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O
Princípios de 
eletricidade e 
magnetismo
Cibele Abreu Makluf
Princípios de eletricidade 
e magnetismo
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Makluf, Cibele Abreu 
 
 ISBN 978-85-8482-463-2
 1. Eletricidade. 2. Magnetismo. 3. Eletromagnetismo. I. 
 Título.
 CDD 537 
Makluf. – Londrina : Editora e Distribuidora Educacional 
S.A., 2016.
 184 p.
M235p Princípios de eletricidade e magnetismo / Cibele Abreu 
© 2016 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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Sumário
Unidade 1 | Princípios de eletricidade
Seção 1 - Eletrostática
1.1 | Carga elétrica
1.2 | Condutores e isolantes
1.3 | Princípios da eletrostática
1.4 | Lei de Coulomb
1.5 | Campo elétrico
1.6 | Linhas de força de um campo elétrico
1.7 | Potencial elétrico
1.8 | Energia potencial elétrica
Seção 2 - Correntes elétricas em movimento
2.1 | Corrente elétrica
2.2 | Tensão elétrica e resistência
2.3 | Lei de Ohm
2.4 | Associação de resistores
2.5 | Instrumentos básicos de medidas elétricas
 2.5.1 | Amperímetro
 2.5.2 | Voltímetro
 2.5.3 | Ohmímetro
 2.5.4 | Wattímetro
Unidade 2 | Campo magnético e forças magnéticas
Seção 1 - Introdução ao magnetismo
1.1 | Ímã e suas características
1.2 | Materiais magnéticos e não magnéticos
1.3 | Lei de Coulomb para o magnetismo
1.4 | Campo magnético e linhas de campo magnético
1.5 | Fluxo magnético
1.6 | Densidade de campo magnético
1.7 | Permeabilidade magnética
1.8 | Relutância magnética
9
13
13
16
17
18
21
25
27
29
35
35
41
47
48
53
53
53
53
54
59
63
66
70
71
72
73
74
75
77
Seção 2 - Movimento de partículas carregadas em um campo magnético
2.1 | Movimento de partículas carregadas em um campo magnético
2.2 | Força magnética
2.3 | Potencial de um polo magnético
2.4 | Potencial de um dipolo magnético
2.5 | O efeito Hall
Unidade 3 | Fontes de campo magnético
Seção 1 - Campo eletromagnético
1.1 | Campo magnético criado por correntes
1.2 | Lei de Ampère
 1.2.1 | Aplicações da lei de Ampère
Seção 2 - Força magnética sobre correntes
2.1 | Forças magnéticas sobre correntes
2.2 | Força magnética entre dois fios condutores paralelos
2.3 | Torque sobre uma espira percorrida por corrente – momento magnético
Seção 3 - Fontes de campo magnético
3.1 | Fontes do campo magnético
 3.1.1 | Campo magnético gerado em torno de um condutor retilíneo
3.2 | Campo magnético gerado no centro de uma espira circular
3.3 | Campo magnético gerado no centro de uma bobina longa ou solenoide
3.4 | Campo magnético gerado por um toroide
Unidade 4 | Indução eletromagnética
Seção 1 - Indução eletromagnética
1.1 | Introdução
1.2 | O fluxo magnético
 1.2.1 | Variação do fluxo magnético
1.3 | Lei de Faraday
1.4 | Lei de Lenz
Seção 2 - Força eletromotriz
2 | Força eletromotriz produzida pelo movimento
2.1 | Campos elétricos induzidos
2.2 | Força magnetizante (campo magnético indutor)
2.3 | Força magnetomotriz
2.4 | Correntes de Foucault
81
81
84
90
91
92
99
103
105
110
111
119
119
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125
131
131
131
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145
149
149
151
153
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165
168
170
172
173
2.5 | Circuitos magnéticos
 2.5.1 | Campo magnético
 2.5.2 | Indutor
 2.5.3 | Perdas em materiais ferromagnéticos
175
175
178
178
Apresentação
Caro aluno, o estudo dos princípios de eletricidade e magnetismo é de 
extrema importância e proporcionou o desenvolvimento em diversas áreas, 
sobretudo as ligadas à Engenharia. Os fenômenos elétricos e magnéticos estão 
ligados diretamente aos acontecimentos de nosso cotidiano. Podemos citar o 
acendimento de uma lâmpada, os relâmpagos, o funcionamento de um motor 
elétrico, de um celular, entre outros. Nada disso seria possível sem os estudos 
realizados nessa área.
