ARITMÉTICA E TEORIA DOS NUMEROS AULA II

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1A decomposição nos permite verificar diversos dados sobre o número, como a quantidade de divisores e se o número é um quadrado ou um cubo. Considere a decomposição de um determinado número, proveniente do produto de 50 . 12 . 45 e analise as sentenças a seguir:
I- É m quadrado perfeito.
II- É m cubo perfeito.
II- Possui 27 divisores naturais.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença I está correta.
B
Somente a sentença III está correta.
C
Somente a sentença II está correta.
D
As sentenças II e III estão corretas.
2O mínimo múltiplo comum de dois números é o menor número inteiro positivo, que é múltiplo ao mesmo tempo de ambos os números. Quando dois números não possuem fatores primos em comum, dizemos que são primos entre si, e seu mínimo múltiplo comum será dado pelo produto dos dois números. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta dois números primos entre si e seu respectivo MMC:
A
59 e 140, MMC = 8260.
B
6030 e 9612, MMC = 3015018.
C
144 e 261, MMC = 4176.
D
3006 e 9027, MMC = 4176.
3Para determinar o MMC de dois ou mais números, podemos realizar a fatoração simultânea, semelhante ao processo que realizamos na determinação do MDC. Porém, há outra forma de determinar o MMC, usando o MDC e o Algoritmo de Euclides. Seguindo a proposição que nos diz: "dados dois números naturais a e b não nulos, temos que MMC (a, b) existe e MMC (a, b) . mdc (a, b) = a.b".  Com base nessas informações, determine o MMC de 24 e 36 e analise as sentenças a seguir:
I- Utilizando o algoritmo de Euclides, teremos como quociente 1 e 4.
II- O MDC é 12.
III- O MMC (a, b) = 72.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença II está correta.
B
As sentenças I e II estão corretas.
C
Somente a sentença I está correta.
D
As sentenças II e III estão corretas.
4O número oito elevado a uma potência n é multiplicado por 10³. Do resultado desse produto, obtemos um número que possui 76 divisores naturais. Determine o valor de n, levando em conta a decomposição do número como produto de primos e a fórmula para contagem de divisores, e assinale a alternativa CORRETA:
A
n = 8.
B
n = 5.
C
n = 6.
D
n = 7.
5Uma aplicação importante dos números primos e compostos, abordando a sua decomposição, é a determinação da quantidade de divisores positivos de um número natural n. Pela definição, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença II está correta.
B
Somente a sentença I está correta.
C
As sentenças I e II estão corretas.
D
As sentenças I e III estão corretas.
6É comum, após ter aprendido os conceitos de MMC e MDC, surgirem perguntas que proporcionem uma reflexão sobre os dois temas simultaneamente. Dentro dessa perspectiva, um professor propôs aos seus alunos o seguinte problema: se a soma de dois números é 384 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 1320, qual é o máximo divisor comum entre os dois números desconhecidos?
A
12.
B
2.
C
8.
D
24.
7Quando um número é reescrito na sua forma fatorada, ficam evidentes os expoentes dos fatores primos gerados. Esses expoentes serão muito importantes para conseguir determinar a quantidade de divisores de um número. No caso da fatoração de um determinado número, sabemos que ele é escrito como sendo 2³ . 3 . 5. Quantos divisores deste número são múltiplos de cinco?
A
São 20 divisores.
B
São 10 divisores.
C
São 6 divisores.
D
São 5 divisores.
8Muitas das equações diofantinas podem ser resolvidas com certa facilidade por tentativas, porém as soluções gerais de uma equação diofantina linear nos trazem informações para resolver certos tipos de problemas em sua totalidade. Dada a equação diofantina 5x + 12y = 81, cuja solução pertencente ao conjunto dos números inteiros, assinale a alternativa CORRETA:
A
x = 405 + 12t e y = -162 - 5t, com t inteiro.
B
x = -405 + 12t e y = -162 - 5t, com t inteiro.
C
x = 405 + 12t e y = 162 - 5t, com t inteiro.
D
A equação não admite solução.
9O máximo divisor comum pode ser calculado aplicando o algoritmo das divisões sucessivas, demonstrado por Euclides. Utilize esse método para determinar o MDC (76, 174) e encontrar r, s pertencentes ao inteiros tais que MDC (76, 174) = r.76 + s.174 e analise as sentenças a seguir:
I- Aplicamos o algoritmo da divisão sucessivamente até 10 = 5 . 2 + 0, pois aqui obtemos o resto zero.
II- Para encontrarmos r e s, precisamos realizar as substituições. Iniciamos o processo na penúltima linha até chegarmos na primeira.
III- O MDC (76, 174) = 4.
IV- Os valores de r e s são, respectivamente, 16 e 7.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças I, II e IV estão corretas.
B
Somente a sentença IV está correta.
C
As sentenças I e III estão corretas.
D
Somente a sentença II está correta.
10Uma cidade do interior realizou um concurso de Natal com o intuito de estimular a decoração das casas. Em determinada residência, participante do concurso, notou-se que as luzes de dois pisca-piscas acendem com frequências diferentes. O primeiro acende 10 vezes por minuto, e o segundo acende 12 vezes por minuto. Se em um dado momento os dois pisca-piscas acenderam juntos, então, eles voltarão a acender simultaneamente após quanto tempo?
A
Após 1 minuto.
B
Após 4 minutos.
C
Após 30 segundos.
D
Após 12 segundos.