EXPERIMENTO_V

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EXPERIMENTO V – DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA E DO PERÍODO 
PARA O OSCILADOR MASSA MOLA NA HORIZONTAL 
 
Introdução 
 
Oscilações 
 
 Estamos cercados por fenômenos que se repetem. Existem lustres que se 
balançam, barcos ancorados que oscilam e os pistões que executam um movimento 
alternado no motor de um carro. Existem oscilações na corda de um violino, na 
membrana de um tambor, nos sinos, no diafragma de um telefone ou de um microfone 
e no cristal de quartzo de um relógio de pulso eletrônico. Menos evidentes são as 
oscilações das moléculas de ar que transmitem o som, as vibrações dos átomos de 
um sólido que transportam o calor e as vibrações dos elétrons nas antenas dos 
transmissores de rádios e TV. 
 As oscilações não se restringem apenas a objetos materiais, tais como cordas 
de violino ou elétrons. A luz, bem como todas as demais ondas eletromagnéticas, 
desde ondas longas de rádio até os raios gama, são vibrações elétricas e magnéticas. 
 As oscilações existentes no mundo real são normalmente amortecidas, ou seja, 
desaparecem gradualmente, transformando a energia mecânica em energia térmica, 
em virtude do atrito. Embora não seja possível eliminar completamente o atrito em 
sistemas oscilantes, podemos alimentar o sistema com uma fonte de energia externa 
para compensar a energia que é perdida pelo atrito. 
 
Movimento harmônico simples 
 
 A figura 2 indica uma sequência de “instantâneos” de um sistema oscilante 
típico: uma partícula que se move periodicamente para frente e para trás em torno da 
origem, ao longo do eixo x. 
 
 
 
 A letra grega � indica a frequência da oscilação e é dada em Hertz (Hz). 
1 Hertz = 1 oscilação por segundo = 1 s-1 (1). 
O período T do movimento é o tempo necessário para completar uma 
oscilação, ou seja, 
� = �� (2) 
 Qualquer movimento que se repete em intervalos regulares denomina-se 
movimento harmônico. Estamos interessados aqui em movimentos que se repetem de 
forma particular, ou seja, descreveremos os movimentos em que deslocamentos das 
partículas variam em função do tempo de acordo com a seguinte relação 
� �	
 = �� cos��	 + �
 (deslocamento), (3) 
onde ��, � e � são constantes. Este movimento harmônico particular denomina-se 
movimento harmônico simples (MHS). A figura 3a mostra um MHS descrito 
matematicamente pela equação (3). 
 
 A quantidade �� é uma constante positiva denominada amplitude do 
movimento, sendo que o índice m utilizado significa valor máximo. O valor de �� 
depende das condições iniciais do movimento. A função co-seno, indicada na eq. 3, 
varia entre os limites ±1, de modo que o deslocamento x(t) varia entre os limites ±��, 
conforme é indicado na figura 2 e na figura 3a. 
 A quantidade dependente do tempo ��	 + �), na eq. 3, fornece a fase total do 
movimento e a constante � denomina-se constante de fase ou ângulo de fase. O valor 
de � depende também das condições iniciais do movimento. Em particular, o valor de 
� e o valor �� são determinados pelo deslocamento e pela velocidade da partícula 
para t=o. No gráfico de x(t) indicado na fig. 3a, o ângulo na fase � é igual a zero. 
 Falta interpretar a constante �. O deslocamento x(t) retorna a um valor inicial 
depois de um período T, ou seja, x(t) é sempre igual a x(t + T). para simplificar nossa 
análise, vamos considerar � = 0 na eq. 3. Desta equação obtemos 
�� cos �	 = �� cos ��	 + �
. 
 A função co-seno repete-se pela primeira vez quando o ângulo aumenta de 2� 
radianos, logo, 
�	 +2� = ��	 + �
 
ou 
2� = �� 
 
Logo (veja eq. 2), 
� = ��� = 2�� (4) 
 A grandeza � denomina-se frequência angular do movimento e é dada em 
radiano por segundo (rad/s). A fig. 4 compara o deslocamento x(t) de dois movimentos 
harmônicos simples em três situações diferentes, mostrando como as amplitudes, os 
períodos e os ângulos de fase diferem em cada caso. 
 
