Apostila_1_2018 2

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de F́ısica – CCEN
F́ısica Experimental 1
Apostila 1: Medidas e incertezas
Resumo
Esta apostila apresenta as ideias e objetivos que determinam como expressar resultados de
medidas. Introduzimos aqui os conceitos de algarismos significativos e de incerteza, em especial
aquela associada ao instrumento de medida. Apresentamos regras de propagação de incertezas.
Sumário
1 O que significa medir uma grandeza? 2
2 Medida e incerteza 3
2.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Regras de arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Notação cient́ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Incerteza e compatibilidade entre medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Leitura de instrumentos de medida e incerteza 8
3.1 Exemplos de leitura instrumental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Propagação de incertezas 13
4.1 Propagação de incertezas na soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Composição de fontes independentes de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Propagação de incertezas por linearização a derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . 18
Apêndice A Paqúımetro 22
Apêndice B Micrômetro 24
Pedro da Cunha Ferreira
TEXTOS EM AZUL FORAM ADICIONADOS POR PEDRO DA CUNHA FERREIRA
F́ısica Experimental 1
1 O que significa medir uma grandeza?
Você certamente já sabe de forma intuitiva o que significa medir grandezas f́ısicas. De maneira
formal, uma medição consiste quase sempre em comparar duas quantidades de uma mesma grandeza
(comprimentos, massas, tempos etc), sendo uma delas definida como um padrão.
O padrão é a convenção a definir a quantidade unitária de certa grandeza, recebendo sua unidade
uma nomenclatura especial (e.g. metro, grama, segundo etc). Para comparar algo à convenção aceita
(i.e. medir), utiliza-se um instrumento calibrado pelo padrão de medida.
Por exemplo, quando afirmamos que um objeto possui 2 kg de massa, queremos dizer que, dentro
de certa precisão, sua massa corresponde a duas ‘massas-padrão’, cuja unidade de medida no sistema
adotado é o quilograma, denotada pelo śımbolo ‘kg’.
Em toda medida é fundamental o uso da unidade da grandeza correspondente, uma
vez que padrões dependem de convenções. A convenção mais utilizada atualmente é o Sistema
Internacional de unidades (SI), ou sistema métrico. A tabela 1 mostra algumas unidades do SI.
Grandeza Nome Śımbolo
Comprimento Metro m
Massa Quilograma kg
Tempo Segundo s
Temperatura Kelvin K
Tabela 1: Exemplos de unidades adotadas no SI.
A maior parte das grandezas envolvidas na descrição dos fenômenos estudados em F́ısica Geral 1
e 2 pode ser expressa a partir de apenas três grandezas fundamentais: tempo, comprimento e massa.
Para lhe dar uma noção de como são definidas as unidades no SI, explicitamos algumas abaixo:
• Segundo: o tempo que um isótopo espećıfico do átomo de césio leva para realizar 9 192 631 770
oscilações entre duas configurações eletrônicas internas definidas.
• Metro: a distância percorrida pela luz no vácuo na fração de 1 / 299 792 458 de um segundo
(i.e. a velocidade da luz é definida como exatamente 299 792 458 m/s).
• Quilograma: a massa de um cilindro de platina-iŕıdio depositado no Birô Internacional de Pesos
e Medidas, em Sèvres, França.
Um bom padrão de medida é hoje entendido como algo robusto que pode ser verificado com alta
precisão através de experimentos locais em qualquer parte do mundo.
Dáı a preferência por padrões definidos por constantes fundamentais da natureza, como a veloci-
dade da luz, ou quantidades adimensionais, como o número de oscilações de um átomo.
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Apostila 1: Medidas e incertezas
2 Medida e incerteza
Uma medida determina o valor de uma grandeza f́ısica nas unidades convencionadas.
Presume-se que, independentemente do ato de medir, exista um valor verdadeiro associado à
grandeza, e que a medida seja um processo de mera extração dessa informação.
O valor verdadeiro é o ideal do romantismo experimental: possui precisão infinita e, por isso,
jamais pode ser atingido. Afinal, todo valor medido deve possuir um número finito de algarismos (caso
contrário, precisaŕıamos de memória infinita para denotá-lo, além de outros problemas), implicando
numa dúvida fundamental sobre onde exatamente está o valor verdadeiro.
Como não podemos evitar essa fonte de dúvida, precisamos ser realistas e inclui-la como algo
intŕınseco a todo resultado de medida: toda medida deve, então, possuir uma incerteza. Isso
implica que, ao contrário do nosso ideal de valor verdadeiro, uma medida real não é representada por
um valor pontual, mas por um intervalo!
A incerteza denota o intervalo de confiança em que o(a) experimentador(a) garante como
correto o resultado da medida, ou, de forma complementar, o quanto o valor mais confiável obtido
pela medida pode diferir do valor verdadeiro. A incerteza é sempre denotada por um número positivo.
Para expressar corretamente o resultado de uma medida, é preciso fornecer, além
do valor obtido para a grandeza, também sua incerteza e sua unidade de medida. Isso
ocorre porque o resultado de uma medida não é um valor pontual, mas um intervalo.
2.1 Notação
A notação é uma forma econômica de comunicar todas as informações relevantes de um
resultado de medida. Ela reúne em poucos śımbolos o valor mais confiável da grandeza, sua
incerteza e sua unidade.
O valor mais confiável representa nossa melhor estimativa para o valor verdadeiro, sendo a
primeira informação a aparecer na notação. A incerteza, colocada após o simpático śımbolo ‘±’,
denota o quanto esse valor pode variar para mais ou para menos.
Tomemos como exemplo a grandeza m, cujo resultado de medida seria denotado assim:
m = M ± σM . (1)
Na notação acima, M é o valor mais confiável (e.g. a leitura do instrumento de medida), e σM ,
sua incerteza, representa o quanto esse valor pode ter sido subestimado ou superestimado.
Em outras palavras, a Eq. (1) comunica que m vale com alta confiança algo entre M − σM e
M + σM , sendo o número M a estimativa mais razoável da grandeza m na opinião de quem realizou
a medida. O resultado de medida é sempre um intervalo finito com tamanho não-nulo.
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F́ısica Experimental 1
Mas aqui você já começa a perceber a terminologia que confunde os não-iniciados na arte da
medida: quanto é ‘alta confiança’? Ou: o que é ‘razoável’? Tudo isso ficará mais claro na Apostila
2, quando utilizaremos distribuições de probabilidade para dar sentido estat́ıstico a essas afirmações.
Por enquanto, basta você usar o ‘bom senso’ (ooops, mais um conceito dif́ıcil de definir...) tendo
sempre em mente os prinćıpios guiadores da tarefa de medir coisas: fornecer resultados claros
e com informação completa tal que outras pessoas possam repetir seu experimento e
obter resultados compat́ıveis com o seu.
Pode ocorrer em alguns casos de a incerteza ser assimétrica em torno do valor de maior confiança,
caso em que a expressão acima deve ser escrita como
m = M
+σM+
−σM−
. (2)
Isso significa que o valor mais confiável para m continua a ser M , no entanto a incerteza da medida
permite que o valor verdadeiro da grandeza esteja com alta confiabilidade entre M−σM− e M+σM+ .
2.1.1 Número de algarismos significativos
A incerteza na medição implica que não faz sentido representar resultados de medida por valores
numéricos com tantos algarismos quanto se queiram: a precisão numérica só possui significado
se compat́ıvel com a precisão da medida.
