Controle de sistemas dinâmicos - Tópico 6

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Espaço de estados 
 
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1. ESPAÇO DE ESTADOS 
 
INTRODUÇÃO 
 
Olá! 
Os modelos matemáticos, estudados até este momento, que descrevem o 
comportamento de um sistema dinâmico são definidos através de equações diferenciais 
lineares de coeficientes constantes (domínio do tempo) e funções de transferência 
(domínio da frequência). Pelo uso da transformada de Laplace, a função de transferência 
pode ser obtida a partir das equações diferenciais. Por outro lado, aplicando a 
transformada inversa de Laplace em uma função de transferência, o modelo de equações 
diferenciais pode ser obtido. 
Esses dois modelos matemáticos, embora sejam muito utilizados para a análise de 
sistemas dinâmicos mais simples, apresentam uma série de limitações. Primeiramente, o 
sistema definido através desse tipo de modelo deve ser linear e invariante com o tempo 
(LIT). O sistema também deve apresentar uma única entrada e uma única saída (sistemas 
SISO – single input single output). As condições iniciais dos sistemas definidos pelas 
equações diferenciais lineares e pela respectiva função de transferência devem apresentar 
condições iniciais supostamente nulas. E, por fim, esse modelamento não é capaz de 
contemplar a análise das variáveis internas do sistema. 
Diante de tantas limitações, desenvolveu-se um terceiro modelo matemático, mais 
poderoso e utilizado em sistemas de natureza mais complexa, denominado modelo de 
espaço de estados (ou modelo de variáveis de estado). Este é um modelo que descreve o 
comportamento de um sistema a partir de equações diferenciais que são desenvolvidas 
em um formato específico. O modelo consiste em um conjunto de equações diferenciais 
de primeira ordem acopladas (normalmente escritas na forma de um vetor matriz) 
(PHILLIPS e HARBOR, 1996). 
A grande diferença, e vantagem, da aplicação do modelo de espaço de estados, é 
permitir a representação das características internas do sistema. Nesse novo modelo 
proposto, a relação entrada-saída do sistema (mesma relação obtida pela função de 
transferência) é preservada, mas expressa de uma maneira alternativa (através de n 
equações de primeira ordem para um sistema de ordem n). 
 Espaço de estados 
 
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De acordo com Phillips e Harbor (1996), outras vantagens para a utilização do 
modelo de espaço de estados são: 
 
• Para sistemas de ordem elevada, a análise e o projeto de sistemas 
via modelo de espaço de estados são executados mais facilmente quando 
comparados à abordagem por função de transferência; 
• No projeto de sistemas através do modelo de espaço de estados, um 
número maior de informações realimenta o processo, permitindo um estudo mais 
aprofundado das variáveis internas, implementando um controle mais completo 
quando comparado aos outros modelos disponíveis; 
• Os melhores sistemas – sistemas que maximizam (ou minimizam) 
a função matemática que expressa o critério de projeto – são obtidos nos 
procedimentos de projeto de sistemas a partir do modelo de variáveis de estado; 
• Os modelos de variáveis de estados são geralmente necessários 
para simulações computacionais; 
• Mesmo quando o projeto de um sistema não é feito através do 
modelo de variáveis de estado, pode-se utilizar o método clássico de projeto para 
a aproximar a resposta do sistema ao sistema mais bem obtido pelo modelo de 
variáveis de estado. 
 
O modelo de espaço de estados permite representação no domínio da frequência 
e do tempo. E, por fim, permite o modelamento de sistemas com múltiplas entradas e 
múltiplas saídas (MIMO – multiple input multiple output). 
 
MODELO MATEMÁTICO DE ESPAÇO DE ESTADOS 
 
Para entendermos como é obtido o modelo matemático de um sistema através do 
método de espaço de estados, vamos desenvolver esse modelo para um sistema do tipo 
massa-mola-amortecedor (fig. 1). Esse sistema configura um sistema mecânico 
translacional que está sob vibração forçada. 
Vamos primeiramente modelar este sistema através dos métodos convencionais 
(equações diferenciais lineares e função de transferência) e, a partir desses modelos, 
proceder com a obtenção do modelo via espaço de estados. 
 Espaço de estados 
 
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Figura 1: sistema massa-mola-amortecedor (Fonte: Phillips e Harbor, 1996). 
 
