444-principios-de-eletricidade-e-magnetismo-unopar

Prévia do material em texto

U
N
O
PA
R
PRIN
C
ÍPIO
S D
E ELETRIC
ID
A
D
E E M
A
G
N
ETISM
O
Princípios de 
eletricidade e 
magnetismo
Cibele Abreu Makluf
Princípios de eletricidade 
e magnetismo
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Makluf, Cibele Abreu 
 
 ISBN 978-85-8482-463-2
 1. Eletricidade. 2. Magnetismo. 3. Eletromagnetismo. I. 
 Título.
 CDD 537 
Makluf. – Londrina : Editora e Distribuidora Educacional 
S.A., 2016.
 184 p.
M235p Princípios de eletricidade e magnetismo / Cibele Abreu 
© 2016 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer 
modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo 
de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e 
Distribuidora Educacional S.A.
Presidente
Rodrigo Galindo
Vice-Presidente Acadêmico de Graduação
Mário Ghio Júnior
Conselho Acadêmico 
Dieter S. S. Paiva
Camila Cardoso Rotella
Emanuel Santana
Alberto S. Santana
Regina Cláudia da Silva Fiorin
Cristiane Lisandra Danna
Danielly Nunes Andrade Noé
Parecerista
André Luiz Delvas Froes
Francine de Mendonça Fábrega
Thatiane Cristina dos Santos 
Editoração
Emanuel Santana
Cristiane Lisandra Danna
André Augusto de Andrade Ramos
Adilson Braga Fontes
Diogo Ribeiro Garcia
eGTB Editora
2016
Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza
CEP: 86041-100 — Londrina — PR
e-mail: editora.educacional@kroton.com.br
Homepage: http://www.kroton.com.br/
Sumário
Unidade 1 | Princípios de eletricidade
Seção 1 - Eletrostática
1.1 | Carga elétrica
1.2 | Condutores e isolantes
1.3 | Princípios da eletrostática
1.4 | Lei de Coulomb
1.5 | Campo elétrico
1.6 | Linhas de força de um campo elétrico
1.7 | Potencial elétrico
1.8 | Energia potencial elétrica
Seção 2 - Correntes elétricas em movimento
2.1 | Corrente elétrica
2.2 | Tensão elétrica e resistência
2.3 | Lei de Ohm
2.4 | Associação de resistores
2.5 | Instrumentos básicos de medidas elétricas
 2.5.1 | Amperímetro
 2.5.2 | Voltímetro
 2.5.3 | Ohmímetro
 2.5.4 | Wattímetro
Unidade 2 | Campo magnético e forças magnéticas
Seção 1 - Introdução ao magnetismo
1.1 | Ímã e suas características
1.2 | Materiais magnéticos e não magnéticos
1.3 | Lei de Coulomb para o magnetismo
1.4 | Campo magnético e linhas de campo magnético
1.5 | Fluxo magnético
1.6 | Densidade de campo magnético
1.7 | Permeabilidade magnética
1.8 | Relutância magnética
9
13
13
16
17
18
21
25
27
29
35
35
41
47
48
53
53
53
53
54
59
63
66
70
71
72
73
74
75
77
Seção 2 - Movimento de partículas carregadas em um campo magnético
2.1 | Movimento de partículas carregadas em um campo magnético
2.2 | Força magnética
2.3 | Potencial de um polo magnético
2.4 | Potencial de um dipolo magnético
2.5 | O efeito Hall
Unidade 3 | Fontes de campo magnético
Seção 1 - Campo eletromagnético
1.1 | Campo magnético criado por correntes
1.2 | Lei de Ampère
 1.2.1 | Aplicações da lei de Ampère
Seção 2 - Força magnética sobre correntes
2.1 | Forças magnéticas sobre correntes
2.2 | Força magnética entre dois fios condutores paralelos
2.3 | Torque sobre uma espira percorrida por corrente – momento magnético
Seção 3 - Fontes de campo magnético
3.1 | Fontes do campo magnético
 3.1.1 | Campo magnético gerado em torno de um condutor retilíneo
3.2 | Campo magnético gerado no centro de uma espira circular
3.3 | Campo magnético gerado no centro de uma bobina longa ou solenoide
3.4 | Campo magnético gerado por um toroide
Unidade 4 | Indução eletromagnética
Seção 1 - Indução eletromagnética
1.1 | Introdução
1.2 | O fluxo magnético
 1.2.1 | Variação do fluxo magnético
1.3 | Lei de Faraday
1.4 | Lei de Lenz
Seção 2 - Força eletromotriz
2 | Força eletromotriz produzida pelo movimento
2.1 | Campos elétricos induzidos
2.2 | Força magnetizante (campo magnético indutor)
2.3 | Força magnetomotriz
2.4 | Correntes de Foucault
81
81
84
90
91
92
99
103
105
110
111
119
119
123
125
131
131
131
133
135
138
145
149
149
151
153
155
157
165
165
168
170
172
173
2.5 | Circuitos magnéticos
 2.5.1 | Campo magnético
 2.5.2 | Indutor
 2.5.3 | Perdas em materiais ferromagnéticos
175
175
178
178
Apresentação
Caro aluno, o estudo dos princípios de eletricidade e magnetismo é de 
extrema importância e proporcionou o desenvolvimento em diversas áreas, 
sobretudo as ligadas à Engenharia. Os fenômenos elétricos e magnéticos estão 
ligados diretamente aos acontecimentos de nosso cotidiano. Podemos citar o 
acendimento de uma lâmpada, os relâmpagos, o funcionamento de um motor 
elétrico, de um celular, entre outros. Nada disso seria possível sem os estudos 
realizados nessa área.
Sabendo da importância que a eletricidade e o magnetismo têm para o ser 
humano, vamos entender esses conceitos e descobrir de que forma ocorrem os 
fenômenos elétricos e magnéticos. 
O estudo da eletricidade pode ser dividido em: eletrostática, eletrodinâmica e 
eletromagnetismo, sendo que, ao longo das unidades, você conhecerá cada um 
desses conceitos. 
Na unidade 1, você verá as os conceitos da eletrostática, que é o estudo das 
cargas elétricas em repouso, em que analisaremos as características e interações 
entre as cargas elétricas, a força e o campo elétrico, e o potencial elétrico. Em 
um segundo momento, serão apresentados os conceitos de Eletrostática, que 
é o estudo das cargas em movimento, e serão abordadas as características das 
correntes elétricas, as resistências elétricas e suas associações possíveis, além dos 
instrumentos utilizados nas medições elétricas.
 Na unidade 2, iremos nos dedicar ao magnetismo, que é o estudo de fenômenos 
magnéticos. Serão apresentados os conceitos sobre os ímãs, o campo magnético 
e suas linhas de campo, a força magnética, bem como as características do 
potencial dos polos e dipolos magnéticos e a interpretação do efeito Hall.
Na unidade 3, você verá o estudo do eletromagnetismo, que trata das interações 
entre os campos elétricos e magnéticos. Será apresentado o campo magnético 
criado através de correntes elétricas e a força magnética a que as correntes estarão 
submetidas nesse campo, as leis que regem esse estudo, que são as leis de Biot-
Savart e de Ampére, bem como diferentes fontes que são capazes de gerar um 
campo magnético.
Na unidade 4, serão apresentados outros importantes conceitos ligados 
ao eletromagnetismo, como o estudo da indução eletromagnética, do fluxo 
magnético e os fundamentos das Leis de Faraday e Lenz.
 Caro aluno, inicia-se aqui seu processo de aprendizado em Princípios de 
Eletricidade e Magnetismo. É muito importante a sua dedicação nesse momento 
para que possamos, juntos, realizar essa tarefa com sucesso. Trace planos e metas 
para aperfeiçoar o seu processo de aprendizagem, procurando sempre aprofundar 
seus estudos através de outras fontes, a fim de estender seu conhecimento sobre 
o tema proposto.
Bom trabalho!
Unidade 1
PrinCíPios de eletriCidAde
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta unidade, você será levado a estudar e compreender:
•	 Os	principais	conceitos	sobre	a	eletricidade.
•	 A	eletricidade	estática.
•	 As	propriedades	da	força	e	do	campo	elétrico.
•	 A	importância	do	potencial	elétrico.
•	 Os	conceitos	teóricos	e	características	das	correntes	elétricas.
•	 Os	fundamentos	da	Lei	de	Ohm.
•	 De	que	forma	os	resistores	podem	ser	associados.
Cibele Abreu Makluf
•	 Cargas	elétricas.
•	 Forças	e	campos	elétricos.
•	 Potencial	elétrico.
•	 Corrente	elétrica.
Seção 1 | Eletrostática
Seção 2 | Correntes elétricas em movimento
Princípios de eletricidade
U1
10
•	 Resistência	elétrica.
•	 Lei	de	Ohm.
•	 Associação	de	resistores.
•	 Instrumentos	de	medidas	elétricas.
Princípios de eletricidade
U1
11
Introduçãoà unidade
Caro aluno, você terá, nesta unidade, uma introdução aos conceitos de 
eletricidade. Sabemos da importância que a eletricidade tem para o ser humano e 
quanto desenvolvimento ela proporcionou. Por isso, vamos juntos entender esses 
conceitos e descobrir de que forma ocorrem vários fenômenos elétricos que 
fazem parte do nosso cotidiano, como os relâmpagos.
Vamos iniciar nosso estudo vendo conceitos de eletrostática, como as 
características das cargas elétricas, as forças e o campo elétrico, bem como o 
potencial elétrico.
Na sequência, vamos iniciar o estudo de eletrodinâmica, em que veremos 
alguns conceitos e características das correntes elétricas, as particularidades das 
resistências elétricas, descobrindo qual sua função dentro de um circuito e como 
elas podem ser associadas, bem como alguns instrumentos principais utilizados 
para as medições elétricas. 
Você é essencial nesse processo de aprendizagem.
Bom trabalho!
Princípios de eletricidade
U1
12
Princípios de eletricidade
U1
13
Seção 1
Eletrostática
Caro aluno, esta seção apresenta as três partículas elementares que formam o 
átomo. Você verá de que maneira os corpos são carregados eletricamente e como 
calcular uma carga elétrica. 
Falaremos sobre as cargas elétricas e as linhas de campo que elas carregam. 
Definiremos	 e	 explicaremos	 os	 campos	 elétricos	 e	 o	 surgimento	 das	 forças	
elétricas, além das particularidades e como calcular o potencial elétrico para um 
conjunto de cargas.
Todos esses conceitos são importantes para a compreensão de muitos 
fenômenos da eletricidade e do magnetismo, como o funcionamento de motores 
elétricos, o surgimento de um relâmpago, entre outros.
Vamos lá?
 Bons estudos!
introdução à eletricidade
A eletricidade estuda os fenômenos ligados às cargas elétricas. Podemos citar:
•	 Eletrostática: temos o estudo das cargas em repouso, bem como dos 
processos de eletrização, das forças eletrostáticas, do campo elétrico e do 
potencial elétrico.
•	 Eletrodinâmica: temos o estudo das cargas em movimento, bem como da 
corrente elétrica e dos elementos dos circuitos.
1.1 Carga elétrica
A matéria é constituída por átomos, sendo o núcleo atômico composto por:
Princípios de eletricidade
U1
14
•	 Prótons	(partículas	de	carga	positiva).
•	 Nêutrons	(partículas	sem	carga).
Ao redor do núcleo, na eletrosfera, temos:
•	 Elétrons	(partículas	de	carga	negativa).	
	Foi	comprovado	de	maneira	experimental	que	um	próton	afasta	outro	próton,	
um	 elétron	 afasta	 outro	 elétron	 e	 prótons	 e	 elétrons	 se	 atraem	 mutuamente,	
ou seja, cargas de mesmo sinal se afastam e de sinais opostos se atraem. Esse 
fenômeno é conhecido como princípio da atração e repulsão e é mostrado na 
Figura 1.1. Os nêutrons são eletricamente neutros, e não são afetados por cargas 
elétricas, não as atraem ou repelem.
A	carga	elétrica	é	representada	por	Q	ou	q	e	sua	unidade	é	o	Coulomb	(C).	Esse	
valor	é	determinado	através	da	carga	elétrica	elementar	(e)	onde:
e = 1.6 x 10-19 
A	carga	elementar	nada	mais	é	que	uma	quantidade	mínima	(quantum)	de	carga,	
sendo	essa	indivisível.	As	cargas	dos	prótons	e	elétrons	são	idênticas	e	opostas,	tal	
que:
Q
p
 = +e = 1,6 x 10-19C
Q
e
 = -e = -1,6 x 10-19C
 A Tabela 1.1 mostra resumidamente as propriedades das três partículas 
elementares:
Figura 1.1 | Princípio da atração e repulsão
Fonte: O autor.
Princípios de eletricidade
U1
15
De	forma	geral,	os	corpos	são	neutros	eletricamente,	pois	possuem	números	
iguais	de	prótons	e	elétrons	em	sua	composição.	Lembre-se,	a	carga	de	elétrons	e	
dos	prótons	é	igual	em	módulo,	mas	oposta	no	sinal.	Se	os	números	de	prótons	e	
elétrons são diferentes, dizemos que o corpo está eletrizado, conforme mostramos 
a seguir.
Tabela 1.1 | Propriedades das partículas elementares
Fonte: O autor.
Partícula Massa (grama) Massa relativa Carga elétrica 
(Coulomb)
Carga relativa
Próton (+) 1,7 x 10-24 1 1,6 x 10-19C +1
Nêutron (0) 1,7 x 10-24 1 0 0
Elétron (-) 9,1 x 10-28 1/1836 -1,6 x 10-19C -1
Um átomo eletricamente neutro poderia ganhar ou perder prótons 
e elétrons, e tornar-se carregado. entretanto, os prótons estão 
fortemente ligados aos nêutrons no interior do núcleo atômico 
devido às forças nucleares. Para modificar o conteúdo de prótons em 
um átomo, você precisa atuar de maneira muito violenta sobre ele 
(por exemplo, por fissão nuclear, como em uma bomba atômica, ou 
pela fusão nuclear, como ocorre no interior do sol). Portanto, todos 
os fenômenos elétricos do dia a dia são causados por elétrons, pois 
são eles que têm mobilidade, na parte mais exterior do átomo, em 
uma região conhecida como eletrosfera. 
 n
p
 = n
e
: corpo eletricamente neutro.
 n
p
 > n
e
: corpo eletricamente positivo.
 n
p
 < n
e
: corpo eletricamente negativo.
Princípios de eletricidade
U1
16
A quantidade de carga de um corpo é quantizada, o que significa que ela sempre 
aparece em “pacotes inteiros”, múltiplo da carga das partículas presentes em seu 
interior.	Levando	em	consideração	que	o	elétron	contribui	com	(–e)	na	carga	total	
e	o	próton	contribui	com	(+e)	na	carga	total,	dessa	forma,	temos:
Q	=	(n
p
 - n
e
)	.	e
Onde n
p 
é	o	número	de	prótons	e	n
e 
o número de elétrons.
Q > 0, o corpo está eletrizado positivamente.
Q < 0, o corpo está eletrizado negativamente.
Q = 0, o corpo está eletricamente neutro.
1.2 Condutores e isolantes
A facilidade com que os elétrons se movimentam dentro de um material o 
classifica como um bom ou mau condutor. Nos bons condutores, existe uma 
facilidade para a movimentação dessas cargas; podemos citar como exemplos os 
metais, o corpo humano e a água da torneira. Já nos maus condutores, também 
conhecidos como isolantes, não há movimentação de cargas; é o caso do plástico, 
da borracha e da água destilada. Fique atento: um isolante pode ser forçado a se 
tornar um condutor se for submetido a um potencial elétrico muito elevado.
em um dia seco, antes de entrar em casa, você esfrega os pés 
em um tapete de fibras, sendo este um mau condutor. o atrito 
entre os seus pés e as fibras do tapete gera correntes elétricas 
que ficam armazenadas no seu corpo. Quando você toca na 
maçaneta metálica para abrir a porta, o que acontece?
Princípios de eletricidade
U1
17
1.3 Princípios da eletrostática
A eletrostática possui dois princípios:
a) Atração e repulsão: as cargas com sinais iguais se afastam e as de sinais 
opostos se atraem.
b) Conservação de cargas elétricas: Em um sistema eletricamente isolado, a 
soma algébrica das cargas positivas e negativas é constante. A Figura 1.2 mostra 
esse princípio.
A pesquisa científica permite a criação de materiais com propriedades muito 
úteis. Os semicondutores, por exemplo, possuem propriedades intermediárias 
entre os condutores e os isolantes. Um exemplo, muito útil na indústria de 
equipamentos eletrônicos, são as ligas de silício e germânio. Temos também os 
materiais considerados supercondutores ou condutores perfeitos, pelos quais as 
cargas se movimentam sem nenhuma resistência. Por exemplo, o mercúrio torna-
se supercondutor a temperaturas extremamente baixas, cerca de -269 °C.
liMA, Hugo. Condutores e isolantes. Universidade de santa 
Cecília. disponível em: <https://drive.google.com/file/
d/0B4dWrkB2lh2soedlnHhPrFVfWUk/view?usp=sharing>. Acesso 
em: 03 mar. 2016.
Figura 1.2 | Princípio da conservação de cargas
Fonte: O autor.
Princípios de eletricidade
U1
18
Após	a	interação	dos	corpos	A	e	B,	a	carga	total	final	e	a	carga	total	inicial	são	
iguais.
1.4 lei de Coulomb
De	 acordo	 com	 experimentos	 realizados	 por	 Coulomb,	 considerando	 duas	
cargas e quaisquer, conclui-se:
Propriedade 1:	 o	 módulo	 da	 força	 elétrica	 é	 proporcional	 ao	 inverso	 do	
quadrado da distância entre as cargas.
Propriedade 2: trata-se de uma força central, ou seja, a direção da força coincide 
com a direção da linha que une as duas cargas.
Dessa	forma,	podemos	escrever	que	a	força	sobre	q
1
 exercida por q
2
 é:
F
21= 
Kq
1
q
2
(r
21
)2
E a força elétrica sobre q
2
 exercida por q
1
 é:
F
12
 = 
Kq
1
q
2
(r
12
)2
Onde r
12
=r
21
 representa a distância entre as cargas q
1
 e q
2
. Se as cargas tiverem 
mesmo sinal, a força será de repulsão, e, se forem de sinais opostos, a força será de 
atração. O fator K da equação é chamado de constante de proporcionalidade e seu 
valor depende do meio onde as cargas estão inseridas. No caso do vácuo, temos:
K = 
1
4πε
0
Onde ε
0 
= 8,85 . 10-12C2/N . m2 é a permissividade do vácuo.
Forma vetorial da lei de Coulomb
A força, como um vetor, possui propriedades direcionais, como é mostrado na 
Figura 1.3.
Princípios de eletricidade
U1
19
Figura 1.3 | Sentido das forças eletrostáticas
Figura 1.4 | Vetores de força para duas cargas com mesmo sinal
Fonte: Adaptado de Filho (2012).
Fonte: Adaptado de Filho (2012).
Na	Figura	1.3,	temos	a	orientação	vetorial	entre	duas	cargas	elétricas	para	(a)	
cargas	positivas,	(b)	cargas	negativas	e	(c)	para	cargas	opostas,	sendo	que	a	força	
de atração ou repulsão atua ao longo da linha que as une.
Vamos observar agora a Figura 1.4, na qual os vetores das forças entre duas 
cargas de mesmo sinal são demonstrados.
O	módulo	da	força	eletrostática,	em	termos	vetoriais,	pode	ser	representado	
por:
F
12
 = r
12
 ^ 
→ Kq
1
q
2
 
(r
12
)2
Sendo que F12 
→
 a força exercida de q
1
 sobre q
2
, r
12
	representa	o	módulo	do
vetor r12 
→
 e r12 
^
 indica o vetor unitário do sentido de r12 
→
:
r
12
r
12
 =
→ r
12
 
→
Fonte: Adaptado de Filho (2012).
Princípios de eletricidade
U1
20
Já a força exercida de q
2
 sobre q
1 
é F21 
→
, que pode ser expressa por: 
F
21
 = r
21
 ^ 
→ Kq
1
q
2
 
(r
21
)2
Como foi dito, r
21
^
 possui sentido oposto a r12
^
, o que determina que:
F
12
 = - F
21
 
