Questão resolvida - Área entre as curvas y3x e yx no intervalo [0,3] - Cálculo I - UFVJM

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• Determine a área entre as curvas e no intervalo .y = 3x y = x² 0, 3[ ]
 
 
Resolução:
 
Primeiro, é preciso encontrar a interseção entre as curvas, isso é feito igualando-as e 
resolvendo para x;
 
x² = 3x x² - 3x = 0 x - 3 x = 0→ → ( )
 
 Com isso, temos que : x = 0 ou x - 3 = 0 x = 3→
 
Os pontos de intersecão entre as curvas são;
 
x = 0 y = 3 ⋅ 0 y = 0 ponto = 0, 0→ → → ( )
 
x = 3 y = 3 ⋅ 3 y = 9 ponto = 3, 9→ → → ( )
 
 
As curvas se trartam de uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados e uma 
parábola, que também passa pela origem, com concavidade voltada para cima, assim, 
podemos construir o gráfico da região que desejamos obter a área, como visto a seguir;
A região que desejamos encontrar a área é dada pela integral;
 
A = 3xdx - x dx = 3 - = 3 - - 3 -R
3
0
∫
3
0
∫ 2 x
2
2 3
0
x
3
3 3
0
3
2
( )2 3
3
( )3 0
2
( )2 0
3
( )3
 
A = 3 - - 0 = - 9 =R
9
2
27
3
27
2
27 - 18
2
 
A = u. a.R
9
2
 
 
(Resposta )