Aplicando a segunda lei de Newton ao sistema e sabendo que as forças mecânicas 
efetuadas pela mola e pelo amortecedor viscoso são sempre contrárias ao movimento do 
corpo, o modelo matemático que descreve o comportamento do sistema é dado por: 
 
𝑀 ∙ 𝑎 = 𝑓(𝑡) − 𝐵 ∙ 𝑣 − 𝐾 ∙ 𝑦(𝑡) (1) 
 
Reescrevendo essa equação em função da posição da massa, y(t), temos: 
 
𝑀 ∙
𝑑²𝑦(𝑡)
𝑑𝑡²
= 𝑓(𝑡) − 𝐵 ∙
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
− 𝐾 ∙ 𝑦(𝑡) (2) 
 
que é o modelo matemático convencional do sistema obtido no domínio do tempo. 
Aplicando a transformada de Laplace a esse sistema e efetuando a divisão dos sinais de 
entrada e de saída do sistema (procedimento efetuado para a obtenção da função de 
transferência do sistema), obtemos: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
1
𝑀𝑠2+𝐵𝑠+𝐾
 (3) 
 
que representa o modelo matemático do comportamento do sistema, no domínio 
da frequência, obtido através da sua função de transferência. Em ambos os modelos 
matemáticos a posição y(t) é descrita em função da força de excitação, f(t) do sistema. 
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Vamos agora desenvolver um modelo que nos permite, além de obter informações 
referente a posição do objeto, determinar a sua velocidade. 
Fazendo: 
 
𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡) (4) 
 
𝑥2(𝑡) =
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑥1̇(𝑡) (5) 
 
Podemos reescrever a nossa função original (eq. 1) como: 
 
𝑑²𝑦(𝑡)
𝑑𝑡²
=
𝑑𝑥2(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑥2̇(𝑡) = −
𝐵
𝑀
𝑥2(𝑡) −
𝐾
𝑀
𝑥1(𝑡) +
1
𝑀
𝑓(𝑡) (6) 
 
Rearranjando a equação 6 e representando através de notação vetor-matriz, 
obtemos o modelo matemático via espaço de estados do sistema. Para o sistema em 
análise, o modelo de espaço de estados é dado por: 
 
[
𝑥1̇(𝑡)
𝑥2̇(𝑡)
] = [
0 1
−
𝐾
𝑀
−
𝐵
𝑀
] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] + [
0
1
𝑀
] 𝑓(𝑡) (7) 
 
𝑦(𝑡) = [1 0] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] (8) 
 
a matriz coluna [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] é denominada vetor de estado. O número de variáveis de 
estado de um sistema é igual a ordem n deste sistema, sempre satisfazendo as seguintes 
condições: 
 
• Se forem conhecidas as variáveis de estado em um instante 
qualquer, juntamente com as variáveis de entrada do sistema, permitem 
determinar todas as outras variáveis do sistema; 
• Se forem conhecidas as variáveis de estado em um instante 
qualquer, é possível determinar seus valores para todos os instantes futuros (desde 
que se conheça os valores das variáveis de entrada para os mesmos instantes). 
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A forma geral de representação do modelo matemático de um sistema utilizando 
os conceitos do método de espaço de estados é dado por: 
 
�̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) (9) 
 
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) (10) 
 
 
onde x(t) representa o vetor de estado (n x 1), A (n x n) e B (n x r) são matrizes 
do sistema, u(t) é ovetor de entrada (r x 1), y(t) representa o vetor de saída (p x 1), C é a 
matriz de saída (p x n) e D (p x r) representa o acoplamento direto entre entrada e saída 
(normalmente igual a zero). 
A equação 9 é chamada de equação de estado do sistema: uma matriz com 
equações diferenciais de primeira ordem cuja solução é dada por x(t). Nesta equação 
apenas a derivada de primeira ordem deve aparecer do lado esquerdo da equação e 
nenhuma derivada deve aparecer do lado direito. A equação 10 é chamada de equação de 
saída. 
De acordo com Maya e Leonardi (2014), define-se como estado de um sistema em 
um instante qualquer t, o conjunto de informações nesse instante do vetor estado. 
Sabendo-se, para o mesmo instante t, as características e os parâmetros do sinal de 
entrada, todas as demais informações do sistema podem ser obtidas nesse instante t 
(estado do sistema). 
O espaço de estado é o espaço (de n dimensões) que representa a trajetória descrita 
pelo vetor de estado. Nesse gráfico, os eixos representam os componentes do vetor de 
estado e a trajetória de um vetor de estado é a curva descrita pela extremidade do vetor 
dentro desse espaço (fig. 2). 
 
