Questão resolvida - Usando a regra de L'Hospital, calcule o limite x ln(x) com x tendendo a zero pela direita - Cálculo I - UNINASSAU

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• Usando a regra de L'Hospital, calcule o limite x ⋅ ln xlim
 
x 0 →
+
( )
 
a) 0
b) 3
c) +∞
d) não existe
e) -∞
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; 
x ⋅ ln x = 0 ⋅ ln 0 indeterminação, pois ln 0 não está defindo!lim
 
x 0 → +
( ) ( ) → ( )
 
Para resolver usando a regra de L'Hospital, vamos reescrever a equação;
 
x ⋅ ln x = = -lim
 
x 0 →
+
( ) lim
 
x 0 →
+
ln x( )
1
x
lim
 
x 0 →
+
ln x
-
( )
1
x
Sendo o limite pela direita, quando x tende a 0, o limite do logaritimo neperiano é ;-∞
 
 
Já a função de expressão , com x tendendo a zero pela direita, também tende ao infinito;-
1
x
Com isso, temos que o limite é;
 
- = - = - indeterminaçãolim
 
x 0 → +
ln x
-
( )
1
x
ln 0
-
+
1
0
+
-∞
-∞
→
 
Nesse tipo de indeterminação é possível aplicar a regra de L'Hospital, a regra de L'Hospital 
diz que para uma função quociente do tipo , e funções deriváveis, em caso de 
f
g
f g
indeterminações da função, com x tendendo a (
), do tipo , o limite da função com a sendo um número real qualquer ou ±∞ ou 
±∞
±∞
0
0
possui a seguinte equivalencia:
 
 = lim
x a→
f x
g x
( )
( )
lim
x a→
f' x
g' x
( )
( )
 
Sendo assim, o limite fica;
 
 
 
- = - = - = - = -lim
 
x 0 → +
ln x
-
( )
1
x
lim
 
x 0 → +
ln x
-x
( )
-1
lim
 
x 0 → + - -1 x
1
x
( ) -1-1( )
lim
 
x 0 → + x
1
x
-2
lim
 
x 0 → +
1
x
1
x2
 
= - ⋅ = - = -x = - 0 = 0lim
 
x 0 → +
1
x
x
1
2
lim
 
x 0 → +
x
x
2
lim
 
x 0 → +
( )
 
Finalmente, usando a regra de L'Hospital, o limite é;
 
x ⋅ ln x = - = 0lim
 
x 0 → +
( ) lim
 
x 0 → +
ln x
-
( )
1
x
 
 
(Resposta )