1a_Lista_Exercicios

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01. Usando a def inição de convergência, mostre que a sequência ( 
1
𝑛2 − 1
 ) converge para 0. 
02. Com relação à convergência da sequência da questão anter ior , a par t i r de qual termo 𝑎𝑛 tem-
se | 𝑎𝑛 − 𝑙 | < 0.001 ? 
03. Se uma sequência )( na converge para um número real k , use a def inição de convergência e 
mostre que )||( na converge para ||k . A recíproca desse resul tado é verdadeira? 
 
Nos exercícios 04. → 27. , d iga se a sequência converge ou não. 
 
04. (
nn −2
100
) 05. (
( )
n
n
10
1−
) 06. (
15 2
2
+n
n
) 
07. (
nn
nn
27
5
3
3
+
−
) 08. (
59
12
2
3
+
+
n
n
) 09. (
13
5 2
+n
n
) 
10. (
( )
1
1
+
+
n
nln
) 11. ( ( )38102 −−+− nnn ) 12. 2( n cos ))(
n

 
13. (
( )
( )4
1
+nln
n/ln
) 14. (
( )
2
2
n
ncos
) 15. ( n n ) 
16. ( nn /1 ) 17. (
nn






−





+
4
3
3
1
1 ) 18. (
nn −+1
1
2
) 
19. (
( )
( ) 11 23
23
++ −+
−+
nn
nn
) 20. (
( )
7
2
n
nln
) 21. (
( )
1
1
+
+
n
n
n
n
) 
22. (
1212
22
+
−
− n
n
n
n
) 23. 
1
(
3 2
+n
n
sen ))( 2n 24. ))319(( 2 nnn −+ 
25. 
−
n
x dxe
0
)( 26 . ))
2
1
(( n
n
n
+
+
 27 . )
21
(
2n
n+++ 
 
Nos exercícios 28. → 33. , d iga se a sequência é monótona, limitada, convergente ou divergente. 
28. (
23
12
+
+
n
n
) 29. ( 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋)) 30. ( nn −+1 ) 
31. (
!n
n n
) 32. ( ( )
1
1
+
−
n
nn
) 33. (
( )
n
nsen 4/
) 
34. Se :f R → R é uma função derivável e sat isfaz 0)0( =f , mostre que a sequência 
))(( 1
n
fn converge para )0(f  . 
 
UN IV E R S I D A D E FE D E R A L D A PA R A ÍB A 
CENTRO DE C IÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
SÉRIES E EQUAÇÕES D IFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
1a. L ISTA DE EXERCÍCIOS 
PROF. EDSON FIGUEIREDO L IMA JR . 
35. Sabendo-se que 1,2! 1  − kk k , mostre que a sequência 









=
n
k k0 !
1
 é convergente. 
36. Sejam )( na uma sequência que converge para um l imite a e f uma função cont ínua em a , 
ta l que, para cada n , na é um elemento do domínio de f . Mostre que ))(( naf converge 
para )(af . 
37. Considere a sequência def inida por ka =1 e )(1 nn afa =+ , para 1n , onde f é uma 
função cont ínua em seu domínio. Se →)( na  , mostre que (f  ) =  . 
38. Considere a sequência cujo termo geral é 
( )
( )n..
n..
an
2642
12531

 −
= . 
Exprima 1+na em função de na , ver i f ique se a sequência é monótona e decida sobre sua 
convergência. 
39. Se uma sequência é def inida por 11 =a e 121 +=+ nn aa , use o método de indução para mostrar 
12 −= nna . Essa sequência converge? 
40. Verif ique que a sequência ( ,222,22,2 ) é convergente. 
41. Mostre que a sequência def inida por 11 =a e nn aa +=+ 11 , para 1n , é convergente e 
calcule seu l imite. 
42. Verif ique que a sequência )32( n nn + converge para 3 . 
43. Se )( na é a sequência def inida por 41 =a e 
6
5
2
1
+
=+
n
n
a
a , ver i f ique que ,51  na para 
todo n natural . )( na é convergente? 
44. Dá-se o nome de Método de Newton-Raphson ao procedimento que apl icado a uma função 
diferenciável 𝑓 gera uma sequência que, sob determinadas condições, converge a um zero de 
𝑓. O método é def inido pela relação de recorrência 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 −
𝑓(𝑎𝑛−1)
𝑓′(𝑎𝑛−1)
 . 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2, ver i f ique que o método de Newton-Raphson é dado pela relação 
)
2
(
2
1
1
1
−
− +=
n
nn
a
aa . (* ) 
45. Considerando-se, ainda, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 e a relação (*) , com 11 =a , 
a) Calcule os termos 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 e 𝑎5. 
b) A par t i r do cálculo real izado no i tem anter ior , é previs ível a convergência da sequência 
para algum l imite l ? 
c) Admit indo-se a convergência, comprove que a previsão anunciada foi, de fato, correta. 
46. Sejam 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 2𝑦2 e 𝑎1 = ( 2, 3 ). Considerando-se a fórmula de recorrência 
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 − 𝛽𝑛∇𝑓(𝑎𝑛), 𝑛 = 2, 3, … , 
onde, para cada n , 𝛽𝑛 ≥ 0 é ponto de mínimo da função 𝜑𝑛(𝛽) = 𝑓(𝑎𝑛 − 𝛽∇𝑓(𝑎𝑛)) e ∇ denota 
o vetor gradiente, 
 
a) Calcule os termos 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 e 𝑎5. 
b) Faça um gráfico que apresente os termos encontrados no i tem anter ior l igados através de 
segmentos de reta. 
c) Calcule o ponto de mínimo de 𝑓 pelo procedimento estudado no Cálculo I I e anal ise o 
comportamento dos termos da sequência com relação a esse ponto. 
(A sequência cujos cinco primeiros termos foram gerados acima recebe o nome de 
Sequência da Descida Mais Íngreme e , sat isfei tas determinadas hipóteses, leva a um 
mínimo da função 𝑓(𝑡), 𝑡 ∈ ℝ𝑛.) 
 
47. Considere a função :f R → R , def inida por 1)( 4 −= xxf . 
a) Escreva os cinco termos iniciais da sequência dada por 21 =a e 
)(
)(
1
n
n
nn
af
af
aa


−=+ , 1n . 
b) É possível determinar -se uma fórmula não recursiva para a def inição d essa sequência? 
c) Verif ique que essa sequência é monótona, l imitada e converge a zero. 
 
48. O conjunto de todas as sequências de números reais convergentes é um espaço vetor ial . 
Denotando-se por V esse espaço, para cada sequência (𝑎𝑛) em V , def inamos a função 𝑇: 𝑉 → 𝑉, 
escrevendo 𝑇((𝑎𝑛)) = (𝑎 − 𝑎𝑛), 𝑛 ≥ 1, onde (𝑎𝑛) converge para 𝑎. Dessa forma, ver i f ique que 
a) T é um operador l inear . 
b) 𝜆 = 0 e 𝜆 = −1 são os autovalores de T . 
49. Supondo-se que a sequência ( 
𝑎𝑛 − 𝑎
𝑎𝑛 + 𝑎
 ) converge a zero, onde 𝑎 é um número real, prove que 
(𝑎𝑛) converge para a . 
50. A sequência ( (−1)𝑛 + (−1)𝑛 + 1 ) converge? 