 
 
MHS – Cálculo da Velocidade 
 
 Derivando a eq. (3) em relação ao tempo, podemos obter a velocidade de uma 
partícula que executa um movimento harmônico simples. Assim, 
��	
 = ���	 =
�
�� ��� cos��	 + �
� 
ou 
��	
 = −��� sin� �	 + �
 (velocidade), (5) 
 A figura 3b é um gráfico da eq. (5) que mostra para o caso � = 0. A quantidade 
positiva ��� da eq. (5) é a amplitude da velocidade ��, ou seja, a velocidade da 
partícula oscilante varia entre os limites ±��, como a fig. 3b indica. Note nesta figura 
que as fases da velocidade e do deslocamento diferem de 900. Quando o módulo do 
deslocamento é máximo, o que ocorre nos extremos do movimento, a velocidade é 
mínima, sendo nula. Por outro lado, quando o deslocamento se anula, no ponto central 
do movimento, a velocidade atinge seu módulo máximo. 
 
MHS – Cálculo da Aceleração 
 
 Conhecida a velocidade v(t) de um movimento harmônico simples, podemos 
achar a aceleração da partícula oscilante através de uma derivação. Assim, derivando 
a equação da velocidade em relação ao tempo, eq. 5, temos: 
 �	
 = − ���� cos��	 + �
 (aceleração), (6) 
 A fig. 3c é um gráfico da eq. (6) para o caso � = 0. A quantidade positiva ���� 
da eq. (6) fornece a amplitude da aceleração �, ou seja, a aceleração as partícula 
varia entre os limites ± �, conforme indicado na fig. 3c. 
 Combinando a eq. (3) com a eq. (6), resulta 
 �	
 = − ����	
, �7
 
que nos mostra que, num movimento harmônico simples, a aceleração é proporcional 
ao deslocamento mas possui sinal contrário. Ou seja, quando o deslocamento alcança 
seu maior valor positivo, a aceleração assume seu maior valor negativo e vice-versa. 
Quando o deslocamento se anula, a aceleração também se anula. 
 
Movimento harmônico simples: A Lei da Força 
 
Conhecida a aceleração de uma partícula, podemos aplicar a Segunda Lei de 
Newton com a eq. (7), obtemos, para o movimento harmônico simples: 
# = $ = −$��� (8) 
 Este resultado, uma força proporcional ao deslocamento mas com sinal 
contrário, trata-se da Lei de Hooke, 
# = −%� (Lei de Hooke), (9) 
para uma mola. Designando por k a constante efetiva da mola, temos, 
% = $�� (10) 
 Na realidade podemos considerar a eq. (9) como uma definição alternativa de 
movimento harmônico simples, afirmando que: o movimento harmônico simples é um 
movimento executado por uma partícula de massa m submetida a uma força que é 
proporcional ao deslocamento da partícula, porém de sentido contrário. 
 
 O sistema massa-mola indicado na fig. (5) constitui um oscilador harmônico 
simples linear (ou oscilador linear), sendo que sua frequência angular � está 
relacionada com a constante da mola, k, e com a massa m do bloco pela eq (10), ou 
seja, 
� = & '� (frequência angular). (11) 
 Combinando a eq. 4 com a eq. 11, podemos escrever a seguinte expressão 
para o período do oscilador linear da fig. 5: 
� = 2�&�' (período). (12) 
 As eq. 11 e 12 informam que, como era de se esperar por razões físicas, uma 
frequência angular grande e, portanto, um período pequeno, correspondem a uma 
mola dura (elevado valor de k) e a um bloco leve (massa m pequena). 
 Todo o sistema oscilante, que seja o oscilador linear da fig. 5, um trampolim ou 
uma corda de violino, possui em elemento de “inércia” e um elemento de “restituição”. 
No oscilador linear, estes elementos estão localizados em partes separadas do 
sistema, sendo a restituição totalmente concentrada na mola (suposta massa) e a 
inércia totalmente concentrada no bloco (suposto rígido). Contudo, numa corda de 
violino, estas duas propriedades coexistem ao longo de toda a corda. 
 
Exemplo de exercício: 
 