Os algarismos que de fato guardam sentido são chamados algarismos significativos. É mesmo
um erro muito comum expressar o valor de medidas commais algarismos do que permitido por sua
incerteza ou pelo contexto: a forma correta de escrita deve indicar até que casa decimal o
valor numérico da grandeza é confiável.
Tomemos um exemplo corriqueiro. É comum encontrar placas informativas de altitude de cidades
num formato tal como “729,8756 m” com relação ao ńıvel do mar. A notação utilizada aponta
nada menos do que 7 algarismos significativos.
Faz sentido empregar tal precisão nesse caso? Claro que não! Bem, a medida em si certamente
não possui precisão de 0,1 mm (o diâmetro de um fio de cabelo!) em 730 m; além disso (e mais
importante), a própria idéia não faz sentido, pois a altitude de uma cidade inteira varia muito
mais do que isso em seu interior. Para uma placa desse tipo, seria já exagerado denotar a altitude
como 730 m, sendo mais razoável escrevê-la simplesmente como 0,7 km ou 0,73 km.
Quando não explicitada, a incerteza numa medida deve ser entendida como igual a uma unidade
em seu algarismo de menor valor no posicionamento decimal1. No entanto, iremos expressar
incertezas explicitamente na maior parte das vezes, e você deve tentar fazer isso sempre.
1Segundo o exemplo acima, a notação empregada na placa nos leva a entender a altitude da cidade como sendo
igual a 729,8756±0,0001 m, claramente um absurdo.
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Apostila 1: Medidas e incertezas
2.1.2 Número de algarismos significativos na incerteza
A mesma filosofia do que possui ou não significado deve ser utilizada para escolher o número de
algarismos usados para denotar a própria incerteza. Por exemplo, não faria sentido escrever
730,4± 8,3 m, (3)
tendo em vista o significado dos algarismos representados: se o algarismo ‘0’ já está incerto em até
8 unidades, qual é o sentido de dizer que há 3 unidades de incerteza no algarismo à sua direita, que
possui valor posicional 10 vezes menor? Como o erro no algarismo mais à direita está contido muitas
vezes no erro do algarismo mais à esquerda, não faz sentido denotá-lo.
Como regra geral, convencionamos neste curso utilizar apenas 1 algarismo significa-
tivo na incerteza.
No entanto, apesar de nossa convenção, um caso especial digno de nota ocorre quando a incerteza
possui ‘1’ ou ‘2’ como primeiro algarismo, caso em que é correto denotar a incerteza com dois
algarismos significativos. Por exemplo, apesar de neste curso perferirmos a forma
730± 3 m (4)
em lugar de
730,0± 2,8 m, (5)
ambas estão corretas e são encontradas na literatura cient́ıfica.
A escolha por dois algarismos significativos visa evitar que a imprecisão da incerteza seja excessiva
nesses casos especiais. Por exemplo, se σ = 2 m, utilizar apenas 1 algarismo na notação indicaria
implicitamente que a incerteza poderia ser qualquer coisa entre σ = 1 m e σ = 3 m, i.e. uma
variação de ≈ 50%.
O problema está nesse valor de imprecisão ser excessivo quando comparado aos casos em que
o algarismo mais à esquerda é maior do que 3, implicando em falta de uniformidade. De fato,
se tivéssemos σ = 8 m, a mesma regra implica dizer que algo entre σ = 7 m e σ = 9 m seria
aceitável: nesses casos, porém, a imprecisão da incerteza é de apenas ≈ 10%.
Assim, a convenção de se utilizar apenas 1 algarismo significativo na incerteza torna o erro relativo
na incerteza irrealisticamente grande nos casos em que o primeiro algarismo de σ é ‘1’ ou ‘2’.
Para evitar ser tão pessimista, denota-se áı o segundo algarismo da incerteza.
No exemplo acima, se a incerteza de medida passa a ser enunciada como σ = 2,1 m, entende-se
agora que esse valor poderia ser facilmente σ = 2,0 m ou σ = 2,2 m, algo incerto em ≈ 5%.
Assim, a inclusão do segundo algarismo torna mais uniforme a imprecisão relativa da incerteza
em todo o intervalo de valores admitidos.
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Note que o uso dos parênteses acima indica que tanto a medida quanto sua incerteza são medidas
em metros.
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2.1.3 Número de algarismos significativos no valor mais confiável
Em todos os exemplos acima, o valor mais confiável foi denotado com o mesmo número de
casas decimais da incerteza. O motivo disso é o fato central de que a incerteza fornece a
precisão do valor mais confiável.
Para se convencer disso, analise com cuidado o significado da notação: cada algarismo da incerteza
se refere ao algarismo na posição decimal correspondente do valor mais confiável, e portanto não faz
sentido denotar um sem o outro!
A incerteza determina como o valor confiável deve ser escrito: em outras palavras, a incerteza
fornece o número de algarismos significativos do valor mais confiável.
Como consequência, note que na Eq. (5) fomos obrigados a manter o algarismo ‘0’ (zero) à direita
da v́ırgula na notação do valor mais confiável, pois é também significativo. Em resultados de
medida, zeros colocados ‘depois da v́ırgula’ possuem significado!
2.2 Regras de arredondamento
Regras de arredondamento são utilizadas para eliminar da notação algarismos sem significado,
tornando-a clara e sucinta: só se enuncia aquilo garantido como significativo – e nada mais.
Vamos adotar as normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) para os arredon-
damentos numéricos, que são de fato bem intuitivas. A incerteza deve ser arredondada pelas mesmas
regras até atingir 1 algarismo significativo, de acordo com a convenção adotada neste curso.
Regra 1 - Quando o algarismo a ser desprezado for inferior a 5, mantém-se o algarismo à sua
esquerda inalterado. Ou seja, ‘arredonda-se para baixo’. Exemplos:
l = 3,4745± 0,0320 m −→ l = 3, 47± 0,03 m,
t = 1,11238± 0,00533 s −→ t = 1, 112± 0,005 s,
m = 9,49075± 1,11111 kg −→ m = 9± 1 kg.
(6)
Regra 2 - Quando o algarismo a ser desprezado for superior a 5 ou igual a 5 seguido por um
algarismo diferente de zero, soma-se a unidade ao algarismo anterior. Ou seja, ‘arredonda-se para
cima’. Exemplos:
l = 3,4751± 0,0290 m −→ l = 3, 48± 0,03 m,
t = 1,11260± 0,00483 s −→ t = 1, 113± 0,005 s,
m = 9,51075± 0,96315 kg −→ m = 10± 1 kg.
(7)
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Apostila 1: Medidas e incertezas
Regra 3 - Quando o algarismo a ser desprezado for igual a 5 seguido de zeros (ainda que impĺıcitos),
aplica-se a seguinte convenção: se o algarismo anterior for ı́mpar, acrescenta-se uma unidade a ele;
se for par, permanece inalterado.
O arredondamento tem efeito nulo sobre o resultado numérico da medida, uma vez que os alga-
rismos desprezados não são confiáveis.
2.3 Notação cient́ıfica
A notação cient́ıfica é uma forma de representação exponencial de números, dada explicitamente
por M· 10p, em que M é a mantissa (por vezes convencionada como um número entre 1 e 10) e p
é a ordem de grandeza do número.
Esse tipo de notação é usado para acomodar de forma compacta números muito grandes (e.g.
200 000 000 000 = 2 ·1011) ou muito pequenos (e.g. 0,000 000 000 03 = 3 ·10−11). Sua vantagem com
relação à representação decimal convencional é eliminar ambiguidades ou mesmo eqúıvocos de
notação relacionados ao número de algarismos significativos.
