Controle de sistemas dinâmicos - Tópico 3

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Resposta transitória e regime estacionário 
 
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1. RESPOSTA TRANSITÓRIA E REGIME ESTACIONÁRIO 
 
INTRODUÇÃO 
 
Os modelos matemáticos de sistemas físicos são desenvolvidos para descrever o 
comportamento dinâmico de um sistema. Para modelos matemáticos de sistemas LIT 
(lineares invariantes com o tempo) uma maneira de resolver o modelo matemático, ou 
seja, relacionar o sinal de entrada com o sinal de saída de um sistema, é através da 
obtenção de sua função de transferência. Uma função de transferência de um modelo 
matemático é obtida via a aplicação da transformada de Laplace nas equações diferenciais 
que definem o comportamento dinâmico do sistema. Além de transformar as equações 
originais em equações algébricas, na função de transferência o domínio da função é 
modificado, de tempo para frequência. 
Nosso objetivo agora é utilizar a função de transferência de um modelo 
matemático para definir a resposta do sistema a uma determinada entrada. Muitas vezes, 
na prática, o sinal de entrada de um sistema não é conhecido previamente. Por esse 
motivo, muitas vezes as análises do desempenho de um sistema são realizadas utilizando 
alguns sinais de teste como degrau, rampa, impulso, parábola, que são funções de tempo 
relativamente simples e podem representar a maioria dos sinais de entrada que ocorrem 
nos sistemas. 
 
RESPOSTA DE UM SISTEMA LINEAR 
 
A resposta temporal de um sistema linear a uma excitação qualquer é constituída 
de duas partes: a resposta transitória (natural) e a resposta estacionária (forçada). Em 
sistemas estáveis, a componente natural da resposta vai se atenuando rapidamente e logo 
desaparece. Já a resposta forçada é permanente e, em geral, apresenta a mesma natureza 
do sinal de entrada, para t > 0. Matematicamente, a resposta de um sistema, 𝑦(𝑡), pode 
ser descrita por: 
 
𝑦(𝑡) = 𝑦𝑡𝑟(𝑡) + 𝑦𝑓(𝑡) (1) 
 
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em que 𝑦𝑡𝑟(𝑡) representa a parcela referente a resposta transitória e 𝑦𝑓(𝑡) a 
resposta forçada do sistema. Se um sistema tiver como sinal de entrada, por exemplo, um 
degrau, a representação da resposta completa do sistema, no domínio do tempo, pode ser 
vista na figura 1. 
Em termos matemáticos, a resposta transitória do sistema, no domínio do tempo, 
é obtida através da solução geral da equação homogênea do sistema. Por outro lado, a 
solução particular fornece a resposta forçada do sistema. 
 
Figura 1: sinal de resposta completa, transitória e forçada de um sistema 
 
 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
Por exemplo, vamos considerar um sistema massa-mola-amortecedor sob 
vibração, forçada (figura 2). O modelo matemático desse sistema mecânico pode ser 
representado por: 
 
𝑚�̈� + 𝐵�̇� + 𝐾𝑥 = 𝑓(𝑡) (2) 
 
A equação homogênea do sistema é obtida quando se anula o membro após a 
igualdade, ou seja: 
 
𝑚�̈� + 𝐵�̇� + 𝐾𝑥 = 0 (3) 
 
cuja solução geral (incluindo as condições de contorno) fornece a resposta 
transitória do sistema. Desta maneira, a solução particular da equação completa é a única 
que contém informações referentes ao sinal de entrada, fazendo com que o sinal de 
resposta estacionário seja caracterizado pela natureza do sinal de excitação. 
 
 
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Figura 2: sistema massa-mola-amortecedor com força de excitação 
 
 (Fonte: Phillips e Harbor, 1996). 
 
SINAIS DE TESTE 
 
Os sinais utilizados como sinais de entrada na análise e controle de um sistema 
dinâmico podem ser do tipo degrau, rampa, parábola, impulso, senoidal, entre outros. 
Uma vantagem de se caracterizar os diferentes tipos de sistema de acordo com os mesmos 
sinais de entrada é a possibilidade de comparação do comportamento dos sistemas. 
Vamos começar a nossa análise verificando o que é um sinal de entrada do tipo 
função degrau (figura 3). Este sinal é utilizado em sistemas sujeitos a variações bruscas 
dos sinais de entrada. Uma função degrau é definida como: 
 
𝐴 ∙ ℎ(𝑡) = { 
= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0
= 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
 (4) 
 
onde A representa a altura do degrau e h(t) representa a função degrau unitário 
(altura igual a 1). 
Em ocasiões que as entradas do sistema de controle são funções de tempo que 
variam gradualmente, a função de teste mais adequada é a função rampa (ou sinal de 
velocidade) (figura 4). A função rampa é definida matematicamente por: 
 
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𝑉0 ∙ 𝑡 ∙ ℎ(𝑡) = 𝑉0 ∙ 𝜔(𝑡) = { 
= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0
= 𝑉0 ∙ 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
 