→ →
exemplo de aplicação
Considere duas partículas de mesmo sinal, como mostra a figura a seguir, sendo 
q
1
 = 5µC e q
2
 = 7µC. Elas estão separadas a uma distância d = 4 m e se encontram 
no	vácuo.	Qual	o	módulo	das	forças	de	interação	entre	essas	partículas?	Dado	que	
K, no vácuo, vale K = 9 . 109 N . m2 / C2 .
Resolução:
F= = 
Kq
1
q
2
 9 . 109 x 5-6 x 7 . 10-6
(r)2 (4)2
F = 19,7 . 10-3 N
GUssoW, Milton. Eletricidade básica. 2. ed. são Paulo: Bookman, 
2007.
Princípios de eletricidade
U1
21
Caro aluno, a videoaula a seguir traz os conceitos da lei de Coulomb, 
abrangendo esses conceitos de forma interativa e interessante. o vídeo 
está disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=449UV7-
r0Gc>. Acesso em: 17 fev. 2016.
1.5 Campo elétrico
As cargas elétricas criam em sua volta uma região de perturbação eletrostática, 
que é bem descrita em termos de um campo elétrico. Ele está presente no espaço 
e influencia qualquer carga q nessa região, causando uma força F.
A força F pode ser de atração ou repulsão, dependendo do sinal de Q.
O campo elétrico é representado, em cada ponto do espaço, por um vetor 
simbolizado por E 
→
.	 Em	 um	 determinado	 ponto,	 seu	 módulo	 E	 é	 chamado	
intensidade de campo elétrico.
Observando a Figura 1.5, a carga Q forma um campo elétrico no espaço à sua 
volta. É inserida uma carga de prova q, sendo que nesse exemplo ela foi colocada 
em cima do ponto P1. Observa-se o surgimento de uma força elétrica que atua 
Figura 1.5 | Campo elétrico
Fonte: Flores (2012).
Princípios de eletricidade
U1
22
sobre	 essa	 carga	 de	 prova	 q.	 Dessa	 forma,	 podemos	 definir	 a	 intensidade	 do	
campo elétrico nesse ponto P1:
E = 
→
q
F
→
As unidades geralmente utilizadas são:
•	 F:	N	(Newton).
•	 q:	C	(Coulomb).
•	 E:	N/C	(Newton/Coulomb).
Em relação à direção e sentido do vetor campo elétrico em um determinado 
ponto, esses são dados pela direção e sentido da força que atua em uma carga de 
prova	positiva	colocada	nesse	ponto.	Isso	é	demonstrado	na	Figura	1.6.
Figura 1.6 | Vetor campo elétrico para carga positiva
Fonte: Adaptado de Flores (2012).Fonte: Adaptado de Flores (2012).
Analisando	a	Figura	1.6,	vamos	focar	primeiramente	no	ponto	P1.	 Imaginemos	
que uma carga de prova positiva foi colocada nesse ponto. Pelo que já foi estudado, 
sabemos	que	essa	carga	vai	ser	repelida	com	uma	força	para	a	direita.	Da	mesma	
forma, nesse ponto, o vetor campo elétrico seria também horizontal e no sentido da 
direita. No caso do ponto P2, temos, portanto, um vetor vertical e voltado para cima, 
já que ele teria uma força de repulsão também nessa direção e sentido, mantendo 
no caso a carga de prova positiva. Para os pontos P3 e P4, seguimos a mesma linha, 
e os sentidos e direções dos seus vetores podem ser vistos na Figura 1.6.
Princípios de eletricidade
U1
23
Vamos dar outro exemplo, sendo que a carga Q agora está eletrizada 
negativamente,	como	pode	ser	observado	na	Figura	1.7.	 Iniciaremos	novamente	
pelo ponto P1. Nesse caso, é observado que ela seria atraída por Q com força para 
esquerda;	sendo	assim,	o	vetor	campo	elétrico	será	também	para	esquerda.	Dessa	
mesma forma, nos pontos P2, P3 e P4, teremos os vetores campo elétrico.
Perceba que o campo elétrico pode ser definido independentemente da carga 
de prova. A carga de prova nos permite verificar a existência do campo elétrico, 
observando a força resultante, como mostra a Figura 1.8.
A intensidade do campo elétrico será calculada por:
A constante K, como já foi visto anteriormente, é a constante de 
proporcionalidade e seu valor depende do meio em que as cargas estão inseridas. 
Figura 1.7 | Vetor campo elétrico para carga negativa
Figura 1.8 | Campo elétrico em função da carga Q
Fonte: Adaptado de Flores (2012).
Fonte: Adaptado de Firmino (2010).
Fonte: Adaptado de Flores (2012).
Fonte: Adaptado de Firmino (2010).
E = 
d2
K |Q|
Princípios de eletricidade
U1
24
A Figura 1.9 traz os sentidos dos campos elétricos.
Figura 1.9 | Sentido do campo elétrico
Fonte: Firmino (2010).
A Figura 1.9 pode ser resumida em: 
Intensidade: E = 
|q|
F
Direção: mesma de F
→
(na reta que une as cargas).
Sentido: q>0 é o mesmo da Força.
 q<0 é contrário ao da Força.
exemplo de aplicação
Uma carga de prova de q = 6µC está sujeita a uma força de intensidade F = 12 
N.	Determinar	o	módulo	do	campo	elétrico.
Princípios de eletricidade
U1
25
Resolução:
1.6 linhas de força de um campo elétrico
As linhas de força são linhas imaginárias construídas em torno de uma carga 
elétrica ou de uma distribuição de cargas, com a finalidade de demonstrar o 
comportamento do campo elétrico em certa região do espaço. Podemos definir 
também como a linha que é tangente, em um dado ponto, ao vetor campo elétrico 
nesse mesmo ponto. A Figura 1.10 mostra alguns exemplos de linhas de força. 
Podemos observar na figura que as linhas produzidas por somente uma carga 
puntiforme são retas que passam por essa carga; já para mais de uma carga, as 
linhas de campo são curvas.
Podemos observar a Figura 1.11, em que os vetores campo elétrico 
correspondem,	 respectivamente,	 aos	pontos	A,	B,	C	e	D,	 sendo	que	a	 linha	de	
força que passa por esses pontos é tangente aos vetores de campo.
E = = 2 . 106 N/C = 
|q| 6 . 10-6
F 12
Figura 1.10 | Linhas de campos elétricos 
Fonte: Filho (2012).
Princípios de eletricidade
U1
26
Figura 1.11 | Vetores do campo elétrico
Fonte: Firmino (2010).
As diferentes linhas de força não se cruzam em nenhum ponto. A intensidade 
do campo elétrico é proporcional à densidade das linhas, isto é, quanto mais 
próximas	as	linhas	se	encontram,	mais	intenso	é	o	campo.	
A definição de linha de força é puramente geométrica, mas algumas conclusões 
podem ser destacadas:
•	 Conhecendo uma dada linha de força, por exemplo, pode-se saber a direção 
do	campo	elétrico	 em	qualquer	 ponto	 sobre	 ela	 (direção	da	 tangente	 à	
linha	de	força	nesse	ponto).
•	 Vamos imaginar que uma carga q foi adicionada em um ponto A de uma 
linha de força, como pode ser visto na Figura 1.12. Temos que o campo 
elétrico é tangente à linha de força nesse ponto. A força que atuana carga 
q pode ser calculada e tem a mesma direção do campo elétrico. Assim, 
podemos concluir que também é tangente à linha de força no ponto A. 
Dessa	forma,	em	cada	ponto,	a	tangente	à	linha	nos	mostrará	a	direção	da	
força que irá atuar em uma determinada carga, naquele ponto.
sabemos que as linhas de força nunca se cruzam, mas você 
consegue imaginar como os estudiosos chegaram a essa 
conclusão? o que aconteceria se elas se cruzassem?
Princípios de eletricidade
U1
27
Figura 1.12 | Vetor campo elétrico e força
Fonte: Firmino (2010).
GUssoW, Milton. Eletricidade básica. 2. ed. são Paulo: Bookman, 
2007.
1.7 Potencial elétrico
Relembrando	 os	 conceitos	 de	mecânica,	 quando	 temos	 uma	 força	 paralela	
ao movimento de um corpo, gerando deslocamento, podemos dizer, então, que 
essa força realizou trabalho sobre o corpo. Esse trabalho pode ser calculado pela 
expressão:
W = F . d . cos θ
onde θ é ângulo formado entre a direção do deslocamento do corpo e a força 
aplicada. Sendo:
	 W:	Trabalho	[J	(Joules)].
	 F:	Força	que	atua	no	corpo	[N	(Newton)].
	 d:	Deslocamento	[m	(metros)].
Agora, iremos pensar em conceitos de eletrostática. Vamos imaginar que uma 
carga de prova q positiva está sendo deslocada, como mostra a Figura 1.13, do 
ponto A para o ponto B, com uma velocidade constante.
Princípios de eletricidade
U1
28
Figura 1.13 | Deslocamento de uma carga no campo elétrico 
Fonte: O autor.Fonte: O autor.
O trabalho que a força F teve de realizar para mover a carga do ponto A para 
o ponto B é medido. A diferença de potencial entre esses dois pontos pode ser 
expressa pela equação seguinte. É importante lembrar que o potencial elétrico é 
a capacidade dos corpos eletrizados realizarem trabalho, ou seja, se atraírem ou 
repelirem conforme as forças geradas em um campo elétrico.
V
A
 - V
B
 =
q
W
AB
Ou
∆V=
q
W
AB
Onde:
•	 V
A
 é o potencial elétrico no ponto A.
•	 V
B
 é o potencial elétrico no ponto B.
•	 W
AB 
é o trabalho para deslocar a carga do ponto A para o B.
•	 q é a carga.
• ∆V é a variação de potencial.
A unidade é Joules/Coulomb=Volts
Normalmente, é considerado que o ponto A está no infinito, o que determina 
que	o	seu	potencial	seja	nulo.	Dessa	forma,	a	equação	pode	ser	reescrita:	
Princípios de eletricidade
U1
29
É importante salientar que o que é relevante no cálculo de trabalho é a diferença 
de potencial, e não o valor absoluto de cada um dos potenciais. 
Outro ponto importantíssimo é a possibilidade de calcular o potencial gerado 
por cargas pontuais diretamente. Temos:
V=
r
K . q
Para mais de uma carga pontual, o potencial será a soma dos potenciais gerados 
por	cada	carga	(princípio	da	superposição):
V= Σ V
i
 = Σ
r
i
K . q
i
n n
i = 1 i = 1
Onde r
i 
representa a distância entre cada carga q
i 
e o ponto onde se calcula o 
potencial elétrico.
exemplo de aplicação
Sendo uma partícula onde q= 2 . 10-5 se deslocando em um campo elétrico do 
ponto A para o B. O trabalho realizado pela força elétrica é de W = 4 . 10-3J. Qual 
será a diferença de potencial entre os dois pontos?
Resolução:
∆V= = 200V=
q 2 . 10-5
W 4 . 10-3
1.8 energia potencial elétrica
Temos a realização de trabalho também pelas forças elétricas, pois há energia 
potencial armazenada em um campo elétrico. O potencial elétrico é definido 
como a capacidade que um corpo carregado possui para atrair ou afastar outras 
cargas elétricas, ou seja, sua capacidade de realizar trabalho. 
Um campo elétrico criado pelo corpo carregado com carga Q e a inserção de 
uma	carga	q	sofrendo	a	ação	de	uma	força	F.	Dessa	forma,	F		realiza	trabalho	sobre	
a partícula, sendo que ela adquire energia. São as grandezas força e deslocamento 
V=
q
W
Princípios de eletricidade
U1
30
da partícula que irão determinar o trabalho, sendo que essas dependem da 
posição da partícula no campo elétrico. A energia potencial elétrica E
p
 adquirida 
vai depender do ponto P onde ela estiver. 
É conhecido que em cada ponto P do campo a força é expressa por F = q . E
→ →
, 
sendo que a força é diretamente proporcional à carga q, logo o trabalho W e a energia 
potencial da partícula E
p 
também	serão	proporcionais	a	q.	Dessa	forma,	podemos	
definir o potencial elétrico em um dado ponto P por:
V=
q
E
p
onde	V	é	o	potencial	elétrico	(unidade	J/C=Volts),	E
p
 é a energia potencial e q 
é a carga.
Adotamos os mesmos referenciais utilizados no potencial para a energia 
potencial elétrica. Sendo assim, considerando um campo elétrico gerado por uma 
carga Q, o potencial elétrico por convenção é:
exemplo de aplicação
Sendo uma carga de q=-6µC colocada em um determinado ponto P onde o 
potencial elétrico é V = 2 . 104 V, determine sua energia potencial elétrica.
V=
q
E
p → E
p
 = V . q = 2 . 104 x	(-6	.	10-6)	=	-0,12J
•	 No infinito, ele é nulo.
•	 Para Q positivo, o potencial é crescente e positivo.
•	 Para Q negativo, o potencial é crescente e negativo.
Princípios de eletricidade
U1
31
GUssoW, Milton. Eletricidade básica. 2. ed. são Paulo: Bookman, 
2007.
1. Considerando um corpo condutor de eletricidade, que 
possui prótons e elétrons, responda às questões a seguir:
a) Ele estará eletrizado de forma negativa ou positiva?
b) Qual o valor da carga elétrica?
2. Podemos afirmar, em relação à natureza dos corpos 
extensos, em situações típicas de nosso dia a dia, carregados 
ou neutros eletricamente, que:
I - Sendo um corpo carregado, podemos dizer que em seu 
interior o número de elétrons é diferente do número de 
prótons.
II - Um corpo carregado possui cargas elétricas.
III - Um corpo neutro não possui cargas elétricas.
IV - Não é possível carregar eletricamente dois corpos de 
materiais distintos por meio do atrito.
V - Um corpo neutro possui prótons e elétrons em mesmo 
número.
Estão corretas as afirmações:
a) I, II e III.
b) I, II e V.
c) I e IV.
d) II, IV e V.
e) II, III e V.
Princípios de eletricidade
U1
32
3. Temos duas cargas no vácuo, Q
A
=-4µC e Q
B
=9µC, 
conforme mostra a figura:
4. Vamos considerar o triângulo da figura, onde duas cargas 
Q
1
 = 3µC Q
2
=5µC estão localizadas nos vértices A e B do 
triângulo equilátero. Qual seria o potencial elétrico em C?
5. A figura a seguir representa uma superfície equipotencial. 
Determine qual o trabalho para transportar uma carga 
q=5µC do ponto A para o B.
Considere K = 9 . 109 N . m2/C2. Qual o campo resultante 
em P?
Princípios de eletricidade
U1
33
Princípios de eletricidade
U1
34
Princípios de eletricidade
U1
35
Seção 2
Correntes elétricas em movimento
Caro aluno, esta seção apresenta a corrente elétrica e a densidade de corrente. 
Iremos	nos	aprofundar	no	assunto,	calculando	sua	intensidade	e	interpretando	o	
sentido dessas correntes em relação ao campo elétrico.
Em seguida, estudaremos os circuitos elétricos e uma de suas principais 
componentes, a resistência elétrica. Além disso, serão apresentados quais parâmetros 
determinam esse tipo de elemento e que tipos de associação podem ser feitos com 
os	resistores.	Discutiremos	a	lei	de	Ohm,	e	finalizando	a	seção,	veremos	os	principais	
instrumentos utilizados para a medição das grandezas elétricas.
Vamos lá?
Bons estudos!
2.1 Corrente elétrica
Um gerador elétrico é um equipamento que transforma energia mecânica em 
energia elétrica. Basicamente, ele tem como função manter uma diferença de 
potencial	elétrico	(ddp)	entre	os	terminais	ou	polos	A	e	B,	dado	por	V
A
 - V
B
. Temos 
também o exemplo das pilhas, que 
são muito usadas como fonte de 
energia elétrica e também para 
manter a diferença de potencial, e, 
portanto, o movimento dos elétrons. 
A Figura 1.14 traz uma pilha ligada a 
um condutor.
Figura 1.14 | Pilha ligada a um condutor
Fonte: O autor.
Princípios de eletricidade
U1
36
O maior potencial é considerado o polo positivo, e o menor é o polo negativo. 
Dizemos	 que	 um	 condutor	 elétrico	 se	 encontra	 em	 equilíbrio	 eletrostático	
quando os elétrons se encontram livres e se movimentamde forma desordenada. 
Quando ele é ligado aos polos do gerador, passa a estar sujeito a um campo 
elétrico E
→
, no sentido do polo positivo para o negativo, como mostra a Figura 1.15. 
Nela, os elétrons estão sob a ação de uma força elétrica, F
e
, onde F
e 
= q . E
→ →
Essa força tem sentido contrário a E
→
, já que os elétrons estão carregados 
negativamente. Ela faz com que os elétrons adquiram um movimento ordenado, 
no sentido e direção de F
e
→
.
Corrente elétrica é o movimento ordenado das cargas elétricas.
1. intensidade da corrente
Sendo um condutor ligado a um gerador, os elétrons atravessam uma seção 
transversal de um condutor em um dado ∆t	 (intervalo	de	tempo),	como	mostra	
a	Figura	1.16.	Dessa	forma,	o	valor	absoluto	da	carga	elétrica	que	passa	por	essa	
seção transversal pode ser expresso por:
∆q = n . e
Onde
•	 n	é	o	número	de	elétrons;
•	 e	a	carga	elementar,	1.6	.	10-19C.
Figura 1.15 | Condutor ligado ao gerador
Fonte: Adaptado de Franco (2013).
Figura 1.15 | Condutor ligado ao gerador
Fonte: Adaptado de Franco (2013).
Princípios de eletricidade
U1
37
A intensidade média de corrente elétrica é definida como:
∆q
∆tI	=	
Unidade:	Ampère	(A)
A	corrente	pode	ser	contínua	ou	alternada.	Dizemos	que	ela	é	contínua	quando	
o	sentido	do	campo	elétrico	(portanto,	o	sinal	da	diferença	de	potencial)	não	muda	
com	o	tempo.	Para	a	corrente	alternada,	temos	uma	mudança	periódica	no	sentido	
do campo elétrico. Perceba que os polos do gerador devem, nesse caso, inverter 
periodicamente	seu	sinal.	O	polo	positivo,	após	algum	tempo,	torna-se	negativo.	A	
Figura 1.17 traz exemplos dessas duas correntes de intensidade constante, sendo o 
primeiro gráfico para a corrente contínua e o segundo para a alternada.
Podemos observar, no primeiro gráfico, de corrente contínua, que a diferença 
de potencial nos polos do gerador não inverte. Os elétrons movem-se sempre no 
mesmo sentido, em média. No segundo gráfico, o fluxo de elétrons dentro do 
fio ocorre de maneira a ter troca do sentido da corrente várias vezes, portanto os 
elétrons fazem um movimento de vaivém no fio.
Figura 1.16 | Elétrons atravessando uma seção transversal de um condutor
Fonte: O autor.
Figura 1.17 | Gráfico de corrente contínua e alternada
Fonte: Queiroz (2014).
Princípios de eletricidade
U1
38
o movimento de vaivém da corrente alternada traz grandes benefícios, 
por isso essa corrente foi adotada em nossa rede elétrica. Com ela 
é mais fácil transmitir voltagens altas, a uma maior distância e com 
menores perdas. nesse sentido, a corrente alternada se torna bem 
mais eficaz na transmissão que a corrente contínua. 
A frequência com que a corrente faz essa troca depende de país para 
país, mas no Brasil um ciclo ocorre a 60 Hz; sendo assim, a troca de 
sentido ocorre a aproximadamente 120 vezes por segundo.
A corrente alternada permite a utilização em circuitos de alguns componentes 
que não permitiriam a movimentação contínua dos elétrons. São exemplos os 
capacitores e os transformadores. 
2. sentido da corrente
Dentro	de	um	condutor	metálico,	o	sentido	dos	elétrons	será	contrário	ao	do	
campo elétrico, sendo F
e
 = q . E
→ →
,	e	q	carga	negativa	(elétrons).
Devemos	ficar	atentos,	pois,	por	convenção,	determinou-se	que	o	sentido	da	
grandeza física corrente elétrica deve ser igual ao do campo elétrico dentro de um 
condutor, e nessas condições ela é chamada de corrente convencional. Observe 
a Figura 1.18.
Figura 1.18 | Sentido convencional
Fonte: Adaptado de Franco (2013).
Princípios de eletricidade
U1
39
exemplo de aplicação
Em uma seção reta de um fio, a cada 2 segundos passam 5 . 1018 elétrons. Qual 
é a corrente elétrica que percorre o fio?
∆q
∆tI	=	
∆q= n . e = 5 . 1018 x 1,6 . 10-19 = 8 . 10-1C
8 . 10-1
2
I	=	 4 . 10-1 = 400mA
3. densidade de corrente
Vamos considerar um campo elétrico uniforme E
→
, contendo uma carga de 
prova q. Como vimos anteriormente, essa carga sofre a ação de uma força, como 
mostrado na Figura 1.19, definida por:
F = q . E
→ →
Unidade:	Newton	(N)
Você se deparou com uma vítima que está ligada a um 
condutor de energia e está recebendo uma descarga elétrica. 
Como você procederia para tentar salvá-la? 
Figura 1.19 | Força em uma carga submetida a campo elétrico
Fonte: Adaptado de Junior e Aquino (2010).
Princípios de eletricidade
U1
40
De	acordo	com	a	lei	de	Newton,	sendo	essa	carga	livre,	ela	irá	se	movimentar,	
sofrendo uma aceleração determinada por:
F
→
a =
→
m
Unidade de aceleração: m/s2
Sendo m a massa da partícula carregada em kg.
Uma partícula submetida a uma força elétrica constante por tempo suficiente 
atingiria	grandes	velocidades,	próximas	à	velocidade	da	luz.	Entretanto,	um	meio	
condutor é muito diferente de um vácuo perfeito. Em meios líquidos, gasosos ou 
sólidos,	 temos	colisões	constantes	entre	as	partículas	e,	como	consequência,	é	
transferida uma parcela de sua energia. 
Sendo o campo E
→
 constante, em meio homogêneo, essas colisões restringem 
o movimento da carga a uma velocidade média constante, que podemos chamar 
velocidade de deriva ou de deslocamento, representada por V
d
→
. Ela possui a 
mesma direção do campo elétrico.
 V = µ . E
→ →
Onde µ é a constante de mobilidade.
Vamos observar agora uma seção reta uniforme S apresentada na Figura 1.20.
Suponha um meio condutor com uma densidade volumétrica ρ de elétrons 
livres, movendo-se com uma velocidade de deriva Vd
→
. Em um tempo ∆t, os elétrons 
movem-se a uma distância ∆L = Vd . ∆t. Assim, em um volume S . ∆L teremos uma 
carga ∆q = ρS∆L atravessando a seção transversal S, e a corrente elétrica pode, 
então, ser definida por:
Figura 1.20 | Cargas em uma seção de um condutor
Fonte: Junior (2010).
I	=	 = = ρ . S . V
d
 . ρ . S .∆q ∆L
∆t ∆t
Princípios de eletricidade
U1
41
2.2 tensão elétrica e resistência
Observando a Figura 1.21, vamos supor um aparelho elétrico colocado entre os 
pontos A e B, sendo que esses possuem um potencial V
A
 e V
B
 e a ddp entre os dois 
pontos é ∆V = V
B
 -
 
