Controle de sistemas dinâmicos - Texto 4

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Método do lugar das raízes 
 
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1. MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES 
 
INTRODUÇÃO 
 
Olá! 
A resposta (sinal de saída) de um sistema linear invariante com o tempo é 
constituída por duas parcelas: uma parcela natural e uma parcela forçada. O conceito de 
estabilidade para este tipo de sistema está relacionado com o comportamento da parcela 
natural do sinal de saída do sistema. Em sistemas estáveis a resposta natural do sistema 
vai se atenuando com o tempo (por isso é chamada de resposta transitória). Já a resposta 
forçada tem caráter permanente e, geralmente, apresenta o mesmo padrão do sinal de 
entrada (excitação). 
Quando um sistema LIT é retirado do seu equilíbrio e com o passar o tempo ele 
retorna à sua configuração original, ele é um sistema estável. Caso sua condição, após ser 
retirado do equilíbrio (condições iniciais não nulas), não convirja para o seu estado de 
equilíbrio, o sistema é instável. Existem ainda os casos em que o sistema oscila em torno 
de sua configuração de equilíbrio, é o caso dos sistemas criticamente estáveis. 
Esta definição de estabilidade recebe o nome de estabilidade Bibo (bounded input, 
bounded output), ou estabilidade de entrada e saída limitadas. Independentemente de a 
resposta do sistema tender a zero ou ao infinito, o comportamento é observado para 
quaisquer sinais de entrada e condições iniciais. Por isso que a estabilidade é uma 
propriedade do sistema e vale em qualquer condição, desde que a entrada e as condições 
iniciais não sejam nulas. 
Outro caso especial de sistemas instáveis são sistemas que sofrem com o fenômeno 
de ressonância. Quando a frequência de excitação do sistema for igual a frequência de 
oscilação natural do sistema, observa-se que a amplitude de movimento tende ao infinito, 
por isso deve-se cuidar operar sistemas com essas condições. 
De acordo com Maya e Leonardi (2014) a definição de estabilidade de um sistema 
pode ser descrita por: “um sistema linear, invariante no tempo e inicialmente em repouso, 
é estável quando sua resposta a qualquer entrada de amplitude finita for também de 
amplitude finita. Caso contrário o sistema é instável. 
Segundo a definição apresentada, uma condição necessária e suficiente para que o 
sistema seja estável é que todos os polos do sistema (raízes da equação característica) 
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estejam situados no plano semiplano esquerdo (SPE) do plano s. Neste caso, não admitem 
se raízes imaginárias e nem raízes no semiplano direito. Matematicamente isso significa 
que todas as raízes da equação característica da função de transferência do sistema devem 
ser reais e negativas. Um polinômio com esse padrão é também chamado de polinômio 
de HURWITZ. 
Recordando que a função de transferência de um sistema é dada por G(s) = 
P(s)/Q(s), o polinômio característico (cujas raízes devem ser negativas para observar 
estabilidade no sistema) é dado por: 
 
𝑄(𝑠) = 𝑎𝑛𝑠
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠
𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑠
2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 (1) 
 
ANÁLISE DE ESTABILIDADE 
 
A análise de estabilidade de um sistema pode ser feita através da determinação das 
raízes exatas do polinômio característico. Entretanto, um conjunto limitado de equações 
pode ser resolvido analiticamente de maneira simples (no caso polinômios de primeira ou 
de segunda ordem). Outro método aplicado para análise de estabilidade consiste na 
determinação da localização das raízes (caso alguma raiz não esteja no semiplano 
esquerdo o sistema é instável). Este método é chamado de critério de Routh-Hurwitz. 
Vamos começar nossa análise resolvendo alguns exercícios. 
Considere um sistema cuja função de transferência é dada por: 
 
𝐺(𝑠) =
𝐾
𝑠5+2𝑠4+2𝑠3+46𝑠2+89𝑠+260
 (2) 
 
Determinar as raízes desse polinômio característico do sistema (denominador da 
função de transferência) não é tão simples assim. As raízes desse polinômio são: 
−4,−1 ± 𝑗2, 2 ± 𝑗3. Como este sistema apresenta raízes com parte real positiva, estas se 
localizam no semiplano direito, portanto o sistema é instável e o polinômio não é um 
polinômio de Hurwitz. 
Considere agora outro exemplo. A função de transferência de um sistema é dada 
por: 
 