Sabendo da importância que a eletricidade e o magnetismo têm para o ser 
humano, vamos entender esses conceitos e descobrir de que forma ocorrem os 
fenômenos elétricos e magnéticos. 
O estudo da eletricidade pode ser dividido em: eletrostática, eletrodinâmica e 
eletromagnetismo, sendo que, ao longo das unidades, você conhecerá cada um 
desses conceitos. 
Na unidade 1, você verá as os conceitos da eletrostática, que é o estudo das 
cargas elétricas em repouso, em que analisaremos as características e interações 
entre as cargas elétricas, a força e o campo elétrico, e o potencial elétrico. Em 
um segundo momento, serão apresentados os conceitos de Eletrostática, que 
é o estudo das cargas em movimento, e serão abordadas as características das 
correntes elétricas, as resistências elétricas e suas associações possíveis, além dos 
instrumentos utilizados nas medições elétricas.
 Na unidade 2, iremos nos dedicar ao magnetismo, que é o estudo de fenômenos 
magnéticos. Serão apresentados os conceitos sobre os ímãs, o campo magnético 
e suas linhas de campo, a força magnética, bem como as características do 
potencial dos polos e dipolos magnéticos e a interpretação do efeito Hall.
Na unidade 3, você verá o estudo do eletromagnetismo, que trata das interações 
entre os campos elétricos e magnéticos. Será apresentado o campo magnético 
criado através de correntes elétricas e a força magnética a que as correntes estarão 
submetidas nesse campo, as leis que regem esse estudo, que são as leis de Biot-
Savart e de Ampére, bem como diferentes fontes que são capazes de gerar um 
campo magnético.
Na unidade 4, serão apresentados outros importantes conceitos ligados 
ao eletromagnetismo, como o estudo da indução eletromagnética, do fluxo 
magnético e os fundamentos das Leis de Faraday e Lenz.
 Caro aluno, inicia-se aqui seu processo de aprendizado em Princípios de 
Eletricidade e Magnetismo. É muito importante a sua dedicação nesse momento 
para que possamos, juntos, realizar essa tarefa com sucesso. Trace planos e metas 
para aperfeiçoar o seu processo de aprendizagem, procurando sempre aprofundar 
seus estudos através de outras fontes, a fim de estender seu conhecimento sobre 
o tema proposto.
Bom trabalho!
Unidade 1
PrinCíPios de eletriCidAde
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta unidade, você será levado a estudar e compreender:
•	 Os	principais	conceitos	sobre	a	eletricidade.
•	 A	eletricidade	estática.
•	 As	propriedades	da	força	e	do	campo	elétrico.
•	 A	importância	do	potencial	elétrico.
•	 Os	conceitos	teóricos	e	características	das	correntes	elétricas.
•	 Os	fundamentos	da	Lei	de	Ohm.
•	 De	que	forma	os	resistores	podem	ser	associados.
Cibele Abreu Makluf
•	 Cargas	elétricas.
•	 Forças	e	campos	elétricos.
•	 Potencial	elétrico.
•	 Corrente	elétrica.
Seção 1 | Eletrostática
Seção 2 | Correntes elétricas em movimento
Princípios de eletricidade
U1
10
•	 Resistência	elétrica.
•	 Lei	de	Ohm.
•	 Associação	de	resistores.
•	 Instrumentos	de	medidas	elétricas.