Na notação cient́ıfica, o número de algarismos da mantissa é igual ao número de
algarismos significativos da medida.
Por exemplo, a maior distânciaobservável do universo é medida como cerca de
400 000 000 000 000 000 000 000 000 m. Com esse número não queremos dizer que o tamanho do
universo é conhecido com precisão de metros! Nesse caso, a notação cient́ıfica traz a vantagem de
representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos, como e.g. 4 · 1026 m, caso
em que a incerteza fica impĺıcita como afetando já o algarismo 4. Outros exemplos:
2483± 4 s → (2,483± 0,004) · 103s,
0, 00034± 0, 00007 m → (3,4± 0,7) · 10−4m.
(8)
Devemos empregar a notação cient́ıfica também para tornar correta a notação da incerteza usando
apenas 1 algarismo significativo. Por exemplo, a forma correta seria escrever:
2 100 000± 1 000 s −→ (2,100± 0,001) · 106 s. (9)
Note que a notação à esquerda está incorreta se o experimento não for capaz de justificar o fato de
a incerteza ser conhecida com 4 algarismos significativos.
Outra forma de notação comumente encontrada explicita a incerteza como um número entre
parênteses referente ao último algarismo do valor medido, tornando a notação mais econômica:
(2,100± 0,005) · 106 s = 2, 100(5) · 106 s. (10)
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2.4 Incerteza e compatibilidade entre medidas
A incerteza se torna essencial quando se precisa comparar resultados de medidas diferentes.
Considere um caso extremo como ilustração. Para valores numéricos ideais (infinitamente preci-
sos), provar a igualdade entre eles significar mostrar que são, na verdade, o mesmo número: as duas
sequências infinitas de algarismos a definir cada número devem coincidir perfeitamente.
Já no caso de resultados de medida, os objetos a serem comparados (valores medidos) não são
dados por valores pontuais, mas por intervalos com tamanhos dados pela incerteza de medida.
Falar em infinitésimos matemáticos perde o sentido nesse caso, pois a incerteza nos dá um número
t́ıpico de algarismos para o valor da grandeza. Ir além dessa resolução, como vimos, é o mesmo que
adicionar algarismos sem significado ao valor mais confiável: não faz sentido.
É preciso então redefinir o que se entende por valores medidos ‘iguais’ ou ‘diferentes’, e considerar,
no lugar disso, a compatibilidade entre eles.
Duas medidas são compat́ıveis quando seus intervalos de confiança se sobrepõem,
definição essa que substitui o conceito matemático de igualdade em nosso caso.
De maneira oposta, duas medidas são incompat́ıveis quando seus valores mais confiáveis
distam entre si de ‘muitas’ unidades de incerteza. O significado de ‘muitas’, conforme veremos
na Apostila 2, será tornado estat́ıstico. Podemos dizer, de forma intuitiva, que incompat́ıveis são
valores medidos representados por intervalos excludentes.
Outra forma de pensar, útil em alguns contextos, define compatibilidade de forma negativa: se
dois resultados de medida se sobrepõem em suas incertezas, então não é posśıvel convencer alguém
de que são diferentes: logo, são compat́ıveis. E vice-versa.
3 Leitura de instrumentos de medida e incerteza
A primeira fonte de incerteza encontrada ao se fazer uma medida é consequência da precisão do
instrumento de medida, algo intŕınseco que depende da construção e calibração do instrumento.
Em geral, instrumentos de medida determinam um certo número de algarismos sig-
nificativos de maneira exata e, em vários casos, permitem que o operador estime um
algarismo adicional por inspeção visual. Este último é chamado de algarismo inexato ou
duvidoso, sendo definido como o algarismo no qual recai a incerteza.
Para utilizar um instrumento corretamente, devemos nos perguntar:
• Quantos algarismos significativos o instrumento fornece?
• Qual a incerteza inerente ao instrumento?
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Apostila 1: Medidas e incertezas
A primeira questão se responde facilmente pela forma de leitura do instrumento. O número de
algarismos significativos é simplesmente igual ao número de algarismos que se consegue
ler a partir do instrumento.
Esse número é igual ao número de algarismos exatos (lidos diretamente na escala enumerada ou
mostrador do instrumento) mais o número de algarismos duvidosos, se existirem (em geral apenas 1
ou 2 algarismos nos quais recai a incerteza).
Adotamos neste curso algumas convenções para estabelecer a incerteza instrumental:
• Se o instrumento permitir a avaliação visual do algarismo duvidoso, a incerteza será tomada
como metade da menor divisão de leitura do instrumento.
• Se o instrumento não permitir a avaliação do algarismo duvidoso, este será considerado como
o último algarismo (mais à direita) da leitura do instrumento; a incerteza será tomada como
igual a 1 na posição desse algarismo.
Em geral, outras fontes de incerteza irão combinar-se à incerteza inerente ao instrumento,
formando a incerteza total de medida, tratada mais adiante.
3.1 Exemplos de leitura instrumental
Exemplo 1
Considere a régua da figura 1 e um bloco retangular do qual desejamos medir o comprimento. A
mı́nima gradação da régua é dada em cent́ımetros. Isso significa que o fabricante do instrumento nos
garante leitura exata até algarismos que denotem cent́ımetros. Assim, objetos menores do que 1 cm
não podem ser medidos de forma exata com esse instrumento.
Figura 1: Medida de comprimento do bloco com régua graduada em cent́ımetros.
Vemos da figura que o comprimento do bloco vale algo entre 3 e 4 cm, afirmação que podemos
fazer de maneira exata. Podeŕıamos escrever como resultado da medida
L = 3,5± 0,5 cm, (11)
o que estaria compat́ıvel com a observação.
No entanto, nesse caso nos furtamos a estimar o valor mais confiável. Além disso, o valor encon-
trado é pessimista na incerteza, uma vez que o comprimento do bloco é certamente maior que 3,1
cm ou mesmo que 3,2 cm, e aparentemente menor que 3,5 cm.
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F́ısica Experimental 1
Em toda medida, devemos estimar o valor mais confiável e, se necessário, também a incerteza.
Uma estimativa visual razoável seria nesse caso L = 3,4 cm, podendo estar entre L = 3,3 cm e 3,5 cm.
Portanto, no limite da precisão visual, obteŕıamos
L = 3,4± 0,1 cm. (12)
Nos resultados acima, o algarismo 3 é igualmente obtido em ambos, pois é o algarismo exato do
instrumento; já o segundo algarismo não precisa necessariamente concordar entre as medidas pois,
sendo estimado visualmente, é o algarismo duvidoso.
Diferentes experimentadores poderiam estimar valores distintos para o algarismo duvidoso. Porém,
todas as medidas devem concordar dentro do intervalo de incerteza.
Isso de fato ocorre entre as duas medidas acima, pois seus intervalos de confiança se sobrepõem.
A diferença fundamental entre elas é a confiança que o experimentador deposita em seu instrumento
de medida2.
O primeiro resultado é mais conservador, pois dá preferência a permanecer dentro de margem
mais segura de incerteza, enquanto o segundo utiliza o instrumento de medida ao limite, de forma
a dele extrair o valor mais preciso posśıvel. A escolha da margem de incerteza depende muito dos
objetivos da medida, e ambas as formas acima estariam corretas dentro do contexto apropriado.
Neste curso, vamos adotar o critério conservador, tomando como incerteza da medida o valor
igual à metade do intervalo de menor divisão do instrumento.