𝐺(𝑠) =
𝐾
𝑠3+6𝑠2+11𝑠+6
 (3) 
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Nesse caso as raízes do polinômio característico são iguais a -1, -2 e -3. Como todas 
estão localizadas no semiplano esquerdo, o sistema é estável. 
Em casos nos quais os polinômios característicos são de ordens muito elevadas, é 
preferível utilizar uma ferramenta computacional para a determinação dos polos do 
sistema. 
Entretanto, em alguns casos da engenharia, não se faz necessária a determinação 
das raízes extas do polinômio. Basta saber as suas localizações para determinar a 
estabilidade do sistema. Para isto, se aplica o critério de Routh-Hurwitz. 
Vamos estudar este método! 
Seja um polinômio dado pela equação 1. Uma condição necessária para que este 
polinômio seja polinômio de Hurwitz é que os coeficientes 𝑎 sejam todos positivos (ou 
negativos). A partir dessa condição, vamos montar uma tabela (tabela de Routh). A 
primeira coluna da tabela (coluna de referência) é formada pelas potências de s, no sentido 
decrescente, começando com sn até s0 (sendo n o grau do polinômio). 
O próximo passo é preencher as duas primeiras linhas à direita da coluna de 
referência com os coeficientes do polinômio. A ordem de preenchimento dessas linhas 
pode ser vista na figura 3. Podemos reparar que os coeficientes correspondentes a 
expoentes de s estarão dispostos sempre na mesma paridade (todos ímpares e todos os 
pares dentro da mesma linha). 
 
Figura 1: construção da tabela de Routh 
 
 Fonte: adaptado de Maya e Leonardi, 2014. 
 
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Todos os coeficientes das linhas seguintes da tabela são formados a partir dos 
coeficientes das duas primeiras linhas de acordo com as equações a seguir: 
 
𝑏1 =
𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2−𝑎𝑛𝑎𝑛−3
𝑎𝑛−1
 (4) 
 
𝑏2 =
𝑎𝑛−1𝑎𝑛−4−𝑎𝑛𝑎𝑛−5
𝑎𝑛−1
 (5) 
 
𝑏3 =
𝑎𝑛−1𝑎𝑛−6−𝑎𝑛𝑎𝑛−7
𝑎𝑛−1
 (6) 
 
𝑐1 =
𝑏1𝑎𝑛−3−𝑎𝑛−1𝑏2
𝑏1
 (7) 
 
𝑐2 =
𝑏1𝑎𝑛−5−𝑎𝑛−1𝑏3
𝑏1
 (8) 
 
𝑑1 =
𝑐1𝑏2−𝑏1𝑐2
𝑐1
 (9) 
 
𝑑2 =
𝑐1𝑏3−𝑏1𝑐3
𝑐1
 (10) 
 
Esse procedimento continua até que as duas últimas linhas da tabela de Routh sejam 
formadas por apenas um elemento cada. A configuração final da tabela de Routh é 
mostrada na figura 2. 
A análise da estabilidade do sistema vai ser feita de acordo com a interpretação dos 
dados da segunda coluna da tabela (primeira coluna dos coeficientes, também chamada 
de coluna principal). Um artifício matemático que pode ser realizado durante a construção 
da tabela é dividir ou multiplicar os coeficientes de uma linha qualquer, sem alterar o 
resultado da análise de estabilidade. 
A verificação da estabilidade do sistema está relacionada com o sinal dos 
coeficientes da coluna principal. Por definição do método, o número de raízes com parte 
real positivaé igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes dessa coluna. Desta 
maneira, se, por exemplo, na coluna principal houver 7 coeficientes e todos eles forem 
negativos, o sistema é estável. Se, por outro lado, houver 4 coeficientes, sendo a ordem 
de sinais da coluna dada por negativo, negativo, positivo, positivo, observa-se uma 
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mudança de sinal. Isso indica que existe uma raiz com parte real positiva, logo o sistema 
é instável. 
Figura 2: tabela de Routh 
 
Fonte: Maya e Leonardi, 2014. 
 
Vamos resolver juntos um exemplo da aplicação do critério de Routh-Hurwitz. 
Dado o polinômio a seguir, verifique se esse é um polinômio de Hurwitz ou não. 
 