Princípios de eletricidade
U1
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Introduçãoà unidade
Caro aluno, você terá, nesta unidade, uma introdução aos conceitos de 
eletricidade. Sabemos da importância que a eletricidade tem para o ser humano e 
quanto desenvolvimento ela proporcionou. Por isso, vamos juntos entender esses 
conceitos e descobrir de que forma ocorrem vários fenômenos elétricos que 
fazem parte do nosso cotidiano, como os relâmpagos.
Vamos iniciar nosso estudo vendo conceitos de eletrostática, como as 
características das cargas elétricas, as forças e o campo elétrico, bem como o 
potencial elétrico.
Na sequência, vamos iniciar o estudo de eletrodinâmica, em que veremos 
alguns conceitos e características das correntes elétricas, as particularidades das 
resistências elétricas, descobrindo qual sua função dentro de um circuito e como 
elas podem ser associadas, bem como alguns instrumentos principais utilizados 
para as medições elétricas. 
Você é essencial nesse processo de aprendizagem.
Bom trabalho!
Princípios de eletricidade
U1
12
Princípios de eletricidade
U1
13
Seção 1
Eletrostática
Caro aluno, esta seção apresenta as três partículas elementares que formam o 
átomo. Você verá de que maneira os corpos são carregados eletricamente e como 
calcular uma carga elétrica. 
Falaremos sobre as cargas elétricas e as linhas de campo que elas carregam. 
Definiremos	 e	 explicaremos	 os	 campos	 elétricos	 e	 o	 surgimento	 das	 forças	
elétricas, além das particularidades e como calcular o potencial elétrico para um 
conjunto de cargas.
Todos esses conceitos são importantes para a compreensão de muitos 
fenômenos da eletricidade e do magnetismo, como o funcionamento de motores 
elétricos, o surgimento de um relâmpago, entre outros.
Vamos lá?
 Bons estudos!
introdução à eletricidade
A eletricidade estuda os fenômenos ligados às cargas elétricas. Podemos citar:
•	 Eletrostática: temos o estudo das cargas em repouso, bem como dos 
processos de eletrização, das forças eletrostáticas, do campo elétrico e do 
potencial elétrico.
•	 Eletrodinâmica: temos o estudo das cargas em movimento, bem como da 
corrente elétrica e dos elementos dos circuitos.
1.1 Carga elétrica
A matéria é constituída por átomos, sendo o núcleo atômico composto por:
Princípios de eletricidade
U1
14
•	 Prótons	(partículas	de	carga	positiva).
•	 Nêutrons	(partículas	sem	carga).
Ao redor do núcleo, na eletrosfera, temos:
•	 Elétrons	(partículas	de	carga	negativa).	
	Foi	comprovado	de	maneira	experimental	que	um	próton	afasta	outro	próton,	
um	 elétron	 afasta	 outro	 elétron	 e	 prótons	 e	 elétrons	 se	 atraem	 mutuamente,	
ou seja, cargas de mesmo sinal se afastam e de sinais opostos se atraem. Esse 
fenômeno é conhecido como princípio da atração e repulsão e é mostrado na 
Figura 1.1. Os nêutrons são eletricamente neutros, e não são afetados por cargas 
elétricas, não as atraem ou repelem.
A	carga	elétrica	é	representada	por	Q	ou	q	e	sua	unidade	é	o	Coulomb	(C).	Esse	
valor	é	determinado	através	da	carga	elétrica	elementar	(e)	onde:
e = 1.6 x 10-19 
A	carga	elementar	nada	mais	é	que	uma	quantidade	mínima	(quantum)	de	carga,	
sendo	essa	indivisível.	As	cargas	dos	prótons	e	elétrons	são	idênticas	e	opostas,	tal	
que:
Q
p
 = +e = 1,6 x 10-19C
Q
e
 = -e = -1,6 x 10-19C
 A Tabela 1.1 mostra resumidamente as propriedades das três partículas 
elementares:
Figura 1.1 | Princípio da atração e repulsão
Fonte: O autor.
