1a Lista de Exercícios - Cálculo IV - Eng Controle e Automoção

Prévia do material em texto

Escola Superior de Tecnologia - EST
1a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo IV - Engenharia de Controle e Automoc¸a˜o
Prof. Msc. Jefferson Silva
Questo˜es
I - Introduc¸a˜o a`s equac¸o˜es diferenciais
Questa˜o 1. Classifique quanto ao tipo, ordem e grau as seguintes equac¸o˜es diferenciais:
(a)
d2y
dx2
+ xy =
(
dy
dx
)2
(b) a
(
∂2z
∂x2
)3
+ b
(
∂z
∂x
)2
+ c
(
∂z
∂y
)
= 0
(c) x
d3y
dt3
− y
d3y
dt3
= 1
(d)
(
x− d
3y
dx3
)2
− y
(
x− d
2y
dx2
)
=
(
1 + x
d4y
dx4
)3
(e)
√
1 +
(
d2y
dx2
)2
= 1 +
1(
d2y
dx2
)
(f)
(
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
)2
= 0
Questa˜o 2. Verifique se:
(a) y = x− x−1 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial xdy
dx
+ y = 2x.
(b) y = senx cosx− cosx e´ uma soluc¸a˜o para o problema de valor inicial
dy
dx
+ y tanx = cos2 x, y(0) = −1
no intervalo −pi
2
< x <
pi
2
.
II - Equac¸o˜es de Varia´veis Separa´veis
Questa˜o 3. Nos exerc´ıcios 1 a 10, resolva as seguintes equac¸o˜es pelo me´todo de varia´veis
separa´veis:
1.
1
x
− tanx · dy
dx
= 0
2. 4xy2dx+ (x2 + 1)dy = 0
3. xydx− 3(y − 2)dy = 0
4. xdx+ ye−x
2
dy = 0
1
5. (2 + y)dx− (3− x)dy = 0
6. xydx− (1 + x2)dy = 0
7. (1− x)dy − y2dx = 0
8.
dy
dx
=
e−2y
x2 + 4
9. cos2 y senxdx+ sen y · cosxdy = 0
10.
dy
dx
= cos(x+ y)
(sugesta˜o: fac¸a x+ y = Z(x))
Problemas Pra´ticos
Questa˜o 4. 1. Um ator de cinema que pesa 120 kg precisa fazer um severo regime para
emagrecer, em virtude do seu papel num novo filme a ser rodado. O diretor exige que
ele perca a terc¸a parte do seu peso no ma´ximo em treˆs meses, seguindo uma dieta
racional que o emagrec¸a proporcionalmente ao peso de cada dia. Nestas condic¸o˜es,
sabendo-se que, iniciada a dieta, o artista emagrecera´ 20 kg em 40 dias, quanto tempo
sera´ necessa´rio para que ele comece a atuar no filme?
2. Um carro de corrida do tipo Fo´rmula 1, que pesa 2000 kg, pela pista de Interlagos a
uma velocidade de 240 km/h. De repente, devido a uma falha no sistema hidra´ulico de
frenagem, os breques grimpam, determinando uma resisteˆncia proporcional a` velocidade
do F-1 e igual a 1 kgf quando a velocidade e´ de 36 km/h. Dentro de quanto tempo a
velocidade do carro sera´ igual a 120 km/h?
3. Sabendo-se que o radium (Ra) se decompo˜e naturalmente em proporc¸a˜o direta a` quan-
tidade presente, e que leva 250 anos para decompor 10% de uma certa quantidade,
quantos anos levara´ para decompor a metade da quantidade inicial?
4. Em um tanque com capacidade de 300 l deposita-se uma quantidade de sal com uma
substaˆncia na˜o-solu´vel. Supondo-se que a velocidade de dissoluc¸a˜o do sal e´ proporcional
a` diferenc¸a entre a concentrac¸a˜o a cada istante e a concentrac¸a˜o da soluc¸a˜o saturada,
que e´ de 1 kg de sal para cada treˆs l d’a´gua, e que sa˜o dissolvidos 0, 33 kg de sal/min,
achar a quantidade de sal contida no tanque ao fim de 1 h.
5. Um pa´ra-quedista salta de uma determinada altura. Quando o pa´ra-quedas e´ acio-
nado, a resisteˆncia do ar provoca uma frenagem proporcional ao quadrado da velo-
cidade. Supondo-se que o salto e´ demorado, calcular a velocidade limite do sistema,
considerando que o pa´ra-quedas se abre no momento do salto. Tomar g = 10m/s2.
6. Numa colme´ia, a raza˜ode crescimento da populac¸a˜o dp
dt
e´ uma func¸a˜o da populac¸a˜o.
Assim, dp
dt
= f(p).
a) Calcular p(t) para f(p) = βp e determinar a populac¸a˜o limite do sistema.
b) Encontrar p(t) para f(p) = βp−kp2 onde β e k sa˜o constantes positivas. Calcular
novamente a populac¸a˜o limite do sistema.
2
7. Sabe-se que apo´s cada movimento do corac¸a˜o (0, 5s) existe uma dilatac¸a˜o de 35% dos
vasos sangu´ıneos, em relac¸a˜o ao seu tamanho inicial, devido a` pressa˜o do sangue.