Devemos ainda assim estimar o algarismo duvidoso, a fim de estabelecer o valor mais confiável
posśıvel da medida. Assim, o resultado dessa medida conforme convencionado neste curso seria
L = 3,4± 0,5 cm. (13)
Vemos que a incerteza de medida adotada é conservadora, pois denota ser o comprimento real do
bloco algo entre 2,9 cm e 3,9 cm, sendo que temos certeza do valor com maior precisão do que isso.
Nossa convenção busca simplificar a atribuição de incerteza instrumentalque, como dito, sempre
guarda certa subjetividade para medidas tomadas visualmente. Embora ela possa parecer pessimista
para uma régua graduada em cent́ımetro, a verdade é que para gradações mais finas não seria posśıvel
estimar visualmente o algarismo duvidoso com tanta precisão, e nossa regra seria menos pessimista.
Note que todas as medidas acima foram enunciadas com dois algarismos significativos, uma vez
que esse é o limite do instrumento para objetos com dimensões de cent́ımetros.
2Note que o ‘instrumento de medida’ é na verdade formado pelo uso composto da régua e do instrumento humano
de visão! Por isso a incerteza pode variar de pessoa para pessoa.
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Exemplo 2
Considere agora outra régua, graduada em miĺımetros, conforme ilustra a figura 2, e o mesmo
bloco do exemplo anterior. Como a resolução oferecida pela escala graduada da régua é maior, o
resultado de medida deve possuir incerteza menor, pois o algarismo duvidoso do exemplo 1 passa a
ser um algarismo exato nesse caso.
Figura 2: Medida de comprimento do bloco com régua graduada em miĺımetros.
A melhor leitura do valor medido, como já discutido, deve ser o número de unidades lido direta-
mente no instrumento acrescido de uma estimativa visual para a quantidade extra que se encontra
entre marcações do instrumento.
Inspeção direta do instrumento nos fornece o comprimento L do bloco entre 3,4 cm e 3,5 cm.
Sendo a menor divisão do instrumento igual a 1 mm, convencionamos associar 0,5 mm como incerteza
instrumental. Supondo que o experimentador estime o algarismo duvidoso como sendo 6, sua melhor
resposta para o comprimento do bloco seria
L = 3,46± 0,05 cm.
Note que agora a medida fornece três algarismos significativos (sendo dois deles exatos) como
consequência da maior precisão instrumental dispońıvel.
Exemplo 3
Vamos investigar neste exemplo o caso em que o instrumento de medida não permite ao ex-
perimentador a estimativa do algarismo duvidoso. Nessas situações, o algarismo duvidoso é dado
diretamente a partir da resolução do mostrador do instrumento.
Figura 3: Mostrador de balança eletrônica.
Considere uma balança eletrônica a medir o valor de uma massa, conforme mostrado na figura 3.
Seu mostrador indica 71 kg. Neste caso, não há como fazer estimativas de algarismos adicionais além
dos impressos na tela, e a incerteza do instrumento é providenciada em seu manual. Na ausência do
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manual, cabe ser pessimista e tomar como incerteza da medida a resolução do mostrador que, neste
caso, é de 1 kg. O resultado da medida é
m = 71± 1 kg.
Dois algarismos significativos são fornecidos pelo instrumento. O algarismo duvidoso é nesse caso o
último algarismo fornecido, sem a possibilidade de estimativas adicionais.
Figura 4: Mostrador de balança digital.
Suponha que a leitura no painel de uma balança mais precisa fosse 71,0 kg, como indicado na
figura 4. Ao contrário do que pode parecer à primeira vista, o zero colocado após a v́ırgula não
é desnecessário, mas possui significado experimental: o instrumento nos indica que, dentro de sua
incerteza de 0,1 kg, aquele algarismo é de fato medido como nulo. Sendo assim, o resultado de medida
passa a ser
m = (71,0± 0,1) kg,
com 3 algarismos significativos, sendo 1 duvidoso.
Finalmente, uma balança mecânica, com leitura por ponteiro, possuindo a mesma escala de divisão
da balança digital anterior (0,1 kg), permitiria ainda a estimativa de um algarismo significativo
adicional. O valor convencionado da incerteza é metade da menor divisão da balança, ou seja, 0,05
kg nesse caso. Supondo que o experimentador tenha atribúıdo o valor 0 para o algarismo duvidoso
dispońıvel, o resultado da medida seria
m = (71,00± 0,05) kg,
com 4 algarismos significativos, dos quais 1 é duvidoso.
Exemplo 4
Pode ocorrer de o mostrador de um instrumento eletrônico apresentar leituras variáveis no tempo.
No exemplo acima, a balança poderia começar mostrando o valor 71,0 kg para, um segundo depois,
pular para 71,3 kg, retornando mais tarde à leitura 71,0 kg.
Nesse caso, fica a critério do experimentador decidir como interpretar a leitura do instrumento,
sempre tendo em mente que o objetivo da medida é obter o valor mais confiável da grandeza dentro
de uma faixa especificada de incerteza.
Algumas pessoas decidiriam tomar a média dos valores extremos e colocar a incerteza como
metade do intervalo de variação da leitura, como 71,15 ± 0,15 kg, o que poderia se tornar 71,2 ±
0,2 kg (note que o arredondamento da incerteza ficou também a critério do experimentador). Outras
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( )
Apostila 1: Medidas e incertezas
poderiam notar que o mostrador fica mais tempo no valor 71,0 kg do que em 71,3 kg, e por isso
escolheriam ser mais conservadoras deixando de confiar na última casa decimal do instrumento para
escrever simplesmente 71± 1 kg.
Em geral, esse tipo de detalhe depende de especificidades de funcionamento do instrumento, e
deve ser checado no manual do equipamento se necessário. Todas as formas de expressão comentadas
estariam corretas se justificadas e serviriam a propósitos diferentes.
4 Propagação de incertezas
Em várias situações não é posśıvel medir diretamente a grandeza de interesse. Nesse caso, o
caminho é inferir seu valor a partir de medidas das grandezas de que depende (“medida indireta”).
A incerteza da grandeza inferida é obtida pela propagação das incertezas das grandezas medidas.
Por exemplo: como medir uma componente da força agindo sobre um corpo utilizando apenas
instrumentos capazes de medir massa e aceleração? A resposta óbvia é empregar a 2a lei de
Newton, que relaciona essas três grandezas. A incerteza no valor da força, obtida indiretamente,
dependerá de quão precisas são as medidas de massa e aceleração.
Antes de começar o tratamento mais rigoroso, podemos estabelecer uma regra simples mas po-
derosa para a propagação de incertezas: quando uma grandeza é inferida a partir de outras, ela
não pode ser mais precisa do que a mais imprecisa das grandezas de que depende; caso contrário,
podeŕıamos usar esse truque para aumentar ao infinito a precisão de qualquer medida!
Esse racioćınio indica que o número de algarismos significativos (precisão da medida) não
pode aumentar, mas apenas se manter ou diminuir, na inferência de novas grandezas.
Atenção: note que o número de casas decimais é irrelevante, pois depende da escolha de
posicionamento da v́ırgula (tornado arbitrário pela notação cient́ıfica!). O que importa é mesmo o
número de algarismos significativos.
Portanto, a precisão de uma grandeza composta deve estar limitada pela mais im-
precisa das grandezas de que depende. Seguindo esse prinćıpio geral, tratemos alguns casos
particulares de relações comuns entre grandezas.
Multiplicação
Uma forma bastante comum de se determinar uma grandeza de forma indireta é medir outras
grandezas cujo produto fornece a grandeza procurada.
