Avaliação e Resolução de Problemas no Estudo de Funções

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ADRIANA QUIMENTÃO PASSOS
A AVALIAÇÃO E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
NO ESTUDO DE FUNÇÕES
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL
ORIENTADORA: Profª. Drª.REGINA LUZIA CORIO DE BURIASCO
ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA
Agosto - 2008 - LONDRINA
GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ
SECRETARIA DO ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE
Adriana Quimentão Passos
A AVALIAÇÃO E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
NO ESTUDO DE FUNÇÕES
Produção Didática (Unidade Didática) 
apresentado ao Programa de 
Desenvolvimento Educacional.
Profª Orientadora da IES: Profª Drª Regina 
Luzia Corio de Buriasco.
UEL - LONDRINA – 2008
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A Avaliação e a Resolução de Problemas no estudo de funções
Introdução
A presente produção didática foi elaborada, partindo do pressuposto de que a 
Resolução de Problemas é uma estratégia que pode se constituir em contexto, para pensar 
matematicamente, e que a avaliação pode ser tomada como fio condutor da prática docente.
Na atualidade, a avaliação escolar, de modo geral, é tomada como o fim de um 
processo, de sorte que, ao final de cada etapa escolar, seja de uma unidade do conteúdo, de um 
bimestre, semestre ou ano, as dificuldades dos alunos e os erros são detectados, mas pouco parece 
ser feito para superá-los, sendo que, após o encerramento de cada uma dessas etapas, o conteúdo em 
questão é considerado dado, independentemente da aprendizagem dos alunos.
Sendo assim, este trabalho visa dar suporte para o estudo que tem como objetivo 
geral apresentar uma experiência de encaminhamento da avaliação, como possível fio condutor da 
prática pedagógica em aulas de matemática, nas quais se utiliza a Resolução de Problemas como 
estratégia metodológica.
Para isso, inicia-se o trabalho com uma pequena reflexão a respeito do papel da 
avaliação nas situações de ensino e aprendizagem. Na seqüência, são apresentados alguns dos 
instrumentos de avaliação que podem ser empregados na sala de aula, visando tomar a avaliação 
como um componente que favorece a aprendizagem. Para isso, apresentam-se as estratégias 
metodológicas da Resolução de Problemas e das Tarefas de Investigação, uma vez que elas se 
constituem, ao mesmo tempo, em tarefas de aprendizagem e de avaliação ao longo de todo o 
processo.
1. A avaliação nas situações de ensino e aprendizagem
A reflexão, a respeito da avaliação, levanta algumas questões: qual é o papel da 
avaliação no ambiente escolar? Ela tem a função de classificar? Deve ser empregada apenas ao final 
de um tema ou período letivo? Como ‘enxergar’ as informações que um instrumento de avaliação 
pode fornecer? O que fazer com as informações obtidas a partir de um instrumento de avaliação? 
De acordo com Buriasco (2002, p.1) nos últimos anos, a
[...] avaliação tem sido usada apenas para dar nota ao aluno e como tal, parece ter 
se transformado em instrumento para disciplinar a turma. É o braço autoritário do 
professor que mais atinge o aluno [...] volta-se, quase que exclusivamente, para a 
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função classificatória, que é incentivada no modo de vida de uma sociedade que 
valoriza a competição.
Usualmente a avaliação da aprendizagem escolar dos alunos constitui uma tarefa 
problemática para os professores, que fica ainda mais evidente diante das estratégias de ensino, 
propostas nas Diretrizes Curriculares de Matemática – DCE (PARANÁ, 2008). Estratégias 
metodológicas como: a Resolução de Problemas, as Tarefas de Investigação, a Modelagem, o uso 
das Tecnologias de Informação e Comunicação, o emprego da História da Matemática, a 
Etnomatemática, entre outras, valorizam a capacidade de resolução de problemas, bem como a 
comunicação, o uso dos conhecimentos prévios, o trabalho em grupo, enfim, a possibilidade de o 
aluno pensar matematicamente. Porém, “os instrumentos de avaliação por excelência continuam a 
ser as provas escritas e os exames, os quais remetem a valorizar os conhecimentos factuais dos 
alunos e a sua rapidez e eficiência na execução de procedimentos de cálculo” (PONTE et al., 1997, 
p. 1).
De acordo com Niss (1993) apud Ponte et al.(1997, p. 2), no âmbito internacional, 
a Educação Matemática tem evoluído consideravelmente com relação aos seus ideais e objetivos, 
tanto na teoria quanto na prática, porém as práticas avaliativas não acompanharam o mesmo ritmo. 
Deste modo, tem-se observado “um desajuste e uma tensão crescentes entre o estado da educação 
matemática e as práticas usuais de avaliação”.
Diante disso, a avaliação escolar de um modo geral tornou-se um relevante tema 
de pesquisa. Autores como Barlow (2006), Hadji (1994), Buriasco (2000, 2002a, 2002b, 2004), 
Esteban (1999, 2000), Santos (2002, 2003), propõem um outro olhar para este tema. De modo geral, 
sugerem repensar a prática pedagógica buscando alternativas para melhorar o processo de ensino e 
aprendizagem, além de democratizar o ensino. Para Esteban (2000, p. 14), a “avaliação [...] é um 
elemento importante da dinâmica de inclusão e exclusão, escolar e social”.