Princípios de eletricidade
U1
15
De	forma	geral,	os	corpos	são	neutros	eletricamente,	pois	possuem	números	
iguais	de	prótons	e	elétrons	em	sua	composição.	Lembre-se,	a	carga	de	elétrons	e	
dos	prótons	é	igual	em	módulo,	mas	oposta	no	sinal.	Se	os	números	de	prótons	e	
elétrons são diferentes, dizemos que o corpo está eletrizado, conforme mostramos 
a seguir.
Tabela 1.1 | Propriedades das partículas elementares
Fonte: O autor.
Partícula Massa (grama) Massa relativa Carga elétrica 
(Coulomb)
Carga relativa
Próton (+) 1,7 x 10-24 1 1,6 x 10-19C +1
Nêutron (0) 1,7 x 10-24 1 0 0
Elétron (-) 9,1 x 10-28 1/1836 -1,6 x 10-19C -1
Um átomo eletricamente neutro poderia ganhar ou perder prótons 
e elétrons, e tornar-se carregado. entretanto, os prótons estão 
fortemente ligados aos nêutrons no interior do núcleo atômico 
devido às forças nucleares. Para modificar o conteúdo de prótons em 
um átomo, você precisa atuar de maneira muito violenta sobre ele 
(por exemplo, por fissão nuclear, como em uma bomba atômica, ou 
pela fusão nuclear, como ocorre no interior do sol). Portanto, todos 
os fenômenos elétricos do dia a dia são causados por elétrons, pois 
são eles que têm mobilidade, na parte mais exterior do átomo, em 
uma região conhecida como eletrosfera. 
 n
p
 = n
e
: corpo eletricamente neutro.
 n
p
 > n
e
: corpo eletricamente positivo.
 n
p
 < n
e
: corpo eletricamente negativo.
Princípios de eletricidade
U1
16
A quantidade de carga de um corpo é quantizada, o que significa que ela sempre 
aparece em “pacotes inteiros”, múltiplo da carga das partículas presentes em seu 
interior.	Levando	em	consideração	que	o	elétron	contribui	com	(–e)	na	carga	total	
e	o	próton	contribui	com	(+e)	na	carga	total,	dessa	forma,	temos:
Q	=	(n
p
 - n
e
)	.	e
Onde n
p 
é	o	número	de	prótons	e	n
e 
o número de elétrons.
Q > 0, o corpo está eletrizado positivamente.
Q < 0, o corpo está eletrizado negativamente.
Q = 0, o corpo está eletricamente neutro.
1.2 Condutores e isolantes
A facilidade com que os elétrons se movimentam dentro de um material o 
classifica como um bom ou mau condutor. Nos bons condutores, existe uma 
facilidade para a movimentação dessas cargas; podemos citar como exemplos os 
metais, o corpo humano e a água da torneira. Já nos maus condutores, também 
conhecidos como isolantes, não há movimentação de cargas; é o caso do plástico, 
da borracha e da água destilada. Fique atento: um isolante pode ser forçado a se 
tornar um condutor se for submetido a um potencial elétrico muito elevado.
em um dia seco, antes de entrar em casa, você esfrega os pés 
em um tapete de fibras, sendo este um mau condutor. o atrito 
entre os seus pés e as fibras do tapete gera correntes elétricas 
que ficam armazenadas no seu corpo. Quando você toca na 
maçaneta metálica para abrir a porta, o que acontece?
Princípios de eletricidade
U1
17
1.3 Princípios da eletrostática
A eletrostática possui dois princípios:
a) Atração e repulsão: as cargas com sinais iguais se afastam e as de sinais 
opostos se atraem.
b) Conservação de cargas elétricas: Em um sistema eletricamente isolado, a 
soma algébrica das cargas positivas e negativas é constante. A Figura 1.2 mostra 
esse princípio.