Seguindo o preceito geral descrito acima, podemos estimar a incerteza da grandeza composta
simplesmente mantendo seu valor com o mesmo número aproximado de algarismos significativos da
mais imprecisa das grandezas medidas.
13
F́ısica Experimental 1
Por exemplo, suponhamos que a massa da part́ıcula seja medida como m = 0,9 kg, e sua ace-
leração, como a = 1,23 m/s2. Supõe-se que esses valores possuam a última casa indicada como
incerta em uma unidade, conforme convenção adotada, sendo explicitamente m = 0,9± 0,1 kg e
a = 1,23± 0,01 m/s2.
Nesse caso, a magnitude da força, calculada pela multiplicação, resultaria F = 1,107 N. No
entanto, sabemos que conhecê-la com 4 algarismos significativos é certamente muito otimista,pois a massa é determinada com apenas 1 algarismo significativo.
Devemos esperar que o valor calculado da força só tenha 1 ou 2 algarismos significativos, devendo
ser escrito como 1 N ou 1,1 N. Para escolher entre elas, notemos que a primeira forma implica
imprecisão quase total, i.e. 100%, dado que seu valor seria implicitamente entendido como F =
1± 1 N (ou seja, entre 0 N e 2 N). A segunda forma deve ser então a mais apropriada nesse caso,
ou seja, F = 1,1 ± 0,1 N. Nesse caso, a imprecisão é de aproximadamente 10%, compat́ıvel com
a incerteza relativa inicial na massa.
A contagem de algarismos significativos é um método grosseiro de estimativa da incerteza, e serve
mais para detetar inconsistências de resultados do que para calcular propriamente as incertezas.
Um método mais confiável, embora ainda ligeiramente grosseiro, de se calcular a incerteza, cha-
mado aqui coloquialmente de ‘método trabalhoso’, é determinar os valores máximo e mı́nimo
da grandeza compat́ıveis com o intervalo de incerteza das quantidades medidas.
No exemplo acima, o valor mı́nimo inferido para a magnitude da força ocorre quando massa e
aceleração são mı́nimas dentro da incerteza, ou seja, para mmin = m − σm = 0,8 kg e amin =
a−σa = 1,22 m/s2, com o que obtemos Fmin = 0,96 N. Repetindo o mesmo procedimento para seu
valor máximo, obtemos Fmax = mmax · amax = 1,24 N. Sendo o valor mais confiável da força dado
por F = m · a = 1,107 N, podemos estimar a incerteza na força como σF = (Fmax − Fmin)/2 =
0, 14 N (note que também podemos calcular σF como σF = Fmax − F = F − Fmin). O resultado
obtido fica denotado como F = 1,1±0,2 N, em que arredondamos a incerteza de forma pessimista.
Conforme veremos, essa forma de estimativa da incerteza é pessimista, pois supõe estarem ambas
as grandezas maximamente erradas ao mesmo tempo, o que não é provável.
Soma
Um caso mais problemático ocorre nas operações de soma com números possuindo incerteza,
sendo esse um tópico bastante conhecido em computação. Similarmente à situação experimental, a
representação de um número no computador só pode ser realizada dentro de certa precisão.
No caso do computador, esse número é limitado em última instância pela quantidade de memória
alocada na representação do número, enquanto em f́ısica experimental ele é limitado pela incerteza
da medida. Para procedermos com a soma, devemos identificar as posições decimais dos algarismos
duvidosos de cada parcela e somá-las até a posição decimal do algarismo menos confiável entre eles.
14
Apostila 1: Medidas e incertezas
Por exemplo, suponhamos que precisemos somar os números 12,8 e 146. Apesar de ambos
possúırem três algarismos significativos, o número 146 não possui definido o algarismo na primeira
posição decimal após a v́ırgula, sendo sua incerteza impĺıcita de uma unidade já no algarismo 6,
seu algarismo duvidoso. Portanto, o algarismo duvidoso do número 12,8 (no caso, 8), por possuir
posição decimal de maior precisão, perde significado no resultado da soma.
Devemos considerar, na verdade, a soma de 13 e 146, em que ambos os números devem ser arre-
dondados antes de realizada a operação de soma. A resposta confiável seria 159, com incerteza
impĺıcita de 1 no último algarismo e herdada essencialmente do número 146. Note como o resul-
tado mudaria bastante de significado caso o número a ser somado fosse 146,0 (quatro algarismos
significativos). Nesse caso, não haveria grande perda de precisão na soma, sendo o resultado
confiável dado por 158,8.
Note que resultados de somas podem ficar indefinidos por conta da incerteza!
Um exemplo de situação patológica ocorre na soma dos números 12,12 e −12,12. Apesar de
cada parcela ser conhecida com quatro algarismos significativos, obtemos algo indefinido como
resultado, pois a soma fica indeterminada dentro da incerteza. A forma correta de representar
o resultado dessa soma é 12,12 + (−12,12) = 0,00 ± 0,01. Nesse exemplo, passamos de um erro
inicial de 1 parte em 10 mil (ou seja, 4 algarismos significativos) para indefinição total.
O significado da notação do exemplo acima é que podemos afirmar o resultado como compat́ıvel
com zero dentro da incerteza. Em outras palavras, não há precisão sequer para apontar a
ordem de grandeza do valor mais confiável, mas apenas para afirmar que está entre 0,01 e −0,01 (a
incerteza).
Nesse caso, toda a informação reside na incerteza, que denota a confiança com que
podemos afirmar o valor zero como resultado.
Resultado similar seria obtido ao se tentar medir o diâmetro de um fio de cabelo com uma régua
milimetrada, por exemplo. O valor medido não possuiria qualquer algarismo significativo, o que pode
ser visto facilmente em notação cient́ıfica, na qual seria representado como (0 ± 5) · 10−1 mm. A
precisão da medida só permite visualizar um ‘zero à esquerda’.
A operação de soma sempre resulta em valores relativamente mais imprecisos. Por isso, é mais
preciso medir diretamente grandezas compostas por somas sempre que posśıvel.
4.1 Propagação de incertezas na soma
Vimos que, na soma de duas grandezas, a incerteza do resultado deve ser maior que a incerteza
absoluta com que cada parcela é conhecida. No caso mais pessimista, a incerteza do resultado será
a soma das incertezas de cada parcela.
15
F́ısica Experimental 1
Conceitualmente, somar as incertezas de todas as parcelas significaria esperar que todos os valores
somados estivessem ao mesmo tempo no limite superior (ou inferior) de seus intervalos de confiança.
Se as medidas forem independentes e descorrelacionadas, é pouco provável que isso ocorra.
É mais plauśıvel esperar que poucos valores se encontrem nos limites superior ou inferior de seus
intervalos de confiança; uma fração maior das medidas deve estar equivocada por e.g. metade da
incerteza, tanto acima quanto abaixo do valor verdadeiro; mas a maior fração delas deve se concentrar
nas proximidades dos valores verdadeiros.
Nesse caso, devemos compor as incertezas levando em conta as diferentes probabilidades de
magnitude de erro afetando uma fração das parcelas.
Já sabemos que a incerteza na grandeza inferida deve ser maior que a maior incerteza dentre todas
as parcelas, pois a quantidade final não pode ser conhecida de maneira mais precisa que nenhuma de
suas parcelas. Porém, ela deve ser menor que a soma de todas as incertezas, como vimos.
O valor mais provável da incerteza estará entre esses dois extremos. A forma rigorosa de se
propagar incertezas supõe que se referem num certo sentido a distribuições de probabilidade,
como veremos em maior detalhe na Apostila 2.