V
A
.
Unidades: 
•	 I:	corrente	elétrica	(A).
•	 Vd
→
:	velocidade	de	deriva	(m/s).
• ρ:	densidade	volumétrica	de	carga	(C/m3).
•	 S:	área	da	seção	atravessada	(m2).
• ∆L:	comprimento	da	seção	(m).
Considerando a equação de corrente, vista anteriormente, vamos dividi-la pela 
área da seção S, obtendo dessa forma a densidade de corrente J:
I
S
J = 
Unidade: A/m2
GUssoW, Milton. Eletricidade básica. 2. ed. são Paulo: Bookman, 
2007.
Figura 1.21 | Circuito elétrico
Fonte: Adaptado de Franco (2013).Fonte: Adaptado de Franco (2013).
Princípios de eletricidade
U1
42
Essa diferença de potencial também é chamada de tensão elétrica. Vimos 
anteriormente que, quando é estabelecida uma tensão nos terminais de um 
condutor, o campo elétrico provoca uma corrente elétrica, através do movimento 
ordenado dos elétrons. O choque desses elétrons com os átomos do condutor 
produz calor. Certos materiais condutores oferecem maior resistência a essa 
passagem da corrente elétrica do que outros. A essa propriedade damos o nome 
de resistência elétrica.
Podemos dizer, em outros termos, que uma parte da energia do gerador é 
transformada	 em	 energia	 elétrica	 (energia	 da	 movimentação	 dos	 elétrons	 da	
corrente)	e	outra	parte	em	energia	térmica,	que	chamamos	de	efeito	Joule.
1. resistores
Alguns fatores como material, dimensão do condutor e temperatura determinam 
a resistência elétrica. 
•	 Unidade de resistência elétrica: ohm.
•	 símbolo: Ω.
No caso de alguns condutores utilizados nas redes elétricas, transformadores e 
motores, buscam-se os menores valores de resistência, reduzindo, assim, a perda 
de energia. Nos circuitos eletrônicos, a corrente é limitada através de resistores. Os 
resistores são um elemento físico, em geral fios ou filmes metálicos. 
Embora na maioria dos casos estejamos interessados na menor resistência 
possível, transmitindo a energia elétrica com o mínimo de perdas, em algumas 
situações nosso maiorinteresse é na geração de calor, como no caso dos 
aquecedores. São exemplos fogões, chuveiros e secadores elétricos, entre muitos 
outros. Os elementos utilizados para esse fim são os resistores, comercialmente 
denominados de resistências. 
•	 Simbologia
Em um circuito, os símbolos que representam um resistor são:
Quanto maior a resistência elétrica, maior será a dificuldade 
para a passagem de corrente.
Princípios de eletricidade
U1
43
2. resistividade
A resistência elétrica dos materiais condutores depende de alguns parâmetros:
•	 Comprimento	do	fio	(L).
•	 Área	da	seção	transversal	(A).
•	 Temperatura.
•	 Material.
Figura 1.22 | Simbologia dos resistores
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
AFonso, Antonio; Filoni, enio. Eletrônica: circuitos elétricos. 
instituto Paula souza. disponível em: <https://drive.google.com/
file/d/0B4dWrkB2lh2sWkZQoVFwdnntMke/view?usp=sharing>. 
Acesso em: 04 mar. 2016.
Figura 1.23 | Condutor
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
Princípios de eletricidade
U1
44
A. influência do material: resistividade
A resistividade ρ é propriedade de cada material. A Tabela 1.2 mostra a 
resistividade de alguns materiais.
Unidade: Ω . m
B. influência do comprimento
Sendo apenas o comprimento variado, como mostra a Figura 1.24, conclui-se 
que:
A resistência elétrica é diretamente proporcional ao comprimento do condutor.
C. influência da área da seção transversal do condutor 
De	acordo	com	a	Figura	1.25,	diferentes	diâmetros	de	fios	foram	utilizados	e	
pode-se concluir que:
Tabela 1.2 | Valores de resistividade para diferentes materiais
Material ρ (Ω . m)
Prata 1,6 . 10-8
Cobre 1,7 . 10-8
Ouro 2,3 . 10-8
Alumínio 2,8 . 10-8
Tungstênio 4,9 . 10-8
Platina 10,8 . 10-8
Ferro 11,0 . 10-8
Nicromo 110 . 10-8
Figura 1.24 | Variação de comprimento do condutor
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
Princípios de eletricidade
U1
45
d. Cálculo da resistência
Dessa	forma,	pode-se	concluir	que:
A resistência elétrica de um condutor é diretamente proporcional ao 
comprimento e à resistividade, e inversamente proporcional à área da seção 
transversal.
Sendo: R	=	ρ . L 
A
Onde:
•	 R	é	a	resistência	elétrica	(Ω).
•							ρ	é	a	resistividade	elétrica	do	material	(Ω	.	m).
•	 L	é	o	comprimento	do	condutor	(m).
•	 A	é	a	área	da	seção	transversal	do	condutor	(m2).
exemplo de aplicação
A resistência de um chuveiro elétrico é feita de um fio de níquel enrolado. Calcule 
o	comprimento	do	fio	do	resistor	desse	chuveiro;	sabendo	que	a	resistência	R	=	
7,8 Ω, a área da seção transversal do fio vale 1 . 10-6 m2 e a resistividade do níquel 
é de ρ = 7,8 . 10-8 Ω . m
A resistência elétrica é inversamente proporcional à área da seção transversal do 
condutor.
Figura 1.25 | Área da seção transversal
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
Princípios de eletricidade
U1
46
Resolução:
R	=	ρ . → 7,8 = 7,8 . 10-8 x L
A
L
1 . 10-6
L = 100 m
e. influência da temperatura sobre a resistência elétrica
O aumento da temperatura, para grande parte das substâncias, ocasiona uma 
maior resistência elétrica, já que ocorre uma maior movimentação das partículas 
e, portanto, maior número de colisões entre essas partículas e os elétrons livres no 
interior do condutor.
Existem exceções, como o grafite, em que o aumento do número de elétrons 
livres predomina sobre o grau de agitação das moléculas, fazendo com que a 
resistividade diminua com o aumento da temperatura. 
R	=	R
0
	(1+α∆θ)
Onde: 
•	 R	é	a	resistência	elétrica	nova	na	temperatura	final	θ
f
. 
•	 R0	é	a	resistência	elétrica	nova	na	temperatura	final	θ
0
.
•	 ∆θ = θ
f
 - θ
0
,	é	a	variação	de	temperatura	(°C).
•	 α é	o	coeficiente	de	temperatura	do	material	(°C-1).	
A Tabela 1.2 traz alguns valores de α:
Tabela 1.2 | Valores e temperaturas
Material α(°C-1)
Platina 3,0 . 10-3
Alumínio 3,2 . 10-3
Cobre 3,9 . 10-3
Prata 4,0 . 10-3
Tungstênio 4,5 . 10-3
Ferro 5,0 . 10-3
Nicromo 0,2 . 10-3
Princípios de eletricidade
U1
47
Com a variação da temperatura, a resistividade pode ser equacionada por:
ρ = ρ
0
	(1+α∆θ)
Onde:
•	 ρ é a resistividade do material na temperatura final θ
f
.
•	 ρ
0 
é a resistividade do material na temperatura inicial θ
0
.
2.3 lei de ohm
Vamos analisar a Figura 1.26, na qual temos um resistor, a uma temperatura 
constante, que passa uma corrente de intensidade i, com uma ddp entre seus 
terminais.
Ao mudar a diferença de potencial de forma sucessiva para U
1
, U
2
, ..., temos, 
respectivamente,	as	correntes	I
1
,	I
2
,.... Em um resistor bem comportado, que siga 
a lei de Ohm, verifica-se que o quociente das diferenças de potencial por suas 
respectivas correntes gera uma característica constante do condutor, como 
mostrado a seguir.
U
= = =	cte	=	R
U
1
U
2
I I
1
I
2
A 1º lei de Ohm relaciona a diferença de potencial com a passagem da corrente 
elétrica, ou seja:
U
R	= I
Unidade:	Ohm	(Ω)
Figura 1.26 | Circuito
Fonte: Adaptado de Franco (2013).Fonte: Adaptado de Franco (2013).
Princípios de eletricidade
U1
48
exemplos de aplicação
Ao ser estabelecida uma ddp de 50V entre os terminais de um resistor, 
estabelece-se uma corrente elétrica de 5A. Qual a resistência entre os terminais?
Resolução:
U 50
R	= = 10 Ω=I 5
2.4 Associação de resistores
Circuitos elétricos utilizados na indústria, em geral, são muito complexos, 
associando muitos componentes. Entretanto, existem maneiras de simplificar 
a análise, por meio de regras, como as que apresentaremos a seguir. Podemos 
sempre definir uma resistência equivalente, substituindo um conjunto de 
resistências	associadas.	A	resistência	equivalente	(R
eq
)	transmitirá	a	mesma	corrente	
que o sistema substituído, quando submetida a uma mesma ddp. 
A. Associação em série
Nesse tipo de associação, temos a mesma corrente passando por todos os 
resistores do circuito. Entretanto, cada resistência é submetida a uma parcela 
diferente da ddp total entre os pontos A e B. Observe a Figura 1.27.
Nesse tipo de associação, a resistência equivalente é a soma das resistências do 
circuito, como representado a seguir:
R
eq
	=	R
AB
	=	R
1
	+	R
2
	+	...	+	R
N
exemplo de aplicação
A diferença de potencial entre dois resistores é de 220V, como mostra a figura 
a seguir. Qual é a diferença de potencial entre os extremos do resistor de 10Ω?
Figura 1.27 | Circuito em série
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
Princípios de eletricidade
U1
49
Resolução:
R
eq
	=	R
1
	+	R
2
 = 100 + 10 = 110Ω
U
tot
220
I	= = 2A=R
eq
110
U
1
	=	R
1
	.	I	=	10	.	2	=	20V
B. Associação em paralelo
Nesse tipo de associação, temos a mesma tensão para todos os resistores, uma 
vez que todas estão conectadas diretamente aos pontos A e B. Por outro lado, por 
cada resistência passará uma corrente elétrica distinta. Observe a Figura 1.28.
O inverso da resistência é equivalente, nesse caso, à soma dos inversos das 
resistências	do	circuito.	Dessa	forma:
Figura 1.28 | Circuito em paralelo
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
1 1 1 1 1 1
= = + + + ... +R
eq
R
AB
R
1
R
2
R
3
R
N
Princípios de eletricidade
U1
50
exemplo de aplicação
Considere o circuito da figura, no qual temos três resistores em paralelo. 
Determine	o	valor	da	resistência	do	resistor	R	e	da	corrente	i.
Resolução:
A diferença de potencial é a mesma para todos os resistores:
 U = 20 . 0,3 = 6V
Determinando	a	corrente:
 U = 6 = 15 . i → i = 0,4A
Determinando	a	corrente	que	passa	pelo	 resistor	R,	conhecemos	a	corrente	
total que se divide entre os três resistores.
I
tot
	=	0,8	=	0,4	+	0,3	+	I'
I'	=	0,1A
Determinando	o	Resistor	R:
U	=	R	.	I	→	6	=	R	.	0,1	→	R	=	60Ω
•	 Casos	particulares	de	associações	em	paralelo
⇒ Duas	resistências	diferentes:
 Nesse caso, temos duas resistências diferentes em paralelo, como mostra a 
Figura 1.29.
Figura 1.29 | Circuito em paralelo
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
R
15Ω
20Ω
i
0,3A 0,8A
Princípios de eletricidade
U1
51
⇒ Resistores	de	mesmo	valor:
Observe	a	Figura	1.30,	em	que	todos	os	resistores	têm	o	mesmo	valor	R
0.
A resistência equivalente é determinada por:
Percebam que, para n resistores de mesmo valor, teríamos:
Temos, então:
1 1 1 1 R
2
	+	R
1= = + =R
eq
R
AB
R
1
R
2
R
2
R
1
1 1 1 1 1 + 1 + 1 3
= + + = =R
eq
R
0
R
0
R
0
R
0
R
0
1 R
2
R
1=R
eq
R
2 + 
R
1
Figura 1.30 | Circuito em paralelo com resistores iguais
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
R
0R
eq
=
3
R
0R
eq
=
n
C. Associações mistas
Como	o	próprio	nome	diz,	temos	associações	paralelas	e	em	série	combinadas.	
A simplificação para se encontrar a resistência equivalente deve acontecer 
parcialmente em cada associação. O método a ser utilizado consiste na nomeação 
de	nós	e	terminais	da	associação	com	letras.	
Princípios de eletricidade
U1
52
nós são pontos do circuito onde a corrente se divide.
terminais são pontos do circuito entre os quais se quer determinar a 
r
eq
.
exemplo de aplicação
Encontrar a resistência equivalente do circuito a seguir:
Resolução:	
Inicialmente,	 devemos	 encontrar	 o	 valor	 da	 associação	 de	 resistores	 em	
paralelo:
1 1 1
= +R
eq
20 30
Fazendo o mínimo múltiplo comum, temos:
1 1 603 + 2 5
= = = = 12Ω→ →R
eq
R
eqR
eq
560 60
Temos, agora:
Princípios de eletricidade
U1
53
Duas	resistências	em	série:
R
eq
 = 12 + 50 = 62 Ω
2.5 instrumentos básicos de medidas elétricas
Os instrumentos de medidas elétricas medem algumas grandezas vistas, como 
a corrente, a tensão, a potência e a energia. Veremos agora os instrumentos 
responsáveis por essas medidas:
2.5.1 Amperímetro
Esse instrumento é usado para a medição das correntes elétricas. Ele deve estar 
ligado em série com o circuito ou elemento que se deseja medir, sendo que o 
circuito	deve	ser	aberto	nesse	local.	Devido	a	isso,	para	garantir	que	haja	precisão	
nas medições, a resistência interna dos amperímetros deve ser bem pequena 
comparada com os circuitos. 
Esse tipo de instrumento pode medir correntes contínuas ou alternadas, 
podendo possuir, de acordo com a qualidade do instrumento, várias escalas, para 
uma maior precisão de medidas.
2.5.2 Voltímetro
Esse instrumento é utilizado para medir a tensão elétrica de um circuito. A 
exibição	desse	valor	pode	se	dar	através	de	ponteiro	móvel	ou	um	mostrador	digital.	
As diferenças de tensão entre pontos em um circuito devem ser medidas 
colocando o voltímetro em paralelo com a seção do circuito entre os dois pontos. 
Para garantir a precisão nas medidas, a resistência interna desse instrumento deve 
ser muito grande em comparação com as resistências do circuito. 
Eles podem também medir tensões contínuas ou alternadas, dependendo da 
qualidade do instrumento.
2.5.3 ohmímetro
Esse instrumento mede a resistência elétrica. Os ohmímetros precisos possuem 
um circuito eletrônico responsável por fornecer uma corrente constante através 
da resistência e outro circuito que mede a tensão V; sendo assim, a resistência é 
Princípios de eletricidade
U1
54
calculada	através	da	equação	R=V/I.
Para altas precisões, os ohmímetros com as características citadas acima não 
são adequados. São utilizados, portanto, um ohmímetro de precisão que possui 
quatro terminais, os chamados contatos de Kelvin. 
2.5.4 Wattímetro 
Esse instrumento é usado para medir a potência elétrica. Ele possui quatro 
ponteiras, que devem ser ligadas em série para a medição de corrente e em 
paralelo para medir a tensão do equipamento ou circuito.
Mensagem Final ao Aluno
Caro aluno, vimos nesta unidade importantes conceitos sobre a eletrostática 
e a eletrodinâmica. Você agora é capaz de entender vários aspectos sobre a 
eletricidade. É importante que você busque mais informações sobre o assunto 
para desenvolver um entendimento mais amplo. 
Lembre-se: você é a principal ferramenta do seu conhecimento!
Bons estudos!
BelCHior, Fernando. Medidas Elétricas. Universidade Federal 
de itajubá, 2014. disponível em: <https://drive.google.com/file/
d/0B4dWrkB2lh2soXVvceJwee5laXM/view?usp=sharing>. Acesso 
em: 25 fev. 2016.
senAi. Medidas Elétricas. 1996. disponível em: <https://drive.
google.com/f i le/d/0B4dWrkB2lh2sbFVtt0xwcddwbHM/
view?usp=sharing>. Acesso em: 25 fev. 2016.
Princípios de eletricidade
U1
55
1. Sendo um condutor metálico percorrido por uma 
corrente de 5A: 
a) Qual é a quantidade de partículas que irá atravessar a 
seção transversal desse condutor?
b) Que tipo de partícula se move no condutor?
2. Em circuitos elétricos, é comum a utilização de fusíveis, 
um fio é projetado para fundir, abrindo o circuito, se a 
corrente ultrapassar certo valor. Suponha que o material 
a ser usado em um fusível é fundido quando a densidade 
de corrente ultrapassar 440 A/cm2. Que diâmetro do fio 
cilíndrico deve ser usado para fazer um fusível que limite a 
corrente em 0,5A? 
3. Se o comprimento e o diâmetro de um resistor forem 
duplicados, o que acontece com sua resistência?
a) É dividida por 4.
b) É dividida por 2.
c) A mantém.
d) É multiplicada por 2.
e) É multiplicado por 4.
4. Considere um resistor de fio metálico, que tem uma 
resistência de 60Ω. Foi observado que, ao cortar 3 m do fio, 
essa resistência passou a ser de 15Ω. Qual o comprimento 
total desse fio?
5. Dado o circuito a seguir:
Princípios de eletricidade
U1
56
Determine:
a) A resistência equivalente da associação.
b) A intensidade da corrente elétrica em cada resistor.
c) A intensidade da corrente elétrica total.
U1
57Princípios de eletricidade
Referências
AFONSO, Antonio; FILONI, Enio. Eletrônica: circuitos elétricos. Instituto Paula 
Souza, 2011.
FILHO, José. Carga elétrica e a lei de coulomb. Ceará: Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia, 2012.
FIRMINO, Sandro. Campo elétrico. Rio Grande do Sul: Pontifícia Universidade 
Católica do Rio Grande do Sul, 2010.
FLORES, Carlos. Campo elétrico e potencial elétrico. Rio Grande do Sul: 
Universidade Federal de Santa Maria, 2012.
FRANCO, Fabio. Corrente elétrica. Rio Grande do Norte: Instituto Federal de 
Educação, Ciências e Tecnologia do Rio Grande do Norte, 2012a.
FRANCO, Fabio. Resistência elétrica. Instituto Federal de Educação, Ciências e 
Tecnologia do Rio Grande do Norte, 2012b.
GRAÇA, Cláudio. Eletromagnetismo. Notas de aula do Departamento de Física 
CCNE. Universidade Federal de Santa Maria, 2012. 
HAROLD, Marcos. Carga e Matéria. Salvador: Organização Educacional Farias 
Brito, 2013.
JUNIOR, Naasson; AQUINO, Claudio. Corrente elétrica. Universidade Estadual 
Paulista, 2010.
KREBS, Paulo. A carga elétrica e a lei de Coulomb. Rio Grande do Sul: 
Universidade Federal de Pelotas, 2012.
LIMA, Marcos. Potencial elétrico. São Paulo: Universidade de São Paulo, 2012.
QUEIROZ, Alan. Corrente contínua e alternada. Rio Janeiro: Universidade Federal 
do Rio de Janeiro, 2014.
TELES, Lara. Notas de aula de eletricidade e magnetismo. Instituto de 
Tecnologia da Aeronáutica (ITA), 2008.
WEULER, A. et al. Potencial elétrico. Pará: Universidade do Estado do Pará, 2008.
Unidade 2
CAMPo MAGnétiCo e 
ForçAs MAGnétiCAs 
Cibele Abreu Makluf
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta unidade, você terá a oportunidade de estudar e compreender:
•	 As	propriedades	dos	ímãs	e	como	eles	interagem	entre	si.
•	 As	 características	 das	 linhas	 de	 um	 campo	 magnético	 e	 fluxo	
magnético.
•	 O	movimento	de	partículas	carregadas	em	um	campo	magnético	e	
no fluxo magnético.
•	 Como	analisar	a	força	magnética.
•	 Como	analisar	o	potencial	de	um	polo	e	um	dipolo	magnético.
•	 Magnetismo.
•	 Linhas	de	campo	magnético	e	fluxo	magnético.
•	 Parâmetros	de	magnetismo.
Seção 1 | Introdução ao magnetismo
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
60
•	 Movimento	de	partículas	carregadas	no	campo	magnético.
•	 Força	magnética.
•	 Potencial	de	um	polo	magnético.
•	 Potencial	de	um	dipolo	magnético.
•	 Efeito	Hall.
Seção 2 | Movimento de partículas carregadas em um 
campo magnético
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
61
Introdução à unidade
Caro aluno, nesta unidade faremos uma introdução aos conceitosdo magnetismo. 
Ele é peça fundamental no desenvolvimento de diversas áreas, sobretudo ligadas à 
Engenharia. Sabemos que ímãs são peças fundamentais em muitos equipamentos 
elétricos e eletrônicos. Além disso, os conhecimentos de magnetismo são 
importantes para a fabricação de motores elétricos, celulares, laptops, entre outros 
aparatos que utilizamos diariamente. 
 Vamos começar nosso estudo vendo os conceitos iniciais de magnetismo, 
como a formação dos campos magnéticos, as linhas de campo formadas, entre 
outras características.
Na sequência, vamos entender como as partículas carregadas se movimentam 
dentro de um campo, devido à força magnética à qual são submetidas, além das 
características do potencial do polo e dipolo magnéticos.
Você é essencial nesse processo de aprendizagem.
Bom trabalho!
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
62
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
63
Seção 1
Introdução ao magnetismo
Caro	 aluno,	 esta	 seção	 apresenta	 os	 conceitos	 introdutórios	 sobre	 o	
magnetismo, explicando as principais características dos ímãs. Veremos como são 
formadas as linhas de campo magnético e suas particularidades. 
Serão apresentados também os conceitos da densidade de campo, fluxo 
magnético, permeabilidade magnética e relutância, mostrando a importância 
desses conceitos no campo magnético. 
Todos esses conceitos são relevantes para a compreensão dos fenômenos que 
envolvem o magnetismo.
Vamos lá?
 Bons estudos!
introdução ao magnetismo
Possivelmente, você já manuseou um ímã e pôde perceber nele algumas 
propriedades características desse objeto, como a atração de objetos de ferro ou 
de uma liga metálica que tenha esse material na sua composição. Outro fato ocorre 
quando aproximamos dois ímãs e percebemos que, dependendo de como estão 
posicionados, eles podem se atrair ou se repelir.
Você sabia que o planeta Terra tem em sua volta um campo magnético? É ele 
que causa o movimento das bússolas, que são muito úteis para ajudar quem pratica 
caminhadas na natureza ou navegação a encontrar seu caminho. Ele também é 
responsável por nos proteger das partículas de alta energia do Sol. Sem a existência 
do campo magnético, não haveria vida na Terra da forma que conhecemos. 
Veremos, ao longo da unidade, como ele se manifesta.
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
64
O campo magnético na Terra
o planeta terra se comporta como se fosse um grande ímã. o seu 
campo magnético é representado pelas linhas de indução que saem 
do polo norte magnético e entram pelo polo sul magnético, como 
mostra a Figura 2.1.
Analisando a Figura 2.1, podemos ver que as linhas de indução saem 
de uma região próxima ao polo sul geográfico da terra e entram 
em outra próxima ao polo norte geográfico. de acordo com isso, 
podemos entender por que a agulha imantada de uma bússola aponta 
para o norte terrestre, já que lá se encontra o polo sul do campo 
magnético da terra e, como sabemos, os polos magnéticos de tipos 
diferentes são atraídos.
em relação à bússola, ela não aponta exatamente para o norte da 
terra, mas sim para uma região próxima, já que os polos geográficos 
e magnéticos encontram-se um pouco desalinhados. esse desvio 
entre o norte geográfico e a orientação da bússola é chamado de 
declinação magnética, como mostra a Figura 2.2.
Figura 2.1 | Campo magnético terrestre
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
65
o que se acredita sobre a existência do campo magnético terrestre 
é que ele seja gerado por uma corrente de magma carregada 
eletricamente, presente no interior da terra. em breve, estudaremos a 
maneira como correntes elétricas podem gerar campos magnéticos, 
então será possível compreender o fato com maior detalhamento.
Figura 2.2 | Declinação magnética
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
o que aconteceria se o planeta terra perdesse seu campo 
magnético?
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
66
1.1 ímã e suas características 
Os ímãs podem ser naturais ou artificiais e são encontrados em diversos formatos. 
Geralmente,	são	utilizados	em	aplicações	tecnológicas	como	motores	e	geradores	
eletromagnéticos,	dínamos	de	automóveis,	disco	rígido	de	computadores.	Vamos	
ver algumas de suas propriedades.
A. Polos Magnéticos
Ao aproximarmos um ímã de limalhas de ferro, é observado que essas são atraídas 
de forma mais intensa pelas extremidades do ímã, como mostra a Figura 2.3. As 
extremidades de um ímã são chamadas de polos magnéticos.
B. orientação norte-sul
Ao suspender um ímã de maneira que ele possa girar livremente, veremos que ele 
naturalmente se alinha com uma direção especial. Essa direção é aproximadamente 
o	eixo	norte-sul	da	Terra.	Dessa	 forma,	convencionou-se	que	a	extremidade	que	
aponta	para	o	norte	geográfico	seria	o	polo	norte	do	ímã	(denotado	N),	e,	para	o	sul,	
o	polo	sul	do	ímã	(denotado	S).	Observe	a	Figura	2.4,	na	qual	uma	agulha	magnética	
se alinha com o campo magnético da Terra.
Figura 2.3 | Limalhas de ferro em contato com um ímã
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
67
C. Atração e repulsão
Quando aproximamos dois ímãs, como eles interagem? Eles podem se atrair ou 
se repelir. Se colocarmos os dois ímãs para girar livremente, descobrindo e marcando 
qual o polo norte e o polo sul em cada um deles, e depois aproximarmos os polos, 
notaremos que:
•	 Caso	os	polos	magnéticos	sejam	do	mesmo	tipo,	irão	se	repelir.
•	 Caso	sejam	diferentes,	irão	se	atrair.	
A força magnética entre esses polos, de atração ou repulsão, irá variar de forma 
parecida com a Lei de Coulomb para cargas elétricas, vista na unidade anterior, ou 
seja, a força varia com o inverso do quadrado da distância entre eles.
Figura 2.4 | Agulha magnética se alinhando com o campo magnético da Terra
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Figura 2.5 | Forças de repulsão e atração nos ímãs
(continua)
Sul 
geográfico
Norte 
geográfico
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
68
Fonte: O autor.
d. inseparabilidade dos polos
Ao partir um ímã, cada pedaço será individualmente um novo ímã, com seu 
próprio	polo	norte	e	sul.	Ao	tomar	qualquer	dos	pedaços	e	cortar	ao	meio,	teremos	
dois outros ímãs, de forma que seu tamanho muda, mas suas características 
continuam as mesmas. Observe a Figura 2.6.
Dessa	forma,	não	importa	quantas	vezes	você	divida	um	ímã,	sempre	haverá	o	
surgimento dos dois polos.
Não	existe	na	natureza	um	monopolo	magnético	(um	único	polo	separado).	
Figura 2.6 | Divisão de um ímã
Fonte: O autor.
exemplos de aplicação
Observe a figura a seguir:
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
69
Um ímã se aproxima de uma bola de metal. Podemos afirmar, em relação à bola:
a)	Ela	será	atraída	pelo	polo	norte	e	repelida	pelo	polo	sul.
b)	Ela	será	atraída	pelo	polo	sul	e	repelida	pelo	polo	norte.
c)	Ela	será	atraída	por	qualquer	um	dos	polos	do	ímã.
d)	Ela	será	repelida	por	qualquer	um	dos	polos	do	ímã.	
e)	Ela	será	repelida	pela	parte	mediana	do	ímã.
Resolução:
A alternativa correta é a letra C. 
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
Artmed, 2006. 
os ímãs são utilizados em diversas aplicações tecnológicas, como 
nos discos rígidos mecânicos de computadores (Hds), onde um disco 
metálico é recoberto por uma fina camada de material magnético 
(ímãs microscópicos). Para efetuar a gravação de uma determinada 
trilha, um pequeno eletroímã, que faz parte da cabeça de leitura e 
gravação do Hd, aplica seu campo magnético sobre as moléculas de 
óxido de ferro da superfície de gravação, causando o alinhamento das 
partículas com esse campo magnético. dependendo da orientação 
dos ímãs, temos um bit 0 ou um bit 1, que representam a menor 
quantidade de informação que pode ser armazenada ou transmitida.
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
70
1.2 Materiaismagnéticos e não magnéticos
Os materiais magnéticos são aqueles que reagem fortemente a campos 
magnéticos. Além de serem atraídos por ímãs, eles podem ser transformados em 
ímãs por um processo conhecido como magnetização. Os materiais magnéticos 
possuem uma característica magnética em seus átomos ou moléculas, de 
maneira que cada átomo é um pequenino ímã. Entretanto, em geral, os átomos 
estão distribuídos desorganizadamente no corpo, com seus polos norte e sul 
desalinhados, de maneira que o corpo composto não age como um ímã. Mas 
existem diversos processos que permitem a formação de um ímã a partir de um 
material magnético, como veremos a seguir. Os materiais que não possuem tais 
características internas, ou que reagem muito pouco a campos magnéticos, são 
chamados não magnéticos, como o alumínio ou os plásticos.
Uma forma simples de magnetizar alguns tipos de materiais é através da 
aplicação de um campo magnético forte o suficiente para alinhar as estruturas 
magnéticas	internas	do	próprio	material.	O	ferro	é	um	exemplo	típico	de	material	
em que isso funciona.
existem diferentes tipos de magnetismo na natureza, sendo esses 
classificados de acordo com a intensidade e a diferença de seus 
efeitos. são: ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo. 
o fenômeno conhecido como ferromagnetismo é a capacidade que 
certos materiais, como o ferro, níquel ou o cobalto, têm de reagir 
a um campo magnético. é baseado na atração desses materiais por 
ímãs ou na persistência da magnetização na ausência do campo 
magnético, criando os ímãs permanentes. Quando um material 
ferromagnético é exposto a um campo magnético, seus dipolos 
atômicos serão alinhados ao campo, criando um ímã. Para que ocorra 
a sua desmagnetização, um campo magnético na direção oposta 
pode ser aplicado, ou ainda através da elevação da temperatura. Um 
exemplo de ferromagnetismo são os ímãs de geladeira.
o paramagnetismo pode ser visto nos materiais que necessitam estar 
sob a ação de um campo magnético para a magnetização. Caso o 
campo magnético seja retirado, o material irá se desmagnetizar. 
Quando magnetizados, são considerados ímãs de baixa intensidade.
todos os materiais existentes podem ser considerados materiais 
diamagnéticos. esse fenômeno consiste na repulsão que esse material 
sofre quando é exposto a um campo magnético, já que apresenta um 
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
71
1.3 lei de Coulomb para o magnetismo
Como vimos na unidade anterior, Coulomb, através dos seus experimentos, 
contribuiu muito para a eletrostática. Para o magnetismo, também realizou alguns 
experimentos com ímãs. Ele colocou dois ímãs separados a certa distância, como 
pode ser visto na Figura 2.7.
Medindo a força entre eles, Coulomb chegou à seguinte equação: 
F = 
hm
1
m
2
(r
12
)2
momento dipolar magnético com sentido oposto ao campo. essa é 
uma propriedade de difícil percepção, sendo praticamente impossível 
percebê-la caso o material possua uma das outras propriedades citadas.
sAMBAQUi, Ana; MArQUes, luis. Apostila de eletromagnetismo. 
instituto Federal de educação, Ciências e tecnologia de santa 
Catarina. disponível em: <https://drive.google.com/file/
d/0B4dWrkB2lh2snHU2M2tCszFnWWM/view?usp=sharing>. 
Acesso em: 28 fev. 2016.
Figura 2.7 | Experimentos de Coulomb
Fonte: Freitas e Zancan (2011).
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
72
Onde:
•	 F:	força	magnética	[Newton	(N)].
•	 h:	constante	magnética	do	meio.
•	 m:	massa	magnética	[Weber	(Wb)].
•	 d:	distância	entre	os	corpos	[metros	(m)].
Assim como em eletrostática introduzimos o conceito de carga 
elétrica para podermos medir a força entre corpos eletrizados, em 
magnetismo é possível introduzir o conceito de massa magnética 
para que possamos medir a força entre corpos magnetizados.
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
Artmed, 2006. 
1.4 Campo magnético e linhas de campo magnético
O campo magnético atua na região em torno de um ímã, onde há a ação 
das forças magnéticas de repulsão ou de atração. As chamadas linhas de campo 
magnético são a representação visual desse campo. Essas linhas ainda podem ser 
chamadas de linhas de indução magnética ou linhas de fluxo magnético. Elas são 
linhas imaginárias, saindo do polo norte e entrando no polo sul, como pode ser 
visto na Figura 2.8.
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
73
As linhas de campo magnético nunca se cruzam, sendo sempre linhas fechadas 
que saem do polo norte e entram no polo sul do ímã.
É observado que, quando há uma maior concentração de linhas, significa que 
mais intenso será o campo elétrico na região, portanto, mais intensa será a força 
magnética gerada. As linhas saem ou entram de forma perpendicular à superfície 
do polo e são tangentes ao campo magnético, como mostra a Figura 2.9.
1.5 Fluxo magnético
O fluxo magnético φ se refere à quantidade de linhas de campo que entram na 
área de uma superfície. A Figura 2.10 mostra o fluxo magnético.
Figura 2.8 | Linhas de campo magnético
Figura 2.9 | Linhas de campo magnético tangentes ao campo
Fonte: Dias (2011).
Fonte: O autor.
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
74
Fonte: O autor.
Figura 2.10 | Fluxo magnético
Unidade: Weber: 1 Weber = 1Wb - 1T . m2 = 1 
kg . m2
s2 . A
1.6 densidade de campo magnético
A relação entre o fluxo magnético e a área de uma superfície, sendo essa 
perpendicular à direção do fluxo, é chamada de densidade de campo magnético 
(B).	Essa	grandeza	ainda	pode	ser	chamada	de	densidade	de	fluxo	magnético,	ou	
simplesmente campo magnético. 
B = 
φ
A
Onde: 
•	 B:	densidade	de	fluxo	magnético	[Tesla	(T)].
•	 φ:	fluxo	magnético	[Weber	(Wb)].
•	 A:	área	da	seção	perpendicular	ao	fluxo	(m2).
•	 1T	=	1Wb/m2.
Vamos analisar a Figura 2.11. Podemos observar que a direção do vetor B
→
 é 
sempre tangente às linhas em qualquer ponto, sendo que o vetor da densidade de 
campo magnético será o mesmo das linhas de campo.
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
75
Onde houver um maior número de linhas de campo, teremos uma grande 
densidade de campo; caso as linhas estejam mais espaçadas, a densidade de 
campo será menor.
exemplo de aplicação
Sabendo que um ímã natural produz um fluxo magnético de 2mWb a uma 
determinada distância na direção de seu alinhamento N-S, qual será a densidade de 
fluxo magnético que atravessa uma chapa quadrada de lado 2 cm que se encontra 
perpendicular ao ímã nessa posição?
Resolução:
A = L x L = 0,02 x 0,02 = 4 . 10-4 m2
B = 
φ
A
 = 
2 . 10-3
4 . 10-4
 = 5T
1.7 Permeabilidade magnética
Podemos observar diferentes comportamentos para materiais magnéticos 
e não magnéticos colocados na área das linhas de campo de um ímã. Os não 
magnéticos, como o vidro, causam pouca alteração na distribuição das linhas. Os 
materiais	magnéticos,	como	o	ferro,	causam	distorção	nas	linhas	mais	próximas,	
que se concentram em seu interior. Vide Figura 2.12.
Figura 2.11 | Vetor densidade de campo magnético
Fonte: Sambaqui e Marques (2012).
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
76
Figura 2.12 | Linhas de campo em materiais magnéticos e não magnéticos
Fonte: Sambaqui e Marques (2012).
Testando distintos objetos de mesmo tamanho e formato, mas de diferentes 
composições, a influência mais ou menos intensa nas linhas de campo pode ser 
descrita por meio da permeabilidade magnética µ dos materiais. Então, podemos 
definir a permeabilidade magnética como a facilidade com que as linhas de campo 
atravessam um material. A permeabilidade do vácuo é:
µ0 = 4 π . 10-7 
Wb
A . m
Os	materiais	 não	magnéticos	possuem	a	permeabilidade	bem	próxima	à	do	
vácuo. Temos também:
•	 Materiais	 diamagnéticos:	 permeabilidade	 é	 um	 pouco	menor	 que	 a	 do	
vácuo.
•	 Materiais	 paramagnéticos:	 permeabilidade	 é	 um	pouco	maior	 que	 a	 do	
vácuo.
•	 Materiais	ferromagnéticos:	permeabilidade	centenas	a	milhares	de	vezes	
maior quea do vácuo.
Dessa	forma,	temos	a	permissividade	relativa:
µ
r
 = 
µ
m
 