Considere-se uma arte´ria de 2 mm de diaˆmetro e 4 cm de comprimento, a quantidade
de sangue que passa nessa arte´ria cresce segundo uma func¸a˜o exponencial do tempo
entre uma batida e outra do corac¸a˜o. Calcular o diaˆmetro da arte´ria 0, 2s apo´s uma
batida, supondo-se que o seu comprimento permanece invaria´vel.
8. A primeira lei da Termodinaˆmica pode ser expressa da seguinte forma:
dQ = dU + d(EC) + d(EP ) + dW
onde Q e´ a quantidade de calor cedida pelo sistema, U , EC e EP sa˜o, respectivamente,
as energias interna, cine´tica e potencial do sitema e W o trabalho por ele realizado.
Em um sistema em que as energias cine´tica e potencial permanencem invaria´veis, o
calor recebido e o trabalho realizado variam com a temperatura t de acordo com as
seguintes leis: dQ
dt
= 80 joules/oC e dW
dt
= 4t joules/oC. Calcular a variac¸a˜o de energia
interna quando a temperatura aumenta de 10oC para 20oC.
III - Equac¸o˜es Homogeˆneas
Questa˜o 5. Resolver as seguintes equac¸o˜es:
1. 2x(x+ y)dx+ (x2 + y2)dy = 0
2. xdy − ydx = √x2 + y2dx
3. (x2 − xy + y2)dx− xydy = 0
4. ydx+ (2
√
xy − x)dy = 0
5. (4x2 + 3xy + y2)dx+ (4y2 + 3xy + x2)dy = 0
6.
dy
dx
= e
y
x +
y
x
7.
(
x sen
y
x
+ x+ y
)
dx− xdy = 0
IV - Equac¸o˜es Redut´ıveis a`s Homogeˆneas e Equac¸o˜es Redut´ıveis a`s
de Varia`veis Separa´veis
Questa˜o 6. Resolver as seguintes equac¸o˜es diferenciais:
1. (2x− y + 4)dy + (x− 2y + 5)dx = 0
2.
dy
dx
=
x+ 2y + 1
2x+ 4y + 3
3. (x− 4y − 3)dx− (x− 6y − 5)dy = 0
4. (3x− y + 2)dx+ (9x− 3y + 1)dy = 0
3
V - Equac¸o˜es Diferenciais Exatas
Questa˜o 7. Resolver as seguintes equac¸o˜es:
1. [y cos(xy) + y√
x
]dx+ [x cos(xy) + 2
√
x+ 1
y
]dy = 0
2.
2x
y3
dx+
y2 − 3x2
y4
dy = 0
3. (3x2 + 6xy2)dx+ (6x3y + 4y3)dy = 0
4. xdx+ ydy =
xdy − ydx
x2 + y2
5.
dy
dx
= −x+ xy
2
y + x2y
6. (1 + y senx)dx+ (1− cosx)dy = 0
7. (secx tanx− y)dx+ (sec t tan y − x+ 2)dy = 0
8. (2x cos y − ex)dx− x2 sen ydy = 0
9. Determinar a equac¸a˜o das curvas em que o comprimento da subtangente e´ igual a`
diferenc¸a entre a ordenada e a abcissa do ponto de contato.
VI - Fator Integrante
Questa˜o 8. Procurar o fator integrante e resolver as seguintes equac¸o˜es:
1. xdy − ydx = x2exdx
2. (1 + y2)dx = (x+ x2)dy
3. y2dy + ydx− xdy = 0
4.
y
x
dx+ (y3 − lnx)dy = 0
VII - Equac¸o˜es Lineares
Questa˜o 9. Resolver as seguintes equac¸o˜es diferenciais lineares:
1. y′ = y tanx+ cosx
2. y′ +
2y
x
= x3
3. y′ − y
x
= x
4
Problemas Pra´ticos
Questa˜o 10. A meia-vida do Ce´sio-137 e´ de 30 anos. Suponha que tenhamos uma amostra
de 100mg.
(a) Determine a massa que restara´ apo´s t anos.
(b) Quanta massa a amostra tera´ apo´s 100 anos?
(c) Depois de quanto tempo teremos apenas 1mg da amostra?
Questa˜o 11. Um peru assado e´ retirado do forno quando sua temperatura alcanc¸a 185oF e
e´ colocado em uma mesa onde a temperatura e´ de 75oF .
(a) Se a temperatura do peru for de 150oF depois de meia hora, qual sera´ a temperatura dele
apo´s 45 minutos?
(b) Quando tera´ o peru se resfriado a uma temperatura de 100oF?
Questa˜o 12. Um circuito RC e´ um circuito que tem um resistor de resisteˆncia R, um
capacitor de capacitaˆncia C e um gerador que gera uma diferenc¸a de potencial V (t) ligados
em se´rie. Pela segunda lei de Kirchhoff
RI +
Q
C
= V (t).
Como I(t) =
dQ
dt
, enta˜o a carga Q(t) no capacitor satisfaz a equac¸a˜o diferencial
R
dQ
dt
+
1
C
Q = V (t).
Em um circuito RC, uma bateria gera uma diferenc¸a de potencial de 10 volts enquanto a
resisteˆncia e´ de 103 ohms e a capacitaˆncia e´ de 10−4 farads. Encontre a carga Q(t) no
capacitor em cada instante t, se Q(0) = 0.
5