 Um bloco de massa m = 680 g está preso a uma certa mola cuja constante 
elástica é k = 65 N/m. O bloco é deslocado até uma distância x = 11 cm a partir da sua 
posição de equilíbrio e a seguir largado do repouso. 
(a) Calcule a força exercida pela mola sobre o bloco imediatamente antes de ele 
ser largado. 
Pela Lei de Hooke, # = −%� = − (65 +�, �0,11 $
 = −7,2 .. 
(b) Determine a frequência angular, a frequência e os períodos de oscilações. 
Pela eq. 11 temos, � = &'� = &01 +/�3,04 '5 = 9,78 89:; . 
A frequência decorre da eq. 4, ou seja, � = <�� =
=,>4?@AB
�� = 1,56 CD, 
E o período é dado por � = �� = ��,10 EF = 0,64 H = 640 �; . 
(c) Qual é a amplitude das oscilações? 
O bloco partiu do repouso. Quando ele oscila, não pode ir mais longe de sua 
posição de equilíbrio do que no seu deslocamento inicial sem violar o princípio 
da conservação de energia. Portanto: xm = 11 cm. 
(d) Qual é a velocidade máxima do bloco que oscila? 
Pela eq. 5, vemos que a amplitude da velocidade é dada por �� = ��� =
(9,78 89:; , �0,11 $
 = 1,1 �; . 
Esta velocidade máxima ocorre quando o bloco oscilante está passando pela 
origem. 
(e) Qual é o módulo da aceleração máxima do bloco? 
Pela eq. 6, vemos que a amplitude da aceleração é 
 � = ���� = I9,78 J �H K
�
�0,11 $
 = 11 $/H� 
Esta aceleração máxima ocorre quando o bloco está numa das extremidades 
de sua trajetória; nestes pontos, a força que atua sobre o bloco atinge seu valor 
máximo. (veja figura 3c). 
(f) Calcule o angula de fase desse movimento. 
Para t=0, o momento em que o bloco é largado, � = ��, e a velocidade do 
bloco é nula. Usando estas condições iniciais, como são chamadas, nas eqs. 5 
e 3, obtemos 1 = cos � e 0 = sin �, respectivamente. O menor ângulo que 
satisfaz a estas duas exigências é � = 0. 
 
Pré-relatório 
 
1) Faça uma revisão sobre o movimento harmônico simples e a vibração de um 
sistema massa-mola utilizando o texto de apoio sobre Oscilações, e responda 
os seguintes itens: 
• Defina movimento harmônico simples (MHS), e mostre sua expressão 
matemática. 
• Calcule a velocidade do MHS. 
• Calcule a aceleração do MHS. 
• Apresente a relação entre período e frequência no MHS. 
• Demonstre a relação entre frequência angular e período e frequência no MHS. 
• Comente a Lei de Hooke e defina a constante elástica da mola. 
• Apresente a frequência angular do sistema massa-mola. 
• Mostre a relação entre período e frequência angular do sistema massa-mola. 
 
2) Resolva o seguinte problema: Um bloco de massa m = 800g está preso a uma 
certa mola cuja constante elástica é k = 200N/m o bloco é deslocado até uma 
distância de 0,10m a partir de sua posição inicial. 
• Calcule a força exercida sobre o bloco antes de este ser solto. 
• Determine a frequência angular, o período e a frequência das oscilações. 
• Qual é a amplitude das oscilações? 
• Calcule a velocidade máxima do sistema. 
• Calcule o módulo da aceleração máxima do sistema. 
 
ROTEIRO PARA A REALIZAÇÃO DO EXPERIMENTO 
 
Determinação da constante elástica para oscilador massa-mola na horizontal 
 
Material necessário 
• 01 trilho 120 cm; 
• 01 cronômetro digital multifunções com fonte DC 12 V; 
• 01 sensor fotoelétrico com suporte fixador (S1); 
• 01 fixador de eletroímã com manípulo; 
• 01 Y de final de curso com roldana raiada; 
• 01 suporte para massas aferidas 9 g; 
• 01 massa aferida 10 g com furo central de ∅2,5 mm; 
• 02 massas aferidas 20 g com furo central de ∅2,5 mm; 
• 01 massa aferida 10 g com furo central de ∅5 mm; 
• 02 massas aferidas 20 g com furo central de ∅5 mm; 
• 01 unidade de fluxo de ar; 
• 01 cabo de força tripolar 1,5 m; 
• 01 mangueira aspirador 1,5”; 
• 01 carrinho para trilho cor azul; 
• 01 pino para carrinho para interrupção de sensor; 
• 03 porcas borboletas; 
• 07 arruelas lisas; 
• 04 manípulos de latão 13 mm; 
• 01 pino para carrinho com gancho; 
• 01 pino para carrinho com pitão; 
• 01 mola para MHS; 
 
Procedimentos 
 
1. Montar o equipamento conforme a foto. 
 
2. Ligar o fluxo de ar para que o carrinho fique suspenso. 
3. Pendurar na ponta da linha uma massa de 59 g, massa utilizada para provocar 
na mola uma pequena deformação. 
4. Medir o comprimento da mola e anotar na tabela L0 (m). Utilizamos o pino 
central o carrinho como referência. 
5. Acrescentar um peso de 0,200 N na extremidade do barbante e medir o novo 
comprimento da mola Lf (m) e anotar o valor na tabela abaixo. 
Força (N) L0 (m) Lf (m) ∆L (m) K (N/m) 
0,200 
0,400 
0,600 
0,800 
1,000 
 
6. Acrescentar novos pesos e repetir os procedimentos acima para completar a 
tabela abaixo. 
Força (N) L0 (m) Lf (m) ∆L (m) K (N/m) 
0,200 
0,400 
0,600 
0,800 
1,000 
 
7. Calcular a deformação da mola ∆L (m). 
8. Calcular a constante elástica da mola K (N/m). 
N = #∆O 
9. Construir o gráfico F = f(∆O) (força em função da deformação). Qual a sua 
forma? 
 
