Lista sobre Multiplicadores de Lagrange

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Matheus Almeida Conceição 
Matheus Almeida Conceição 
Lista sobre Multiplicadores de Lagrange 
 
 
3) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 = 1e 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔, ⟨2𝑥, 2𝑦⟩ = ⟨𝜆𝑦, 𝜆𝑥⟩, desta forma 2𝑥 =
𝜆𝑦, 2𝑦 = 𝜆𝑦, e 𝑥𝑦 = 1. 
A partir da última equação, 𝑥 ≠ 0 e 𝑦 ≠ 0, Logo 2𝑥 = 𝜆𝑦, assim 𝜆 =
2𝑥
𝑦
. 
Substituindo temos que 2𝑦 = (
2𝑥
𝑦
)𝑥, 𝑦2 = 𝑥2, 𝑦 = ±𝑥.Porém 𝑥𝑦 = 1, assim 𝑥 = 𝑦 = ±1e os 
pontos possíveis para os valores extremos de 𝑓 são (1,1) e 
(−1, −1). 
Aqui não há valor máximo, pois a restrição 𝑥𝑦 = 1permite que 𝑥 ou 𝑦 se tornem 
eventualmente grandes e, portanto 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 pode ser eventualmente grande. O 
valor mínimo é𝑓(1,1) = 𝑓(−1, −1) = 2. 
 
4) 𝑓(𝑥, 𝑦)3𝑥 + 𝑦, 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 = 10, e 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔, ⟨3,1⟩ = ⟨2𝜆𝑥, 2𝜆𝑦⟩, 
Então 3 = 2𝜆𝑥, 1 = 2𝜆𝑦e 𝑥2 = 𝑦2 = 10. 
Das duas primeiras equações, temos 
3
2𝑥
= 𝜆 =
1
2𝑦
, 𝑥 = 3𝑦(note que as duas primeiras 
equações implicam 𝑥 ≠ 0 e 𝑦 ≠ 0) e substituindo na terceira equação dá 9𝑦2 + 𝑦2 = 10, 
𝑦2 = 1, 𝑦 = ±1. 
Então 𝑓 tem possíveis valores extremos nos pontos(3,1)e (−3, −1). 
Calculando 𝑓(3,1) = 10e 𝑓(−3, −1) = −10,sendo assim o máximo valor de 𝑓sobre 𝑥2 + 𝑦2 =
10então 𝑓(3,1) = 10e o valor mínimo é 𝑓(−3, −1) = −10 
 
5) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 − 𝑥2 , 𝑔(𝑥, 𝑦) =
1
4
𝑥2 + 𝑦2 = 1, e 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔, ⟨−2𝑥, 2𝑦⟩ = ⟨
1
2
𝜆𝑥, 2𝜆𝑦⟩, 
Então −2𝑥 =
1
2
𝜆𝑥, 2𝑥 = 2𝜆𝑦 e 
1
4
𝑥2 + 𝑦2 = 1. 
A Partir da primeira equação, temos 𝑥(4 + 𝜆) = 0, 𝑥 = 0ou 𝜆 = −4.Se 𝑥 = 0 então a terceira 
equação dá 𝑦 = ±1. 
Se 𝜆 = −4 então a segunda equação dá 2𝑦 = −8𝑦, 𝑦 = 0, e substituindo na terceira 
equação, temos 𝑥 = ±2.Assim, os possíveis valores extremos de 𝑓 ocorrem nos pontos 
(0, ±1) e (±2,0). 
Avaliando 𝑓 nesses pontos, vemos que o valor máximo é 𝑓(0, ±1) = 1e o mínimo é 
𝑓(±2,0) = −4. 
 
6)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦 , 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 = 16, e 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔, ⟨𝑦𝑒𝑥𝑦 , 𝑥𝑒𝑥𝑦⟩ = ⟨3𝜆𝑥2 , 3𝜆𝑦2⟩, 
Então 𝑦𝑒𝑥𝑦e 𝑥𝑒𝑥𝑦 = 3𝜆𝑦2. 
Observe que 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 o que contradiz 𝑥3 + 𝑦3 = 16, então podemos assumir 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠
0, e depois 𝜆 = 𝑦𝑒𝑥𝑦/(3𝑥2) = 𝑥𝑒𝑥𝑦/(3𝑦2), 𝑥3 = 𝑦3, 𝑥 = 𝑦. 
Porém 𝑥3 + 𝑦3 = 16, 𝑥 = 2 = 𝑦.Aqui não há valor mínimo, pois podemos escolher pontos 
que satisfaçam a restrição 𝑥3 + 𝑦3 = 16 fazem isso 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦 eventualmente perto de 0 
(mas nunca igual a 0). O valor máximo é 𝑓(2,2) = 𝑒4. 
 