Esteban (2000) propõe que os processos avaliativos desenvolvidos no cotidiano da 
sala de aula sejam um meio de captar o que tem de mais favorável à elaboração de conhecimentos 
que beneficie as classes populares. Para esta autora, é fundamental que a escola faça a diferença na 
vida dos alunos menos favorecidos, pois, para um número significativo deles, este é o único 
ambiente de que dispõem para ter acesso ao conhecimento formal.
Na mesma direção, de acordo com Buriasco (2002, p.4), para se ter uma 
sociedade igualitária, o importante “não é fazer de conta que todos aprenderam, mas criar espaços 
de modo a permitir que cada um aprenda de fato”, e um dos caminhos para isso pode ser o de adotar 
“o processo de avaliação como eixo articulador entre a capacitação de professores e suas práticas 
em sala de aula” (BURIASCO, 2002, p.1). 
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Considerando que, tanto o acerto quanto o erro podem fornecer indícios sobre o 
conhecimento do aluno, e, que, a partir deles, o professor pode identificar possíveis caminhos a 
serem seguidos para a elaboração de novos saberes, a avaliação assume um papel essencialmente 
pedagógico, deixando de ter como principal função medir informações e passando a servir para 
interpretar informações recolhidas, para agir pedagogicamente sobre elas, favorecendo a reflexão a 
respeito da ação docente. Nessa perspectiva, acredita-se que, considerar a avaliação como uma 
atividade partilhada, um instrumento de análise do trabalho do professor e do aluno, um meio para 
realimentar a prática pedagógica e envolver alunos e professor na busca de superação das 
dificuldades encontradas, seja tomá-la como um fio condutor da prática pedagógica.
A DCE (PARANÁ, 2008, p. 44) sugere que a avaliação
[...] deve se dar ao longo do processo do ensino-aprendizagem, ancorada em 
encaminhamentos metodológicos que abram espaço para a interpretação e 
discussão, que considerem a relação do aluno com o conteúdo trabalhado, o 
significado desse conteúdo e a compreensão alcançada por ele.
Segundo a DCE do Paraná, ao elaborar uma proposta de prática avaliativa, o 
professor deve considerar algumas questões fundamentais, tais como, verificar se o aluno:
 comunica-se matematicamente, oral ou por escrito (BURIASCO, 2004);
 participa coletiva e colaborativamente nos trabalhos realizados em grupos;
 compreende, por meio da leitura, o problema matemático;
 elabora um plano que possibilite a solução do problema;
 encontra meios diversos para a resolução de um problema matemático;
 realiza o retrospecto da solução de um problema (PARANÁ, 2008, p. 44).
Ainda segundo a DCE, sob a orientação do professor, o aluno deve cultivar 
algumas atitudes como:
 pesquisar acerca de conhecimentos que possam auxiliar na soluçãodos 
problemas;
 elaborar conjecturas, fazer afirmações sobre elas e testá-las;
 perseverar na busca de soluções, mesmo diante de dificuldades;
 sistematizar o conhecimento construído a partir da solução encontrada, 
generalizando, abstraindo e desvinculando-o de todas as condições particulares;
 socializar os resultados obtidos, utilizando, para isso, uma linguagem adequada; 
e
 argumentar a favor ou contra os resultados (NOGUEIRA; PAVANELLO, 2006, 
p. 29 apud PARANÁ, 2008, p. 45)
Na perspectiva da avaliação adotada neste trabalho, o professor pode utilizar 
diversos instrumentos de avaliação tais como: provas escritas, provas escritas em duas fases, 
relatórios, portfolio, apresentação oral, entre outros.
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2. Recursos de avaliação
2.1 A prova escrita
A prova escrita, feita individualmente, sem consulta e com tempo limitado é o 
instrumento mais utilizado no ambiente escolar. Ela fornece alguma informação a respeito da 
aprendizagem, tanto para o professor como para o aluno. Porém, esse instrumento, por sua natureza, 
apresenta-se limitado, pois não é capaz de avaliar aspectos como a oralidade, o poder de 
argumentação, a interação, a cooperação, a persistência, a capacidade de envolver-se numa 
investigação prolongada, a capacidade de buscar informações para resolver um problema, entre 
outras ações (PONTE et al., 1997, p. 10).
Uma avaliação, pautada essencialmente em provas escritas não, é suficiente para 
contemplar todos os aspectos propostos para a avaliação na DCE (PARANÁ, 2008).
No entanto, provas escritas podem ser elaboradas para estimular o raciocínio, 
desde que incluam questões de interpretação, nas quais os alunos devem refletir e justificar suas 
respostas. Calculadoras e software gráficos também podem ser empregados com o objetivo de 
ampliar a possibilidade de exploração das questões, como por exemplo, no estudo das funções. 
Ponte et al. (1997, p. 11) sugere questões simples sobre funções que podem ser exploradas em 
provas escritas, nas quais os alunos dispõem de calculadoras ou software gráficos, tais como dar:
[...] exemplo (ou exemplos) de uma função quadrática em que zero seja um zero da 
função;
• dar um exemplo de uma função que seja: (a) positiva em todo o 
domínio; (b) decrescente em todo o domínio.
