AULA 1.CENTRÓIDES

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AULA 1 
 
 
CENTRO DE GRAVIDADE DE CORPOS DE DUAS DIMENSÕES, 
CENTRÓIDES DE ÁREAS E LINHAS 
 
 
 
Centro de gravidade (cg): ponto onde se considera que toda força gravitacional 
 está concentrada. 
 
 
Centro de massa (cm): ponto onde se considera que toda a massa de um 
corpo rígido está concentrada. 
 
 
Coordenadas: 
 
𝐌. 𝐱𝐜𝐦 = 𝐦𝟏. 𝐱𝟏 +𝐦𝟐. 𝐱𝟐 +𝐦𝟑. 𝐱𝟑 +⋯+𝐦𝐧. 𝐱𝐧 (Equação 1) 
 
𝐌. 𝐲𝐜𝐦 = 𝐦𝟏. 𝐲𝟏 +𝐦𝟐. 𝐲𝟐 +𝐦𝟑. 𝐲𝟑 +⋯+𝐦𝐧. 𝐲𝐧 (Equação 2) 
 
 
 
Tipler, Vol. 1, 6 ed., Cap. 5, p. 146 – Problema Prático 5.7 
 
 
Uma massa m1 = 4,0 kg está na origem e uma massa m2 = 2,0 kg está no eixo x, 
em x = 6,0 cm. Encontre 𝐱𝐜𝐦. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
𝒙𝒄𝒎 =
𝒎𝟏.𝒙𝟏 +𝒎𝟐.𝒙𝟐
𝒎𝟏 +𝒎𝟐
⟹ 𝒙𝒄𝒎 =
𝟒,𝟎 𝒌𝒈.𝟎 + 𝟐,𝟎 𝒌𝒈.𝟔,𝟎 𝒎
𝟒,𝟎 𝒌𝒈 + 𝟐,𝟎 𝒌𝒈
⟹ 𝒙𝒄𝒎 = 𝟐,𝟎 𝒄𝒎 
 
 
 
 
 
m1 
x (cm) 
0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 
m2 
	 2	
 
 
Procedimento para análise de figuras 
planas: 
 
 
 
 
1. Dividir a figura em áreas mais simples; 
 
2. Para regiões geométricas sem material, considerar 
o corpo total, incluindo as regiões geométricas 
sem material e depois considerar esta parte sem 
material com área ou comprimento negativo; 
 
3. Estabelecer o referencial cartesiano e determinar 
as coordenadas do centro de massa de cada parte 
(áreas mais simples – item 1) (usar tabelas de 
centroides, exemplo: p. 459, 460, Hibbeler); 
 
4. Determinar as coordenadas do centro de massa 
utilizando as equações 1 e 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 3	
 
Tipler, Vol. 1, 6 ed., Cap. 5, p. 148 – Ex. 5-15 
 
Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada, como 
mostrada na figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: folha uniforme de madeira compensada. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒙𝒄𝒎 =
𝑨𝟏.𝒙𝟏 + 𝑨𝟐.𝒙𝟐
𝑨𝟏 + 𝑨𝟐
⟹ 𝒙𝒄𝒎 =
𝟎,𝟑𝟐.𝟎,𝟒𝟎 + 𝟎,𝟎𝟒.𝟎,𝟕𝟎
𝟎,𝟑𝟐 + 𝟎,𝟎𝟒 
⟹ 𝒙𝒄𝒎 = 𝟎,𝟒𝟑𝟑 𝒎 
 
 
𝒚𝒄𝒎 =
𝑨𝟏.𝒚𝟏 + 𝑨𝟐.𝒚𝟐
𝑨𝟏 + 𝑨𝟐
⟹ 𝒙𝒄𝒎 =
𝟎,𝟑𝟐.𝟎,𝟐𝟎 + 𝟎,𝟎𝟒.𝟎,𝟓𝟎
𝟎,𝟑𝟐 + 𝟎,𝟎𝟒 
⟹ 𝒚𝒄𝒎 = 𝟎,𝟐𝟑𝟑 𝒎 
 
 
Resposta: 𝒄𝒎 = 𝟎,𝟒𝟑𝟑;𝟎,𝟐𝟑𝟑 𝒎 
0,40 m 
0,20 m 
0,60 m 
0,80 m 
𝐀𝟏 = 𝟎,𝟑𝟐𝐦𝟐	
	
𝐀𝟐 = 𝟎,𝟎𝟒𝐦𝟐	
	
x 
y 
2 
1 
0,50 
 
0,40 
 
 
0,20 
 
 
 
 
 
 
0,40 0,70 
	 4	
 
 
Resolver: 
1) Tipler, Vol. 1, 6 ed., Cap. 5, p. 164 – Problemas 101,102,103 e 105 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 5	
 
2) Halliday, Vol. 1, 9 ed., Cap. 9, p. 237, prob. 5 
 
 
 
 
 