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Figura 2: espaço de estado com n igual a 2 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
Vamos representar, de maneira genérica, o modelo matemático obtido pelo 
método de espaço de estados para dois diferentes sistemas (fig. 3a e fig. 3b). 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 3: a) sistema de ordem 2, com uma variável de entrada e duas de saída; b) sistema de 
ordem 3, com duas variáveis de entrada e duas de saída (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
A representação do modelo matemático para ambos os sistemas pode ser feita de 
duas maneiras. Pode-se representar o conjunto de equações através de vetores e matrizes 
ou ainda, pode-se representar as equações para cada um dos estados e cada uma das 
saídas. 
No caso do sistema representado na fig. 3a, temos um sistema de ordem 2 (2 
estados), com uma variável de entrada e duas variáveis de saída. O modelo matemático 
que descreve o comportamento do sistema, representado vetorialmente, é dado por: 
 
[
𝑥1̇(𝑡)
𝑥2̇(𝑡)
] = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] + [
𝑏1
𝑏2
] 𝑢(𝑡) (11) 
 
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[
𝑦1(𝑡)
𝑦2(𝑡)
] = [
𝑐11 𝑐12
𝑐21 𝑐22
] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] + [
𝑑1
𝑑2
] 𝑢(𝑡) (12) 
 
Para o sistema representado na fig. 3b, sistema de terceira ordem, com duas 
variáveis de entrada e duas variáveis de saída, o modelo matemático que descreve o 
comportamento do sistema, representado vetorialmente, é dado por: 
 
[
𝑥1̇(𝑡)
𝑥2̇(𝑡)
𝑥3̇(𝑡)
] = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] + [
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
𝑏31 𝑏32
] [
𝑢1(𝑡)
𝑢2(𝑡)
] 
(13) 
 
[
𝑦1(𝑡)
𝑦2(𝑡)
] = [
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] + [
𝑑11 𝑑12
𝑑21 𝑑22
] [
𝑢1(𝑡)
𝑢2(𝑡)
] 
(14) 
 
VARIÁVEIS DE ESTADO 
 
Vimos que o vetor de estado do sistema deve conter a mesma quantidade de 
componentes que a ordem do sistema. Entretanto, as variáveis que irão compor o vetor 
de estado podem ser escolhidas de diversas maneiras (o vetor de estado não é único). Uma 
escolha conveniente, por exemplo, para as variáveis do vetor de estado do sistema é 
escolher as variáveis que definem as condições iniciais do sistema. No caso de um sistema 
mecânico, massa-mola-amortecedor que analisamos anteriormente, por exemplo, as 
variáveis que definem suas condições iniciais são a velocidade e a posição inicial do 
sistema (variáveis escolhidas para compor o vetor de estado do sistema). 
Outra maneira para a determinação das variáveis do vetor de estado de um sistema 
pode ser utilizada quando o sistema apresentar entrada e saída únicas. Se o modelo linear 
sob forma de equações diferenciais for de coeficientes constantes, ordem n (na variável 
de saída) e não tiver derivada no sinal de entrada, pode-se escolher como variáveis de 
estado as variáveis de estado de fase. 
As variáveis de estado de fase são definidas em sequência, de 1 até n, onde a 
primeira variável, x1(t) é a própria variável de saída y(t); as demais (com exceção da 
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última), são as derivadas sucessivas de y(t); e a última variável do vetor de estado é igual 
a própria equação do sistema. 
Vamos entender melhor essa metodologia através da análise do sistema que é 
definido pelo modelo matemático a seguir (Maya e Leonardi, 2014): 
 
𝑦(𝑡) + 3�̈�(𝑡) + 4�̇�(𝑡) + 2𝑦(𝑡) = 5𝑢(𝑡) (15) 
 
Este modelo satisfaz as condições impostas uma vez que é formado por equações 
diferenciais lineares de coeficientes constantes e não observa derivada no sinal de entrada. 
O sistema é de terceira ordem. Dessa maneira as variáveis de estado de fase serão: 
𝑥1 = 𝑦(𝑡), 𝑥2 = �̇�(𝑡) e 𝑥3 = �̈�(𝑡). Em notação vetorial, a representação desse sistema 
por espaço de estados é dada por: 
 
[
𝑥1̇(𝑡)
𝑥2̇(𝑡)
𝑥3̇(𝑡)
] = [
0 1 0
0 0 1
−2 −4 −3
] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] + [
0
0
5
] 𝑢(𝑡) (16) 
 
𝑦(𝑡) = [1 0 0] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] (17) 
 