• dizer, justificando, se é verdadeiro ou falso: (a) se uma função f é 
par o mesmo acontece com –f; (b) uma função ímpar tem no máximo um zero; (c) 
se f é uma função ímpar, então 2f é uma função par; (d) existem funções pares com 
um número impar de zeros.
• apresentar uma expressão analítica e o esboço do gráfico de uma 
função que admita 1 como zero e que seja crescente de -∞ a -1.
Mesmo diante da possibilidade de se elaborar as provas escritas de um modo mais 
adequado, elas não são suficientes para contemplar todos os objetivos de uma avaliação consistente. 
Sendo assim, torna-se necessário buscar outros modos ou instrumentos de avaliação como, por 
exemplo, as provas em duas fases.
2.2 A prova escrita em duas fases
Segundo Ponte et al.(1997, p. 11), as provas escritas em duas fases foram 
desenvolvidos inicialmente na Holanda, em projetos para o ensino secundário. Ela consiste em uma 
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prova que o aluno resolve em dois momentos: no primeiro, na sala de aula e sem qualquer indicação 
do professor, assim como em uma prova qualquer; no segundo momento o aluno dispõe de mais 
tempo e dos comentários que o professor fez ao avaliar as respostas iniciais. Estas provas escritas 
são compostas por questões de dois tipos: “(1) perguntas de interpretação ou pedindo justificações e 
problemas de resolução relativamente breve; e (2) questões abertas e problemas requerendo alguma 
investigação e respostas mais desenvolvidas” (PONTE et al., 1997, p. 12). Pretende-se que o aluno, 
na primeira fase, resolva as questões do tipo (1) e comece a trabalhar com as questões do tipo (2) e 
na segunda fase corrija ou melhore as primeiras questões e resolva as segundas. Para avaliar, o 
professor deve levar em consideração o desempenho do aluno nas duas fases.
O bom aproveitamento desse instrumento depende: 
a) da escolha das questões adequadas ao seu funcionamento e aos seus objetivos; 
b) das considerações ou perguntas elaboradas pelo professor e colocadas entre a 
primeira e a segunda fase; 
c) de que o professor e os alunos compreendam que a segunda fase é uma parte 
essencial e insubstituível do processo.
2.3 O relatório
Um outro instrumento de avaliação que pode ser empregado, buscando tomar a 
avaliação como o fio condutor da prática pedagógica é o relatório. Ele se constitui em produções 
“escritas, mais ou menos extensas, realizadas pelos alunos a respeito de problemas, actividades de 
investigação ou projetos em que trabalharam” (PONTE et al. 1997, p. 16). Segundo Varandas 
(2000) apud Menino e Santos (2004, p. 3), no relatório, “o aluno descreve, analisa e critica uma 
dada situação ou actividade”. Ainda segundo este, autor o uso de relatórios contribui para “a 
construção de uma nova visão da actividade matemática” visto que o aluno tem que apresentar por 
escrito o seu pensamento, articular suas idéias, explicar os procedimentos adotados, criticar os 
processos utilizados, avaliar o seu desempenho ou do grupo e o produto final. Dessa forma, além de 
ser um instrumento de avaliação, torna-se também um fator de aprendizagem.
Para Ponte et al., (1997, p. 16), uma atividade desse tipo favorece “uma reflexão 
mais profunda do que aquela que é necessária quando apenas se apresenta a resposta, eventualmente 
acompanhada de uma justificação breve e imediata do raciocínio seguido”. Para Kilpatrick (1992) 
apud Ponte et al. (1997, p. 16), o aluno resolve um problema verdadeiramente quando é capaz de 
comunicar aquilo que fez com o problema. Ao fazer um relatório, ele precisa planejar como o 
argumento será organizado, quais as informações que o leitor precisa saber e como as idéias 
expressas se relacionam.
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Os relatórios podem ser desenvolvidos individualmente ou em grupos, na sala de 
aula ou fora dela. Eles podem ser elaborados de diversas formas. Ponte et al. (1997, p. 17) sugere 
que os alunos podem ser 
[...] solicitados a explicar as implicações de um determinado problema e o modo 
como o resolveram ou a comentar um texto que lhes foi dado para analisar. Nestes 
casos, aquilo que produzem é uma espécie de ensaio, como sucede quando se 
escreve um artigo para uma revista. Outras vezes, a tarefa consiste em descrever 
com algum pormenor um trabalho realizado, incluindo a organização e 
interpretação dos dados recolhidos e, eventualmente, a apresentação de conclusões. 
Nessas situações, o produto final assemelha-se a um relatório, habitual quando se 
termina uma atividade experimental ou um projeto.
As tarefas de resolução de problemas, investigação e modelagem fornecem 
elementos importantes para a construção de relatórios, pois estas estratégias metodológicas 
convidam o aluno à elaboração do conhecimento matemático por meio do levantamento de 
hipóteses, teste de conjecturas, análise e discussão dos resultados encontrados, além da troca de 
informações entre seus pares e com o professor.
2.4 O portfolio
A avaliação a ser desenvolvida durante um período maior, ou seja, em um ano ou 
ciclo, pode empregar o portfolio do aluno que é entendido por Gomes (2003, p. 56) como uma 
“coleção significativa, sistemática e organizada de atividades do aluno, numa determinada área, 
realizadas durante um período, que evidencie o nível de sua aprendizagem, incluindo, também, as 
suas reflexões sobre tais atividades”.