7)𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧, 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9,e 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔, ⟨2,2,1⟩ =
⟨2𝜆𝑥, 2𝜆𝑦, 2𝜆𝑧⟩,Então 2𝜆𝑥 = 2,2𝜆𝑦 = 2,2𝜆𝑧 = 1,e 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9. As três primeiras 
equações implicam 𝑥 =
1
𝜆
, 𝑦 =
1
𝜆
, 𝑒 
1
2𝜆
. 
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Mas a substituição em a quarta equação dá (
1
𝜆
)2 + (
1
𝜆
)2 + (
1
2𝜆
)2 = 9, 
(
1
𝜆
)2 + (
1
𝜆
)2 + (
1
2𝜆
)2 = 9, 
9
4𝜆2
= 9, 𝜆 = ±
1
2
,então 𝑓 tem possíveis valores extremos em os 
pontos (2,2,1) e (−2, −2, −1). 
O valor máximo de 𝑓 em 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9é 𝑓(2,2,1) = 9,e o mínimo é 𝑓(−2, −2, −1) = −9. 
 
8)𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,e 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔, ⟨2𝑥, 2𝑦, 2𝑧⟩ = ⟨𝜆, 𝜆, 𝜆⟩. 
Em seguida 2𝑥 = 𝜆 = 2𝑦 = 2𝑧, 𝑥 = 𝑦 = 𝑧, e substituindo em 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12 temos 𝑥 + 𝑥 +
𝑥 = 12, 𝑥 = 4 = 𝑦 = 𝑧. 
Aqui não há valor máximo, pois podemos escolher pontos que satisfaçam a 
limitação 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12 sendo assim 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 arbitrariamente grande. 
O valor mínimo é 𝑓(4,4,4) = 48. 
 
9) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧, 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 2𝑦2 + 3𝑧2 = 6. 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔, ⟨𝑦𝑧, 𝑥𝑧, 𝑥𝑦⟩ = 𝜆⟨2𝑥, 4𝑦, 6𝑧⟩. 
Se algum 𝑥, 𝑦, 𝑜𝑢 𝑧é zero então 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0 o que contradiz 𝑥2 + 2𝑦2 + 3𝑧2 = 6. 
Então 𝜆 = (𝑦𝑧)/(2𝑥) = (𝑥𝑧)/(4𝑦) = (𝑥𝑦)/(6𝑧) ou 𝑥2 = 2𝑦2e 𝑧2 =
2
3
𝑦2. 
Portanto 𝑥2 + 2𝑦2 + 3𝑧2 = 6 inplicas em 6𝑦2 = 6 ou 𝑦 = ±1. 
Então os pontos possíveis são (√2, ±1, √
2
3
), (√2, ±1, −√
2
3
), (−√2, ±1, √
2
3
), (−√2, ±1, −√
2
3
). 
O valor máximo de 𝑓 no elipsóide é 
2
√3
, ocorrendo quando todas as coordenadas são 
positivas ou exatamente duas são negativas e o mínimo é −
2
√3
 ocorrendo quando 1 ou 3 
das coordenadas são negativas. 
 
10) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦2𝑧2, 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2+𝑧2 = 1, 𝛻𝑓 = ⟨2𝑥𝑦2𝑧2, 2𝑦𝑥2 , 2𝑧𝑥2𝑦2⟩, 𝜆𝛻𝑔 =
⟨2𝜆𝑥, 2𝜆𝑦, 2𝜆𝑧⟩. 
Então 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔 implica (1) 𝜆 = 𝑦2𝑧2 = 𝑥2𝑧2 = 𝑥2𝑦2𝜆 ≠ 0, (2) ou 𝜆 = 0 e um ou dois (mas 
não três) dos coordenadas são 0. 
Se (1) for 𝑥2 = 𝑦2 = 𝑧2 =
1
3
.O valor mínimo de 𝑓 na esfera ocorre no caso (2) com um valor 
de 0 e o valor máximo é 
1
27
 que surge de todos os pontos de (1), ou seja, os pontos 
(±
1
√3
,
1
√3
,
1
√3
), (±
1
√3
, −
1
√3
,
1
√3
), (±
1
√3
, −
1
√3
, −
1
√3
). 
11) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥4 + 𝑦4+= 1, 𝛻𝑓 = ⟨2𝑥, 2𝑦, 2𝑧⟩, 𝜆𝛻𝑔 =
⟨4𝜆𝑥3 , 4𝜆𝑦3, 4𝜆𝑧3⟩. 
Caso 1: Se 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 𝑜 𝑎𝑛𝑑 𝑧 ≠ 0,então 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔implica 𝜆 = 1/(2𝑥2) = 1/(2𝑦2) =
1/(2𝑧2)ou 𝑥2 = 𝑦2 = 𝑧2 e 3𝑥4 = 1ou 𝑥 = (±
1
∜3
,
1
∜3
,
1
∜3
), (±
1
∜3
, −
1
∜3
,
1
∜3
), (±
1
∜3
, −
1
∜3
, −
1
∜3
) tudo 
com um valor 𝑓 de √3. 
Caso 2: Se uma das variáveis é igual a zero e as outras duas não são zero, os quadrados 
as duas coordenadas diferentes de zero são igual ao valor comum 
1
√2
e correspondente de 
𝑓 para √2. 
Caso 3: Se exatamente duas das variáveis forem zero, a terceira variável terá valor ±1com 
o valor 𝑓 correspondente de 1. Assim, em 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 = 1, o valor máximo de 𝑓 é √3e o 
valor mínimo é 1. 
 
 
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12) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4, 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1, 
𝛻𝑓 = ⟨4𝑥3 , 4𝑦3, 4𝑧3⟩, 𝜆𝛻𝑔 = ⟨2𝜆𝑦, 2𝜆𝑦, 2𝜆𝑧⟩. 
Caso 1: Se 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0e 𝑧 ≠ 0então 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔 implica 𝜆 = 2𝑥2 = 2𝑦2 = 2𝑧2ou 𝑥2 = 𝑦2 =
1
3
 
dando 8 pontos cada um com um valor de 𝑓 para 
1
3
. 
Caso 2: Se uma das variáveis for 0 e as outras duas não, os quadrados das duas 
coordenadas diferentes de zero serão iguais a valor comum 
1
2
 e o valor 𝑓 correspondente é 
1
2
. 
Caso 3: Se exatamente duas das variáveis forem 0, a terceira variável terá valor ±1 com o 
valor 𝑓 correspondente de 1. Assim, em 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1, o valor máximo de 𝑓 é 1 e o valor 
mínimo é 
1
3
. 
 
13) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡, 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑡2 = 1→ 
(1,1,1,1,)=(2𝜆𝑥, 2𝜆𝑦, 2𝜆𝑧, 2𝜆𝑡), então 𝜆 = 1/(2𝑥) = 1/(2𝑦) = 1/(2𝑧) = 1/(2𝑡) e 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 𝑡. 
Porém se, 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑡2 = 1.Os pontos possiveis são (±
1
2
, ±
1
2
, ±
1
2
, ±
1
2
). 
O valor máximo é 𝑓(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
) = 2 e o mínimo é 𝑓(−
1
2
, −
1
2
, −
1
2
, −
1
2
) = −2. 
 
15) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦, 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑦2 + 𝑧2 = 4→ 𝛻𝑓 = (1,2,0), 𝜆𝛻𝑔 =
(𝜆, 𝜆, 𝜆)and 𝜇𝛻ℎ = (0,2𝜇𝑦, 2𝜇𝑧). 
Sendo assim, 1 = 𝜆, 2 = 𝜆 + 2𝜇𝑦e 0 = 𝜆 + 2𝜇𝑧 então μy=
1
2
= −𝜇𝑧ou 𝑦 =
1
2𝜇
, 𝑧 = −
1
2𝜇
. 
Dessa forma 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑥 = 1e 𝑦2 + 𝑧2 = 4, 𝜇 = ±
1
2√2
. 
Então os possíveis pontos são (1, ±√2, ± √2)e o máximo é 𝑓(1, √2,− √2) = 1 + 2√2 e o 
mínimo valor é 𝑓(1, −√2, √2) = 1 − 2√2. 
 
16) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 − 𝑦 − 3𝑧, 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0, ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 2𝑧2 = 1→ 𝛻𝑓 =
(3, −1, −3), 𝜆𝛻𝑔 = (𝜆, 𝜆, −𝜆), 𝜇𝛻ℎ = (2𝜇𝑥, 0,4𝜇𝑧). 
Sendo assim 3 = 𝜆 + 2𝜇𝑥, −1 = 𝜆 e −3 = −𝜆 + 4𝜇𝑧 então 𝜆 = −1, 𝜇𝑧 = −1, 𝜇𝑥 = 2. 
Dessa forma ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 refletindo 
4
𝜇2
+ 2(
1
𝜇2
) = 1ou 𝜇 = ±√6 , 𝑧 = ±
1
√6
, 𝑥 =
2
√6
 e 
g(x,y,z)=0, sendo 𝑦 = ±
3
√6
. 
Por fim, o valor máximo encontrado foi 𝑓(
√6
3
, (
√6
2
, (
√6
6
) = 2√6 e mínimo 𝑓 − (
√6
3
, (
√6
2
, (
√6
6
) =
−2√6. 
 
17) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦, 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 = 1, ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦2 + 𝑧2 = 1, 
𝛻𝑓 = (𝑥, 𝑦 + 𝑧. 𝑦), 𝜆𝛻𝑔 = (𝜆𝑦, 𝜆𝑥, 0),𝜇𝛻ℎ = (0,2𝜇𝑦, 2𝜇𝑧). 
Sendo assim 𝑦 = 𝜆𝑦 aplicando 𝜆 = 1[𝑦 ≠ 0 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1], 𝑥 + 𝑧 = 𝜆𝑥 + 2𝜇𝑦 e 𝑦 = 2𝜇𝑧. 
Dessa forma 𝜇 = 𝑧/(2𝑦) = 𝑦/(2𝑦) ou 𝑦2 = 𝑧2 e então 𝑦2 + 𝑧2 = 1 refletindo 𝑦 = ±
1
√2
 𝑧 =
±
1
√2
. 
Então 𝑥𝑦 = 1 refletindo 𝑥 = ±√2 e os possíveis pontos são (±√2, ±
1
√2
,±
1
√2
) =
3
2
). E o 
mínimo 𝑓(±√2, ±
1
√2
 , ±
1
√2
 ) =
1
2
. 
 
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18) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 − 𝑦 = 1ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦2 − 𝑧2 = 1→ 𝛻𝑓 = (2𝑥, 2𝑦, 2𝑧), 
𝜆𝛻𝑔 = (𝜆, −𝜆, 0) e 𝛻ℎ = (0,2𝜇𝑦, −2𝜇𝑧). 
Sendo Assim 2𝑥 = 𝜆, 2𝑦 = −𝜆 + 2𝜇𝑧, e 2𝑧 = −2𝜇𝑧 → 𝑧 = 0 ou 𝜇=-1. 
Caso 𝑧 = 0 então 𝑦2 − 𝑧2 = 1 implica 𝑦2 = 1 → 𝑦 = ±.E se 𝑦 = 1, 𝑥 − 𝑦 = 1, implica que 𝑥 =
2e se 𝑦 = −1 então x será igual zero. 
Os pontos possíveis são (2,1,0) e (0,-1,0). 
Se μ=-1 então 2𝑦 = −𝜆 + 2𝜇𝑦 implicando que 4𝑦 = −𝜆. 
Porém, 𝜆 = 2𝑥 então 4𝑦 = −2𝑥→ x=-2y e x-y=1, implicando em 𝑦 = −
1
3
. Porém, 𝑦2 − 𝑧2 =
1implica que 𝑧2 = −
8
9
 é uma possibilidade. 
Dessa Forma, o valor máximo de f sujeito às restrições é 𝑓(2,1,0) = 5 e o mínimo 
𝑓(0, −1,0) = 1. 
19) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 4𝑦para o interior da região, encontra-se os pontos críticos 
𝑓𝑥 = 2𝑥 + 4 𝑒 𝑓𝑦 = 2𝑦 − 4. 
Os pontos críticos (-2,2) estão na região e 𝑓(−2,2) = −8. 
Para os multiplicadores de intervalos temos: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 = 9,para 𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔 → (2𝑥 +
2,2𝑦 − 4) = (2𝜆𝑥, 2𝜆𝑦). 
Dessa forma 2𝑥 + 4 = 2𝜆𝑥 e 2𝑦 − 4 = 2𝜆𝑦. 
Adicionando as duas equações 2𝑥 + 2𝑦 = 2𝜆𝑥 + 2𝜆𝑦 → 𝑥 + 𝑦 = 𝜆(𝑥 + 𝑦) → (𝑥 + 𝑦)(𝜆 −
1) = 0,então 𝑥 + 𝑦 = 0 → 𝑦 = −𝑥 ou 𝜆 − 1 = 0 → 𝜆 = 1. 
Mas 𝜆=1 entra em contradição com 2𝑥 + 4 = 2𝜆𝑥para 𝑦 = −𝑥 e 𝑥2 + 𝑦2 = 9, isso implica 
que 2𝑦2 = 9→ 𝑦 = ±
3
√2
. 
Por fim 𝑓(
3
√2
, -
3
√2
) = 9 + 12√12 ≈ 25.97 e 𝑓(−
3
√2
,
3
√2
) = 9 − 12√2 ≈ 7.97. 
Então o valor máximo no disco 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 é 𝑓(
3
√2
,-
3
√2
)=9 + 12√12 e o mínimo é 𝑓(−2,2) =
−8. 
 
20) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 3𝑦2 − 4𝑥 − 5 → 𝛻𝑓 = (4𝑥 − 4,6𝑦) = (0,0) → 𝑥 = 1, 𝑦 = 0.Portanto(1,0), é 
o único ponto crítico de 𝑓, e fica na região 𝑥2 + 𝑦2 < 16. Na fronteira 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 =
16 − −> 𝜆𝛻𝑔 = (2𝜆𝑥, 2𝜆𝑦) então 6𝑦 = 2𝜆𝑦 → ou 𝑦 = 0 ou 𝜆 = 3. Se 𝑦 = 0, então 𝑥 = ±4 
se 𝜆 = 3;4𝑥 − 4 = 2𝜆𝑥 → 𝑥 = −2 and 𝑦 = ±2√3. 
Agora𝑓(1,0) = −7, 𝑓(4,0) = 11, 𝑓(−4,0) = 43 e 𝑓(−2, ±2√3 = 47. 
Então o valor máximo de 𝑓(𝑥, 𝑦)na mesa 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 16 e 𝑓(−2, ±2√3)=47 e o mínimo 
𝑓(1,0) = −7. 
 
21) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥𝑦 𝑥2 + 4𝑦 2≤1 Para o interior da região é encontrado os valores crítico: 𝑓𝑥 =
−𝑦𝑒−𝑥𝑦 𝑒 𝑓𝑦 = −𝑥𝑒−𝑥𝑦 , portanto, tem se os pontos críticos (0,0) e f(0,0)=1. 
Para o cálculo dos limites utilizaremos: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 4𝑦2 = 1,-> 𝜆𝛻𝑔 =
(2𝜆𝑥, 8𝜆𝑦) então𝛻𝑓 = 𝜆𝛻𝑔representando −𝑦𝑒−𝑥𝑦 = 2𝜆𝑥 𝑒 − 𝑥𝑒−𝑥𝑦 = 8𝜆𝑦. 
Sendo assim temos como resultado para o primeiro temos: 𝑒−𝑥𝑦 = −2𝜆𝑥/𝑦 e o segundo 
−𝑥(−2𝑥𝜆𝑥/𝑦) = 8𝜆𝑦 -> 𝑥2 = 4𝑦2. 
Resolvendo a última equação temos: 𝑥2 + 4𝑦2 = 1e 𝑥 = ±
1
√2
e 𝑦 = ±
1
2√2
. 
Agora 𝑓(±
1
√2
, ±
1
2√2
) = 𝑒1/4 ≈ 1284 𝑓(±
1
√2
, ±
1
2√2
) = 𝑒1/4 ≈ 0.779. 
Os primeiros são os máximos da região e os últimos são os mínimos. 
 
Matheus Almeida Conceição