aritmética 2

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1Pela definição, temos que a equação diofantina linear é uma equação da forma ax + by = c, em que a, b, c, são números inteiros. E uma solução de uma equação diofantina linear é um par de inteiros x0, y0 que satisfaz a equação. Sendo assim, analise as sentenças a seguir: I- A equação diofantina linear ax + by = c tem solução se, e somente se, d = MDC (a, b) divide c. II- 2x + 4y = 7 não tem solução. III- A equação 24x + 138y = 18 tem como solução x0 =18 e y0 = -3. Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças I, II e III estão corretas.
B
Somente a sentença II está correta.
C
Somente a sentença III está correta.
D
Somente a sentença I está correta.
2O número oito elevado a uma potência n é multiplicado por 10³. Do resultado desse produto, obtemos um número que possui 76 divisores naturais. Determine o valor de n, levando em conta a decomposição do número como produto de primos e a fórmula para contagem de divisores, e assinale a alternativa CORRETA:
A
n = 5.
B
n = 6.
C
n = 8.
D
n = 7.
3Em matemática temos uma função muito importante, a função gama. Ela é definida por uma integral imprópria e possui diversas aplicações nos campos da probabilidade, estatística e combinatória. Para os números inteiros não negativos, esta função ganha para nós outro nome, por ser uma extensão, a função fatorial. Denotado por n!, o fatorial de um número que é definido pela multiplicação de todos os seus antecessores até o número 1. Sendo assim, ao decompor o número 10! em números primos, qual é a potência do expoente 2?
A
8.
B
9.
C
7.
D
6.
4Todo número composto pode ser escrito de forma fatorada, ou seja, escrevemos o produto de números primos que dão origem a este número composto. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o maior número primo que aparece na decomposição do número 8712:
A
7.
B
13.
C
2.
D
11.
5Para que uma equação diofantina linear de segunda ordem tenha solução, obrigatoriamente, o MDC entre os coeficientes precisa ser um divisor do termo independente da equação. Se calcularmos o MDC dos coeficientes da equação 11x + 30y = 31, encontramos 1 como resultado, sendo então possível determinar a solução da equação. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução geral:
A
x = 217 + 30t e y = - 589 - 11t.
B
x = 589 + 30t e y = 217 - 11t.
C
x = - 589 + 30t e y = 217 + 11t.
D
x = - 589 + 30t e y = 217 - 11t.
6Para realizar uma melhoria no processo de tinturaria, foi analisado o tempo para o tingimento da malha. O tempo de execução do processo depende de alguns fatores, entre eles o modelo da máquina e a cor a ser tingida. Após algumas observações, percebeu-se que o tempo médio para aquelas máquinas que sempre realizam o mesmo processo foi de: Máquina X, 40 min. Máquina Y, 32 min. Máquina W, 50 min. Sabendo que elas iniciam simultaneamente a produção às 5h da manhã, depois de quanto tempo, ambas estarão iniciando um processo juntas? (Obs.: a empresa trabalha 24h por dia).
A
17h 20min.
B
19h 40min.
C
16h 40min.
D
18h 20min.
7O mínimo múltiplo comum de dois números é o menor número inteiro positivo, que é múltiplo ao mesmo tempo de ambos os números. Quando dois números não possuem fatores primos em comum, dizemos que são primos entre si, e seu mínimo múltiplo comum será dado pelo produto dos dois números. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta dois números primos entre si e seu respectivo MMC:
A
6030 e 9612, MMC = 3015018.
B
3006 e 9027, MMC = 4176.
C
59 e 140, MMC = 8260.
D
144 e 261, MMC = 4176.
8É possível determinar as soluções de uma equação diofantina a partir de uma solução particular x', y', Sendo escrita da seguinte maneira a solução geral: x = x' + tb e y = y' - ta, com t pertencendo aos inteiros. Calcule a solução geral da seguinte equação diofantina 56x + 72y = 40. De acordo com a resolução da questão, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) O MDC (56, 72) = 8. Como 8 divide 40, sabemos que a equação possui solução. ( ) Uma solução particular é x' = 20 e y' = -15 ( ) A solução geral é dada por x = 20 - 8t e y = -15 + 7t. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - V.
B
V - V - F.
C
V - F - F.
D
F - V - V.
9Para obtermos o MDC de dois números, podemos utilizar o método de fatoração múltipla, que consiste em dividir de forma simultânea os dois números por números primos. Para isso, coloca-se os dois números um ao lado do outro. No lado direito é feita uma barra vertical, na qual serão colocados os números primos que os dividem. Quando não for mais possível dividir por algum número primo, estará concluída a tabela. Fazendo esse processo para determinar o MDC (48, 80), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) O MDC (48, 80) = 16 ( ) No final do processo de fatoração múltipla, encontramos os números 3 e 5, que são primos entre si. Dessa forma, o processo é interrompido. ( ) Para determinar o MDC (48, 80), basta multiplicar os primos que são múltiplos simultâneos de 48 e 80. ( ) É necessário dividir sempre por um número primo, pois não é possível chegar na mesma resposta dividindo por algum número composto. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - F - F.
B
V - F - V - V.
C
F - V - F - V.
D
V - V - F - F.
10Marta é uma senhora muito vaidosa e não costuma descuidar da sua beleza. Para ficar sempre elegante, frequenta o salão do bairro onde mora para fazer unhas, sobrancelha e cabelo, em intervalos de 7 dias, 21 dias e 84 dias, respectivamente. A última vez que Marta fez os três procedimentos no mesmo dia foi no mês de dezembro, entre o Natal e o Ano Novo, para as festas de fim de ano. Determine o próximo mês em que coincidirão os procedimentos de beleza de Marta e assinale a alternativa CORRETA:
A
Abril.
B
Fevereiro.
C
Março.
D
Maio.