Considere duas grandezas quaisquer medidas com valores m1 = M1 + σM1 e m2 = M2 + σM2 . O
valor mais confiável da grandeza composta m = M+σM , inferido a partir da soma como m = m1+m2,
deve ser dado obviamente por
M = M1 +M2. (14)
Já sua incerteza deve ser propagada por uma regra de composição triangular3
(σM)
2 = (σM1)
2 + (σM2)
2. (15)
De fato, essa expressão limita σM inferiormente pela grandeza de maior incerteza, por ser uma
soma de quadrados. Se σM1 � σM2 , então σM ≈ σM1 (demonstre!).
Por outro lado, se as duas incertezas são parecidas (σM1 ≈ σM2), então a Eq. (15) fornece algo
mais otimista do que a soma das incertezas, pois obtemos σM ≈
√
2σM1 < σM1 + σM2 (demonstre!).
Note que a incerteza se calcula da mesma forma para uma soma entre números com sinais opostos.
Se, por exemplo, vale que m1 > 0 e m2 < 0, a resposta seria m = |M1| − |M2| ±
√
(σM1)
2 + (σM2)
2,
sem mudança no cálculo da incerteza.
Assim, o valor obtido da grandeza m a partir de medidas diretas de M1 e M2 é
m = (M1 +M2)±
√
(σM1)
2 + (σM2)
2, (16)
expressão na qual já aparecem o valor mais provável e sua incerteza.
3O motivo dessa forma para composição de incertezas advém da suposição de que cada fonte de incerteza seja
independente das demais e representeuma distribuição gaussiana de probabilidade. A composição de vários processos
desse tipo fornece como resultado um novo processo gaussiano cuja variância é a soma das variâncias de todos os
processos subjacentes. Veremos esses conceitos em mais detalhe na Apostila 2.
16
Apostila 1: Medidas e incertezas
Retornando ao exemplo da última seção, podemos calcular agora a incerteza na soma de 12,8
e 146 de maneira mais sistemática. Tomando m1 = 12,8 ± 0,1 e m2 = 146 ± 1, obtemos M =
12,8 + 146 = 158,8 e σM =
√
(0,1)2 + (1)2 ≈ 1,005. Devemos novamente manter apenas 1
algarismo significativo na incerteza e adequar a ela a resposta do valor mais provável, e portanto
σM = 1 pelas regras de arredondamento; obtemos como resultado m = 159± 1.
Note que no exemplo acima a incerteza do número 12,8, por ser muito menor que aquela do
número 146, não contribui efetivamente para a incerteza do resultado final.
Como regra informal, na propagação das incertezas de uma soma, podemos desprezar
de ińıcio incertezas menores que a metade da maior das incertezas das parcelas.
Para um número qualquer de parcelas, a Eq. (15) se generaliza facilmente. Seja a grandeza
m = M + σM composta por N parcelas mk = Mk + σMk , com ı́ndice k = 1, 2, 3, . . . , N . Temos então
(σM)
2 = (σM1)
2 + (σM2)
2 + · · ·+ (σMN )2 =
∑
k
(σMk)
2. (17)
A propagação de incerteza de soma se dá essencialmente pela soma dos quadrados
das incertezas de todas as parcelas, outra propriedade de processos gaussianos.
4.2 Composição de fontes independentes de incerteza
A mesma regra de propagação da soma vale para compor fontes independentes de incerteza
a afetar a medida de uma única grandeza.
Pelos mesmos argumentos, supomos nesse caso que cada processo a contribuir para a incerteza
da medida é independente dos demais, obedecendo estat́ıstica gaussiana. A incerteza total é obtida
pela aplicação da Eq. (15) utilizando σM1 e σM2 como as incertezas respectivas de cada processo.
Por exemplo, suponhamos que ao medir o bloco da figura 1 descubramos que rugosidades em sua
superf́ıcie fazem com que a medida de comprimento varie de acordo com o local onde se coloca
a régua. Comparando várias medidas em posições diferentes, percebemos que o comprimento
medido varia por até 3 mm. Nesse caso, a incerteza da medida do bloco é composta por duas
fontes de incerteza: a leitura da régua e a rugosidade da superf́ıcie do bloco.
Podeŕıamos reescrever o valor do comprimento do bloco como L = 3,4±0,5±0,3 cm, dessa forma
especificando cada fonte de incerteza. Podeŕıamos também compô-las a fim de obter a incerteza
total da medida do bloco. Usando a Eq. (15), obtemos σL =
√
0,52 + 0,32 = 0,6, com o que o
resultado da medida seria modificado para L = 3,4± 0,6 cm.
De maneira análoga, N fontes independentes de incerteza resultarão na incerteza total dada pelo
mesmo tipo de soma triangular da Eq. (17).
17
F́ısica Experimental 1
4.3 Propagação de incertezas por linearização a derivadas parciais
A forma mais geral de inferir grandezas consiste em atribuir uma função genérica ligando uma
grandeza à outra. A incerteza da grandeza inferida pode ser obtida pelo intervalo de variação de
seu valor mais confiável causada pelas incertezas das grandezas medidas.
Uma forma de determinar esse intervalo é considerar como o valor de uma função responde
a pequenas variações independentes em seus argumentos. Essa aproximação linear é realizada
expandindo a função em primeira ordem no entorno do valor mais confiável da grandeza inferida.
Funções de uma variável e incerteza relativa
Considere uma função bem comportada f(x) qualquer. Buscamos saber quanto seu valor muda
conforme seu argumento x varia por uma quantidade σx.
Com isso queremos determinar o quanto a incerteza σx influencia o valor da grandeza composta
f(x). Se a variação σx for relativamente pequena, podemos expandir a função em primeira ordem
em torno de x usando a aproximação linear pela derivada,
f(x+ σx) ≈ f(x) +
df(x)
dx
· σx. (18)
Portanto, chegamos à incerteza de f(x), dada pelo intervalo de variação, como
σf = |f(x+ σx)− f(x)| =
∣∣∣∣df(x)dx
∣∣∣∣ · σx, (19)
na qual tomamos o módulo para impor o fato de que a incerteza é sempre positiva.
A expressão acima é ilustrada de forma gráfica na figura 5. Note como a derivada no ponto x
fornece a relação de proporcionalidade entre as incertezas σx e σf no entorno de uma região pequena.
Figura 5: Propagação de incerteza pela derivada. Os intervalos de variação ∆x e ∆f fazem as vezes
de incertezas na grandeza medida x e na grandeza inferida f , respectivamente
18
Apostila 1: Medidas e incertezas
Tomemos um exemplo. Gostaŕıamos de medir a área de um ladrilho quadrado, e para isso
medimos o comprimento de um de seus lados como l = 41±4 cm. Além disso, verificamos dentro
da precisão experimental que todos os seus lados possuem o mesmo comprimento. A área do
ladrilho é calculada como A = l2. Usando a Eq. (19), sua incerteza é dada por
σA =
d
dl
(l2) · σl = 2lσl. (20)
Substituindo o valor medido e aplicando as convenções de notação, obtemos a área A = (1,7 ±
0,3) · 103 cm2 (você encontrou esse resultado?).
Notemos algo peculiar no exemplo acima. Ao dividirmos a incerteza na medida de comprimento
por seu valor mais confiável, verificamos que a incerteza relativa na medida de comprimento
é aproximadamente σl/l = 0,1, ou seja, ela possui incerteza percentual de 10%. Já para a área
inferida, o mesmo cálculo revela uma incerteza percentual de 20% (σA/A = 0,2): nesse caso, a
incerteza relativa dobra no processo de propagação.