Esta metodologia para a seleção das variáveis que irão compor o vetor de estado 
pode ser utilizada quando a função de transferência de um sistema G(s) = Y(s)/U(s) 
possuir n polos e nenhum zero (via multiplicação cruzada), ou até mesmo quando a função 
de transferência apresenta zeros (nesse caso deve-se utilizar uma variável auxiliar). 
Vamos ver como devemos proceder em cada um desses casos. 
Considere um sistema cuja função de transferência é dada por: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
8
𝑠3+3𝑠2+2𝑠+8
 (18) 
 
Se efetuarmos a multiplicação cruzada teremos: 
 
𝑌(𝑠). (𝑠3 + 3𝑠2 + 2𝑠 + 8) = 8. 𝑈(𝑠) (19) 
 
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Aplicando a transformada inversa de Laplace, temos a função no domínio do 
tempo que é igual a: 
 
𝑦(𝑡) + 3�̈�(𝑡) + 2�̇�(𝑡) + 8𝑦(𝑡) = 8. 𝑢(𝑡) (20) 
 
Podemos resolver esse sistema através da determinação das variáveis de estado de 
fase. Nesse caso, 𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡), 𝑥2(𝑡) = �̇�(𝑡) e 𝑥3(𝑡) = �̈�(𝑡). E sabendo que: 
 
 
 
�̇�3(𝑡) = −8𝑥1(𝑡) − 2𝑥2(𝑡) − 3𝑥3(𝑡) + 8. 𝑢(𝑡) (21) 
 
A equação de estado e equação de saída do sistema, na representação vetorial, são 
dadas, respectivamente, por: 
 
[
𝑥1̇(𝑡)
𝑥2̇(𝑡)
𝑥3̇(𝑡)
] = [
0 1 0
0 0 1
−8 −2 −3
] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] + [
0
0
8
] 𝑢(𝑡) (22) 
 
𝑦(𝑡) = [1 0 0] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] (23) 
 
E para o caso em que a função de transferência apresenta zeros? 
Nesse caso é necessário utilizar uma variável auxiliar, da maneira a seguir. 
Nosso objetivo é determinar o modelo de estados de um sistema que é definido 
pela seguinte função de transferência: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
15(𝑠2+3𝑠+12)
𝑠3+13𝑠2+60𝑠+30
 (24) 
 
Podemos reparar que agora existem polos e zeros na função de transferência. 
Nesse tipo de sistema, deve-se multiplicar o numerador e o denominadorpor uma variável 
arbitrária X(s), da seguinte maneira: 
 
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𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
15(𝑠2+3𝑠+12)∙𝑋(𝑠)
(𝑠3+13𝑠2+60𝑠+30)∙𝑋(𝑠)
 (25) 
 
Deve-se escolher X(s) de modo que (𝑠3 + 13𝑠2 + 60𝑠 + 30) ∙ 𝑋(𝑠) seja igual a 
U(s) e 15(𝑠2 + 3𝑠 + 12) ∙ 𝑋(𝑠) seja igual a Y(s). Aplicando a transformada inversa de 
Laplace, temos que: 
 
𝑥(𝑡) + 13�̈�(𝑡) + 60�̇�(𝑡) + 30𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡) (26) 
 
 
15�̈�(𝑡) + 45�̇�(𝑡) + 180𝑥(𝑡) = 𝑦(𝑡) (27) 
 
Agora podemos analisar o sistema da mesma maneira que nos casos anteriores. 
Para esse sistema, 𝑥1(𝑡) = 𝑥(𝑡), 𝑥2(𝑡) = �̇�(𝑡) e 𝑥3(𝑡) = �̈�(𝑡). E sabendo que: 
 
�̇�3(𝑡) = −30𝑥1(𝑡) − 60𝑥2(𝑡) − 13𝑥3(𝑡) + 𝑢(𝑡) (28) 
 
e a equação de saída: 
 
𝑦(𝑡) = 180𝑥1(𝑡) + 45𝑥2(𝑡) + 15𝑥3(𝑡) (29) 
 
Escrevendo de forma vetorial, temos que o modelo de estados do sistema é 
definido por: 
 
[
𝑥1̇(𝑡)
𝑥2̇(𝑡)
𝑥3̇(𝑡)
] = [
0 1 0
0 0 1
−30 −60 −13
] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] + [
0
0
1
] 𝑢(𝑡) (30) 
 
𝑦(𝑡) = [180 45 15] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] (31) 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
MAYA, Paulo Alvaro; LEONARDI, Fabrizio. Controle essencial. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2014. 
 
 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010. 
 
 
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. 1. 
ed. São Paulo: Makron Books, 1996.