 
	 6	
 
 
 
 
Hibbeler, Estática, 12 ed., Cap. 9, Ex. 9.9, p. 356 
 
Localize o centroide do fio mostrado na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Fio composto – centroide de linha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z
40 mm 
20 mm y
x
60 mm 
	 7	
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEGMENTO 
 
 
L(mm) 
 
𝒙 (mm) 
 
𝒚 (mm) 
 
𝒛 (mm) 
 
𝒙 . L(mm2) 
 
𝒚 . L(mm2) 
 
𝒛 . L(mm2) 
 
1 
 
 
𝝅. 𝒓 = 𝝅.𝟔𝟎 = 𝟏𝟖𝟖 
 
60 
 
𝟐𝒓
𝝅 = −𝟑𝟖,𝟐 
 
0 
 
𝟏,𝟏𝟑.𝟏𝟎𝟒 
 
−𝟕,𝟏𝟖.𝟏𝟎𝟑 
 
0 
 
2 
 
 
40 
 
0 
 
20 
 
0 
 
0 
 
800 
 
0 
 
3 
 
 
20 
 
0 
 
40 
 
−𝟏𝟎 
 
0 
 
800 
 
−𝟐𝟎𝟎 
 
𝑳 = 𝟐𝟒𝟖 
 
 
𝒙 . 𝐋 = 𝟏,𝟏𝟑.𝟏𝟎𝟒 
 
𝒚 . 𝐋 = −𝟓,𝟓𝟖.𝟏𝟎𝟑 
 
𝒙 . 𝐋 = −𝟐𝟎𝟎 
 
Então: 
 
𝐱 =
𝐱.𝐋
𝐋 =
𝟏,𝟏𝟑.𝟏𝟎𝟒
𝟐𝟒𝟖 = 𝟒𝟓,𝟔 𝐦𝐦 
 
 
 
𝐲 =
𝐲.𝐋
𝐋 =
−𝟓,𝟓𝟖.𝟏𝟎𝟑
𝟐𝟒𝟖 = −𝟐𝟐,𝟓 𝐦𝐦 
 
 
 
𝐳 =
𝐱.𝐋
𝐋 =
−𝟐𝟎𝟎
𝟐𝟒𝟖 = −𝟎,𝟖𝟎𝟓 𝐦𝐦 
 
 
z
y
x
1 
2 
3 
	 8	
Ex. 9.10, p. 357 Hibbeler, Estática, 12 3d. 
 
Localize o centroide da área da placa mostrada na figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Placa composta 
Solução: 
 
Dividimos a placa em três áreas, sendo a área 3 (A3) 
considerada negativa (Figura 4): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Divisão da placa em áreas A1, A2, A3 
 
 
1 m 
1 m 
3 m 2 m
2 m
x 
y 
2 
x 
y 
3 
1 
2 
	 9	
As coordenadas dos centroides de cada área parcial estão indicados no 
diagrama abaixo (Figura 5): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Coordenadas dos centroides de cada área 
 
 
Dessa forma, temos: 
 
 𝑨𝟏 ⟹ −𝟏,𝟓;𝟏,𝟓 𝒎; 𝑨𝟐 ⟹ 𝟏,𝟎;𝟏,𝟎 𝒎; 𝑨𝟑 ⟹ −𝟐,𝟓;𝟐,𝟎 ; 
 
 
 
 
 
ÁREA 
 
 
A(m2) 
 
𝒙 (m) 
 
𝒚 (m) 
 
𝒙 . A(m3) 
 
𝒚 . A(mm3) 
 
1 
 
𝐀𝟏 = 𝟑𝐦.𝟑𝐦 = 𝟗 −𝟏,𝟓 𝟏,𝟓 −𝟏𝟑,𝟓 𝟏𝟑,𝟓 
 
2 
 
𝐀𝟐 =
𝟑𝐦.𝟑𝐦
𝟐 = 𝟒,𝟓 
1 1 4,5 4,5 
 
3 
 
𝑨𝟑 = −𝟏𝒎.𝟐𝒎 = −𝟐 −𝟐,𝟓 2 𝟓 −𝟒 
 𝑨 = 𝟏𝟏,𝟓 𝒙 .𝐀 = −𝟒 𝒚 .𝐀 = 𝟏𝟒 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
 −2,5 −1,5 0 1,0 
1,5 
 
1,0 
2,0 
	 10	
E então: 
 
 
𝐱 =
𝐱.𝐀
𝐀
=
−𝟒
𝟏𝟏,𝟓
⟹ 𝐱 = −𝟎,𝟑𝟒𝟖 𝐦 
 
𝐲 =
𝐲.𝐀
𝐀
=
𝟏𝟒
𝟏𝟏,𝟓
⟹ 𝐱 = 𝟏,𝟐𝟐 𝐦 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
		−𝟎,𝟏𝟑𝟖 x(m)
 
1,22	Centróide