A pesquisa científica permite a criação de materiais com propriedades muito 
úteis. Os semicondutores, por exemplo, possuem propriedades intermediárias 
entre os condutores e os isolantes. Um exemplo, muito útil na indústria de 
equipamentos eletrônicos, são as ligas de silício e germânio. Temos também os 
materiais considerados supercondutores ou condutores perfeitos, pelos quais as 
cargas se movimentam sem nenhuma resistência. Por exemplo, o mercúrio torna-
se supercondutor a temperaturas extremamente baixas, cerca de -269 °C.
liMA, Hugo. Condutores e isolantes. Universidade de santa 
Cecília. disponível em: <https://drive.google.com/file/
d/0B4dWrkB2lh2soedlnHhPrFVfWUk/view?usp=sharing>. Acesso 
em: 03 mar. 2016.
Figura 1.2 | Princípio da conservação de cargas
Fonte: O autor.
Princípios de eletricidade
U1
18
Após	a	interação	dos	corpos	A	e	B,	a	carga	total	final	e	a	carga	total	inicial	são	
iguais.
1.4 lei de Coulomb
De	 acordo	 com	 experimentos	 realizados	 por	 Coulomb,	 considerando	 duas	
cargas e quaisquer, conclui-se:
Propriedade 1:	 o	 módulo	 da	 força	 elétrica	 é	 proporcional	 ao	 inverso	 do	
quadrado da distância entre as cargas.
Propriedade 2: trata-se de uma força central, ou seja, a direção da força coincide 
com a direção da linha que une as duas cargas.
Dessa	forma,	podemos	escrever	que	a	força	sobre	q
1
 exercida por q
2
 é:
F
21= 
Kq
1
q
2
(r
21
)2
E a força elétrica sobre q
2
 exercida por q
1
 é:
F
12
 = 
Kq
1
q
2
(r
12
)2
Onde r
12
=r
21
 representa a distância entre as cargas q
1
 e q
2
. Se as cargas tiverem 
mesmo sinal, a força será de repulsão, e, se forem de sinais opostos, a força será de 
atração. O fator K da equação é chamado de constante de proporcionalidade e seu 
valor depende do meio onde as cargas estão inseridas. No caso do vácuo, temos:
K = 
1
4πε
0
Onde ε
0 
= 8,85 . 10-12C2/N . m2 é a permissividade do vácuo.
Forma vetorial da lei de Coulomb
A força, como um vetor, possui propriedades direcionais, como é mostrado na 
Figura 1.3.
Princípios de eletricidade
U1
19
Figura 1.3 | Sentido das forças eletrostáticas
Figura 1.4 | Vetores de força para duas cargas com mesmo sinal
Fonte: Adaptado de Filho (2012).
Fonte: Adaptado de Filho (2012).
Na	Figura	1.3,	temos	a	orientação	vetorial	entre	duas	cargas	elétricas	para	(a)	
cargas	positivas,	(b)	cargas	negativas	e	(c)	para	cargas	opostas,	sendo	que	a	força	
de atração ou repulsão atua ao longo da linha que as une.
Vamos observar agora a Figura 1.4, na qual os vetores das forças entre duas 
cargas de mesmo sinal são demonstrados.
O	módulo	da	força	eletrostática,	em	termos	vetoriais,	pode	ser	representado	
por:
F
12
 = r
12
 ^ 
→ Kq
1
q
2
 
(r
12
)2
Sendo que F12 
→
 a força exercida de q
1
 sobre q
2
, r
12
	representa	o	módulo	do
vetor r12 
→
 e r12 
^
 indica o vetor unitário do sentido de r12 
→
:
r
12
r
12
 =
→ r
12
 
→
Fonte: Adaptado de Filho (2012).
