Estruturas Algébricas, Trab 2

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Disciplina: Estruturas Algébricas (MAD17) 
Avaliação: Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:512353) ( peso.:1,50) 
Prova: 19376357 
Nota da Prova: 10,00 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica pode ser 
escrita em função de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes 
são 1, 3, e 4 e o coeficiente dominante é igual a 1, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) x³ - 8x² + 19x - 12 = 0 
( ) x³ - 7x² + 16x - 12 = 0 
( ) x³ - 5x² + 2 = 0 
( ) x³ - 2x² + 3x - 12 = 0 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - F - V - V. 
 b) F - V - F - V. 
 c) V - F - F - F. 
 d) F - F - F - V. 
 
2. Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve 
apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e 
radiciação de termos envolvendo a variável x. Por exemplo, tomando a equação 
algébrica 2x³ + x² - 6x - 3 = 0, quanto às características de suas raízes, classifique V 
para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Inteiras e positivas. 
( ) Inteiras e de sinais contrários. 
( ) Irracionais e positivas. 
( ) Irracionais e de sinais contrários. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - F - F - V. 
 b) F - F - V - F. 
 c) F - V - F - F. 
 d) V - V - V - F. 
 
 
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3. O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas 
operações binárias definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste 
contexto, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa que corresponde a P(x) 
+ Q(x), onde: 
 
 a) Somente a opção IV está correta. 
 b) Somente a opção II está correta. 
 c) Somente a opção III está correta. 
 d) Somente a opção I está correta. 
 
4. Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios 
de grau 3. Uma das formas de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por 
meio de divisões de polinômios. Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um 
certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 2x - 1. Quanto 
ao valor do polinômio D(x), analise as opções a seguir: 
 
I) 2x² - 3x + 2 
II) x² - 3x + 2 
III) x² - x + 1 
IV) 3x² - 4x + 1 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção I está correta. 
 b) Somente a opção IV está correta. 
 c) Somente a opção II está correta. 
 d) Somente a opção III está correta. 
 
5. A determinação de todas, ou de algumas raízes de um polinômio é um problema 
importante, o qual tem sido estudado nos últimos quatro séculos. Além disso, 
podemos recair no uso de aritmética complexa, pois mesmo um polinômio com 
coeficientes reais, por exemplo, z² + 1 , pode ter apenas raízes complexas. Assinale a 
alternativa CORRETA que apresenta uma das raízes do polinômio complexo P(x) = - 
i·x³ + 2·x² - 2 + i ? 
 a) O número complexo i. 
 b) O número inteiro -1. 
 c) O número inteiro 1. 
 d) O número complexo 2·i. 
 
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6. O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito 
como um produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de 
destaque. O polinômio P(x) = 2x³ - 6x² + 8x - 24, possui -2i, 2i e 3 como raízes. 
Então, pelo Teorema da Decomposição, podemos escrever P(x) como: 
 a) 2·(x² + 4)·(x + 3). 
 b) 2·(x² + 4)·(x - 3). 
 c) 2·(x² - 4)·(x + 3). 
 d) 2·(x² - 4)·(x - 3). 
 
7. A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia 
restante depois de um processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores 
do divisor e do dividendo. Considerando o Teorema do Resto, quanto aos possíveis 
restos da divisão de P(x) = -3x³ + 2x + 1 por Q(x) = x - 5, analise as sentenças a 
seguir: 
 
I- O resto da divisão de P(x) por D(x) é 225. 
II- O resto da divisão de P(x) por D(x) é -364. 
III- O resto da divisão de P(x) por D(x) é 214. 
IV- O resto da divisão de P(x) por D(x) é -312. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a sentença I está correta. 
 b) Somente a sentença II está correta. 
 c) Somente a sentença III está correta. 
 d) Somente a sentença IV está correta. 
 
8. Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas 
fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de 
potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes). Sendo assim, 
tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio 
x^4 - 10x³ + 24x² + 10x - 24 por x² - 6x + 5, analise as opções a seguir que procuram 
apresentar a solução desta equação, e classifique V para as sentenças verdadeiras e F 
para as falsas: 
 
( ) -1 e 5 
( ) -1 e -5 
( ) 1 e -5 
( ) 1 e 5 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - V - F - F. 
 b) F - F - F - V. 
 c) F - F - V - F. 
 d) V - F - F - F. 
 
 
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9. Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração 
em equações de graus menores do que o grau da equação original. Aplicando este 
conceito na equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos que o conjunto de suas raízes é: 
 a) S = {0, 1, 3}. 
 b) S = {-3, 0, 1}. 
 c) S = {-1, 0, 1}. 
 d) S = {-3, -1, 0}. 
 
10. Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra 
Clássica. As primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-
Khowarizmi no século IX, com importantes conclusões sobre a resolução de 
equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as soluções de uma equação 
algébrica nem sempre se encontra totalmente dentro do conjunto dos números reais. 
Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + x = 0 é: 
 a) S = {0, -i, i}. 
 b) S = {-i, i, 1}. 
 c) S = {0, 1, i}. 
 d) S = {1, -1, i}. 
 
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