Vejamos porque isso acontece. Voltando à Eq. (20), notamos que ela pode ser reescrita dividindo
seus dois membros pela expressão da área, de onde obtemos
σA
A
=
2lσl
l2
=⇒ σA
A
= 2
σl
l
. (21)
Portanto, a incerteza relativa dobra por causa da dependência quadrática de A em l.
Para qualquer função f(x) dada por uma potência de x, obteŕıamos em geral
f(x) = xn =⇒ σf
f
= n
σx
x
. (22)
Da mesma forma, se n < 1 a incerteza percentual diminui na grandeza composta.
Qualquer que seja a dependência funcional ‘bem comportada’ de f em x, a Eq. (19) pode ser
empregada para propagação de incerteza, assim como o método gráfico equivalente da figura 5.
Funções de múltiplas variáveis e derivadas parciais
Consideremos agora uma grandeza inferida a partir de duas outras grandezas que podem ser
medidas diretamente. Consideramos novamente essas medidas independentes, ou seja, a medida de
uma delas não influencia o resultado de medida da outra.
Representamos a grandeza inferida por uma função de duas variáveis f(x, y). Se x e y são variáveis
independentes, a expansão linear se generaliza para
σf = |f(x+ σx, y + σy)− f(x, y)| ≈
∣∣∣∣∂f(x, y)∂x
∣∣∣∣ · σx + ∣∣∣∣∂f(x, y)∂y
∣∣∣∣ · σy. (23)
Lembre-se de que a derivada parcial de f(x, y) com relação a x, denotada por ∂f(x,y)
∂x
é calculada
como a derivada comum com relação a x considerando y constante, e vice-versa para ∂f(x,y)
∂y
.
19
F́ısica Experimental 1
Voltemos ao exemplo da seção 4, em que se buscava determinar a força agindo sobre um corpo a
partir de medidas diretas de sua massa e aceleração. As derivadas parciais relevantes são nesse
caso ∂F∂m = a e
∂F
∂a = m. Usando a Eq. (23), obtemos
σF =
∂F
∂a
· σa +
∂F
∂m
· σm = mσa + aσm. (24)
Dividindo os dois membros da equação pela expressão da força, encontramos para a incerteza
relativa
σF
F
=
σa
a
+
σm
m
. (25)
Ou seja, a incerteza relativa da grandeza inferida seria dada no caso pessimista pela soma das
incertezas relativas das grandezas medidas diretamente.
Já vimos esse tipo de composição de incertezas na seção. 4.1. Essa é a forma pessimista de
se estimar a incerteza na grandeza inferida, uma vez que é pouco provável que todas as grandezas
independentes das quais depende desviem maximamente ao mesmo tempo de seus valores verdadeiros.A diferença com relação à discussão anterior é que a expressão acima considera a incerteza relativa
no lugar da incerteza absoluta. Devemos interpretar a Eq. (23) num sentido estat́ıstico, tal como
fizemos para a propagação da soma de grandezas.
A forma mais adequada de se calcular a incerteza final é supor que cada argumento da função
contribui com erro relativo independente e, de acordo com argumentos estat́ısticos, somá-los de
maneira triangular.
Portanto, a incerteza relativa da grandeza composta deve ser calculada como
(σf )
2 =
(
∂f(x, y)
∂x
· σx
)2
+
(
∂f(x, y)
∂y
· σy
)2
, (26)
válida no limite de pequenas incertezas relativas.
Assim, para grandezas calculadas através de multiplicações e operações afins, a incerteza rela-
tiva só pode aumentar ou se manter constante conforme mais fontes de incerteza são
inclúıdas. Analogamente ao caso da propagação de incerteza da soma, a incerteza relativa final
é maior que a mais incerta das incertezas relativas que a compõem.
Aplicando a Eq. (26) ao exemplo anterior, obtemos a incerteza relativa da força como
(σF
F
)2
=
(σa
a
)2
+
(σm
m
)2
⇒ σF =
√(σa
a
)2
+
(σm
m
)2
F. (27)
Usando os valores do exemplo da seção 4, a incerteza relativa da massa seria σm/m ≈ 0,1 (i.e.
10%), enquanto da aceleração seria σa/a ≈ 0,01 (i.e. 1%). Como σa/a � σm/m, a incerteza da
força é quase toda devida à incerteza na massa.
Usando a Eq. (19), obtemos σF /F = 0,1, i.e. σF = 0,12 N. Note que esse valor é ligeiramente
menor do que encontrado na seção 4, embora concordem no algarismo significativo, mostrando
que o cálculo de incerteza conforme realizado naquela seção era de fato conservador.
20
Apostila 1: Medidas e incertezas
A Eq. (26) se generaliza facilmente para uma grandeza inferida a partir de um número qualquer
de grandezas que podem ser medidas diretamente.
Consideremos a função f(x1, x2, . . . , xN) para representar essa grandeza, com argumentos inde-
pendentes. Generalizando a Eq. (23), a incerteza em f é calculada como
(σf )
2 =
(
∂
∂x1
f · σx1
)2
+
(
∂
∂x2
f · σx2
)2
+ · · ·+
(
∂
∂xN
f · σxN
)2
=
N∑
k=1
(
∂
∂xk
f(x1, x2, . . . , xN) · σxk
)2
(28)
Dividindo a equação acima pela expressão de f(x1, x2, . . . , xN), determinamos o ‘peso’ com que
as incertezas relativas parciais contribuem para a incerteza da grandeza inferida.
Queremos encontrar a densidade ρ de um sólido cúbico a partir da medida de sua massa M =
1,02± 0,01 kg e do comprimento de um de seus lados, L = 25,0± 0,01 cm. Sabemos que:
ρ =
M
L3
=⇒

∂ρ
∂M
=
1
L3
.
∂ρ
∂L
= −3M
L4
.
(29)
Note que a derivada parcial ∂ρ∂L é negativa, indicando que os sentidos de variação de ρ e L são
opostos (e.g. ρ é superestimado quando L é subestimado), e que isso não afeta a incerteza total.
Usando a Eq. (26),
(σρ)
2 =
(
1
L3
σM
)2
+
(
3M
L4
σL
)2
. (30)
Já podeŕıamos substituir os valores medidos de M , L, σM e σL nessa expressão para obter σρ.
No entanto, prosseguir com a divisão dos dois membros da equação por ρ nos permite determinar
a importância de cada grandeza em σρ. Obtemos(
σρ
ρ
)2
=
(σM
M
)2
+
(
3
σL
L
)2
. (31)
A grandeza L contribui com peso três vezes maior na incerteza final. O motivo estat́ıstico para
isso é o fato de que sua incerteza aparece três vezes na expressão e de forma correlacionada.
Segundo os valores dados, as incertezas percentuais de M e L são, respectivamente, 1% e 0,4%.
Normalmente, seguindo a regra informal da seção 4.1, podeŕıamos desprezar a contribuição de σL,
com relação a σM , pois σL < σM/2. Entretanto, como L contribui com potência 3 na expressão
de ρ, sua incerteza se torna mais importante. Obtemos
σρ
ρ = 2%, isto é, ρ = 65± 1 kg/m
3.
Note que, caso o valor de alguma incerteza relativa seja muito grande, a propagação por expansão
linear não será precisa no cálculo da incerteza final. Nesse caso, podemos expandir a função até ordens
mais altas, ou utilizar o ‘método trabalhoso’ (mais conservador) da seção 4 para estimar a incerteza.