O portfolio pode ser tomado tanto como um recurso quanto como um instrumento 
de avaliação. Se for considerado apenas o seu produto final, ele constitui um instrumento deavaliação. Porém, “se o professor acompanhar e discutir as atividades ao longo de toda construção 
do portfolio, ele passa a ser um recurso de avaliação” (GOMES, 2003, p. 74) e ainda pode servir 
como um meio ou estratégia de reflexão sobre as situações de ensino e aprendizagem.
O portfolio, compreendido como um recurso de avaliação que favorece a reflexão 
sobre a prática, não deve se resumir um arquivo que contém todos os trabalhos desenvolvidos pelo 
aluno de forma cronológica. Os trabalhos escolhidos para compô-lo devem ser significativos para o 
aluno. Cabe ao professor a tarefa de ajudar o aluno a selecionar os trabalhos. Segundo Leal (1997) 
apud Menino e Santos (2004, p. 4), “sua elaboração deve ser da responsabilidade tanto do professor 
como do aluno, que decidem em conjunto, o que incluir no portfólio, em que condições, com que 
objectivos e o processo de avaliação”.
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Santos (1997, p.1) observa que este instrumento de avaliação poderá significar 
para o aluno um momento de aprendizagem, pois, ao selecionar o trabalho que irá compor o 
portfolio, ele reflete sobre a qualidade da sua produção e das diferentes atividades realizadas, da sua 
própria aprendizagem e de como poderá aprimorá-la.
Segundo Gomes (2003, p. 73), com o portfolio 
[...] o professor conhece muito mais seus alunos do que por meio das avaliações 
tradicionais. O portfolio oferece ao estudante a oportunidade de aprender a 
aprender. O produto final deve conter informação de que o aluno se engajou na 
auto-reflexão. Ele tem o potencial de demonstrar a criação de alguém. Ele permite 
compreender o processo educativo em nível de aprendizagem individual. Também 
pode ser uma ferramenta de ensino poderosa para encorajar alunos a fazerem 
mudanças de suas próprias aprendizagens.
Ponte et al. (1997, p. 19) apresentam sugestões de trabalho com o portfolio, 
baseadas em Diana Lambdin e Vicki Walker, que genericamente, propõem 
[...] que o portfolio contemple: um índice, uma introdução descrevendo e 
justificando o seu conteúdo; e um certo número de trabalhos realizados. Cada um 
destes deve incluir a questão original que lhe deu origem, um título, a data de 
realização e eventuais comentários que lhe estejam associados. [...] uma sugestão 
particularmente interessante diz respeito a uma “autobiografia matemática”, na 
qual o aluno reflicta sobre o modo como se relaciona com a Matemática.
Segundo Gomes (2003), ao usar este recurso, independente do formato que ele 
terá, é essencial que fique claro para o aluno o que se espera dele. O professor deve planejar 
antecipadamente as atividades que serão desenvolvidas e como elas serão apresentadas.
2.5 Outros recursos de avaliação
Porém, a produção dos alunos não se resume apenas a trabalhos escritos, a 
exposição oral, a argumentação das idéias matemáticas tanto com o professor quanto com outros 
alunos; a confecção de materiais manipuláveis entre outras ações também devem ser avaliadas.
A argumentação oral é um importante componente da avaliação, pois, em 
situações da vida cotidiana e também acadêmica, o aluno deve saber expressar e defender suas 
idéias. Segundo Ponte et al. (1997, p. 19), na Dinamarca, os exames finais foram modificados, 
reintroduzindo uma prova oral que incide na argumentação entre professor e aluno, sobre um texto 
contendo idéias matemáticas que o aluno estuda previamente. Este é o único exame de Matemática 
realizado pelos alunos, das áreas que não exigem o domínio das técnicas de cálculo e a capacidade 
de Resolução de Problemas.
Saber o que o aluno pensa a respeito do conhecimento matemático e a sua relação 
com este saber, também é um componente importante para a avaliação. Estes dados podem ser 
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levantados pelo professor por meio de questionários ou entrevistas que podem ser efetivadas 
individualmente ou em grupos.
O registro dessas observações pode auxiliar o professor na condução do processo 
de ensino de aprendizagem, além de ser mais um dado para compor a avaliação quantitativa que o 
professor deve efetuar, em função das exigências legais para a promoção dos alunos de uma série 
para outra ou de um ciclo para o outro.
Na atualidade, saber matemática não se resume a efetuar cálculos. O PISA, 
(Programme for International Student Assessment), desenvolvido pela OCDE, (Organização para 
Cooperação e Desenvolvimento Econômico), compreende que o letramento em matemática se 
refere à 
[...] capacidade de o indivíduo identificar e entender o papel que a matemática 
desempenha no mundo, para fazer julgamentos bem fundamentados, e utilizar a 
matemática e envolver-se com ela de forma que atenda às necessidades de sua vida 
como cidadão construtivo, consciente e reflexivo (OCDE, 2008, p. 320).
