., Rio de
Janeiro: Pearson Prentice-Hall, 2010. 659 p.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 25]