(5) 
onde 𝑉0 é o coeficiente da rampa e 𝜔(𝑡) = 𝑡 ∙ ℎ(𝑡) é a função rampa unitária. 
Em sistemas nos quais são observados sinais de entrada análogos a impactos, o 
sinal de teste que pode ser utilizado para a sua descrição é o sinal de impulso (figura 5). 
A definição matemática da função impulso unitário é dada por: 
 
𝛿(𝑡) = { 
= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≠ 0
= ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1
+∞
−∞
 (6) 
 
Outros exemplos de sinais de ensaios utilizados para caracterizar o 
comportamento dinâmico de sistemas são os sinais do tipo parábola (aceleração), que 
pode ser visualizado na figura 6, e sinal senoidal (figura 7). Esses dois sinais são descritos, 
respectivamente, por: 
 
𝑎0 ∙
𝑡²
2
∙ ℎ(𝑡) = 𝑎0 ∙ 𝛼(𝑡) = { 
= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0
= 𝑎0 ∙
𝑡²
2
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
 
(7) 
 
onde 𝑎0 é o coeficiente da parábola e rampa e 𝛼(𝑡) =
𝑡²
2
∙ ℎ(𝑡) é a função 
parábola unitária; 
 
𝑦(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃0) ∙ ℎ(𝑡) (8) 
 
onde 𝐴 é a amplitude da senoide, 𝜔 a frequência angular e 𝜃0 o ângulo de fase 
inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 3: função degrau 
 
 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
 
 
Figura 4: função rampa 
 
 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
 
 
Figura 5: função impulso unitário 
 
 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
 
 
 
 
 
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Figura 6: função parábola 
 
 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
 
Figura 7: função senoidal 
 
 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
 
ESTABILIDADE DE UM SISTEMA 
 
Conhecendo os componentes de um sistema dinâmico, deve ser possível prever 
o seu comportamento utilizando um sistema de controle. A característica dinâmica mais 
importante de um sistema está relacionada com a sua estabilidade. A estabilidade de um 
sistema é definida pela análise da sua resposta transiente, ou seja, com o sistema em 
equilíbrio. O sistema LIT é estável sempre que, quando submetido a uma condição inicial, 
ele retorna ao seu estado de equilíbrio. Se o sinal de saída se oscilar, de maneira contínua, 
o sistema é chamado de criticamente estável. Por fim, quando o sistema está submetido 
às condições iniciais e o sinal de saída divergir do estado de equilíbrio, o sistema é 
instável. 
 
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 
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Vamos agora desenvolver uma metodologia para a obtenção da resposta 
dinâmica de um sistema a partir de seu modelo matemático e de um sinal de entrada da 
natureza dos sinais de teste previamente descritos. 
Os sistemas lineares, invariantes com o tempo, de entrada e saída únicas podem 
ter o seucomportamento descrito por apenas uma equação diferencial, linear e de 
parâmetros constantes. A ordem deste tipo de sistema é definida como a ordem mais 
elevada da derivada da variável a ser determinada (saída). Como as funções dos sinais de 
teste foram definidas para t maior ou igual a 0, vamos definir o comportamento dinâmico 
dos sistemas nesse mesmo domínio. 
Um modelo matemático de um sistema de primeira ordem pode ser dado, então, 
por: 
 
�̇� + 𝑎𝑦 = 𝐾𝑢(𝑡) (9) 
 
onde 𝑢(𝑡) é o sinal de entrada do sistema e 𝑦(𝑡) a variável de saída. 
Considerando as condições iniciais nulas, a transformada de Laplace dessa equação nos 
fornece a função de transferência do sistema. A função de transferência para esse modelo 
específico é dada por: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
𝐾
𝑠+𝑎
 (10) 
 
A resposta impulsiva do sistema é obtida pela transformada inversa de Laplace 
da função de transferência, ou seja: 
 
𝑔(𝑡) = ℒ−1 [
𝐾
𝑠+𝑎
] = 𝐾𝑒−𝑎𝑡 (11) 
 
Definindo uma nova constante 𝜏 = 1 𝑎⁄ como constante de tempo do sistema, 
podemos substituir o valor de t = 𝜏 na função de g(t) e verificar que para sistemas com 
modelos matemáticos análogos ao modelo descrito, a resposta reduz a 36,8% do seu valor 
inicial decorrido este tempo (figura 8). 
 