𝑄(𝑠) = (𝑠 + 2)(𝑠2 − 𝑠 + 4) (11) 
 
Após efetuar a operação de multiplicação podemos reescrever este polinômio no 
formato de um polinômio dado pela equação 1. Desta maneira, podemos reescrever Q(s) 
como: 
 
𝑄(𝑠) = 𝑠3 + 𝑠2 + 2𝑠 + 8 (12) 
 
De acordo com o algoritmo de Routh, podemos começar a montar nossa tabela. A 
primeira coluna e as duas primeiras linhas são formadas em função dos coeficientes do 
polinômio, logo a tabela de Routh (tabela 1) se inicia com: 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 1: tabela de Routh (inicial) do exercício 
 
s³ 1 2 
s² 1 8 
s 
s0 
 
 
Para a determinação dos coeficientes restantes vamos utilizar as equações de 4 a 10. 
Sabemos que cada uma das linhas restantes terá apenas um coeficiente. Vamos chamar 
estes coeficientes de b1 e c1. Temos que: 
 
𝑏1 =
(1𝑥2)−(8𝑥1)
1
= −6 (13) 
 
 𝑐1 =
(−6𝑥8)−(0𝑥1)
−6
= 8 (14) 
 
A tabela final de Routh é igual a tabela 2: 
 
Tabela 2: tabela de Routh (final) do exercício 
s³ 1 2 
s² 1 8 
s -
6 
 
s0 8 
 
Como podemos observar, de acordo com o critério de Routh-Hurwitz, o polinômio 
apresenta duas raízes no semiplano direito (duas mudanças de sinal: de 1 para -6 e de -6 
para 8, na coluna principal) indicando a instabilidade de um sistema caracterizado por 
este polinômio. 
E o que aconteceria se aparecessem coeficientes iguais a 0 na coluna principal? 
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No caso da ocorrência de um coeficiente igual a 0, mas pelo menos um coeficiente 
diferente de 0 na mesma linha, substitui-se o 0 na coluna principal por um número muito 
pequeno (desprezível em relação aos demais) positivo, e prossegue a montagem da tabela 
da maneira convencional. 
Já nos casos em que todos os coeficientes de uma linha na tabela de Routh iguais a 
0, deve-se construir uma equação auxiliar (cujas raízes também são raízes do polinômio 
original) e derivar a mesma em relação a s. Os coeficientes dessa equação auxiliar devem 
substituir os zeros da linha nula. Após essa operação, prossegue-se normalmente com a 
montagem da tabela. 
 
MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES 
 
Foi visto anteriormente que as raízes da equação característica de um sistema 
definem a sua estabilidade ou não. Caso um sistema dinâmico, de malha fechada, 
apresenta algum parâmetro variável na sua equação característica (por exemplo um ganho 
no controlador), é de interesse localizar no plano s essa variação dos polos do sistema de 
acordo com a variação desse parâmetro variável. O método do lugar das raízes é um 
método gráfico que permite localizar as raízes de um polinômio característico mesmo 
com a variação de um parâmetro do sistema. 
Vamos demonstrar o método do lugar das raízes a partir de um sistema de malha 
fechada representado na figura 3. O parâmetro K deste sistema costuma aparecer na 
prática como um parâmetro variável do sistema (por exemplo um ganho ajustável nos 
compensadores dos sistemas de controle). A função de transferência do conjunto pode ser 
dada por: 
 
Figura 3: Sistema com parâmetro K variável 
 
Fonte: Maya e Leonardi, 2014. 
 
𝐹(𝑠) =
𝐾𝐺(𝑠)
1+𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
=
𝐾𝐺(𝑠)
1+𝐴(𝑠)
 (15) 
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Como a equação característica do sistema é dada por Q(s) = 1 + A(s) = 0, ou ainda, 
A(s) = -1, os polos de F(s) são pontos do plano s onde A(s) tem módulo de valor unitário 
e ângulo de fase (uma vez que é uma função complexa) igual a -180º ± N360º, sendo N 
igual a 0, 1, 2, 3, ... 
O diagrama obtido pelo método do lugar das raízes segue uma sequência de regras 
predeterminadas. 
• Primeiro passo: determinar o lugar das raízes no eixo real (polos do 
sistema de malha aberta); 
• Segundo passo: determinar o número total de ramos do lugar das 
raízes (igual ao número de polos de malha aberta); 
• Terceiro passo: determinar os segmentos pertencentes ao eixo real; 
• Quarto passo: determinar o número que ramos que vão para o 
infinito (igual ao número de polos do sistema menos o número de zeros); 
• Quinto passo: determinar os pontos de separação sobre o eixo real; 
• Sexto passo: análise do comportamento ao infinito; 
• Sétimo passo: pontos de cruzamento do lugar das raízes com o eixo 
imaginário; 
 
Vamos aplicar o método do lugar das raízes em uma função proposta por Maya e 
Leonardi (2014). 
Considere o sistema representado pela equação a seguir: 
 