µ
0
 
Onde:
•	 	µ
r
: permissividade relativa do material.
•	 	µ
m
: permissividade de um dado material.
•	 	µ
0
: permissividade no vácuo.
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
77
1.8 relutância magnética
Chamamos de relutância magnética a medida de oposição que um meio 
oferece para se estabelecer e concentrar as linhas de campo magnético. Podemos 
calculá-la por:
ℜ = 
I
µ . A
Onde: 
•	 ℜ:	relutância	magnética	[A/Wb].
•	 I:	comprimento	médio	do	caminho	magnético	das	linhas	de	campo	[m].
•	 µ:	permeabilidade	do	meio	[Wb/A·m].
•	 A:	área	da	seção	transversal	[m2].
Princípio de relutância mínima é quando se tem dois materiais com 
permeabilidades diferentes como caminho magnético para as linhas de campo, 
estas se dirigem para o de maior permeabilidade. Observe a Figura 2.13.
Podemos observar na Figura 2.13 que o ferro, um material com alta 
permeabilidade, terá maior concentração das linhas e representará um caminho de 
menor relutância para estas. Já no caso do vidro, com baixa permeabilidade, não 
há uma grande concentração das linhas de campo, representando um caminho 
de alta relutância.
Figura 2.13 | Campos magnéticos de alta e baixa relutância
Fonte: Sambaqui e Marques (2012).
Ferro
Vidro
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
78
1. Sobre o magnetismo, podemos afirmar que:
I - Ao cortar um ímã em pedaços, todos os ímãs formados 
apresentam os dois polos, não importando o tamanho do 
pedaço.
II - Ao cortar um ímã no meio, cada um dos pedaços ficará 
com um polo. 
III - Os materiais ferromagnéticos não têm propriedades 
magnéticas e não podem ser atraídos por ímãs.
IV - Ao aproximar dois polos iguais de um ímã, haverá uma 
força de repulsão, e se os polos forem diferentes haverá 
uma força de atração.
V - A Terra possui as características de um ímã, gerando 
seu próprio campo magnético.
São corretas:
a) I, II e III.
b) I, III e IV.
c) I e IV.
d) I, IV, V.
e) II e IV.
2. Uma bussola foi colocada perto de um ímã que gera 
um campo magnético bem mais intenso do que o campo 
magnético da Terra. Qual a figura que representa de que 
forma a agulha da bússola irá permanecer?
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
79
3. Um ímã natural produz um fluxo magnético de 5µWb em 
uma determinada região à frente dele, na direção do eixo 
N-S. Calcule a densidade de fluxo que atravessa um círculo 
metálico de raio 1 cm que está perpendicular a esse ímã.
4. Observe as figuras a seguir:
Através de experimentos, foi notado que P atrai S e repele 
T, Q repele U e atrai S. Diante dessas conclusões, podemos 
afirmar que:
a) as barras PQ e TU são ímãs;
b) as barras PQ e RS são ímãs;
c) as barras RS e TU são ímãs;
d) as três barras são ímãs;
e) só a barra PQ é um ímã.
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
80
5. Uma placa retangular de lados 10,5 m e 13,2 m é 
atravessada por um campo magnético uniforme de 
intensidade 1,45 mT. Qual é, aproximadamente, o fluxo 
magnético sobre a placa?
a) 2,10 Wb.
b) 0,20 Wb.
c) 1,03 Wb.
d) 0,83 Wb.
e) 3,15 Wb.
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
81
Seção 2
Movimento de partículas carregadas em um 
campo magnético
Caro aluno, esta seção apresenta como as partículas carregadas reagem à 
presença de um campo magnético, dando origem a uma força magnética que 
depende da carga da partícula e, de uma maneira muito especial, também de sua 
velocidade.
Veremos ainda as características do potencial de polo e de um dipolo magnético 
e discutiremos o efeito Hall.
Todos esses conceitos são importantes para a compreensão dos fenômenos que 
envolvem o magnetismo.
Vamos lá?
Bons estudos!
2.1 Movimento de partículas carregadas em um campo magnético
Vimos em eletricidade que a presença de um campo elétrico é comprovada 
através da inserção de uma carga de prova q no local. Para o campo magnético 
temos um caso semelhante:
•	 A	 dimensão	 da	 força	magnética	 que	 a	 partícula	 sofre	 dependerá	 de	 sua	
carga, de sua velocidade e também do campo magnético presente no meio.
•	 Sendo	a	velocidade	da	partícula	paralela	à	direção	do	campo,	teremos	uma	
força nula.
•	 A	força	é	perpendicular	ao	plano	formado	entre	velocidade	e	campo.
•	 O	 sentido	da	 força	 em	uma	carga	positiva	 é	 contrário	 ao	de	uma	carga	
negativa.
•	 A	intensidade	da	força	é	proporcional	ao	seno	do	ângulo	entre	a	velocidade	
e o campo.
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
82
Todas	as	características	acima	podem	ser	resumidas	na	seguinte	equação	(note	
o	produto	vetorial	de	dois	vetores):	
F
→
mag
 = qv
→
x B
→
Unidade:	Tesla	(T)
Onde:
•	 F
→
mag
 : força magnética.
•	 Q: carga da partícula.
•	 v
→
: velocidade da partícula.
•	 B
→
: campo magnético.
exemplo de aplicação
Uma partícula de carga q=1µC entra em um campo elétrico B = 3 . 102 T com 
velocidade de v = 0,1 m/s. Qual é a força magnética a que essa partícula estará 
sujeita, sabendo que há um ângulo de 30 graus entre os vetores velocidade e campo 
elétrico? 
Resolução:
F
→
mag
 = qv
→
x B
→
=	q	.	B	.	v	.	sen(θ)	=	1	.	10-6	.	0,1	.	3	.	102 . 0,5 = 1,5 . 10-5N
Vamos comparar o que já descobrimos sobre a força magnética com nossos 
conhecimentos prévios de eletricidade? Podemos tirar algumas conclusões:
•	 A	 força	 elétrica	 é	 paralela	 ao	 campo	 elétrico;	 já	 a	 força	 magnética	 é	
perpendicular ao campo.
•	 A	 força	 elétrica	 atua	 sobre	 cargas	 em	 repouso	 e	 em	 movimento;	 já	 a	
magnética, apenas sobre cargas em movimento.
Figura 2.14 | Força eletromagnética
Fonte: Silva (2012).
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
83
•	 A	força	elétrica	realiza	trabalho	no	deslocamento	de	uma	partícula,	a	força	
magnética não.
A força magnética não realiza trabalho sobre cargas elétricas, pois 
essa força é sempre perpendicular ao seu deslocamento. A força 
magnética não causa variação na energia cinética da partícula, uma 
vez que ela é responsável somente por uma alteração na direção do 
movimento. em sistemas macroscópicos de cargas em movimento, 
entretanto, pode haver realização de trabalho. 
Um exemplo: um fio condutor retilíneo, submetido a um campo 
magnético, é percorrido por uma corrente i. é observado um 
deslocamento do fio, paralelo à direção da força magnética que surge 
neste, como mostra a Figura 2.15, caso haja um campo magnético 
entrando na folha.
na primeira situação, a corrente é nula; sendo assim, nada acontece 
com o fio, já que as cargas estão em repouso e não sofrem a ação do 
campo magnético. na segunda situação, é estabelecida uma corrente 
no sentido de baixo para cima, surgindo uma força F para a esquerda, 
sendo que o fio se desloca também para a esquerda. nesse caso, há 
realização de trabalho no fio devido à força magnética. na terceira 
Figura 2.15 | Fio transportando corrente
Fonte: Vieira et al. (2010).
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
84
situação, a corrente é invertida, surgindo, dessa forma, uma força 
magnética para a direita, sendo que o fio também será deslocado para 
a direita. novamente, houve realização de trabalho no fio devido à 
força magnética.
Como explicar o trabalho realizado?
A força magnética que age no fio é a soma das forças que atuam nas 
cargas individuais que carregam a corrente, sendo que em cada uma 
dessas cargas a força magnética é perpendicular ao deslocamento 
desta. se as cargas não estivessem ligadas ao fio, elas percorreriam 
uma trajetória circular, mas, como estão ligadas ao fio, as ligações 
químicas que as mantêm presas ao fio fazem com que elas tentem 
defletir (puxar) o fio. Aí está o segredo desse trabalho realizado devido 
a uma força magnética que age em um fio.
2.2 Força magnética
A direção e o sentido da força magnética são determinados corretamente 
quando efetuamos o produto vetorial da velocidade pelo campo magnético, 
como na equação acima. Podemosutilizar também a regra da mão direita, como 
mostra a Figura 2.16.
Figura 2.16 | Regra da mão direita
Fonte: Souza (2013).
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
85
O sentido da velocidade é indicado pelo polegar, e sentido do campo magnético 
é mostrado pelos quatro dedos juntos e estáticos. Já o sentido da força depende 
da carga. Caso ela seja positiva, a palma da mão indica o sentido, caso ela seja 
negativa, a indicação de sentido será pelas costas da mão.
Podemos definir a intensidade da força magnética por:
F	=	|q|	.	v	.	B	.	sen(θ)
Onde:
•	 F:	força	de	origem	magnética.
•	 q:	carga	elétrica	lançada	no	campo.
•	 v:	velocidade	de	lançamento	da	carga	no	campo.
•	 B:	intensidade	do	campo	magnético.
•	 θ: ângulo entre a direção do campo e o vetor velocidade.
exemplo de aplicação
Uma carga de 4µC é lançada a uma velocidade de 5.103m/s em um campo 
magnético de intensidade 8T. Sendo de 60° o ângulo formado entre v e B, 
determine a intensidade da força magnética que irá atuar nessa carga. 
Resolução:
F	=	|q|	.	v	.	B	.	sen(θ)
F = 4. 10-6 . 5 . 103	.	8	.	sen(60)	 0,139N
o motor elétrico tem a função de transformar energia elétrica em 
energia mecânica. ele pode ser encontrado em diversos equipamentos 
como ventiladores, secadores de cabelo, entre outros.
o princípio do seu funcionamento se dá por um fio condutor que é 
percorrido por uma corrente elétrica e encontra-se imerso em uma 
região de campo magnético, sofrendo a ação de uma força que é 
perpendicular ao plano formado entre o fio e o campo magnético. 
observe a Figura 2.17:
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
86
Figura 2.17 | Princípio de funcionamento de um motor
dessa forma, o princípio de funcionamento de um motor é uma 
espira retangular que se encontra imersa em um campo magnético e 
percorrida por uma corrente elétrica, sendo que as forças magnéticas 
exercidas em cada um de seus lados formam um binário, fazendo-a 
girar em torno de um eixo.
Vamos ver alguns casos do resultado da força magnética em diferentes tipos 
de movimento.
1. Carga colocada em repouso no campo magnético
Dada	 a	 equação	 acima,	 observamos	 que	 a	 força	magnética	 e	 a	 velocidade	
são	diretamente	proporcionais.	Dessa	 forma,	 se	 a	 velocidade	 for	 nula,	 também	
teremos uma força magnética nula. Caso a força magnética seja a única força que 
poderia agir na carga, não haverá aceleração e ela continuará em repouso.
2. Carga lançada em movimento paralelo ao campo magnético
Quando uma carga é colocada em movimento de forma paralela ao campo, 
Eixo de rotação
Fm
→
Fm
→
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
87
temos, portanto, θ = 0° ou θ	=	180°.	Analisando	a	equação	acima	e	sendo	sen	(0°)	
=	sen	(180°),	a	força	magnética	também	será	nula.	Dessa	forma,	caso	seja	a	força	
magnética a única força a agir nessa carga, ela não terá aceleração e irá descrever 
um movimento retilíneo uniforme. A Figura 2.18 mostra essa situação.
3. Carga lançada em movimento perpendicular ao campo magnético
Sendo agora a carga lançada de forma perpendicular ao campo, logo a força e 
a velocidade têm direções perpendiculares entre si, como foi mostrado na Figura 
2.18. A força magnética vai variar a direção da partícula de carga, agindo como 
uma força centrípeta, e a carga irá realizar um movimento circular uniforme.
A força magnética será responsável por manter o movimento circular da 
partícula: F
mag
 = F
cp
É determinado que: 
•	 O	valor	máximo	da	força	magnética	será:
Figura 2.18 | Cargas com movimento paralelo ao campo
Fonte: O autor.
Teremos uma força magnética nula caso uma carga esteja 
em repouso ou se ela for lançada de forma paralela ao campo 
magnético.
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
88
F
max
 = |q| . v . B
•	 A	força	magnética	será	uma	força	centrípeta:
F
mag
 = F
cp
A Figura 2.19 mostra a representação desse movimento.
Sendo, portanto, um movimento circular, podemos definir alguns parâmetros 
importantes. 
A. raio
Como vimos, a F
mag
 = F
cp
, então:
q . a . B = 
m . v2
R
R	=	 m . v
q . B
exemplo de aplicação
Uma carga de 500 µC e massa de 10 mg faz um movimento circular uniforme a 
uma velocidade de 2 m/s em um campo elétrico de intensidade 20 T. Qual o raio 
dessa	trajetória?
Resolução:
R	=	 m . v
q . B
 = 10 . 10
-3 . 2
500 . 10-6 . 20
 = 2m
Figura 2.19 | Movimento circular uniforme no campo magnético
Fonte: Abud (2008).
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
89
B. Período
O	período	(T)	pode	ser	calculado	através	da	equação:
T = 2πR
v
 = 2πm
Bq
 