Para contemplar as especificidades do saber matemático, a comunidade 
internacional de Educação Matemática tem proposto estratégias metodológicas que favorecem a 
elaboração do conhecimento matemático por meio do envolvimento do aluno nas situações de 
ensino aprendizagem. Entre estas estratégias encontram-se a Resolução de Problemas, que foi 
proposta pelo NCTM, (National Council of Teachers of Mathematics), no início da década de 80, e 
também a Investigação Matemática que começou a ser discutida com maior intensidade no começo 
da década de 90.
3. Resolução de Problemas
Segundo Medeiros (2001, p. 32), a Resolução de Problemas é um motor para o 
desenvolvimento do conhecimento matemático. Para Butts (1997), estudar matemática é resolver 
problemas, e, conseqüentemente, cabe aos professores de matemática, em todos os níveis, ensinar a 
arte de resolver problemas. Para isso é necessário que ele saiba 
[...] formular um problema com criatividade de um artista para que o resolvedor 
potencial:
1) seja motivado a resolver o problema; 
2) entenda e retenha o conceito envolvido na solução do problema; 
3) aprenda alguma coisa sobre a arte de resolver problemas. (BUTTS, 1997, p. 48)
Uma aula desenvolvida na perspectiva da Resolução de Problemas, segundo 
Buriasco (1995, p. 1), pode ser dividida nas seguintes etapas:
1) O professor apresenta um problema - escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).
2) Os alunos tentam resolver o problema com o conhecimento que têm.
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3) Quando os alunos encontram algum obstáculo (falta de algum conteúdo 
necessário para a resolução do problema) o professor apresenta, de alguma forma, 
esse conteúdo.
4) Resolvido o problema, os alunos discutem sua solução, se necessário, com a 
ajuda do professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do 
problema, inclusive os do conteúdo necessário.
5) O professor apresenta outro problema - escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).
É importante observar que a Resolução de Problemas é uma das estratégias 
metodológicas destacada pela DCE (PARANÁ, 2008), pois ela “possibilita compreender os 
argumentos matemáticos e ajuda a vê-los como um conhecimento passível de ser apreendido pelos 
sujeitos do processo de ensino e aprendizagem” (SCHOENFELD, 1997 apud PARANÁ, 2008, p. 
36). 
4. As tarefas de Investigação nas aulas de Matemática
Outra estratégia sugerida na DCE (PARANÁ, 2008, p. 40) é a tarefa de 
Investigação, pois ela “tem sido recomendada por diversos estudiosos como forma de contribuir 
para uma melhor compreensão da matemática”. Uma aula desenvolvida de acordo com a estratégia 
metodológica da Investigação aproxima o trabalho do aluno do trabalho do matemático. Segundo 
Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p. 23) o 
[...] conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-aprendizagem, 
ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, 
constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir 
como um matemático,não só na formulação de questões e conjecturas e na 
realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na 
discussão e argumentação com os seus colegas e o professor.
De acordo com estes mesmos autores para os profissionais matemáticos a 
investigação consiste na busca de propriedades a partir da descoberta das relações entre objetos 
matemáticos conhecidos ou desconhecidos. Em uma aula, segundo a estratégia da investigação, o 
professor ou um aluno propõe uma tarefa simples, pouco estruturada, porém que favoreça o 
desencadeamento de uma série de questões relacionadas ao conhecimento matemático.
Para Nunes (2005), as tarefas de investigação constituem-se em um tipo especial 
de problema em aberto. Segundo Ernest (1991) apud Nunes (2005, p. 2)
[...] um processo próprio das investigações matemáticas é a formulação de 
problemas. Uma vez que a situação de partida não está bem definida, impõe-se a 
formulação de um problema que desencadeie a actividade. Para este autor, numa 
investigação matemática não basta conhecer a situação ou a questão matemática de 
partida. Importa ter em conta que o foco da actividade muda sempre que novas 
questões são formuladas, possibilitando a quem investiga a exploração de 
diferentes situações.
Segundo Cunha (2000), as tarefas de investigação são recomendadas, pois:
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• são essenciais na atividade matemática e fornecem uma visão global da 
natureza desta ciência;
• aproximam o trabalho dos alunos do trabalho dos matemáticos ao fazer 
descobertas por meio de avanços e retrocessos, levantamento e teste de 
hipóteses e as tentativas de elaborar provas;
• propiciam o envolvimento do aluno;
• favorecem a relação entre diferentes tópicos;
• podem ser inseridas naturalmente no currículo;
• reforçam os conceitos mais elementares.
5. A avaliação na Resolução de Problemas e nas Tarefas de Investigação
Os instrumentos de avaliação a serem empregados em estratégias de ensino, como 
a Resolução de Problemas e as Tarefas de Investigação, devem estar adequados a toda a dinâmica 
da aula e dos seus objetivos.