 
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Figura 8: resposta impulsiva de um sistema 
 
 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
Para os casos em que o sinal de entrada do sistema for igual à função degrau 
unitário, sabemos que sua transformada de Laplace é dada por 1/s e assim a resposta do 
sistema será: 
 
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠) =
𝐾
𝑠+𝑎
𝑈(𝑠) =
𝐾
𝑠(𝑠+𝑎)
 (12) 
 
Efetuando a transformada inversa de Laplace é possível determinar a reposta do 
sistema no domínio do tempo que é dada por: 
 
𝑦(𝑡) =
𝐾
𝑎
(1 − 𝑒−𝑎𝑡) (13) 
 
Da equação 13 podemos dizer que o valor inicial da resposta do sistema é igual 
a 0 e o valor final (definidos fazendo o limite da função com o tempo tendendo ao infinito) 
é igual a k/a. O parâmetro k/a é definido como a constante de ganho de um sistema 
dinâmico e é representado por kg. A curva de resposta de um sistema submetido a um 
sinal de entrada do tipo degrau unitário pode ser vista na figura 9. Observa-se que o tempo 
de subida do sistema (evolução de 10% a 90% do valor final) é igual a 2,2/a e o tempo de 
acomodação (tempo para o sistema atingir valores próximos ao valor final) é de 4/a. 
 
 
 
 
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Figura 9: resposta ao degrau unitário de um sistema 
 
 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
Vamos resolver um exercício para aplicar os conceitos vistos até agora. 
Considere um corpo de 800 kg de massa sujeito a atrito viscoso de constante 50 
N/(m/s) e submetido a uma força de impacto de 10.000 N durante 0,5 s (figura 10). Vamos 
determinar a velocidade desse corpo logo após o impacto e o tempo necessário para que 
esta velocidade se reduza a 36,8% do valor inicial. 
 
 
Figura 10: sistema do exercício 
 
 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
 
Como o sinal de entrada nesse caso é um sinal impulsivo, o impulso equivalente 
do choque pode ser dado por: 
 
𝑢(𝑡) = 𝐹 ∙ ∆𝑇 = 10.000 ∙ 0,5 = 5.000 𝑁 (14) 
 
Considerando a velocidade do corpo como a variável desconhecida, o modelo 
matemático do sistema pode ser descrito por: 
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𝑀 ∙
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 𝐵 ∙ 𝑣(𝑡) = 𝑢(𝑡) (15) 
 
Cuja função de transferência é dada por: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑉(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
1
𝑀⁄
𝑠+𝐵 𝑀⁄
=
0,00125
𝑠+0,0625
 (16) 
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace, a resposta impulsiva desse 
sistema, no domínio do tempo, é dada por: 
 
𝑔(𝑡) =
𝐹∆𝑇
𝑀
𝑒−
𝐵
𝑀
𝑡 (17) 
 
Substituindo t = 0 para a condição inicial temos que a velocidade inicial é igual 
a 6,25 m/s. A velocidade será reduzida a 36,8% desse valor depois de 16 segundos (de 
acordo com a constante de tempo 1/a). 
 
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
 
Um sistema de segunda ordem é um sistema que pode ser definido pelo modelo 
matemático que segue: 
 
�̈� + 𝑝�̇� + 𝑞𝑦 = 𝐾𝑢 (18) 
 
sendo p, q e K constantes do sistema. A função de transferência desse tipo de 
sistema costuma ser dada por: 
 
𝐺(𝑠) =
𝐾
𝑠2+2𝛼𝑠+𝜔𝑛²
 (19) 
 
onde 𝛼 = p/2 e 𝜔𝑛² = q. 
Essa mesma função de transferência, devido a deduções provenientes do estudo 
de vibrações mecânicas, também costuma ser representada por: 
 
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𝐺(𝑠) =
𝐾𝑔
(
𝑠
𝜔𝑛
)2+2𝜉(
𝑠
𝜔𝑛
)+1
 (20) 
 
O significado físico de cada uma dessas variáveis é: 𝜔𝑛 – frequência natural do 
sistema (frequência de ressonância do sistema sem amortecimento); 𝛼 – coeficiente de 
amortecimento; 𝜉 – grau de amortecimento; 𝐾𝑔 – constante de ganho do sistema. 
A resolução da equação característica do sistema (denominador da equação 19) 
possibilita que as raízes (polos) sejam reais e desiguais (sistemas superamortecidos); reais 
e iguais (sistemas criticamente amortecidos); ou ainda, polos complexos e conjugados 
(sistemas subamortecidos). 
O parâmetro que define o comportamento oscilatório do sistema é o grau de 
amortecimento. Para graus de amortecimento maiores que 0 e menores do que 1, o sistema 
se comporta como um sistema subamortecido e sua resposta transiente será oscilatória. 
Sistemas criticamente amortecidos (𝜉 = 1) e sistemas superamortecidos (𝜉 > 1) não 
apresentam respostas oscilatórias. O comportamento dos sistemas dinâmicos de segunda 
ordem, em função de seu grau de amortecimento, pode ser visualizado na figura 11. 
 
Figura 11: sistemas dinâmicos de segunda ordem 
 
 (Fonte: Ogata, 2010). 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
MAYA, Paulo Álvaro; LEONARDI, Fabrizio. Controle essencial. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2014. 
 
 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010. 
 
 
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. 1. 
ed. São Paulo: Makron Books, 1996.