4. Carga lançada obliquamente ao campo magnético
Sendo um campo uniforme B
→
, uma carga q adentra obliquamente às linhas 
desse campo. A velocidade v
→
 terá duas componentes: uma será paralela às linhas 
de campo e outra, perpendicular às linhas, ou seja:
v
→
= v
→
x
 + v
→
y
A força magnética para esse caso será:
F
mag
=	q	( v
→
x
 + v
→
y
)	x	 B
→
= qv
→
x
 x B + qv
→
y 
x B
→
Note que v
→
y
 e B
→
 possuem a mesma direção, o que determina que: 
qv
→
y 
x B
→
= 0
Dessa	forma,	podemos	concluir	que	a	força	magnética:
F
mag
= qv
→
x
 x B
→
Uma partícula com carga em um campo uniforme, na direção oblíqua às 
linhas de campo, ficará submetida a uma força magnética constante e na direção 
perpendicular ao plano definido por v
→
x
 e B
→
. Sendo assim, essa partícula 
descreverá	 uma	 trajetória	 circular	 que	 será	 definida	 por	 F
→
mag 
e por v
→
x 
em um 
movimento circular uniforme.
A força magnética é a resultante das forças que agem sobre essa partícula. Como 
foi visto, ela não possui uma componente no eixo y, determinando, portanto, um 
movimento retilíneo uniforme com velocidade constante v
→
y 
nesse eixo.
Assim, teremos que o movimento da carga é uma composição de:
•	 Movimento	retilíneo	uniforme:	 v
→
y 
e B
→
.
•	 Movimento	circular	uniforme	determinado	pela	força	magnética	e	por	 v
→
x 
 
sendo F
mag
= F
cp
, sendo que o movimento será helicoidal uniforme, como mostra a 
Figura 2.20.
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
90
Figura 2.20 | Movimento helicoidal uniforme
Fonte: Abud (2008).
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
editora Artmed, 2006. 
2.3 Potencial de um polo magnético 
O potencial gravitacional pode ser definido como a energia potencial de 
uma unidade de massa em um campo gravitacional, sendo que esse potencial é 
calculado a uma distância r do centro de gravidade do corpo que produz o campo 
gravitacional, determinando dessa maneira o trabalho que foi realizado para levar 
a massa unitária do ponto r até o infinito. Sabemos que: 
U = - GM
r
O U é o trabalho que foi realizado para mover a massa unitária da distância r até 
o infinito e corresponde ao potencial gravitacional nesse ponto.
Analogamente, vamos definir o potencial magnético W a uma distância r de um 
polo magnético de intensidade p:
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
91
W = 
µ
0
 . p
4πr
2.4 Potencial de um dipolo magnético
	 A	 Figura	 2.21	 mostra	 dois	 polos	 magnéticos	 (p+)	 e	 (p-),	 que	 se	 encontram	
separados a uma distância d. A linha pontilhada define o eixo do dipolo, sendo que 
nessa região o campo magnético possui simetria rotacional.
O potencial magnético W a uma distância r, em relação ao ponto médio do par 
de polos, será a soma dos potenciais dos polos p+ e p-, em relação às distâncias r
+ 
e r
-
; dessa forma, temos:
W = 
µ
0
 . p
4π
	(
1
r
+
 - 
1
r
-
)	=	
µ
0
 . p
4π
	(
r
- 
-
 
r
+
r
+
 . r
-
)
Sendo d<<< r, podemos aproximar:
r
+
 ≅ r - d
2
	cos	(θ)
r
-
 ≅ r + d
2
	cos	(θ')
Sendo θ = θ' , temos:
Figura 2.21 | Geometria para cálculo do potencial de um par de polos magnéticos
Fonte: Molina (2009).
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
92
r
-
 - r+ ≅ d
2
	(cosθ'	+	cosθ)	≅ dcosθr
+
 . r
-
 ≅	(r	- d
2
 cosθ)	(r+ d
2
 cosθ')
r
+
 . r
-
 ≅ r2 + rd
2
 cosθ'	-	 rd
2
 cosθ - d2
4
 cosθ cosθ'
r
+
 . r
-
 ≅ r2 - d2
4
	(cosθ)2 ≅ r2
Dessa	forma,	teremos:
W = 
µ
0
pdcosθ
4πr2
 = µ0mcosθ
4πr2
Sendo m = p definido como o momento magnético do dipolo.
O potencial magnético do dipolo, diferentemente do potencial 
gravitacional, é inversamente proporcional ao quadrado da 
distância r e tem uma variação que depende do ângulo θ.
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
Artmed, 2006. 
2.5 o efeito Hall
O	pesquisador	Edwin	Hall	descobriu	que,	quando	um	condutor	que	conduz	
uma corrente elétrica é colocado sobre a ação de um campo magnético, há o 
aparecimento de uma voltagem em direção ao plano que contém a corrente e o 
campo magnético aplicado.
A Figura 2.22 mostra o experimento realizado, em que Hall observou o 
aparecimento de uma diferença de potencial V
H
 entre as bordas de um condutor 
retangular,	 submetido	a	um	campo	magnético	H.	Dessa	 forma,	V
H 
passou a ser 
chamada de voltagem Hall e sua observação ficou conhecida como o efeito Hall.
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
93
A voltagem Hall é uma consequência do desvio de portadores de carga provocado 
pela força magnética que está atuando. O desvio acaba sendo contrabalanceado 
pela força eletrostática de repulsão das cargas elétricas de mesmo sinal, que ficam 
mais	próximas.	
qv
→
 
x H
→
 = q E
→
H
onde E
→
H 
é o campo elétrico de Hall e dado por:
E
→
H 
= v
→
x H
→
Sabendo o valor de E
→
H
,	 e	 considerando	w	 a	 largura	 da	 placa	 condutora,	 o	
módulo	de	V
H
 é dado por:
V
H
 = E
H
	.	w	=	v	.	H	.	w
Sendo	o	campo	elétrico	Hall	uniforme,	o	número	de	portadores	(n)	que	estão	
presentes	 no	 condutor	 pode	 ser	 obtido	 através	 da	 corrente	 (I)	 que	 atravessa	 o	
condutor:
I	=	n	.	q	.	A	.	v
n = 
I
q . A . v
Sendo	 A	 =	 w.d,	 a	 área	 do	 condutor,	 onde	 d é a espessura da amostra. 
Rearranjando	as	equações,	temos:
V
H
 = 
(I	.	H)
(n	.	q	.	d)
Assim, medir a tensão Hall é uma técnica apropriada para calcular o número de 
portadores presentes em um determinado condutor. 
Figura 2.22 | Experimento de Hall
Fonte: Luz (2007).
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
94
As descobertas do efeito Hall são de extrema importância para 
a indústria eletrônica.
Mensagem final ao aluno
Caro aluno, chegamos ao fim da unidade 2 e você pôde estudar importantes 
conceitos do eletromagnetismo. Eles são essenciais para compreender os 
fenômenos do nosso dia a dia, que vão desde o campo magnético terrestre até o 
funcionamento de um motor elétrico. 
É importante que você aprofunde o estudo dos temas discutidos, estendendo 
dessa forma o seu conhecimento.
Lembre-se: você é a principal ferramenta do seu conhecimento!
Bons estudos!
1. Uma partícula de carga q=2,46mC é lançada com 
v=4,97 m/s em um campo elétrico de intensidade B=3,15 
T, conforme mostra a figura. Qual a força magnética nessa 
partícula?
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
95
2. Temos uma partícula carregada em um dado campo 
magnético. Podemos afirmar, referente à sua força 
magnética, que:
I - Ela pode gerar um movimento circular.
II - Se a partícula estiver em movimento, ela nunca será nula.
III - Se a partícula estiver em repouso, ela irá acelerar essa 
partícula.
IV - Ela pode acelerar a partícula na direção e sentido de 
seu movimento.
V - Será sempre perpendicular à direção do movimento da 
partícula.
Estão incorretas as alternativas:
a) I, II e III.
b) I e IV.
c) I, III e IV.
d) II, III, IV.
e) I e V.
3. Uma carga de q= 400µC e m = 20 mg desenvolve um 
movimento circular uniforme com v = 5 m/s em um campo 
elétrico de intensidade B = 10 T, como mostra a figura. 
Sendo a força magnética a única a atuar nessa partícula 
e considerando o meio como o vácuo, determine o raio 
dessa trajetória.
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
96
4. Uma partícula carregada negativamente se move com v 
= 300 m/s de forma paralela a um tubo de raios catódicos. 
Sendo aplicado um campo magnético, B = 5 T, paralelo a 
esse tubo, qual será a intensidade da força magnética que 
agirá nessa partícula?
5. Na figura a seguir, existe um campo magnético em torno 
do ponto P, na direção BA. Uma carga positiva é inserida 
nesse campo com uma velocidade v, sendo que uma força 
irá atuar sobre essa partícula. Podemos afirmar, em relação 
à força magnética, que:
a) terá a mesma direção e sentido 
do campo;
b) terá a mesma direção e sentido 
da velocidade;
c) ela irá se anular;
d) terá sentido contrário ao do 
campo;
e) será perpendicular ao plano 
formado pela velocidade e pelo 
campo.
U2
97Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
Referências
ABUD, Ricardo. Força magnética. São Paulo: USP, 2008.
DIAS, Rodrigues. Campo magnético e forças magnéticas. Universidade Federal 
de Juiz de Fora, 2011.
FREITAS, José; ZANCAN, Marcos. Eletricidade. Colégio Técnico Industrial de Santa 
Maria. 2011.
LUZ, Mario. Efeito Hall em supercondutores a campos magnéticos nulos. São 
Paulo: Universidade de São Paulo, 2007.
MOLINA, Eder. Campo Magnético. São Paulo: USP, 2009.
MUSSOI, Fernando. Fundamentos de eletromagnetismo. Centro Federal de 
Educação Tecnológica de Santa Catarina, 2005.
OLIVEIRA, Vagner; VEIT, Eliane; ARAÚJO, Ives. Uma proposta de ensino de 
tópicos de eletromagnetismo via instrução pelos colegas e ensino sob 
medida para o ensino médio. Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2010.
SAMBAQUI, Ana; MARQUES, Luis. Apostila de eletromagnetismo. Instituto 
Federal de Educação, Ciências e Tecnologia de Santa Catarina, 2010.
SILVA, Carlos. Campos Magnéticos. Faculdade de Algarves, 2012.
SOUZA, Renan. Eletromagnetismo. Universidade Federal de Juiz de Fora, 2013.
VIEIRA, Marcelo et al. Paradoxo da realização de trabalho pela força magnética. 
Paraíba: Encontro Nacional de Educação, Ciência e Tecnologia. Universidade 
Estadual da Paraíba, 2010.
Unidade 3
Fontes de CAMPo 
MAGnétiCo
Cibele Abreu Makluf
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta unidade, você terá a oportunidade de estudar e compreender:
•	 A natureza do campo magnético produzido por uma única partícula 
em movimento.
•	 A descrição de um campo magnético produzido por um elemento de 
corrente.
•	 Os cálculos envolvidos em um fio retilíneo que transporta corrente.
•	 As leis de Ampère e Biot-Savart e suas particularidades em relação ao 
campo magnético. 
•	 As aplicações da lei de Ampère nos campos magnéticos.
•	 As fontes geradoras de campo magnético.
•	 O	campo	eletromagnético.
•	 Campo	magnético	criado	por	correntes.
•	 Lei	de	Biot-Savart.
•	 Lei	de	Ampère.	
Seção 1 | Campo eletromagnético
•	 Forças	magnéticas	sobre	correntes.
•	 Forças	magnéticas	entre	dois	fios	paralelos.
•	 Torque	 sobre	 uma	 espira	 percorrida	 por	 corrente	 –	 momento	
magnético.
•	 Campo	magnético	gerado	em	torno	de	um	condutor	retilíneo.
•	 Campo	magnético	gerado	no	centro	de	uma	espira	circular.
•	 Campo	 magnético	 gerado	 no	 centro	 de	 uma	 bobina	 longa	 ou	
solenoide.
•	 Campo	magnético	gerado	por	um	toroide.
Seção 2 | Força magnética sobre correntes
Seção 3 | Fontes de campo magnético
Fontes de campo magnético
U3
101
Introdução à unidade
Caro aluno, nesta unidade serão apresentados outros conceitos importantes 
sobre o eletromagnetismo. Vamos conhecer outras fontes geradoras de campo 
magnético, além dos ímãs, descobrindo e entendendo suas funcionalidades e 
aplicações no nosso cotidiano, por exemplo, o funcionamento de uma campainha, 
disjuntores e amplificação de caixas de som. 
Vamos iniciar nossos estudos vendo os conceitos sobre o campo magnético 
criado por correntes, a força magnética a que essas correntes elétricas podem ser 
submetidas dentro desse campo, além das particularidades da força magnética 
quando temos dois condutores em paralelo percorridos por corrente.
Na sequência, vamos conhecerimportantes leis essenciais para o entendimento 
do eletromagnetismo, como a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère. Além disso, 
analisaremos as principais fontes geradoras de campo magnético e suas principais 
características. 
Você é essencial nesse processo de aprendizagem. Bom trabalho!
Fontes de campo magnético
U3
102
Fontes de campo magnético
U3
103
Seção 1
Campo eletromagnético
Caro aluno, a primeira seção apresenta conceitos e características sobre o 
campo magnético originado por correntes elétricas. Veremos as particularidades 
das linhas de campo magnético e a simbologia usada para sua representação, bem 
como o uso da regra da mão direita para descobrir o sentido das correntes e do 
campo magnético. 
Para finalizar, serão apresentados os princípios das Leis de Biot-Savart e a lei de 
Ampère.
Vamos lá?
 Bons estudos!
Campo eletromagnético
De	 acordo	 com	 os	 estudos	 de	 Hans	 Oersted,	 uma	 corrente	 elétrica	 tem	 a	
capacidade de alterar a agulha magnética de uma bússola. Os experimentos de 
Oersted mostravam que, enquanto a corrente elétrica percorria o fio, a agulha da 
bússola se movia, ficando na direção perpendicular ao fio, comprovando, assim, 
que	existia	um	campo	magnético	produzido	por	uma	corrente.	Dessa	 forma,	o	
campo gerava uma força magnética que poderia mudar a orientação da bússola, 
como mostra a Figura 3.1.
Fonte: Dias (2011).
Figura 3.1 | Experimento de Oersted
Fontes de campo magnético
U3
104
A Figura 3.2 mostra de forma mais detalhada a movimentação da agulha 
magnética, orientando-se numa direção perpendicular ao fio, evidenciando a 
presença de um campo magnético produzido pela corrente.
Figura 3.2 | Inclinação da agulha imantada no experimento de Oersted
Fonte: Dias (2011).
O campo magnético que tem origem elétrica é definido como 
campo eletromagnético.
MUssoi, Fernando. Fundamentos de eletromagnetismo. 
Centro Federal de educação tecnológica de santa Catarina. 
2005. disponível em: <https://drive.google.com/file/
d/0B4dWrkB2lh2scll4WelQdnAwb2M/view?usp=sharing>. Acesso 
em: 21 mar. 2016.
sAMBAQUi, Ana; MArQUes, luis. Apostila de eletromagnetismo. 
instituto Federal de educação, Ciências e tecnologia de santa 
Catarina. 2010. disponível em: <https://drive.google.com/file/
d/0B4dWrkB2lh2ss29XWkxZoHFFbVe/view?usp=sharing>. Acesso 
em: 21 mar. 2016.
Fontes de campo magnético
U3
105
O pesquisador concluiu, dessa forma, que todo condutor que estiver 
sendo atravessado por uma corrente elétrica criará, em volta de si, um campo 
eletromagnético.
Assim, o princípio dos fenômenos magnéticos foi definido:
Estando duas cargas elétricas em movimento, haverá entre elas uma força 
magnética além da força elétrica.
Em decorrência dessas descobertas, foi possível estabelecer o princípio básico 
de todos os fenômenos eletromagnéticos:
1. Uma corrente elétrica, passando por um condutor, produz um campo 
magnético ao redor do condutor como se fosse um ímã, ou quando duas cargas 
elétricas estão em movimento manifesta-se entre elas uma força magnética, além 
da	força	elétrica	(ou	força	eletrostática).
2. Um condutor percorrido por corrente elétrica, colocado em um campo 
magnético, fica sujeito a uma força.
3. Supondo um condutor fechado, colocado em um campo magnético, a 
superfície determinada pelo condutor é atravessada por um fluxo magnético; 
sendo que, se o fluxo variar, aparecerá no condutor uma corrente elétrica, e esse 
fenômeno é chamado indução eletromagnética.
1.1 Campo magnético criado por correntes
O pesquisador André Ampère, além de outros estudiosos, investigou as 
Você sabia que o campo magnético da terra se inverte de tempos 
em tempos, sendo que esse intervalo equivale a milhões de anos? 
essa inversão foi observada com os estudos de minerais que estão 
alinhados com o campo magnético em determinadas rochas. dessa 
forma, os polos trocariam de lugar, ou seja, onde se localiza hoje 
o polo sul, teríamos o polo norte e vice-versa. teríamos, em razão 
disso, as bússolas apontando para a Antártida ao invés do Polo norte, 
e outro aspecto que seria afetado diz respeito aos animais, que 
precisam do campo terrestre e ficariam vagando perdidos, sem rumo.
Fontes de campo magnético
U3
106
características do campo magnético comprovado por Oersted.
Foi	observado	que	as	linhas	do	campo	magnético	são	envoltórias	e	concêntricas,	
como mostra a Figura 3.3.
Vamos analisar a Figura 3.3. O sentido das linhas de campo magnético geradas 
por	uma	corrente	no	condutor	é	dado	pela	Regra	de	Ampère	ou	Regra	da	Mão	
Direita.
Figura 3.3 | Linhas de campo devido a uma corrente elétrica
Fonte: Adaptado de Mussoi (2005).
Regra de Ampère ou Regra da Mão Direita → Determina o 
sentido das linhas de campo magnético, considerando o 
sentido convencional da corrente elétrica.
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
Artmed, 2006. 
Fontes de campo magnético
U3
107
A. A regra de Ampère ou regra da mão direita
Essa regra diz que, utilizando a mão direita, você envolve o condutor, com o 
polegar apontando para o sentido convencional da corrente e os demais dedos 
indicarão o sentido das linhas de campo que envolve o condutor, como mostrado 
na Figura 3.4.
O sentido das linhas de campo ou de um vetor que seja perpendicular a um plano 
(plano	do	papel,	por	exemplo)	pode	utilizar	a	seguinte	simbologia,	apresentada	na	
Figura 3.5:
Em	(a),	 temos	a	representação	de	um	fio,	uma	linha	de	campo	ou	ainda	um	
vetor	perpendicular	ao	plano	no	sentido	de	saída	do	plano.	Já	em	(b),	 temos	as	
mesmas representações, porém o sentido de entrada no plano. A Figura 3.6 mostra 
essa representação.
Figura 3.4 | Regra da mão direita para correntes
Figura 3.5 | Simbologia do sentido das linhas de campo
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Fonte: O autor.
Fontes de campo magnético
U3
108
igura 3.6 | Simbologia para representar sentido das linhas de campo no plano
Figura 3.7 | Representações do campo magnético
Fonte: O autor.
Fonte: Mussoi (2005).
Dessa	forma,	um	campo	magnético	que	é	gerado	por	um	condutor	atravessado	
por correntes pode ser representado, como mostra a Figura 3.7, pela perspectiva de 
suas linhas de campo, mostradas na parte superior dessa figura, ou pelos símbolos, 
mostrados na parte inferior dessa mesma figura. 
exemplo de aplicação
Considere um condutor retilíneo percorrido por uma corrente elétrica, como 
mostra	a	Figura	3.8.	Determine	a	representação	do	vetor	campo	magnético	B	no	
ponto P.
Fontes de campo magnético
U3
109
Resolução:
Através da regra da mão direita, o polegar será posicionado no sentido da 
corrente,	 e	os	demais	dedos	 representam	o	vetor	de	campo	magnético.	Dessa	
forma, no ponto, o vetor estará saindo e pode ser representado por:
lei de Biot-savart
A	 lei	de	Biot-Savart	 (Figura	3.9)	 fala	que,	em	um	fio	condutor	com	elemento	
de comprimento dS
→
,	percorrido	por	uma	corrente	elétrica	I,	o	campo	magnético	
dB
→
age em um determinado ponto P, como mostra a Figura 3.9, e cumpre as 
seguintes considerações:
I.	O	vetor	 dB
→
 é perpendicular a dS
→
 e a r
→
, sendo que r
→
 é o vetor posição 
em um dado ponto P.
II.	O	módulo	 dB
→
 |dB|
→
 do vetor é inversamente proporcional a r2.
III.	O	|dB|
→
	é	proporcional	à	corrente	I	e	ao	elemento	de	comprimento	ds.
IV.	O	|dB|
→
 é proporcional ao seno do ângulo formado entre dS
→
 e r
→
.
Figura 3.8 | Condutor retilíneo percorrido por corrente
Fonte: O autor.
Figura 3.9 | Lei de Biot-Savart
Fonte: Cardoso (2009).
Fontes de campo magnético
U3
110
Através dessas considerações, podemos expressar matematicamente a lei de 
Biot-Savart:
dB
→
 = k
m
I	 dS
→
 x r̂
r2
Onde:
•	 	 km = = 10
-7 T
m
/A
µ0
4 π
•	 		 r̂ é o vetor unitário dirigido do elemento condutor até o ponto P. 
Sendo µ0 a permeabilidade no vácuo: 4 π
 
x
10-7 T
m
A
Podemos, dessa forma, generalizar a equação para calcular um campo 
magnético gerado por uma distribuição de correntes:
B= ∫
µ0	x	I dS
→
4 π r2 r̂
1.2 lei de AmpèreA lei de Ampère traz uma relação geral entre a corrente elétrica em um condutor, 
sendo ele de qualquer forma, e o campo magnético produzido por ele. Considere 
um condutor que passa certa corrente através de uma área relativa a uma linha de 
campo, como mostrado na Figura 3.10.
Considerando o vetor de linha de campo de comprimento infinitesimal dl, ou 
seja, de comprimento muito pequeno, tendendo a zero, ele será paralelo ao vetor 
densidade	de	campo	magnético	B.	Dessa	forma,	a	lei	de	Ampère	é	dada	por:
Figura 3.10 | Linhas de campo em torno de um condutor atravessado por uma corrente
Fonte: Mussoi (2005).
Fontes de campo magnético
U3
111
 B . dl = µ
0
I
liq
Onde:
•	 B:	vetor	densidade	de	campo	magnético	[T].
•	 dl:	vetor	de	comprimento	infinitesimal	paralelo	ao	vetor	B[m].
•	 I
liq
: corrente passando na área do condutor envolvida pela linha de campo 
em	análise	[A].
Portanto, essa equação é válida para qualquer situação em que os campos e 
os condutores permaneçam constantes e não variam no tempo, além de estarem 
sem a presença de materiais magnéticos.
exemplo de aplicação
Considere um fio infinito que se encontra no vácuo atravessado por uma 
corrente de 300 A. Qual é o campo magnético a 5 cm do seu eixo? Sendo µ= 4π 
x 10-7 T.m/A. 
Resolução:
B= = = = 12 . 10-4T
µ	.	I 4 π . 10-7 x 300 1,2 . 10-4
2 π r 2 π x 5 . 10-2 10-1
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
editora Artmed, 2006. 
1.2.1 Aplicações da lei de Ampère
A. Fio retilíneo longo
Suponha um fio retilíneo muito longo conduzido por uma corrente I, 
como mostra a Figura 3.11. Pode-se verificar experimentalmente que o campo 
magnético	em	um	ponto	P,	 a	uma	distância	 r	próxima	ao	 fio,	 e	em	sua	 região	
central, é tangente a uma circunferência centrada no fio e que passa por esse 
Fontes de campo magnético
U3
112
d
ponto	(essa	circunferência	se	situa	em	um	plano	perpendicular	ao	fio).	Tomemos	
a circunferência de raio r, situada no plano perpendicular ao fio, como o nosso 
laço	amperiano	(percurso	de	integração),	de	tal	modo	que	o	sentido	de	 ds
→
 seja o 
mesmo que de B
→
. O ângulo entre B
→
 e ds
→
	é,	então,	zero.	Dessa	forma:
B
→
. ds
→
= B . ds . cos 0 = B . ds
Figura 3.11 | Fio reto longo conduzindo corrente
Fonte: Araújo e Moreira (2011).
A simetria das linhas de campo nos permite dizer que B tem o mesmo valor em 
todos	os	pontos	da	circunferência	de	raio	r	(percurso	de	integração)	e	pode	ser	
colocado fora da integral:
B ds = µ
0
	.	I
liq
onde a integral é simplesmente o perímetro da circunferência 2πr:
B2πr = µ
0
I	∴ B = 
µ
0
I
2πr
Essa equação nos permite calcular a intensidade do campo magnético de um 
longo	fio	reto	que	é	conduzido	por	uma	corrente	I,	a	uma	distância	r	do	centro	
do fio. 
B. Cabo coaxial 
A Figura 3.12 mostra um longo cabo coaxial formado por um condutor cilíndrico 
de	raio	R
1
	envolvido	por	uma	casca	cilíndrica	condutora	de	raio	R
2
. O condutor 
carrega	uma	corrente	I	uniformemente	distribuída	sobre	sua	seção	reta.	A	casca	
cilíndrica conduz uma corrente de mesma intensidade, mas de sentido oposto. 
Calculemos	B(r),	sendo	r	uma	distância	genérica	medida	radialmente	a	partir	do	
eixo	do	condutor	cilíndrico.	Vejamos	primeiramente	o	caso	r	<	R
1
:
Percurso de 
integração (laço 
amperiano)
B
→
s
→
r
i
Fontes de campo magnético
U3
113
Fonte: Araújo e Moreira (2011).
A partir da simetria do problema e da regra da mão direita, conclui-se que a 
direção de B
→
 em cada plano perpendicular ao eixo é tangente a circunferências 
concêntricas em torno do eixo e o sentido do traçado imaginário dessas 
circunferências é anti-horário.
Escolhamos agora um percurso fechado conveniente à aplicação da lei de 
Ampère;	sendo	assim,	uma	circunferência	de	raio	r	<	R
1
, como mostra a Figura 3.13. 
A partir da simetria do problema, pode-se concluir que B
→
 é tangente ao 
percurso de integração, formando um ângulo de 0º com ds
→ 
	 ( ds
→
é também 
tangente à circunferência e aponta no sentido de B
→
).		Além	disso,	o	módulo	de		
B
→
, ainda desconhecido, é constante sobre todo o percurso de integração. Pode-
se, então, aplicar a Lei de Ampère e explicitar o produto escalar da integral 
B
→
. ds
→ 
:
 B
→
. ds
→ 
 = µ
0
	.	I
liq 
∴ Bds cos0 = µ
0
	.	I
liq 
∴ Bds = µ
0
	.	I
liq 
Como B é constante sobre o percurso, ele pode ser colocado fora do símbolo de 
integral: B
→
 ds
→ 
= µ
0
	.	I
env
, mas ds
→ 
 é a integral de um elemento de circunferência 
sobre	toda	a	circunferência	(integral	fechada),	sendo	isso	simplesmente	o	perímetro	
da circunferência 2πr.
Logo:
B2πr = µ
0
I
liq
 ∴ B = µ0Iliq
2πr
Figura 3.12 | Longo cabo coaxial formado por um condutor de raio R1 e envolto por uma 
casca cilíndrica condutora de raio R2
R
2
R
1
i
i
Fontes de campo magnético
U3
114
Fonte: Araújo e Moreira (2011).
Figura 3.13 | Circunferência de raio r < R
1
O	 próximo	 passo	 é	 calcular	 a	 I
liq
 que atravessa a superfície delimitada pelo 
percurso de integração. Nesse exemplo, o disco é delimitado pelo círculo de 
raio r. A corrente liquida é uma fração da corrente conduzida pelo condutor, pois 
o	percurso	de	 integração	tem	um	raio	r	qualquer,	menor	do	que	R
1
, sendo que 
a corrente que atravessa a superfície delimitada pelo percurso de integração é 
apenas	parte	da	corrente	conduzida	pelo	condutor	de	raio	R
1
. 
Como a corrente está uniformemente distribuída na seção reta do condutor, 
pode-se nele definir uma densidade de corrente J
1
=
I
A =
I
πR
1
2 , sendo que J1 
representa a corrente por unidade de área através da seção reta do condutor. 
Para esse caso, queremos saber qual a corrente que atravessa a área de πR
1
2 (área	
delimitada	pelo	percurso	de	integração):	
I
liq
 = J
1
πr2 = I
πR
1
2 πr
2 =	I r
2
R
1
2
Observe	que	se	r	=	R
1
, a corrente líquida é igual à corrente conduzida pelo fio 
(I
liq
	=I),	como	era	esperado.	Feito	o	cálculo	da	corrente,	podemos	escrever:
B2πr = µ
0
I	 r
2
R
1
2
 ∴ B = µ0I
2π
 r
2
R
1
2
Essa	expressão	nos	dá	B(r)	para	r	<	R1.	
Para	R
1
	<	r	<	R
2
, como mostra a Figura 3.14, as considerações iniciais acerca 
de B
→
 e do percurso de integração são as mesmas, exceto que o percurso de 
integração	deverá	ter	um	raio	genérico	r	entre	R
1
	e	R
2
:
Fontes de campo magnético
U3
115
Figura 3.14 | Circunferência de raio R
1 
< r < R
2
B
→
. ds
→ 
= µ
0
I
liq
 Bds cos 0°= µ
0
I
liq 
∴ Bds = µ
0
I
liq
B ds = µ
0
I
liq 
∴ B2πr = µ
0
I
liq
Nesse	caso,	porém,	I
liq
	é	a	própria	corrente	que	percorre	o	condutor	interno,	
pois a área delimitada pelo percurso de integração abrange toda a seção reta do 
condutor	de	raio	R
1
. Então:
B = µ0I
2πr
 