Ao avaliar o aluno em uma aula desenvolvida de acordo com uma dessas 
estratégias, o professor não pode se limitar a verificar apenas se o resultado encontrado é o correto 
ou não. Tanto na Resolução de Problema quanto nas Tarefas de Investigação, o processo tem um 
papel de destaque. Cabe ao professor analisar o caminho percorrido pelo aluno. Charles, Lester e 
O’Daffer apud Ponte et al. (1997, p. 22) indicam vários procedimentos para serem usados, ao 
avaliar tarefas de Resolução de Problemas. Um desses procedimentos consiste em avaliar as 
respostas de acordo com uma “escala analítica”, verificando: a compreensão do problema, o 
planejamento da estratégia de resolução e a resposta final. Para a avaliação quantitativa, pode ser 
atribuída ao trabalho do aluno uma determinada pontuação, de acordo com o seu envolvimento na 
resolução do problema. Por exemplo: para o aluno que não realiza a tarefa, ou simplesmente copia 
os dados sem demonstrar compreensão, não é atribuída pontuação; para aquele aluno que usa uma 
estratégia inadequada, uma pontuação mediana; para aquele que empregou estratégias corretas e 
resposta correta, a pontuação máxima.
A Resolução de Problemas e as Tarefas de Investigação também favorecem a 
comunicação oral. Este é um momento adequado para o professor avaliar a argumentação do aluno, 
o poder de defesa de suas idéias, de respeito ao pensamento alheio e de persuasão.
Estas estratégias também favorecem a produção escrita, ou seja, a elaboração de 
relatórios, pois, ao final de uma tarefa de Investigação ou de Resolução de Problemas, o aluno pode 
relatar todo o processo percorrido por ele, por um grupo pequeno ou pela sala, na busca da solução 
de um problema.
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O material produzido pelo aluno também pode vir a compor o portfolio, pois estas 
estratégias são baseadas na avaliação constante das estratégias adotadas.
Os critérios a serem seguidos para cada um dos instrumentos de avaliação devem 
ser elaborados pelo professor. No entanto, Ponte et al. (1997, p. 24) apresenta algumas 
recomendações. Na Resolução de Problemas, os autores sugerem observar se o aluno utiliza apenas 
procedimentos mecanicamente aprendidos ou se demonstra uma compreensão mais elaborada do 
problema, além de verificar a competência de comunicação do aluno. Nas tarefas de Investigação, 
também é relevante dar atenção para a capacidade de formular, testar e criticar conjecturas e de 
fazer generalizações. Num relatório, é essencial avaliar a coerência global do trabalho apresentado. 
No portfolio, o professor deverá ter claro que o aspecto a ser observado é a capacidade de reflexão 
do aluno, visto que os trabalhos que compõem a pasta já foram avaliados pelo professor em outras 
ocasiões.
Não se pode esquecer que, em uma avaliação coerente, o trabalho do aluno reflete 
todo um processo de aprendizagem. É importante que o professor não caia numa lógica de 
contabilização de erros, pois isso pode fazer com que o aluno se limite a produzir para evitar erros. 
Segundo Ponte et al. (1997, p. 26), muitas
[...] vezes, as melhores produções dos alunos, aquelas que eles explicitam os seus 
raciocínios e as suas descobertas, contêm imprecisões (e mesmo erros) que não se 
encontram quando os alunos apresentam produtos muito mais pobres, em que 
evitam simplesmente correr quaisquer riscos.
6. Um exemplo de prova em duas fases
Pode-se desencadear o trabalho com a avaliação, como o fio condutor da prática 
pedagógica, por meio de uma prova em duas fases, com tarefas que propiciem a Resolução de 
Problemas e as tarefas de Investigação.
Para exemplificar, parte-se do pressuposto de que o estudo da relação entre as 
grandezas é fundamental para a Matemática, pois esse é um dos objetos de estudo dessa área do 
saber. Sendo assim, o conteúdo estruturante Funções, e os conteúdos básicos: Funções Afim, 
Quadrática, Exponencial, propostos na DCE (PARANÁ, 2008), são essenciais para a formação 
acadêmica.
O inicio do trabalho com estes temas, fundamentado nas estratégias 
metodológicas da Resolução de Problemas e das Tarefas de Investigação, pode ser feito tomando 
como tarefa inicial uma prova em duas fases, composta por questões do PISA, disponíveis no site 
do Instituto Nacional de Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira - INEP1 As questões da prova do 
1 Disponível em: http://www.inep.gov.br/download/internacional/pisa/liberados/07/Mat.pdf Acesso em: 15/09/2008
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http://www.inep.gov.br/download/internacional/pisa/liberados/07/Mat.pdf
PISA, de um modo geral, não são rotineiras, isto é, são questões diferentes das encontradas nos 
livros didáticos e em outros materiais de apoio ao professor.
A formatação do teste, apresentado neste trabalho, segue características do 
exemplo proposto por Pinto (2000).
NOME DA ESCOLA
ENSINO MÉDIO
MATEMÁTICA − 1ª Série, Turma:----
Ano letivo: 2008
 / 10 /2008
Duração: 50 minutos (3 páginas)
Este é um teste em duas fases. Ele é composto por três questões subdivididas em itens. Na 
primeira fase você deve apresentar o raciocínio usado de forma clara, indicando todos os 
cálculos realizados e as justificativas que julgar necessária. Não apague seus rascunhos.
Questão 1. CAMINHANDO
A figura mostra a pegada de um homem caminhando. O comprimento do 
passo P é a distância entre a parte posterior de duas pegadas consecutivas. Para homens, a 
fórmula, 140=
P
n
, dá uma relação aproximada entre n e P onde,
n = número de passos por minuto, e
P = comprimento do passo em metros.