𝐴(𝑠) = 𝐺(𝑠) =
𝐾
𝑠(𝑠+1)(𝑠+2)
 (16) 
 
onde K representa o ganho do sistema e é um parâmetro variável, variando de 0 a 
mais infinito. 
Para aplicar o método do lugar das raízes o primeiro passo é determinar os polos do 
sistema de malha aberta, ou seja, as raízes da equação característica. As raízes da equação 
característica do problema proposto são iguais a 0, -1 e -2. O segundo passo seria 
determinar o número de ramos, que é igual ao número de polos no sistema de malha 
aberta, nesse caso 3. Os ramos têm origem nos polos e se direcionam para os zeros. Como 
o sistema não apresenta zeros, os ramos tendem ao infinito com o valor crescente de K. 
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O terceiro passo é definir os segmentos do método do lugar das raízes que pertencem ao 
eixo real (para isso a condição angular deve ser satisfeita). Nesse caso a condição angular 
só é satisfeita para os segmentos entre 0 e -1 e entre -2 e -∞, conforme figura 4. 
O quarto passo para a análise do método é determinar o número de ramos que vão 
para o infinito. Esse número é igual ao número de polos menos o número de zeros, que 
no caso, igual a 3 – 0 = 3. Nesse caso, todos os ramos vão para o infinito. Um ramo vai 
para o infinito sobre o eixo real, conforme figura 4. Os outros dois ramos vão para o 
infinito na direção imaginária, a partir de um ponto de separação localizado entre 0 e -1 
no eixo real. 
 
Figura 4: Representação dos polos e dos ramos do sistema 
 
Fonte: Maya e Leonardi, 2014. 
 
O quinto passo consiste em determinar os pontos de separação dos ramos que estão 
direcionados em sentidos opostos (nesse caso os ramos com origem em 0 e -1). Como os 
ramos se direcionam de acordo com o aumento do valor do parâmetro K, no ponto de 
separação, o valor de K real é máximo. Desta maneira, para a obtenção do ponto de 
separação basta fazer a derivada de k com relação a parte real de s (Re(s)) e igualar a zero. 
Igualando A(s) a -1, que é a condição básica do método, temos que: 
 
𝐴(𝑠) =
𝐾
𝑠(𝑠+1)(𝑠+2)
= −1 (17) 
 
𝐾 = −𝑅𝑒(𝑠)(𝑅𝑒(𝑠)2 + 3𝑅𝑒(𝑠) + 2)(18) 
 
e derivando e igualando a 0 em função de Re(s) temos que os pontos de máximo 
ocorrem para valores de s iguais a -0,42 e -1,58. O primeiro valor é o ponto de separação. 
O segundo valor corresponde a um valor negativo de K e não é interesse de nosso estudo. 
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Todos os ramos que vão para o infinito, nesse caso os três, são definidos por 
assíntotas de uma curva. Todas elas saem de um mesmo ponto no eixo real (ponto de 
irradiação). O ponto de irradiação é definido, de acordo com Ogata (2010), como: 
 
𝑃𝑖 =
∑𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠−∑𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑝−𝑧
 (18) 
 
onde p é a quantidade de polos e z a quantidade de zeros no sistema de malha aberta. 
Para o exercício proposto, o valor do ponto de irradiação é igual a -1. O ângulo entre a 
primeira assíntota e o eixo real é definido por 180º / (p-z), que nesse caso é igual a 60º. O 
ângulo formado entre as assíntotas (iguais) é igual a 360º / (p-z) que nesse caso é 120º. 
Na figura 5 podemos ver a representação das assíntotas do sistema de acordo com o 
método do lugar das raízes. 
O último passo para a análise do problema é determinar os pontos do cruzamento 
do método com o eixo imaginário. Neste exemplo os pontos em que o método do lugar 
das raízes intercepta o eixo imaginário é ±√2, com o valor correspondente de K igual a 
6. A representação gráfica final do sistema pelo método do lugar das raízes é observada 
na figura 6. 
 
Figura 5: Representação das assíntotas do sistema 
 
Fonte: Maya e Leonardi, 2014. 
 
 
 
 
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Figura 6: Representação do sistema pelo método do lugar das raízes 
 
Fonte: Maya e Leonardi, 2014. 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
MAYA, Paulo Alvaro; LEONARDI, Fabrizio. Controle essencial. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2014. 
 
 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5 ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010. 
 
 
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. 1. 
ed. São Paulo: Makron Books, 1996.