É	a	expressão	de	B(r)	para	R
1
	<	r	<	R
2
.
Examinemos	o	caso	r	>	R
2
, como mostra a Figura 3.15, sendo que as suposições 
acerca da direção e sentido de B
→
 são as mesmas. É claro que o fato de que as 
correntes são iguais e opostas já nos leva a pensar que nessa região o campo será 
nulo. Porém, como não temos certeza disso, suponhamos que B é diferente de 
zero e que sua direção é tangente a círculos concêntricos tal como nos casos 
anteriores. Quanto ao sentido, suponhamos que seja o do campo da casca, pois 
essa	está	mais	próxima	do	ponto	considerado.
Fonte: Araújo (2011).
Fontes de campo magnético
U3
116
Figura 3.15 | Circunferência de raio r> R2
Fonte: Araújo (2011).
 B
→
 . ds
→ 
 = µ
0
I
liq 
∴ Bds cos 0°= µ
0
I
liq
 Bds = µ
0
I
liq 
∴ B2πr = µ
0
I
liq
Nesse caso, o percurso de integração encerra as duas correntes que são iguais 
e	opostas.	Logo,	I
liq
 será nula: B2πr = 0 de onde vem que B = 0, pois r é um raio 
genérico e 2π	uma	constante.	Portanto,	é	nulo	o	campo	magnético	na	região	r>R
2
.
1. A expressão ∫ B
→
ds
→
é:
a) igual ao trabalho magnético através de um caminho 
fechado;
b) igual à corrente através de uma superfície que engloba 
um caminho fechado;
c) será sempre nula;
d) igual à energia potencial magnética entre dois pontos;
Fontesde campo magnético
U3
117
e) igual à velocidade com que um elétron percorre o condutor.
2. Considere um fio condutor de raio R por onde passa 
uma corrente I. Supondo que a densidade de corrente no 
fio seja uniforme, calcule o campo magnético em todo o 
espaço usando a lei de Ampère.
3. Num condutor cilíndrico, pode passar uma corrente 
máxima de 60 A, sem que ocorra fusão de nenhuma parte 
do fio em consequência do efeito Joule. O módulo de B 
na superfície do fio é igual a 8,5 . 10-3. Encontre o diâmetro 
do fio.
4. Um solenoide com n = 30 espiras/m carrega uma 
corrente I = 300 A. Calcule o campo dentro do solenoide.
5. Um longo cabo coaxial é constituído por dois condutores 
concêntricos cujas dimensões estão especificadas na figura 
a seguir. Os dois condutores são percorridos, em sentidos 
opostos, por correntes i de mesma intensidade. Calcule o 
campo magnético B num ponto do condutor interno, que 
dista r do seu centro (r < a).
Fontes de campo magnético
U3
118
Fontes de campo magnético
U3
119
Seção 2
Força magnética sobre correntes
Caro aluno, a segunda seção apresenta os conceitos sobre a força magnética 
que pode ser gerada em um fio condutor percorrido por uma corrente, focando 
nas suas características principais e no cálculo de sua intensidade. É apresentada 
também a ação dessa força em dois fios condutores em paralelo.
Veremos, ainda, os conceitos de torque e momento magnético de uma espira 
percorrida por uma corrente.
Vamos lá?
Bons estudos!
2.1 Forças magnéticas sobre correntes
Vimos na unidade anterior que uma carga está submetida a uma força magnética 
ao se movimentar dentro de um campo magnético. Foi estudado também que a 
movimentação	de	partículas	negativas	(elétrons)	gera	uma	corrente	elétrica	dentro	
de	um	fio	condutor,	por	exemplo.	Dessa	forma,	se	um	fio	de	certo	comprimento	
L estiver sendo percorrido por uma corrente e for colocado em um meio onde há 
um campo magnético, ele poderá ser submetido a uma força magnética. Vamos 
analisar a Figura 3.16. 
Fontes de campo magnético
U3
120
Figura 3.16 | Força magnética sobre um fio
Fonte: Adaptado de Abud (2008).Fonte: Adaptado de Abud (2008).
Na	 Figura	 3.16	 (a),	 podemos	 observar	 que	 a	 corrente	 é	 nula;	 sendo	 assim,	
não	 agirá	 sobre	 esse	 fio.	 Para	 (b)	 e	 (c),	 temos	 corrente	 elétrica	 percorrendo	 o	
fio, havendo a existência de uma força, como pode ser visto na Figura 3.16. O 
sentido dessa força foi determinado aplicando-se a regra da mão direita, que foi 
vista na unidade anterior, lembrando que, por convenção, o sentido da corrente é 
determinado considerando que ela foi produzida por cargas positivas.
A. intensidade da força
Vamos considerar um fio condutor retilíneo com um dado comprimento 
L percorrido por uma corrente. Sendo uma carga q que se movimenta a uma 
velocidade v, sofre a ação de uma força que é dada pela expressão:
F
mag
 = q . v . B . sinθ
Onde:
•	 F
mag
 = força magnética.
•	 q	=	carga	elétrica	lançada	no	campo.
•	 v	=	velocidade	de	lançamento	da	carga	no	campo.
•	 B	=	intensidade	do	campo	magnético.
•	 θ = ângulo entre a direção do campo e o vetor velocidade.
Fontes de campo magnético
U3
121
Para	um	fio	condutor,	há	vários	elétrons	livres	(cargas)	se	movimentando,	sendo	
que o número de cargas que se movimentam no fio será representado por n; 
assim, reescrevemos a equação acima:
F
mag
 = n . q . v . B . sinθ
Vimos, na unidade 1, que a intensidade de corrente elétrica pode ser definida por:
i = 
q
∆t 
Para o nosso caso, como temos várias cargas, sendo essa quantidade 
representada por n, essa equação é melhor representada por:
i = 
n . q
∆t
Essa expressão pode ser reescrita por i . ∆t = n . q, e, substituindo na equação 
da força magnética, temos:
F
mag
 = B . i . ∆t . v . sinθ
Temos também que a velocidade multiplicada pelo tempo representa a variação 
de espaço percorrido, sendo que, para um fio condutor, esse espaço percorrido 
pelos elétrons em movimento será exatamente o tamanho do seu comprimento 
L,	(v	.	∆t	=	L),	assim:
F
mag
 = B . i . L . sinθ
exemplo de aplicação
Considere	 um	 condutor	 retilíneo	 atravessado	 por	 uma	 corrente	 de	 I	 =	 4	 A,	
com comprimento L = 0,5 m. Ele está na região de um campo elétrico B = 10-3 T 
e forma um ângulo de 30° com a direção desse campo. Qual é a força magnética 
no condutor?
Resolução:
F
mag
 = B . i . L . sinθ
F
mag
 = 10-3	.	4	.	0,5	.	sin	(30)	=	10-3 . 4 . 0,5 . 0,5
F
mag
 = 10-3 N
Veja que o ângulo θ é formado pela posição do fio condutor e o campo 
magnético B. Há algumas situações que devem ser verificadas com muito cuidado:
A. o fio paralelo ao campo magnético
Fontes de campo magnético
U3
122
Caso tenhamos essa situação, a força magnética será nula, como mostra a 
Figura 3.17.
Como mostra a Figura 3.17, o fio condutor está paralelo ao campo magnético 
B
→
; sendo o θ = 0°, temos:
F
mag
 = B . i . L . sin 0° = 0
B. direção do fio perpendicular ao campo magnético
Caso o fio condutor esteja perpendicular ao campo, teremos a força magnética 
na sua intensidade máxima. Observe a Figura 3.18.
Figura 3.17 | Fio condutor paralelo ao campo magnético
Fonte: O autor.
Figura 3.18 | Fio condutor paralelo ao campo magnético
Fonte: O autor.
Fontes de campo magnético
U3
123
F
mag
 = B . i . L . sin 90° = B . i . L
Na regra da mão direita, o polegar deixa de indicar a velocidade 
e passa a indicar a corrente convencional.
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
Artmed, 2006. 
2.2 Força magnética entre dois fios condutores paralelos
Observe a Figura 3.19, na qual temos dois fios condutores retos e paralelos, que 
possuem correntes elétricas i
1
 e i
2
:
Figura 3.19 | Dois fios condutores em paralelo
Fonte: Adaptado de Abud (2008).Fonte: Adaptado de Abud (2008).
Fontes de campo magnético
U3
124
Para cada um dos fios, teremos uma força magnética dada por:
F
mag
 = B
1
 . i
2
 . L
Sabemos que, quando aproximamos dois objetos carregados, eles estarão 
sujeitos ao campo do outro; sendo assim, sobre o fio 2 temos o campo elétrico 
gerado pela corrente que atravessa o fio 1. Podemos definir esse campo como:
B
1
 = 
µ . i
1
2 π d
Sendo µ a permissividade magnética do material.
Dessa	forma,	substituindo	na	equação	anterior,	temos:
F
mag
 = 
µ . i
1 
.
 
i
2 
.L
2 π d
Se as correntes tiverem o mesmo sentido, a força será de atração 
e, se elas tiverem sentidos contrários, a força será de repulsão.
exemplo de aplicação
Considere dois condutores em paralelo com 2 metros de comprimento e 
separados por uma distância de 2 cm, como mostra a figura a seguir. Eles são 
percorridos por correntes de intensidade i
1
 = 1 A e i
2
 = 2 A. Qual a força magnética 
entre	eles,	considerando	que	se	encontrem	no	vácuo	(µ	=	4	π x 10-7	T.	m	/	A	)?
Fontes de campo magnético
U3
125
Resolução:
F
mag
 = 
µ . i
1 
.
 
i
2 
.L
2 π d
 = 
4 π . 10-7
 
.
 
1
 
. 2 . 2
2 π . 2 . 10-2
 = 
16 . 10-7
4 . 10-2
 = 4 . 10-5 N
Como as correntes estão em direções opostas, a força magnética é de repulsão.
2.3 torque sobre uma espira percorrida por corrente – momento magnético
Uma espira estará sujeita à ação de forças quando for colocada em um campo 
magnético, e a ação dessas forças a faz rotacionar em relação ao eixo. Considere 
uma espira retangular com lados L e d, sendo que L se encontra perpendicular ao 
plano do papel, como apresenta a Figura 3.20.
Sabemos que a força em um dado elemento dL
→
 de um condutor que conduz 
corrente pode ser expressa por:
dF
→
	=	I	( dL
→
 x B
→
)
Sendo que a normal n
→
 ao plano da espira faz um ângulo θ com B
→
, a força 
magnética responsável pelo torque pode ser representada por: 
F
t
	=	I	L	B	senθ 
Dessa	forma,	podemos	definir	o	torque	resultante	em	uma	espira	como:	
T = 2F
t 2
d
 
=	I	L	B	senθ
Unidade	[N.m]
Fontes de campo magnético
U3
126
Figura 3.20 | Torque sobre uma espira imersa em um campo magnético, conduzindo 
corrente
Fonte: Junior e Aquino (2010).
Paraa espira dada, temos L . d = A, sendo que A representa a área da espira:
T	=	I	A	B	senθ 
Pode	ser	definido	o	momento	magnético	[m]	de	uma	espira,	que	é	dado	por:
m	=	N	I	A
Unidade: A . m2
Sua representação vetorial é: 
m
→
 = m . a
n
^
A regra da mão direita define a orientação de a
n
^
.
O torque pode ser definido como:
T
→
= m
→
x B
→
Fontes de campo magnético
U3
127
exemplo de aplicação
Uma bobina retangular com 200 espiras de 0,3 x 0,15 m2 com uma corrente de 
5,0 A está em um campo uniforme de 0,2 T. Encontre o momento magnético e o 
torque máximo na bobina.
Resolução:
A = 0,3 x 0,15 = 0,045m2
m	=	nIA	=	200	x	5	x	0,045	=	45A	.	m2
T
max
 = m . B = 45 x 0.2 = 9 N . m
1. Uma carga q=0,1µC a uma velocidade v=2,5m/s entra 
perpendicularmente a um campo magnético, sofrendo 
uma força magnética F
mag
= 5.10-4N.
a) Determine o campo magnético.
b) Esquematize as grandezas envolvidas.
2. Uma espira é atravessada por uma corrente elétrica 
contínua. Em relação ao vetor campo magnético dentro 
da espira, podemos afirmar que: 
a) ele é constante e perpendicular ao plano da espira;
b) ele é nulo;
c) ele forma um ângulo de 60° com o plano da espira;
d) ele é variável e perpendicular ao plano da espira;
e) eles estão em planos diferentes.
3. Observe a figura a seguir, em que um condutor com 
comprimento de L = 0,20 m é atravessado por uma 
corrente I = 20A, gerando um campo magnético B = 5 . 10-3 
T. Podemos afirmar, em relação à força magnética, que:
Fontes de campo magnético
U3
128
a) ela será paralela ao plano, com direção de B
→
 e terá 
intensidade de F
mag
= 1 . 10-2N;
b) ela será normal ao plano, com direção para dentro da 
página e terá intensidade de F
mag
= 2 . 10-2N;
c) ela será paralela, na direção de A, e terá intensidade de 
F
mag
= 2 . 10-2N;
d) ela será nula;
e) ela será normal ao plano, na direção do observador e 
terá intensidade de F
mag
= 10-2N.
4. Considere três fios iguais que se encontram em paralelo 
e são atravessados por correntes de mesma intensidade e 
mesmo sentido, como mostra a figura a seguir. Sendo a 
força que o fio 1 faz sobre o fio 2 simbolizada por F
12
 e a 
força que o fio 1 faz sobre o fio 3, F
13
, qual o valor de F
12
F
13
?
F
13
Fontes de campo magnético
U3
129
5. Considere dois fios retilíneos e paralelos, como mostra a 
figura, sendo percorridos por correntes de igual intensidade, 
mas de sentidos opostos. Determine o campo magnético em:
a) Meia distância entre eles. 
b) A uma distância “a” acima do fio 1.
Fontes de campo magnético
U3
130
Fontes de campo magnético
U3
131
Seção 3
Fontes de campo magnético
Caro aluno, esta seção trará os conceitos sobre as fontes de campo magnético, 
mostrando diferentes tipos de condutores que, ao serem percorridos por corrente 
elétrica, geram um campo magnético. 
Veremos, então, o campo gerado em torno de um condutor retilíneo, de uma 
espira circular, de um solenoide e de um toroide, mostrando as características de 
cada condutor, como calcular a densidade de campo magnético em cada caso e 
o comportamento das suas linhas de campo.
Vamos lá?
Bons estudos!
3.1 Fontes do campo magnético
Sabemos que os ímãs naturais ou os ímãs permanentes que são feitos através 
de materiais magnetizados geram campos magnéticos. Esses campos podem 
também ser gerados pelas correntes elétricas em condutores. 
3.1.1 Campo magnético gerado em torno de um condutor retilíneo
Imagine	 um	 condutor	 retilíneo	 que	 é	 atravessado	 por	 uma	 corrente:	 a	
intensidade do seu campo magnético dependerá da intensidade dessa corrente. 
Se tivermos uma corrente intensa, teremos, por consequência, um campo intenso, 
com muitas linhas de campo distribuídas longe do condutor. Para uma corrente 
com pouca intensidade, teremos, portanto, poucas linhas de campo, mas mais 
próximas	ao	condutor,	como	pode	ser	observado	na	Figura	3.21.
Fontes de campo magnético
U3
132
Figura 3.21 | Campo elétrico em função da intensidade da corrente
Fonte: adaptado de Mussoi (2005).
O vetor B, que é denominado de densidade de campo magnético ou densidade 
de	fluxo	magnético,	será	tangente	às	linhas	de	campo	em	qualquer	ponto	(Figura	
3.22).
Figura 3.22 | Vetor B tangente às linhas de campo
Fonte: Mussoi (2005).
O vetor de densidade de campo magnético B sempre será 
tangente às linhas de campo.
Fontes de campo magnético
U3
133
Dessa	forma,	a	densidade	do	campo	B,	em	um	dado	ponto	P,	será	diretamente	
proporcional à corrente no condutor e inversamente proporcional à distância 
entre o centro do condutor e o ponto, dependendo do meio.
Isso	pode	ser	representado	por:
B = 
µ0	.	I
2πr
Onde:
•	 B:	densidade	de	campo	magnético	no	ponto	P	[T].
•	 r:	distância	entre	o	centro	do	condutor	e	o	ponto	P	[m].
•	 I:	intensidade	da	corrente	no	condutor	[A].
•	 µ0:	permeabilidade	magnética	no	vácuo:	4πr . 10-7 [ T . m
A
]
A equação acima é para condutores longos, ou seja, se a distância de r for bem 
menor que o comprimento L do condutor.
exemplo de aplicação
Considere um fio condutor retilíneo bem extenso atravessado por uma corrente 
de 2 A. Qual o campo magnético a uma distância de 50 cm? 
Resolução:
B = 
µ
0
.I
2πr = 
4π . 10-7 . 2
2πr = 
4 . 10-7
0,5
 = 8 . 10-7 T
3.2 Campo magnético gerado no centro de uma espira circular
Uma espira circular pode ser definida como um fio condutor que é curvado, 
formando	um	anel	circular.	Dessa	 forma,	quando	uma	espira	é	atravessada	por	
uma corrente, haverá a formação de um campo magnético ao seu redor.
As linhas de campo magnético formadas em uma espira circular podem ser 
determinadas pela regra da mão direita.
Os campos magnéticos de uma espira circular podem ser calculados através de:
B = 
µ
 