ITEM 1
Se a fórmula se aplica ao andar de Heitor e ele anda 70 passos por minuto, qual é o 
comprimento do passo de Heitor?
ITEM 2
Beto anda 80 passos por minuto. O comprimento de seu passo é de 56cm.
Joel anda 74 passos por minuto. O comprimento de seu passo é de 50 cm.
A fórmula, 140=
P
n
 é uma melhor aproximação para os passos do Beto ou para os passos de 
Joel?
ITEM 3
Bernardo sabe que o comprimento do seu passo é de 0.80 metros. A fórmula se aplica ao 
andar de Bernardo.
Calcule a velocidade do andar de Bernardo em metros por minuto e em quilômetros
por hora.
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ITEM 4
Para cada uma das afirmativas abaixo, faça um círculo ao redor de Sim ou Não para indicar se 
a afirmação é compatível com a fórmula 140=
P
n
sim/não - À medida que o número de passos por minuto aumenta, o comprimento do passo 
diminui.
sim/não - O número de passos por minuto é proporcional ao comprimento do passo.
sim/não - O comprimento do passo de um homem correndo é maior do que o comprimento de 
seu passo quando está caminhando.
Questão 2. MAÇÃS
Um fazendeiro planta macieiras em uma área quadrada. Para protegê-las contra o vento, ele 
planta coníferas ao redor do pomar.
O diagrama abaixo mostra essa situação, na qual se pode ver as macieiras e as coníferas, para 
um número (n) de filas de macieiras.
ITEM 1
Complete a tabela abaixo:
n= Número de macieiras Número de coníferas
1 1 8
2 4
3
4
5
ITEM 2
Existem duas fórmulas que você pode usar para calcular o número de macieiras e o número 
de coníferas no padrão descrito acima:
Número de macieiras = 2n
Número de coníferas = n8
onde n é o número de fileiras de macieiras.
Existe um valor n para o qual o número de macieiras é igual ao número de coníferas.
Encontre o valor de n, mostrando o método usado para fazer os cálculos.
ITEM 3
Suponha que o fazendeiro queira fazer um pomar muito maior com muitas fileiras de árvores. 
À medida que o fazendeiro aumenta o pomar o que crescerá mais rápido: o número de 
macieiras ou o número de coníferas? Explique como você encontrou a sua resposta.
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Questão 3. CONCENTRAÇÃO DE MEDICAMENTOS
ITEM 1: Uma mulher hospitalizada recebe uma injeção de penicilina. A penicilina é 
decomposta progressivamente, de modo que, uma hora após a injeção, somente 60% da 
penicilina estará ativa.
Este padrão se repete: ao final de cada hora, somente 60% da penicilina que estava presente 
no final da hora anterior permanece ativa.
Suponha que seja administrada, a esta mulher, uma dose de 300 miligramas de penicilina, às 
8 horas da manhã.
Complete a tabela abaixo mostrando a quantidade de penicilina que permanecerá ativa no 
sangue da mulher em intervalos de uma hora, no período das 8h às 11h da manhã.
Horário 8h 9h 10h 11h
Penicilina (mg) 300
ITEM 2: CONCENTRAÇÃO DE MEDICAMENTOS
Pedro precisa tomar 80 mg de um medicamento para controlar a sua pressão arterial. O 
gráfico a seguir mostra a quantidade inicial do medicamento e a quantidade que permanece 
ativa no sangue de Pedro após um, dois, três e quatro dias.
Qual é a quantidade de medicamento que permanece ativa ao fim do primeiro dia?
a) 6 mg.
b) 12 mg.
c) 26 mg.
d) 32 mg.
ITEM 3: CONCENTRAÇÃO DE MEDICAMENTOS
A partir do gráfico apresentado na questão anterior, pode-se observar que todos os dias, a 
proporção do medicamento, que permanece ativa no sangue de Pedro em relação ao dia 
anterior, é quase a mesma.
Ao fim de cada dia, qual das opções a seguir corresponde à porcentagem aproximada do 
medicamento do dia anterior que permanece ativa?
a) 20%.
b) 30%.
c) 40%.
d) 80%.
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7. Critérios de correção do exemplo de prova em duas fases para alunos da 1ª série do Ensino 
Médio
Para a correção da primeira fase das provas, os critérios adotados serão baseados 
nos adotados pelo PISA. Para a segunda fase, caberá ao professor elaborar questões a partir da 
produção escrita dos alunos. Sendo assim, a correção da segunda fase irá incluir critérios não 
definidos na primeira fase e ainda desconhecidos. Estes são uma indicação da subjetividade da 
avaliação, pois ela depende da relação entre o professor, o aluno e o saber.
Na correção da primeira fase desta prova, será considerado o objetivo da questão e 
os critérios estabelecidos pelo PISA. Desse modo na:
• questão 1 – Caminhando:
o Item 1: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreender como aplicar uma 
fórmula dada.
 Item correto : para as respostas 0.5 m ou 50 cm
 Item incorreto : para outras respostas
o Item 2: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreender como aplicar uma 
fórmula dada.
 Item correto : para as respostas que apresentarem o cálculo correto 
usado para justificar o passo de Beto.
 Item incorreto : para outras respostas
o Item 3: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreender como aplicar uma 
fórmula dada.