21
F́ısica Experimental 1
Apêndice A Paqúımetro
O paqúımetro é um instrumento especializado em medir objetos pequenos de maneira versátil e
precisa4. Sua maior aplicação reside em medidas de diâmetros internos e externos, comprimentos de
objetos, profundidade de rebaixos etc.
Todos esses tipos de medidas podem ser lidos em um sistema formado por duas escalas: a escala
principal, denotada no corpo fixo do instrumento, e a escala auxiliar, gravada na peça móvel a que
chamamos vernier ou nônio.
Figura 6: Paqúımetro.
Para atingir resolução melhor do que 1 mm, o paqúımetro faz uso da escala auxiliar em combinação
com a escala principal, atingindo resolução cerca de dez vezes maior do que dispońıvel fazendo uso
apenas de sua escala principal. Vejamos como funciona o paqúımetro e como utilizar o vernier para
conseguir medidas de maior precisão.
A leitura do instrumento até o algarismo do miĺımetro é realizada observando-se onde a marcação
‘0’ do vernier se localiza com relação à escala localizada no corpo fixo do instrumento, no mesmo
esṕırito da leitura de uma régua comum.
Vemos na figura 7 a escala principal em detalhe. Pela marcação ‘0’ do vernier, a leitura direta da
escala principal nos fornece o valor 87 mm. Portanto, seguindo as convenções das seções anteriores,
podeŕıamos estimar o algarismo duvidoso como sendo talvez 7, e dessa forma denotar o resultado de
medida como 87,7± 0,5 mm usando o paqúımetro como se fosse uma régua.
Observemos agora o vernier em mais detalhe. Pela figura 7, vemos que ele possui 10 divisões,
cada qual correspondendo a um número de 0 a 10, conforme indicado em sua escala. Pela construção
do paqúımetro, essa escala é calibrada para representar no total 1 mm, de forma que sua menor
divisão deve corresponder a 0,1 mm.
Portanto, a escala do vernier fornece o próximo algarismo significativo. Para identificá-lo, deve-
mos observar qual de suas marcações melhor coincide com uma marcação qualquer da escala principal,
4Applets em http://www.stefanelli.eng.br/webpage/metrologia/p-paquimetro-nonio-milimetro-05.html.
22
Apostila 1: Medidas e incertezas
Figura 7: Detalhe do vernier.
e ler seu valor correspondente no vernier. No exemplo da figura, essa marcação se refere ao algarismo
8 no vernier. Assim, o valor medido nesse caso seria
L = 87,8± 0,1 mm.
Note que a medida final é bem mais precisa do que o valor anteriormente obtido utilizando o
paqúımetro como se fosse uma régua.
No paqúımetro não temos como estimar visualmente o algarismo duvidoso, e a incerteza do
paqúımetro reside no último algarismo que ele nos fornece de forma direta (conforme a regra es-
tabelecida anteriormente). Tomamos assim a incerteza do instrumento como igual à sua menor
divisão, tornando-se o último algarismo lido, na verdade, o algarismo duvidoso.
Figura 8: Detalhe do vernier.
Vejamos um outro exemplo a seguir. Na figura 8, temos um vernier com 20 divisões na escala
auxiliar, diminuindo a incerteza da medida por um fator 2 (já que a escala do vernier continua
representando 1 mm em sua totalidade). Seguindo o mesmo procedimento, obtemos o valor 76 mm
a partir da escala principal, e, identificando a marcação do vernier que melhor coincide com a escala
principal como correspondendo ao algarismo 9, podemos escrever como resposta final o valor
L = 76,90± 0,05 mm.
Como não é posśıvel estimar visualmente o último algarismo, mantemos seu valor conforme lido
diretamente da escala do vernier, com incerteza dada por sua menor divisão.
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F́ısica Experimental 1
Apêndice B Micrômetro
O micrômetro, ou parafuso micrométrico, é constitúıdo por um parafuso de passo constante bem
preciso. Uma rotação completa do parafuso corresponde a um deslocamento de um passo. Ele é
usado para medir dimensões com resoluções da ordem de 10 µm.
Apesar de apresentaruma resolução maior que o paqúımetro, o micrômetro mostra-se um instru-
mento bem menos versátil. As dimensões medidas não podem passar de alguns cent́ımetros e devem
corresponder sempre a diâmetros externos. A figura 9 ilustra um micrômetro com a nomenclatura
de suas parte.
Figura 9: Micrômetro.
Para iniciar a utilização do instrumento, é necessário determinar a correção do zero de sua escala,
lida a partir do tambor. Para tanto, gira-se o parafuso micrométrico até que as superf́ıcies de fuso e
batente se encostem. Para medir a dimensão de um objeto, repete-se o procedimento com o mesmo
localizado entre fuso e batente.
Atenção: Caso o zero na escala do tambor não coincida com o zero da escala linear quando fuso
e batente se encostam, o valor lido deve ser usado para corrigir todas as medidas efetuadas com o
micrômetro em questão.
A maioria dos micrômetros possui uma catraca, localizada na extremidade do parafuso, cuja
função é aliviar pressão excessiva que o operador possa exercer, evitando deformar o objeto a ser
medido ou danificar o instrumento por tensões mecânicas excessivas.
A dimensão do objeto é lida a partir de duas escalas, como ilustrado em detalhe na figura 10.
A primeira escala, expressa em miĺımetros, se localiza na bainha e é responsável para leitura com
precisão de 0,5 miĺımetro; a segunda escala, de maior precisão, se encontra inscrita no tambor.
A marcação graduada localizada na bainha é geralmente subdividida em intervalos mı́nimos de
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Apostila 1: Medidas e incertezas
1 ou 0,5 mm. As marcações dos miĺımetros partem da linha da escala num sentido, enquanto as
marcações de meio miĺımetro, quando existentes, partem no outro. Sua leitura é realizada diretamente
pelo número indicado pelo corte que o tambor cria na escala subjacente. Ou seja, a parte viśıvel da
escala da bainha denota o valor da medida.
Figura 10: Detalhe das escalas de leitura na bainha e no tambor.
O tambor, que se encontra fixo ao parafuso, proporciona a leitura dos demais algarismos. O
prinćıpio de funcionamento do micrômetro consiste em dividir o deslocamento de um passo do pa-
rafuso por um número N de divisões (normalmente, N = 50 ou 100), no movimento circular do
tambor. Sua menor divisão corresponde a 0,01 mm.
A leitura do número do tambor é realizada de forma similar, pelo ponto em que sua escala
numerada é cortada pela linha horizontal inscrita na bainha. Isso permite ler dois algarismos exatos
no tambor e estimar o algarismo duvidoso.
O resultado final da medida é a soma das leituras das duas escalas.
No exemplo da figura 10, a leitura da escala em miĺımetros proporciona o valor 17,5 mm. Já a
escala do tambor provê a leitura do número 32, que deve ser entendido como 0,32 mm. O algarismo
duvidoso pode ser estimado como 0, fornecendo portanto a leitura 0,320 mm na escala mais fina, que
fornece a incerteza. Assim, o resultado da medida é a soma desses números,
L = 17,820± 0,005 mm,
em que a incerteza de leitura foi tomada, de acordo com a convenção estabelecida, em metade da
menor divisão de leitura da escala mais fina (tambor).
Este roteiro foi inicialmente elaborado por Erivaldo Montarroyos, sucessivamente reformulado
por Wilson Barros e Alessandro Villar e continuamente aprimorado pelos docentes responsáveis pela
disciplina em cada semestre.
Questões sobre o material didático devem ser endereçadas no momento à coordenação da disci-
plina, no e-mail fisicaexp1ufpe@gmail.com.
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