.	I
2r
Onde:
•	 B:	densidade	de	campo	magnético	no	centro	da	espira	circular	[T].
•	 r:	raio	da	espira	[m].
Fontes de campo magnético
U3
134
•	 I:	intensidade	de	corrente	na	espira	circular	[A].
•	 µ:	permeabilidade	magnética	do	meio	[	T	. m
A
].
A Figura 3.23 mostra que as linhas de campo geradas em um condutor em 
formato de espira estão concentradas em seu interior.
A Figura 3.24 traz o uso da regra da mão direita para determinação das linhas 
de campo.
exemplo de aplicação
Dada	uma	espira	circular	que	se	encontra	no	vácuo	com	um	diâmetro	de	4	cm	
e atravessada por uma corrente de 8 A, qual o campo elétrico no centro da espira?
Resolução:
Figura 3.23 | Linhas de campo em uma espira circular
Figura 3.24 | Regra da mão direita em espiras circulares
Fonte: Mussoi (2005).
Fonte: Mussoi (2005).
Fontes de campo magnético
U3
135
3.3 Campo magnético gerado no centro de uma bobina longa ou solenoide 
Chamamos de solenoide uma bobina longa obtida através de um fio condutor 
isolado, enrolado em espiras iguais, distribuídas lado a lado com espaçamentos 
iguais entre si. Ao ser atravessado por uma corrente, teremos a formação de um 
campo magnético no interior das suas espiras.
As linhas de campo também são orientadas conforme a regra da mão direita, 
sendo que será observado que no interior dos solenoides essas linhas são de fato 
paralelas, com mesmo sentido e mesmo espaçamento, o que caracteriza um 
campo uniforme nessa área.
Externamente ao solenoide, temos um campo bem intenso nas suas 
extremidades, havendo, portanto, uma grande quantidade de linhas de campo. 
Já na região longe das extremidades, tem-se um campo magnético de baixa 
intensidade,	para	o	caso	de	um	solenoide	real,	sendo	que	para	um	ideal	(solenoide	
no	qual	o	seu	comprimento	é	muito	maior	que	o	diâmetro	das	espiras)	esse	campo	
deveria ser nulo. 
O comportamento desse condutor ao ser atravessado por uma corrente é 
parecido com um ímã de barra, em que uma das suas extremidades é o polo norte 
e a outra, o polo sul. 
B = 
µ.I
2r
 = 
4π . 10-7 x 8
2 . 2 . 10-2
 = 8π . 10-5 T
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
Artmed, 2006. 
Fontes de campo magnético
U3
136
Figura 3.25 | Campo magnético de um ímã e de um solenoide
Fonte:Mussoi (2005).
Dessa	forma,	podemos	definir	a	 intensidade	do	campo	magnético	dentro	do	
solenoide como:
B = 
µ.N.I
L
Onde:
•	 B:	densidade	de	campo	magnético	[T].
•	 N:	número	de	espiras	do	solenoide.
•	 I:	intensidade	de	corrente	que	percorre	o	solenoide	[A].
•	 L:	comprimento	longitudinal	do	solenoide	[m].
•	 µ:	permeabilidade	magnética	do	meio	(núcleo	do	solenoide)		[	T	. m
A
].
nota: Não confunda o comprimento longitudinal do solenoide com o 
comprimento do condutor do solenoide. 
O campo magnético solenoide possui as seguintes 
características:
Dentro de um solenoide, considerando o campo magnético 
como uniforme, as linhas de campo serão paralelas entre si. 
E, quanto mais comprido for o solenoide, mais uniforme será 
seu campo magnético interno e mais fraco o campo magnético 
externo.
Fontes de campo magnético
U3
137
Podemos inserir no interior de um solenoide um material ferromagnético 
(objeto	de	ferro),	constituindo	um	eletroímã	e	aumentando	o	campo	magnético.	Os	
eletroímãs são usados para transporte e seleção de sucatas, disjuntores, caixas de som, 
amplificadores de música, entre outros. A Figura 3.26 traz um exemplo de eletroímã.
exemplo de aplicação
Considere um solenoide percorrido por uma corrente de 0,4 A, e possuindo 
10 mil espiras por metro. Qual será o campo magnético no interior do solenoide? 
Dado		µ=4π x 10-7 T.A /m.
Resolução:
B = 
µ.N.I
L
 = 
4π . 10-7 x 10.000 x 0,4
1
 = 16π . 10-4 T
Figura 3.26 | Eletroímã 
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
em um eletroímã, o campo magnético só existe quando a corrente 
elétrica está passando. Um bom exemplo é a campainha de casa. 
Quando ela é acionada, o circuito eletrônico dentro do sino se 
fecha em um ciclo elétrico, e ele é então acionado, permitindo que a 
eletricidade flua e gerando um campo magnético, como consequência 
causando o barulho da campainha.
e na amplificação de sons, qual a função dos eletroímãs? 
Fontes de campo magnético
U3
138
3.4 Campo magnético gerado por um toroide
Um toroide ou uma bobina toroidal nada mais é que um solenoide no formato 
de anel, sendo que o seu núcleo pode ser constituído de ar ou de algum material 
ferromagnético. A Figura 3.27 mostra um modelo de toroide.
É observado nos toroides que eles têm uma grande capacidade de concentração 
das	linhas	de	campo.	Dessa	forma,	o	campo	magnético	em	um	toroide	pode	ser	
calculado por:
B = 
µ.N.I
2.π.r 
Onde:
•	 B:	densidade	de	campo	magnético	no	interior	do	toroide	[T].
•	 N:	número	de	espiras	da	bobina	toroidal.
•	 I:	intensidade	de	corrente	no	condutor	da	bobina	[A].
•	 r:	raio	médio	do	toroide	[m].
•	 µ:	permeabilidade	magnética	do	meio	no	 interior	das	espiras	do	toroide	
(núcleo)		[	T	. m
A
].
Observe que o raio médio do toroide consiste no raio da circunferência no 
meio do núcleo do toroide, como mostra a Figura 3.28. Tenha sempre o cuidado 
Figura 3.27 | Toroide
Fonte: Mussoi (2005).
Fontes de campo magnético
U3
139
de não o confundir com o raio externo ou interno, nem com o raio das espiras. 
O sentido das linhas de campo que se encontram no núcleo de um toroide 
também é determinado pela regra da mão direita, como mostra a Figura 3.29. 
Os toroides possuem grande utilização para medir características 
comportamentais dos materiais magnéticos, devido à sua capacidade de 
concentração de quase todas as linhas de campo dentro do núcleo.
Figura 3.28 | Núcleo do toroide
Figura 3.29 | Sentido das linhas de campo no toroide
Fonte: Mussoi (2005).
Fonte: Mussoi (2005).
Fontes de campo magnético
U3
140
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
Artmed, 2006. 
exemplo de aplicação
Considere um toroide de 1000 voltas, com raio interno de 1 cm e raio externo 
de 2 cm, percorrido por uma corrente de 1,5 A. Qual será o campo magnético a 
uma	distância	de	1,	10	cm	da	origem?	Dado	µ=	4π x 10-7 T . A /m.
Resolução:
B = 
µ.N.I
2.π.r = 
4 . π . 10-7 x 1000 x 1,5
2 . π . 1,10 . 10-2 = 
6 . 10-4
2,2 . 10-2 = 2,7 . 10
-2T
1. Sabemos que um solenoide possui espiras iguais, 
distribuídas lado a lado com espaçamento igual. Podemos 
afirmar, em relação a essas espiras:
a) Elas se atraem.
b) Elas se repelem.
c) Não há nenhuma ação entre elas.
d) Elas se anulam.
e) Elas possuem uma tensão induzida.
2. Considere uma espira circular no vácuo percorrida por 
uma corrente de I = 9A. O diâmetro dessa espira é dado 
por d = 6πcm. Calcule o valor de densidade de campo 
magnético.
3. Considere uma espira circular percorrida por uma 
corrente elétrica constante. Em relação ao campo 
Fontes de campo magnético
U3
141
magnético no centro da espira, podemos afirmar que:
a) ele será nulo;
b) ele será constante e perpendicular ao plano;
c) ele será variável e perpendicular ao plano;
d) ele será constante e paralelo ao plano;
e) ele será variável e paralelo ao plano.
4. Dado um condutor retilíneo com comprimento de L = 
0,20 m sendo atravessado por uma corrente elétrica i = 2 A, 
esse é colocado em um campo magnético de intensidade 
B=2.10-4T. Determine a força magnética para:
a) O condutor retilíneo colocado de forma paralela às 
linhas de campo.
b) O condutor retilíneo colocado de forma perpendicular 
às linhas de campo.
5. Considere duas espiras dispostas perpendicularmente, 
tendo o mesmo raio de 2πcm e atravessadas por uma 
corrente de i
1
 = 4A e i
2
 = 3A. Qual será a resultante do vetor 
campo magnético? Dado µ = 4 π x 10-7 T.A/m.
Mensagem final ao aluno
Caro aluno, chegamos ao fim de mais uma unidade e você pôde ver importantes 
conceitos do eletromagnetismo. Eles são essenciais para que você entenda os 
conceitos de campo eletromagnético e como podem ser gerados os campos 
magnéticos através das correntes elétricas em condutores. Essas fontes de campo 
eletromagnético são utilizadas para as funcionalidades comuns do dia a dia, como 
ligar	um	interruptor,	válvulas	de	controle,	ignição	de	um	automóvel,	entre	outros.
É importante que você aprofunde os estudos nos temas discutidos, estendendo, 
dessa forma, o seu conhecimento.
Lembre-se: você é a principal ferramenta do seu conhecimento!
Bons estudos!
Fontes de campo magnético
U3
142
U3
143Fontes de campo magnético
Referências
ABUD, Ricardo. Força magnética. São Paulo: USP, 2008.
ARAÚJO, Ives; MOREIRA, Marco. Breve Introdução à Lei de Gauss para a 
eletricidade e à Lei de Ampère – Maxwell. Universidade Federal do Rio Grande 
do Sul, 2011.
CARDOSO, Celso. Fontes do campo magnético. São Paulo: UEP, 2009.
DIAS, Rodrigo. Fontes de campo magnético. Universidade Federal de Juiz de 
Fora, 2011. 
EDMINISTER, Joseph A. Teoria e problemas de eletromagnetismo. Porto Alegre: 
Bookman, 2006.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. 3, Livros Técnicos 
e Científicos. 9. ed. Rio de Janeiro: Editora S.A., 2012.
HAYT, J. R.; William H. Eletromagnetismo. 8. ed., Rio de Janeiro: LTC, 2006.
JUNIOR, Naasson; AQUINO, Claudio. Eletromagnetismo. Universidade Estadual 
Paulista, 2010.
KRAUS, John Daniel. Electromagnetics. 4th ed. New York: McGraw-Hill, 1992.
MUSSOI, Fernando. Fundamentos de eletromagnetismo. Centro Federal de 
Educação Tecnológica de Santa Catarina. 2005.
OLIVEIRA, Vagner; VEIT, Eliane; ARAÚJO, Ives. Uma proposta de ensino de 
tópicos de eletromagnetismo via instrução pelos colegas e ensino sob 
medida para o ensino médio. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 2010.
SADIKU, Matthew N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2012.
Unidade 4
indUção 
eletroMAGnétiCA
Cibele Abreu Makluf
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta unidade, você terá a oportunidade de estudar e compreender:
•	 Os	principais	conceitos	sobre	a	indução	eletromagnética.
•	 Os	princípios	do	fluxo	magnético.
•	 Como	calcular	um	fluxo	magnético.
•	 Os	fundamentos	da	lei	de	Faraday	e	da	Lei	de	Lenz.
•	 Como	calcular	a	força	eletromotriz	produzida	em	um	movimento.
•	 Os	principais	conceitos	dos	campos	elétricos	induzidos.
•	 Indução	eletromagnética.
•	 Fluxo	eletromagnético.•	 Lei	de	Faraday.
•	 Lei	de	Lenz.
Seção 1 | Indução eletromagnética
Indução eletromagnética
U4
146
•	 Força	eletromotriz	produzida	pelo	movimento.
•	 Campos	elétricos	induzidos.
•	 Corrente	de	Foucault.
•	 Circuitos	magnéticos.
Seção 2 | Força eletromotriz
Indução eletromagnética
U4
147
Introdução à unidade
Caro aluno, você verá, nesta unidade, alguns conceitos sobre o eletromagnetismo. 
Vamos estudar a indução eletromagnética. Ela é responsável por muitos processos do 
nosso dia a dia, como a produção de energia elétrica. 
Vamos iniciar nosso estudo vendo os conceitos da indução eletromagnética e as 
particularidades do fluxo magnético.
Na sequência, estudaremos os fundamentos das leis de Faraday e de Lenz, 
essenciais para o entendimento dos fenômenos eletromagnéticos, por exemplo, o 
funcionamento do transformador e a geração de energia elétrica, e veremos também 
algumas importantes características dos circuitos magnéticos.
Você é essencial nesse processo.
Bom trabalho!
Indução eletromagnética
U4
148
Indução eletromagnética
U4
149
Seção 1
Indução eletromagnética
Caro aluno, esta seção apresenta os conceitos da indução eletromagnética. 
Você verá de que forma a variação do campo magnético induz uma força 
eletromotriz e como calcular o fluxo magnético na superfície de uma espira. 
Falaremos também sobre os fundamentos de importantes leis da indução 
eletromagnética, a Lei de Faraday e a Lei de Lenz. 
Todos esses conceitos são importantes para a compreensão de muitos 
fenômenos da eletricidade e do magnetismo, por exemplo, saber como funciona 
um transformador. 
Vamos lá?
Bons estudos!
introdução 
Conforme foi visto na Unidade 3, Oersted, através dos seus experimentos, 
descobriu	que	a	corrente	elétrica	é	capaz	de	gerar	campo	magnético.	Dessa	forma,	
os estudos prosseguiram e outros cientistas pesquisaram para saber se o inverso 
seria possível, ou seja, se o campo magnético seria capaz de gerar correntes. Michael 
Faraday descobriu que isso era possível, já que ele estabeleceu uma corrente elétrica 
no condutor variando seu campo magnético através da sua superfície.
Uma das experiências de Faraday é apresentada na Figura 4.1.
Indução eletromagnética
U4
150
Figura 4.1 | Modelo das experiências de Faraday
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Uma espira encontra-se ligada em um galvanômetro, como mostra a Figura 4.1, 
sendo esse um equipamento usado para medir baixas intensidades de corrente 
elétrica, e, não tendo nenhuma fonte para criar uma força eletromotriz, é esperado 
que o medidor não detecte correntes elétricas no condutor. 
Se	 movimentarmos	 um	 dos	 polos	 do	 ímã	 (afastando	 ou	 aproximando)	 em	
relação à espira da Figura 4.1, verificaremos que ocorre uma deflexão no ponteiro do 
galvanômetro, mostrando que há corrente. Se o ímã for colocado em repouso em 
relação à espira, o galvanômetro não indicará mais a presença de corrente elétrica.
Foi percebido que, ao aproximarmos o polo norte de um ímã da espira, o 
ponteiro do amperímetro é defletido em um sentido, e, ao ser afastado o polo 
norte da espira, o ponteiro é defletido no sentido contrário, sendo que, quanto 
mais rápido esse movimento de aproximar ou afastar o ímã da espira, mais intensa 
será a corrente produzida, chamando esse processo de indução eletromagnética. 
Chamamos a corrente gerada de corrente elétrica induzida e da força eletromotriz 
A força eletromotriz ou FeM é uma propriedade do dispositivo, 
principalmente de geradores, de produzir correntes elétricas em 
circuitos. é uma grandeza escalar, e devemos ter o cuidado de não a 
confundir com a diferença de potencial elétrico (ddp), já que possuem 
a mesma unidade.
Indução eletromagnética
U4
151
1.2 o fluxo magnético
O	fluxo	magnético	(φ)	na	espira	com	área	A	que	se	encontra	em	um	campo	B	
uniforme é:
φ = B . A . cosθ
Sendo θ o ângulo entre B e a normal n a espira. Observe a Figura 4.2.
Unidade:	Weber	[Wb]
de força eletromotriz induzida.
o microfone é formado por um ímã permanente, que é envolto por 
uma bobina móvel e uma membrana. Quando as ondas sonoras 
chegam ao microfone, temos a vibração dessa bobina, fazendo com 
que a membrana também vibre. o ímã faz com que tenhamos um 
campo magnético dentro do microfone, e a movimentação dessas 
ondas sonoras faz com que uma tensão elétrica seja induzida na 
bobina. os sons do microfone são transformados dessa forma em 
oscilação de tensão dentro da bobina. 
Tela de proteção
Membrana
Bobina móvel ligada à 
mebrana
Ímã fixo
Indução eletromagnética
U4
152
Figura 4.2 | Fluxo magnético
Figura 4.3 | Fluxo de acordo com 
Fonte: Nascimento et al. (2012).
Fonte: Nascimento et al. (2012).
Caso tenhamos n espiras, a equação pode ser reescrita:
φ = n . B . A . cosθ
Onde n é o número de espiras.
Observe a Figura 4.3.
Observa-se na Figura 4.3 a que a espira está inclinada em relação ao vetor B. 
Dessa	forma,	ela	será	atravessada	por	uma	quantidade	de	linhas	de	indução	menor	
se comparada com o exemplo b, em que a espira se encontra perpendicular ao vetor 
B, o que indica que o fluxo magnético será menor em a do que em b. No exemplo c, 
Indução eletromagnética
U4
153
a espira encontra-se paralela ao campo, não sendo, portanto, atravessada por linhas 
de indução, e o fluxo será zero. 
Fluxo	magnético	(φ)	mede	o	número	de	linhas	de	indução	que	cruzam	a	
superfície da espira.
Se o fluxo magnético de um circuito variar com a passagem do tempo, surge no 
circuito uma força eletromotriz induzida.
exemplo de aplicação
Um campo magnético atua perpendicularmente sobre uma espira circular de raio 
10 cm, gerando um fluxo de indução magnética de 1 Wb. Qual o campo magnético?
Resolução:
A = πr2 → 3,14	.	(0,1)2 = 0,0314m2
φ = B . A . cosθ
B = 
φ
A . cosθ → 
φ
A secθ
B = 1
0,0314
 sec0° → B ≅ 31,83 T
1.2.1 Variação do fluxo magnético
A. intensidade do campo magnético
A intensidade do campo magnético está ligada ao número de linhas de indução. 
Assim, quanto mais intenso for o campo, maior o número de linhas atravessando a 
superfície, e, consequentemente o fluxo através dela será aumentado.
O fluxo magnético é aumentado quando aproximamos a espira circular do polo 
norte de um ímã, já que durante essa aproximação as linhas de campo que estão 
saindo do polo norte do ímã entram na superfície da espira.
Se	 afastarmos	 da	 espira	 o	 polo	 norte	 do	 ímã,	 o	 fluxo	 será	 diminuído.	 Isso	 é	
ocasionado porque as linhas de campo que cruzam a superfície da espira irão diminuir.
B. Área da superfície
A área da superfície da espira determina o número de linhas de campos que irão 
atravessá-la, ou seja, se tivermos uma grande área, um maior número de linhas de 
campo irá atravessar essa superfície. Assim, maior será o fluxo magnético.
C. Ângulo 
A variação do fluxo magnético está diretamente ligada à variação do ângulo entre 
Indução eletromagnética
U4
154
as linhas de campo e o vetor normal. Para conseguir essa variação, basta girar uma 
espira dentro de um campo constante.
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
Artmed, 2006. 
o alto-falante é formado por um ímã permanente envolvido por uma 
bobina móvel, que se encontra conectada a um cone, geralmente 
de papelão. Quando o alto-falante se encontra conectado a um 
microfone, ele faz a conversão da tensão elétrica em som. A corrente 
elétrica que vem do microfone atravessa a bobina, sendo que esta 
está sujeita ao campo magnético gerado pelo ímã. A bobina é então 
movimentada através das forças magnéticas que são geradas por esse 
campo, ocasionado a vibração do cone. temos também a vibração do 
ar que se encontra junto ao cone, ocorrendo, portanto, a reprodução 
do som que foi absorvido pelo microfone.
Cone
Ímã
Bobina 
móvel
Alto-falante
Indução eletromagnética
U4
155
exemplo de aplicação
Considere uma espira de área 2,4 . 10-1 m2 colocada perpendicularmente a um 
campo B de 3 . 10-2	T.	Determine	o	fluxo	magnético.
Resolução:
Como a espiraestá perpendicular ao campo B, o θ=0°. 
θ = B . A . cosθ
θ = 3 . 10-2 x 2,4 . 10-1	x	cos(0°)
θ = 7,2 . 10-3 Wb
1.3 lei de Faraday
Através dos seus experimentos, Faraday concluiu que uma força eletromotriz é 
induzida e gera uma corrente elétrica induzida por meio de uma variação do fluxo 
magnético na superfície da espira. Em outras palavras, isso significa que, sempre 
que	houver	a	variação	(aumento	ou	diminuição)	dos	números	de	linhas	de	campo	
magnético por meio de uma superfície de um condutor, uma força eletromotriz, 
que é responsável pela geração de corrente elétrica, será induzida no condutor. 
Observe a Figura 4.4.
Como vimos anteriormente, ao aproximarmos a espira do polo norte do ímã, 
teremos um aumento do fluxo na sua superfície e pode ser verificado que uma 
corrente elétrica induzida irá surgir na espira, já que houve variação na quantidade 
de linhas de campo. Se o movimento agora fosse de afastamento, teríamos da 
mesma forma uma variação do fluxo e uma corrente induzida, já que o afastamento 
do ímã causa uma diminuição no número de linhas do campo que atravessa a área 
da espira. A diferença entre as duas situações é que, quando aproximamos o polo 
norte do ímã, a corrente elétrica é gerada em um sentido, e quando afastamos, a 
corrente induzida gerada será no sentido oposto.
Figura 4.4 | Ímã e uma espira circular
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Indução eletromagnética
U4
156
A geração de corrente elétrica induzida não se dá apenas pelo afastamento 
ou aproximação de um ímã de uma espira. Para que isso ocorra, basta que 
tenhamos uma variação do fluxo magnético na espira, que pode ser conseguida, 
como mencionamos anteriormente, através da variação: intensidade do campo 
magnético, área da superfície ou ângulo. 
A lei da indução eletromagnética de Faraday:
A	força	eletromotriz	induzida	(fem)	na	espira	condutora	é	proporcional	
à variação das linhas de campo magnético que cruzam a espira em um 
determinado tempo.
Isso	significa	que:
•	 Quanto maior a variação do fluxo, maior a intensidade da força eletromotriz 
induzida.
•	 Quanto	 mais	 rapidamente	 ocorrer	 a	 variação	 do	 fluxo	 (menos	 tempo),	
maior a fem induzida e, por consequência, maior corrente induzida.
Dessa	forma,	a	Lei	de	Faraday	pode	ser	escrita:
ε = - 
∆φ
∆t = - 
dφ
mag
dt
Unidade:	Volts	(v)
O sinal negativo é um indicativo de que a fem se opõe a quem a originou, e é a 
chamada lei de Lenz, que veremos em detalhes mais à frente.
Onde:
•	 	ε: fem induzida.
•	 	∆φ: variação de fluxo. 
•	 	∆t: intervalo de tempo.
nas hidrelétricas, a energia potencial do volume de água represado 
é transformada em energia elétrica por um processo fundamentado 
Indução eletromagnética
U4
157
exemplo de aplicação
Considere uma espira circular de 300 voltas e com um raio de 4 cm, sendo que 
o eixo dessa espira forma um ângulo de 30° com o campo magnético, e esse varia 
a	uma	taxa	de	85	T/s.	Qual	o	módulo	da	força	eletromotriz	produzida	na	espira?
Resolução:
A = π(0,04)2 = 5 . 10-3 m2
φ = N . B . A . cosθ
φ = 300 . 85 . 5 . 10-3	.	cos(30)
φ = 111Wb
|ε| = ∆φ
∆t
 = 111
1
 = 111V
1.4 lei de lenz
A lei de Lenz determina o sentido da corrente elétrica que foi induzida no 
condutor:
Em um condutor, sua fem induzida terá sentido oposto à variação que a induziu.
Vamos observar a Figura 4.5, em que temos novamente um ímã e uma barra 
circular.
na lei de Faraday. esse processo é baseado no movimento dos 
eletroímãs que se encontram junto ao eixo do rotor da turbina, que 
se encontra abaixo do nível da água, e ela gira ao sofrer a ação da 
água em direção a suas pás. o movimento do eletroímã faz com que 
os enrolamentos do estator fiquem imersos em um fluxo magnético 
variável, surgindo, dessa forma, uma tensão de 15.000 V, que é elevada 
através das subestações elevadoras para cerca de 300.000 V. dessa 
forma, através das linhas transmissoras, a tensão vai sendo distribuída 
para as estações abaixadoras e então aos consumidores, sendo que 
para residências a tensão que chega será de 127 V e 220 V.
Indução eletromagnética
U4
158
Figura 4.5 | Ímã aproximado de uma espira
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Ao aproximarmos a espira do polo norte do ímã, haverá o aumento do fluxo 
com geração de corrente induzida. O sentido dessa corrente será contrário a essa 
variação.	Devido	a	isso,	surgirá	entre	o	ímã	e	a	espira	uma	força	de	repulsão,	em	
que a face da espira que se encontra voltada para o ímã estará se comportando 
dessa forma como o polo magnético norte. Para que isso ocorra, a corrente elétrica 
induzida deve estar no sentido anti-horário sob ponto de vista do observador.
Para que o ímã seja empurrado em direção à espira, vencendo a força repulsiva 
que surge, é necessária a ação de um agente externo. A energia que foi fornecida 
pelo agente para aproximar o ímã e a espira será, então, convertida em fem induzida 
e, por consequência, em corrente elétrica.
Diferença de FEM e fem
A Força eletromotriz ou (FEM), definida pelo símbolo ε, é a 
propriedade que um dispositivo tem de produzir corrente 
elétrica no circuito. Ela é escalar, não devendo haver confusão 
com a diferença de potencial elétrico (ddp), já que possuem a 
mesma unidade (volts). 
Para explicar a fem, observe a figura a seguir, em que temos 
Indução eletromagnética
U4
159
Agora, vamos observar a Figura 4.6, em que o polo norte do ímã está sendo 
afastado da espira.
um condutor reto que se movimenta em um campo B, gerado 
por um ímã, sendo que o campo magnético é uniforme e está 
perpendicular ao plano do fio.
Os elétrons livres que se encontram dentro do condutor também 
serão submetidos à força de origem magnética atuante no 
condutor, sendo que a regra da mão direita determina o seu 
sentido. Esses elétrons se concentram na parte inferior do condutor 
e, como consequência, a outra extremidade ficará positiva.
As cargas que se concentram nos extremos do condutor 
geram um campo elétrico E, devido a isso, serão submetidas 
a uma força elétrica (Fe), que terá o sentido oposto à força 
magnética. Quando houver um equilíbrio dessas forças 
(elétrica e magnética), surgirá uma ddp entre os extremos do 
fio equivalente à força eletromotriz, que, para o caso mostrado, 
será denominada de força eletromotriz induzida.
Indução eletromagnética
U4
160
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Figura 4.6 | Afastamento de um ímã e uma espira
Como já foi visto, com o afastamento da espira do polo norte do ímã, haverá 
uma diminuição do fluxo magnético. Conforme acontece com a aproximação, no 
afastamento a corrente elétrica induzida também será gerada no sentido oposto à 
variação. Teremos agora uma força de atração entre o ímã e a espira, e a face da 
espira que se encontra voltada para o ímã irá se comportar como o polo sul. Para que 
isso ocorra, é necessário que a corrente elétrica induzida esteja no sentido horário. 
Outra forma de analisar a lei de Lenz está na Figura 4.7. Vemos uma haste 
condutora em contato com guias metálicas, sendo que a haste pode deslizar sobre 
as guias metálicas. As guias e a haste encontram-se numa região com um campo 
magnético uniforme, que entra no plano da figura de forma perpendicular.
Aproximando a espira e o polo norte do ímã, teremos uma 
corrente induzida no sentido anti-horário. Caso agora a 
aproximação ocorra entre a espira e o polo sul do ímã, o sentido 
da corrente induzida será horário.
Afastando a espira do polo norte do ímã, teremos uma corrente 
induzida no sentido horário. Caso afastemos da espira o polo 
sul do ímã, o sentido da corrente será anti-horário.
Indução eletromagnética
U4
161
Figura 4.7 | Haste condutora e guias metálicas
Na Figura 4.7, a podemos observar a área formada pela haste e pela guia metálica, 
que é atravessada por linhas de campo perpendiculares ao plano. Para o caso b, a 
haste foi movimentada para a direita, aumentando a quantidade de linhas de campo 
que cruzam a área entre as guias metálicas e a haste, variando o fluxomagnético. 
Dessa	forma,	como	foi	visto,	quando	ocorre	a	variação	do	fluxo,	temos	a	geração	
de uma corrente induzida, que produz um campo magnético induzido oposto à 
variação do fluxo magnético no indutor.
A lei de Lenz pode ser também anunciada como:
A corrente elétrica induzida possui sentido tal que gera um campo magnético 
induzido contrário à variação do campo magnético no indutor.
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Indução eletromagnética
U4
162
Você sabia que os cartões de banco têm uma tarja magnética formada 
por partículas minúsculas magnetizáveis repartidas em uma sequência 
de áreas magnetizadas e não magnetizadas? essa sequência é o 
código binário que possui os dados do dono do cartão. o aparelho 
que faz a leitura do cartão é constituído de bobina, que se encontra 
enrolada em um núcleo formado de ferro. Quando inserimos o cartão 
em um caixa eletrônico, por exemplo, ocorre a indução de uma 
corrente variável na bobina. dessa forma, um computador recebe os 
sinais elétricos, decodificando as informações contidas no cartão.
1. Em uma espira circular, podemos afirmar, em relação à 
sua corrente induzida:
a) Ela será nula se o fluxo que atravessa a espira se mantiver 
constante.
b) Ela terá sentido igual à variação do fluxo.
c) Ela será inversamente proporcional à variação do fluxo 
ao longo do tempo.
d) Ela será maior proporcionalmente ao aumento da 
resistência da espira.
e) Ela não irá se alterar, qualquer que seja a resistência da 
espira. 
2. Considere uma espira quadrada de lado 2 cm imersa em 
um campo uniforme de 2 T. Qual o fluxo de indução para: 
a) Plano da espira em paralelo às linhas de indução.
b) Plano da espira perpendicular às linhas de indução.
c) A reta normal formando um θ = 60° com as linhas de 
indução.
Indução eletromagnética
U4
163
3. Considere uma espira retangular que possui as seguintes 
dimensões: 15 cm de largura e 20 cm de comprimento, e 
está em um campo de indução magnética de 10 T, como 
mostra a figura. É formado um ângulo de 30° entre as 
linhas de indução e o plano da espira. Qual será o fluxo de 
indução magnética?
4. Um fluxo magnético atravessa uma espira de acordo 
com a expressão em função do tempo: φ
B
=6t2 + 7t, onde 
t é segundos e φ
B 
em mWb. Qual o valor da fem induzida 
quando o tempo for 2s?
5. Observe a figura a seguir, em que um ímã se encontra em 
um carrinho em movimento a uma velocidade constante 
sobre um trilho. O trilho é envolvido por uma espira 
metálica. Em relação à corrente elétrica, podemos afirmar:
a) Será sempre nula.
b) Só existirá se o ímã estiver próximo da espira.
c) Só existirá se o ímã estiver dentro da espira.
d) Só existirá se o ímã se afastar da espira.
e) Existirá se o ímã se aproximar ou se afastar da espira.
Indução eletromagnética
U4
164
Indução eletromagnética
U4
165
Seção 2
Força eletromotriz
Caro aluno, esta seção apresenta os conceitos e particularidades da força 
eletromotriz produzida pelo movimento dos campos elétricos induzidos. 
Falaremos também sobre as correntes de Foucault, muito utilizadas em 
aparelhos do nosso dia a dia, como detectores de metais e freios magnéticos. 
Além disso, veremos os circuitos magnéticos, importantes por estabelecer uma 
ponte entre o eletromagnetismo e sua aplicação no funcionamento das máquinas 
elétricas.
Todos esses conceitos são importantes para a compreensão de muitos 
fenômenos da eletricidade e do magnetismo.
Vamos lá?
Bons estudos!
2. Força eletromotriz produzida pelo movimento
A	força	eletromotriz	(fem)	pode	ser	definida	como	o	trabalho	para	se	deslocar	
uma carga em um circuito.
Observe a Figura 4.8, em que temos um condutor PQ que se encontra em um 
campo uniforme B
→
. 
Figura 4.8 | Condutor em campo uniforme
Fonte: Elaborada pelo autor.
Indução eletromagnética
U4
166
Quando o condutor se movimentar com uma dada velocidade v
→
constante, 
de forma perpendicular ao seu comprimento e ao campo B
→
, as partículas que se 
encontram carregadas em seu interior serão submetidas a uma força magnética 
dada por F
→
= qv
→
x B
→
, sendo que esta terá a mesma direção do condutor. O 
sentido da força irá depender da carga: se a carga for positiva, a força será no 
sentido QP; caso a carga seja negativa, o sentido será PQ. Podemos notar pela 
figura que, na extremidade P, temos um excesso de cargas positivas, enquanto 
para Q temos de cargas negativas.
Vamos	 supor	 agora	 que	 um	 condutor	 móvel	 se	 desloque	 através	 de	 outro	
condutor	imóvel	em	formato	de	U,	como	mostra	a	Figura	4.9.
Inicialmente	sobre	o	condutor	bcd	não	há	forças	agindo,	já	que	ele	se	encontra	
parado. Podemos observar que temos a formação de um circuito fechado abcd, 
com a geração de uma corrente com o sentido horário. Como essa corrente 
flui no circuito, as cargas excedentes que se encontravam nas extremidades do 
condutor vão diminuindo, e uma força magnética faz com que os elétrons livres 
do condutor se movimentem de P para Q. Enquanto houver movimentação no 
condutor, haverá um contínuo deslocamento dos elétrons livres no sentido anti-
horário.	Assim,	o	condutor	móvel	será	um	gerador	de	fem.	
Podemos, então, definir a fem de movimento utilizando a fem ε:
ε = E
→
. dl
→
= . F
→
q
 . dl
→
 = ( v
→
x B
→
)	.	 dl
→
Sabemos que a velocidade v
→
não é nula somente no segmento PQ que possui 
um	dado	comprimento	l.	Dessa	forma,	a	integral	no	percurso	fechado	abcd	pode	
ser reduzida a:
ε =
a
∫ ( v
→
x B
→
)	.	 dl
→
ε = B . l . v
Figura 4.9 | Movimento do condutor no campo
Fonte: O autor.
Indução eletromagnética
U4
167
Sendo l em metros e v em m/s.
Ao movimentarmos o condutor a uma velocidade v
→
, surge uma diferença de 
potencial V
PQ
 nas extremidades da haste que pode ser representada por:
V
PQ
 = E . l = v . l . B
Onde E é o campo elétrico. 
Quando a haste estiver em contato com outro condutor em forma de U, temos:
V
PQ
 = ε	=	B	.	l	.	v	=	R	.	I
Chamamos ε de tensão elétrica induzida.
Unidade: Volts.
De forma generalizada, podemos resumir a fem do movimento:
F
→
 = qv
→
 . B
→
dW = F
→
 . dl
→
dW = q d ε
q d ε = ( qv
→
 x B
→
) . dl
→
d ε = ( v
→
 x B
→
) . dl
→
ε = ∫ ( v
→
 x B
→
) . dl
→
dionísio, Paulo Henrique. A força eletromotriz de movimento 
e os fundamentos da teoria eletromagnética clássica. Revista 
Indução eletromagnética
U4
168
Brasileira de Ensino de Física, v. 32, n. 4, 2010. disponível em: 
<https://drive.google.com/file/d/0B4dWrkB2lh2sazg5a3BFVjkta0U/
view?usp=sharing>. Acesso em: 9 mar. 2016.
exemplo de aplicação
Considere um fio condutor de 60 cm de comprimento se movendo a uma 
velocidade de 40 m/s, perpendicular às linhas de um campo magnético de 
intensidade 12 T. Qual será sua tensão elétrica induzida?
Resolução:
ε = B . l . v
ε = 12 . 60 x 10-2 . 40
ε = 288V
2.2 Campos elétricos induzidos
Dado	um	solenoide	de	n	espiras,	como	mostra	a	Figura	4.10.
Figura 4.10 | Solenoide
Fonte: Dias (2012).
Indução eletromagnética
U4
169
O	campo	gerado	por	esse	solenoide	por	onde	flui	corrente	(I)	é:
B = n . µ
0
	.	I
Sendo n número de espiras.
A densidade de campo magnético na parte central de solenoide é: 
B = 
µ	.	n	.		I
l
Onde l é o comprimento longitudinal do solenoide em metros.
Na espira de área A, teremos um fluxo magnético com mesmo sentido e 
direção de B
→
e é dado por:
φ
B
 = B
→
. A = B . A
φ
B
 = µ
0
	.	n	.	I	.	A
Dessa	forma,	quando	a	corrente	que	circula	na	espira	variar	no	tempo,	a	fem	
induzida pode ser escrita por:
ε = dφB
dt
ε = -µ
0
 . n . A . dI
dt
Considerando	 uma	 resistência	 da	 bobina	 R,	 a	 corrente	 induzida	 I’	 pode	 ser	
determinada por:
I'=	 ε
R
 = µ0 . n . A
R
 dI
dt
A força que irá agir sobre as cargas, forçando-as a se mover ao longo do circuito, 
é o campo elétrico induzido no condutor que foi produzido através da variação do 
fluxo magnético.
Dessa	forma,	quando	uma	volta	é	completada	pela	carga	q,	temos:
W = q E
→
. dl
→
= q . ε
Assim o campo elétrico induzido não será conservativo,já que a integral de 
linha do campo elétrico no circuito fechado não é nula.
Mas ela é igual a:
Indução eletromagnética
U4
170
ε = E
→
. dl
→
ε =- 
dφ
B
dt
E 
→
. dl
→
= - 
dφ
B
dt
Essa	equação	só	pode	ser	utilizada	quando	o	percurso	na	integração	se	mantiver	
constante.
	Ainda	podemos	definir	a	equação	de	Maxwell	para	a	lei	de	indução	de	Faraday,	
utilizando o teorema de Stokes.
E 
→
. dl
→
= ∫
s
 (∇ x E 
→
)	.	dA
- dφ
B
dt
 = ∫
s
(-	
∂ B 
→
∂t
)	.	dA
∇ x E 
→
= - 
∂ B 
→
∂t
2.2 Força magnetizante (campo magnético indutor)
Em uma bobina, caso seja mantida constante sua corrente e seja alterado o 
material que constitui o núcleo, que se refere à permeabilidade magnética do meio 
(µ),	teremos	uma	alteração	na	densidade	de	fluxo	magnético.	
O	vetor	campo	magnético	indutor	(que	também	pode	ser	chamado	de	força	
magnetizante),	 representando	 por H
→
, corresponde ao campo magnético que 
é criado pela corrente elétrica na bobina, não dependendo da permeabilidade 
magnética do material do núcleo. 
Dessa	forma,	a	densidade	de	campo	magnético	é	definida	por:
B = 
µ	.	n	.	I
l
B
µ
 = 
n	.	I
l
E podemos definir:
H = 
B
µ
 