 Item correto : para os alunos que responderem: a) n = 140 x 0,80 = 
112; b) a cada minuto ele anda 112 x 0.80 metros = 89,6 metros; c) 
sua velocidade é de 89,6 metros por minuto. Portanto, sua velocidade 
é de 5,38 ou 5,4 km/h.
 Item parcialmente correto : para os alunos que efetuarem o cálculo 
acima, mas sem multiplicar por 0,80 para converter de passos por 
minuto, a metros por minuto.
 Item incorreto : para outras respostas
o Item 4: OBJETIVO DA QUESTÃO: analisar a relação entre as variáveis de 
uma fórmula dada.
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 Item correto : para o aluno que assinalar: a) não. À medida que o 
número de passos por minuto aumenta, o comprimento do passo 
diminui; b) sim. O número de passos por minuto é proporcional ao 
comprimento do passo; c) sim. O comprimento do passo de um 
homem correndo é maior do que o comprimento de seu passo, 
quando está caminhando.
 Item parcialmente correto : para os alunos que responderem 
corretamente uma das alternativas acima.
 Item incorreto : para os alunos que assinalarem todas as respostas 
incorretamente.
• questão 2 – Maçãs:
o Item 1: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreensão de como transpor um 
modelo matemático para uma tabela.
 Item correto : para as respostas usando desenho para n = 5, para 
encontrar os números na tabela OU resposta, usando regularidades na 
tabela para preencher os números que faltavam.
N= macieira
s
coníferas
1 1 8
2 4 16
3 9 24
4 16 32
5 25 40
 Item incorreto : para outras respostas.
o Item 2: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreender como resolver uma 
equação ou expandir um padrão com uma tabela.
 Item correto : para as respostas: a) n = 8 e a resposta usa desenhos 
para expandir o padrão; b) n = 8 e a resposta usa a tabela para 
expandir o padrão; c) n = 8 usando o método algébrico
 Item incorreto : para outras respostas.
o Item 3: OBJETIVO DA QUESTÃO: Demonstrar a compreensão das 
fórmulas
 Item correto : para as respostas corretas, acompanhadas de uma 
explicação válida. Por exemplo: a) Macieiras = n x n e coníferas = 8 
x n. Em ambas as fórmulas, temos o fator n, mas as macieiras têm 
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outro fator n que aumentará mais rápido, enquanto o fator 8 
permanece o mesmo. O número de macieiras aumentará mais 
depressa; b) A resposta correta poderia conter a afirmação de que o 
número de macieiras cresce mais rápido para n maior ou igual a 8 (ou 
maior ou igual a 4, o que é mais correto).
 Item parcialmente correto : para resposta correta, mas baseada 
somente em exemplos específicos.
 Item incorreto : para outras respostas, incluindo a resposta 
“macieiras”, sem estar respaldada por uma explicação correta.
• questão 3 – concentração de medicamentos
o Item 1: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreensão de como transpor um 
modelo matemático para uma tabela.
Item correto: para as respostas nas quais as três informações inseridas na 
tabela estão corretas.
Horário 8h 9h 10h 11h
Penicilina (mg) 300 180 108 64,8
ou
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 Item parcialmente correto : quando uma ou duas informações 
inseridas na tabela estão corretas
 Item incorreto : para outras respostas.
o Item 2: OBJETIVO DA QUESTÃO: Leitura de informações apresentados 
em um gráfico.
 Item correto : para o aluno que assinalou a alternativaD: 32mg.
 Item incorreto : para outras respostas.
o Item 3: OBJETIVO DA QUESTÃO: Leitura de informações apresentados 
em um gráfico.
 Item correto : para o aluno que assinalou a alternativa C: 40%.
 Item incorreto : para outras respostas.
19
Considerações
Depois de aplicada a prova em duas fases, o professor pode promover tarefas de 
Resolução de Problemas e/ou Investigação, procurando explorar:
• na questão 1 – Caminhando – o estudo de funções do primeiro grau, 
enfatizando a representação gráfica e o coeficiente angular, 
por exemplo;
• na questão 2 – Maçãs – o estudo das funções quadráticas e linear, a 
generalização da lei de associação de cada função e a 
representação gráfica delas;
• na questão 3 – Concentração de medicamentos – o professor poderá explorar 
o conceito da porcentagem e de funções exponenciais.
Após as explorações, os alunos poderão escrever um relatório que conste o 
conhecimento matemático discutido com toda a classe e o professor.
Este é um exemplo em que os recursos de avaliação não são simplesmente um 
instrumento de aferição, mas sim um possível fio condutor da prática docente.
Ao elaborar a presente produção didática, buscou-se levantar alguns dos recursos 
disponíveis que podem contribuir para a compreensão da avaliação como atividade de investigação 
da prática docente. Espera-se que a apresentação destes recursos favoreça a reflexão a respeito da 
avaliação como um meio que favorece a aprendizagem, e que ela se torne uma prática nas aulas de 
matemática.
Referências
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MARTINS, P. L. O.; JUNQUEIRA, S. A. (Org). Conhecimento local e conhecimento universal: a aula e 
os campos do conhecimento. Curitiba: Champagnat, 2004, p.243-251.
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Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997, p. 32 – 48.
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