 
10. Determinar o coeficiente angular A. 
A = _______ 
11. Qual é o significado físico do coeficiente angular? 
_______________________________________________________________ 
_______________________________________________________________ 
12. Encontrar a relação de proporcionalidade entre as grandezas força (F) e massa 
(m) 
_______________________________________________________________ 
_______________________________________________________________ 
13. Enuncie a Lei de Hooke. 
_______________________________________________________________ 
_______________________________________________________________ 
 
Determinação do período para oscilador massa-mola na horizontal 
 
Material necessário 
• 01 trilho 120 cm; 
• 01 cronômetro digital multifunções com fonte DC 12 V; 
• 02 sensores fotoelétricos com suporte fixador (S1 e S2); 
• 01 fixador de eletroímã com manípulo; 
∆X (m) tm2 (s2) 
 
 
 
 
 
• 01 Y de final de curso com roldana raiada; 
• 01 suporte para massas aferidas 9 g; 
• 01 massa aferida 10 g com furo central de ∅2,5 mm; 
• 02 massas aferidas 20 g com furo central de ∅2,5 mm; 
• 01 unidade de fluxo de ar; 
• 01 cabo de força tripolar 1,5 m; 
• 01 mangueira aspirador 1,5”; 
• 01 pino para carrinho com fixador para eletroímã; 
• 01 carrinho para trilho cor azul; 
• 01 pino para carrinho para interrupção de sensor; 
• 03 porcas borboletas; 
• 07 arruelas lisas; 
• 04 manípulos de latão 13 mm; 
• 01 pino para carrinho com gancho; 
• 01 pino para carrinho com pitão; 
• 01 mola para MHS; 
 
Procedimentos 
 
1. Montar o equipamento conforme a foto. 
 
 
2. Ligar o fluxo de ar para que o carrinho fique suspenso. 
3. Pendurar na ponta da linha um peso de 0,680 N (massa suspensa). 
4. Determinar a massa do conjunto oscilador (carrinho completo e massa 
suspensa). 
M = _____ Kg 
5. Colocar o Sensor na posição de equilíbrio, ligar o cronômetro e selecionar a 
medida F5. 
6. Afastar o carrinho da posição de equilíbrio no máximo 10 cm (amplitude A). 
7. Liberar o sistema e medir o intervalo e tempo para uma oscilação completa 
(período T). 
8. Repetir o passo anterior três vezes e anotar na tabela o valor médio do período 
(Texp). 
9. Acrescentar 40 g de carga no carrinho (20 g de cada lado) e repetir os 
procedimentos anteriores. 
10. Acrescentar, sucessivamente, massas no carrinho e completar a tabela. 
Constante da mola K = 4,20 N/m 
Massa oscilante m (kg) Período Experimental 
Texp (S) 
Quadrado do Período 
Experimental Texp2 (S2) 
 
 
 
 
 
 
 
11. Construir o gráfico Texp = f(m) (período em função da massa). Qual é a sua 
forma? 
______________________________________________________________ 
 
 
 
12. Construir o gráfico Texp2 = f(m) (período experimental ao quadrado em função 
da massa). Qual é a sua forma? 
 
 
 
 
 
∆X (m) tm2 (s2) 
 
 
 
 
 
 
 
13. Calcular o coeficiente angular do gráfico acima. 
A = _____ 
14. Calcular o valor numérico indicado abaixo. 
P�Q
R =____ onde K = 4,20 N/m e � = 3,14. 
15. Considerando a tolerância de erro de 5%, pode-se comparar A com P�
Q
R ? 
______________________________________________________________ 
16. Encontrar a relação de proporcionalidade entre o período (T) e a massa (m). 
______________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
17. Escrever a fórmula que permite calcular o período de oscilação. 
Tcal = 
18. Calcular o período de oscilação Tcal. 
Massa oscilante m (kg) Constante de 
elasticidadeK (N/m) 
Período calculado Tcal 
(S) 
 
 
 
 
 
 
19. Considerando a tolerância de erro de 5%, pode-se afirmar que o período de 
oscilação medido é igual ao período de oscilação calculado? 
______________________________________________________________ 
 
∆X (m) tm2 (s2)