Indução eletromagnética
U4
171
O campo magnético indutor H de uma bobina é:
H = 
n	.	I
l
 
Onde:
•	 H:	campo	magnético	indutor	[Ae/m].
•	 n:	espiras	do	solenoide.
•	 I:	corrente	no	condutor	[A].
•	 l:	comprimento	do	núcleo	magnético	[m].
A orientação do vetor H
→
é semelhante ao vetor B
→
, não dependendo da 
permissividade magnética do meio.
Os	vetores	de	densidade	de	campo	magnético	( B
→
)	e	de	densidade	de	campo	
magnético	indutor	( H
→
)	podem	ser	relacionados	por:
B
→
 = µ . H
→
A densidade de fluxo B é a consequência da força magnetizante H em um 
dado meio µ.
Em um condutor retilíneo, a força magnetizante H será:
H = 
I
2πr
 
Para um material ferromagnético, é verificado que sua permeabilidade 
magnética não é constante, sendo isso mostrado na curva de magnetização do 
material	(Figura	4.11).
os materiais ferromagnéticos são aqueles que se magnetizam de 
forma intensa ao serem colocados em um campo magnético, tornando 
o campo magnético resultante bem mais intenso. Como exemplos 
desses materiais, temos o níquel, o ferro, o cobalto e suas ligas. 
Indução eletromagnética
U4
172
Figura 4.11 | Curva de magnetização para material ferromagnético
Fonte: Sambaqui e Marques (2010).
2.3 Força magnetomotriz 
Podemos	 definir	 a	 força	 magnetomotriz	 (fmm)	 em	 uma	 bobina	 como	 o	
agente que produz fluxo magnético no núcleo de um circuito magnético. Ela 
é definida por:
fmm	=	n	.	I
 Sendo:
•	 fmm:	força	magnetomotriz	[Ae].
•	 n:	espiras	do	solenoide.
•	 I:	corrente	no	condutor	[A].
Podemos ainda definir: 
B = 
µ	.	n	.	I
l
e
H = 
n	.	I
l
Como fmm = n . I, então:
H = 
fmm
l
fmm = H . l
Onde:
•	 H:	Campo	magnético	indutor	[Ae/m].
Indução eletromagnética
U4
173
•	 l:	comprimento	médio	do	caminho	magnético	[m].
Podemos definir a relutância magnética:
ℜ =
l
µ . A
 e
µ =
B
H
E pode ser reescrita como:
ℜ =
H . l
B . A
O fluxo já foi definido anteriormente como:
φ = B . A
Temos, então:
φ =
fmm
ℜ
Onde:
•	 φ:	fluxo	magnético	[Wb].
•	 ℜ:	relutância	magnética	[Ae/Wb].
exemplos de aplicação
Uma bobina de 25 espiras é percorrida por uma corrente de 4 A. Qual a 
força magnetomotriz total nessa bobina? 
Resolução:
fmm	=	n	.	I
fmm = 25 x 4 = 100 Amperes - espiras
2.4 Correntes de Foucault
Anteriormente, vimos a indução magnética em um condutor disposto 
em um campo magnético, e agora veremos que também é possível que 
essa indução magnética ocorra em um bloco metálico através de um fluxo 
magnético variável.
	 Vamos	 supor	 que	 tenhamos	 um	 bloco	 de	 ferro	 em	 que	 sua	 face	 ABCD	
esteja perpendicular em relação ao campo magnético, que é variável, como 
Indução eletromagnética
U4
174
apresentado na Figura 4.12. 
Vamos considerar a área da face como A. Ela será atravessada por um fluxo 
φ=| B
→
| . A. Caso o campo magnético seja variável, teremos também um fluxo 
variável. Na Figura 4.12, haverá no bloco metálico uma indução eletromagnética 
com o surgimento de correntes induzidas em forma de círculos, que estarão 
em planos perpendiculares a B
→
.
São denominadas correntes de Foucault as correntes que por indução 
aparecem em um material condutor, quando esse está sujeito a um fluxo 
magnético variável.
Para que se possam diminuir as perdas por causa das correntes de Foucault, 
o bloco metálico é laminado, ou seja, várias lâminas finas são juntadas, como 
mostra a Figura 4.12b.
Figura 4.12 | Blocos de ferro
Fonte: Nascimento et al. (2012).
Para que ocorra a diminuição das perdas pelas correntes de Foucault, 
partes de ferro de máquinas elétricas devem ser laminadas, e não 
blocos inteiros (maciços).
Indução eletromagnética
U4
175
2.5 Circuitos magnéticos
2.5.1 Campo magnético 
Um circuito magnético é formado por uma bobina de n espiras que se 
encontram enroladas no núcleo de um dado material ferromagnético, conforme 
a Figura 4.13.
Um bom exemplo da ocorrência das correntes de Foucault são os 
detectores de metais. esse tipo de equipamento é utilizado para 
verificação de objetos de metal no corpo ou na bagagem.
seu funcionamento é baseado na indução eletromagnética. ele é 
constituído de uma bobina que, ao ser percorrida por uma corrente 
elétrica, gera um campo magnético em seu núcleo. Quando ocorre a 
aproximação de um objeto de metal, a variação do fluxo magnético 
estimula as correntes de Foucault no objeto de metal. Como essas 
correntes são variáveis, elas produzem também campos variáveis que 
induzem novas correntes na bobina, e como consequência a corrente 
original será alterada. essa variação de corrente é identificada por um 
amperímetro, acionando os alarmes sonoros e luminosos.
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
Artmed, 2006. 
Indução eletromagnética
U4
176
Figura 4.13 | Elementos de um circuito magnético
Fonte: Sambaqui e Marques (2010).
Através da lei de Ampère, podemos definir a seguinte equação para o circuito 
da Figura 4.13.
n	.	I	=	H	.	l
Onde:
•	 H:	densidade	de	campo	magnético	[A	esp/m].
•	 B:	densidade	de	fluxo	(T).
•	 n:	número	de	espiras.
•	 I:	corrente	elétrica	(A).
•	 l:	caminho	magnético	médio	[m].
Podemos relacionar a força magnetomotriz, com o fluxo magnético e a 
relutância magnética, como mostrado na Seção 2.3, de forma semelhante a da 
Lei de Ohm: 
n	.	I	=	φ . ℜ
Assim, podemos dizer que a força magnetomotriz é semelhante à diferença 
de potencial na eletricidade, o fluxo magnético é similar à corrente elétrica e a 
relutância está para um circuito magnético como a resistência para um circuito 
elétrico. Essa analogia pode ser vista na Figura 4.14. 
Indução eletromagnética
U4
177
Fonte: Sambaqui e Marques (2010).
Figura 4.14 | Analogia entre circuito elétrico e circuito magnético
o estator e o rotor de uma máquina elétrica são feitos de material 
ferromagnético e encontram-se separados por um espaço vazio, 
denominado entreferro, que é preenchido com ar.
Quando um entreferro é adicionado a um circuito magnético, 
passamos a ter duas relutâncias, que são a do entreferro e a do 
material ferromagnético. A permeabilidade magnética do entreferro, 
quando comparada com o material ferromagnético, é bem pequena, 
ocasionando uma relutância bem maior. Assim, a relutância do 
material ferromagnético pode ser desprezada. 
Figura 4.15 | Circuito magnético com entreferro
Fonte: Sambaqui e Marques (2010).
Indução eletromagnética
U4
178
2.5.2 indutor
O capacitor armazena as cargas elétricas, produzindo um campo elétrico. 
De	forma	semelhante,	temos	o	indutor,	que	armazena	a	energia	de	um	dado	
campo	magnético	e	produz	um	campo	magnético	próximo	a	ele.
A simbologia do indutor é apresentada na Figura 4.16:
Quando o indutor é atravessado por corrente elétrica, tem-se a geração de um 
fluxo magnético φ. A indutância de um indutor pode ser calculada por: 
L = 
n . φI
Onde	L	é	a	indutância	do	indutor	e	sua	unidade	é	o	Henry	(H).
Podemos calcular a energia que é armazenada no indutor: 
E
L
 = 
1
2
.	L	.	I2
Onde E
L
	é	a	energia	armazenada	no	indutor	e	sua	unidade	é	Joules	(J).
2.5.3 Perdas em materiais ferromagnéticos
Em um circuito magnético, que é atravessado por uma corrente alternada, 
temos a produção de um campo magnético. Para esse caso, a densidade de 
fluxo magnético B, em relação ao campo indutor H, será em formato de laço, 
como mostra a Figura 4.17. Esse laço é chamado de laço de histerese, e mostra o 
comportamento não linear de um material ferromagnético.
Figura 4.16 | Simbologia utilizada para indutor
Fonte: Sambaqui e Marques (2010).
Indução eletromagnética
U4
179
As perdas por histerese em um dado material ferromagnético serão proporcionais 
à área do laço. Essa perda ocorre por causa da energia que é usada para rotacionar 
os domínios magnéticos para a direção de um campo magnético externo. 
Em um material ferromagnético, temos dois tipos de perdas: histerese e 
por correntes parasitas. A perda por correntes parasitas se dá devido à indução 
magnética,	 já	que	o	núcleo	do	material	está	sujeito	a	um	campo	variável.	Dessa	
forma, a perda por histerese pode ser definida como:
P
H
 = KH . Bn
max
 . f
onde	o	coeficiente	n	varia	entre	1,25	e	1,5.	A	densidade	de	fluxo	máxima	(B
max
)	
e a constante K
H
	dependem	do	material	ferromagnético	e	a	frequência	(f)	depende	
da frequência do campo magnético aplicado.
Figura 4.17 | Laço de histerese
Fonte: Sambaqui e Marques (2010).
As partes de um transformador podem ser vistas na Figura 4.18: 
Indução eletromagnética
U4
180
o enrolamento de espiras n
1
 é denominado de primário e está ligado 
a uma fonte de força eletromotriz alternada, que produz corrente 
elétrica alternada, sendo que para a corrente alternada, temos a 
variação de intensidade e sentido com o tempo. no enrolamento 
primário, a corrente elétrica aumenta sua intensidade até um valor 
considerado máximo, aumentando ainda o campo magnético e o 
fluxo magnético através do enrolamento de espiras n
2
, denominado 
de secundário. Com a variação do fluxo magnético no secundário, 
temos a geração de uma força eletromotriz induzida, e também 
temos a indução de uma corrente elétrica nesse enrolamento de 
espiras. Quando a corrente elétrica é diminuída no primário, o fluxo 
magnético também irá diminuir, e uma fem e uma corrente, ambas 
induzidas, serão geradas, já que houve a variação do fluxo magnético. 
A variação de fluxo magnético também é causada pela alteração do 
sentido da corrente elétrica, e não só pela sua intensidade. 
Caso o enrolamento primário esteja ligado a uma fonte de fem contínua, 
como pilha ou bateria, não teremos variação de fluxo no enrolamento 
secundário, e não teremos a geração de uma fem induzida.
é sempre desejado que não ocorram perdas de energia em um 
transformador, mas sempre teremos alguma perda. Um transformador 
ideal é aquele em que não há perdas, e temos a seguinte relação: 
Figura 4.18 | Transformador
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Indução eletromagnética
U4
181
n
p
n
s
 = 
ε
p
ε
s
onde: 
n
p
: espiras do primário.
n
s
: espiras do secundário.
ε
p
: fem do primário.
ε
s
: fem induzida no secundário. 
dizemos que temos um transformador rebaixador de tensão quando 
n
p 
> n
s
, já que a fem induzida no secundário ( ε
s 
) é menor que a fem 
do primário ( ε
p 
). Caso n
p
< n
s
 , temos um transformador elevador de 
tensão, em que a fem induzida no secundário é maior que a fem do 
primário.
Ainda para um transformador ideal, a potência de entrada do gerador 
(I
p 
.
 
ε
p
) é igual à potência de saída (I
s 
.
 
ε
s
). dessa forma: 
I
p 
.
 
ε
p 
= I
s 
.
 
ε
s
1. O anel mostrado na figura é atravessado por um fluxo 
magnético de φ=37mWb. O fluxo vai se tornar nulo quando 
a corrente que o produz for interrompida, no intervalo de 
1 ms. Qual será a intensidade média da força eletromotriz?
2. O gráfico a seguir mostra a relação de um campo que 
varia no tempo para uma espira quadrada de 10 cm de lado. 
Sendo a resistência elétrica do fio da espira R=0,2Ω, qual 
o valor da corrente induzida na espira entre t = 0 e t = 2 s?
1 ms. Qual será a intensidade média da força eletromotriz?
Indução eletromagnética
U4
182
3. Uma barra metálica de 2m se movimenta em um campo 
magnético a uma velocidade de v=216km/h. Uma diferença 
de potencial de V=3.10-3V é gerada nas extremidades dessa 
barra. Qual o valor do campo de indução magnética?
4. Em um campo magnético, é inserida uma espira circular 
com área A=1m2. É observado que esse campo diminui 
a uma taxa de B=2T/s. Qual é a intensidade da corrente, 
considerando a resistência do fio da espira R=4Ω?
5. Calcule o campo magnético indutor no núcleo de um 
solenoide, sendo esse de ferro, conforme a figura a seguir. 
Sabendo que a corrente que circula o solenoide é 2 A, g = 
0,25 cm e n = 200 e.
U4
183Indução eletromagnética
Referências
DIAS, Rodrigo. Indução eletromagnética. Universidade Federal de Juiz de Fora, 
2012.
EDMINISTER, Joseph A. Teoria e problemas de eletromagnetismo. Porto Alegre: 
Bookman, 2006.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 3. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2012.
HAYT, J. R.; WILLIAM, H. Eletromagnetismo. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
KRAUS, John Daniel. Electromagnetics. 4th ed. New York: McGraw-Hill, 1992.
MIRANDA, P. Força eletromotriz induzida. Universidade de Lisboa, 2010.
NASCIMENTO, Clovis et al. Eletromagnetismo. Universidade de São Paulo, 2012.
OLIVEIRA, Vagner; VEIT, Eliane; ARAÚJO, Ives. Uma proposta de ensino de 
tópicos de eletromagnetismo via instrução pelos colegas e ensino sob 
medida para o ensino médio. Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2010.
SADIKU, Matthew N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2012.
SAMBAQUI, Ana; MARQUES, Luis. Apostila de eletromagnetismo. Instituto 
Federal de Educação, Ciências e Tecnologia de Santa Catarina, 2010.
U
N
O
PA
R
PRIN
C
ÍPIO
S D
E ELETRIC
ID
A
D
E E M
A
G
N
ETISM
O
Princípios de 
eletricidade e 
magnetismo
	Página em branco
	Página em branco