Princípios de eletricidade
U1
20
Já a força exercida de q
2
 sobre q
1 
é F21 
→
, que pode ser expressa por: 
F
21
 = r
21
 ^ 
→ Kq
1
q
2
 
(r
21
)2
Como foi dito, r
21
^
 possui sentido oposto a r12
^
, o que determina que:
F
12
 = - F
21
 
→ →
exemplo de aplicação
Considere duas partículas de mesmo sinal, como mostra a figura a seguir, sendo 
q
1
 = 5µC e q
2
 = 7µC. Elas estão separadas a uma distância d = 4 m e se encontram 
no	vácuo.	Qual	o	módulo	das	forças	de	interação	entre	essas	partículas?	Dado	que	
K, no vácuo, vale K = 9 . 109 N . m2 / C2 .
Resolução:
F= = 
Kq
1
q
2
 9 . 109 x 5-6 x 7 . 10-6
(r)2 (4)2
F = 19,7 . 10-3 N
GUssoW, Milton. Eletricidade básica. 2. ed. são Paulo: Bookman, 
2007.
Princípios de eletricidade
U1
21
Caro aluno, a videoaula a seguir traz os conceitos da lei de Coulomb, 
abrangendo esses conceitos de forma interativa e interessante. o vídeo 
está disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=449UV7-
r0Gc>. Acesso em: 17 fev. 2016.
1.5 Campo elétrico
As cargas elétricas criam em sua volta uma região de perturbação eletrostática, 
que é bem descrita em termos de um campo elétrico. Ele está presente no espaço 
e influencia qualquer carga q nessa região, causando uma força F.
A força F pode ser de atração ou repulsão, dependendo do sinal de Q.
O campo elétrico é representado, em cada ponto do espaço, por um vetor 
simbolizado por E 
→
.	 Em	 um	 determinado	 ponto,	 seu	 módulo	 E	 é	 chamado	
intensidade de campo elétrico.
Observando a Figura 1.5, a carga Q forma um campo elétrico no espaço à sua 
volta. É inserida uma carga de prova q, sendo que nesse exemplo ela foi colocada 
em cima do ponto P1. Observa-se o surgimento de uma força elétrica que atua 
Figura 1.5 | Campo elétrico
Fonte: Flores (2012).
Princípios de eletricidade
U1
22
sobre	 essa	 carga	 de	 prova	 q.	 Dessa	 forma,	 podemos	 definir	 a	 intensidade	 do	
campo elétrico nesse ponto P1:
E = 
→
q
F
→
As unidades geralmente utilizadas são:
•	 F:	N	(Newton).
•	 q:	C	(Coulomb).
•	 E:	N/C	(Newton/Coulomb).
Em relação à direção e sentido do vetor campo elétrico em um determinado 
ponto, esses são dados pela direção e sentido da força que atua em uma carga de 
prova	positiva	colocada	nesse	ponto.	Isso	é	demonstrado	na	Figura	1.6.
Figura 1.6 | Vetor campo elétrico para carga positiva
Fonte: Adaptado de Flores (2012).Fonte: Adaptado de Flores (2012).
Analisando	a	Figura	1.6,	vamos	focar	primeiramente	no	ponto	P1.	 Imaginemos	
que uma carga de prova positiva foi colocada nesse ponto. Pelo que já foi estudado, 
sabemos	que	essa	carga	vai	ser	repelida	com	uma	força	para	a	direita.	Da	mesma	
forma, nesse ponto, o vetor campo elétrico seria também horizontal e no sentido da 
direita. No caso do ponto P2, temos, portanto, um vetor vertical e voltado para cima, 
já que ele teria uma força de repulsão também nessa direção e sentido, mantendo 
no caso a carga de prova positiva. Para os pontos P3 e P4, seguimos a mesma linha, 
e os sentidos e direções dos seus vetores podem ser vistos na Figura 1.6.
Princípios de eletricidade
U1
23
Vamos dar outro exemplo, sendo que a carga Q agora está eletrizada 
negativamente,	como	pode	ser	observado	na	Figura	1.7.	 Iniciaremos	novamente	
pelo ponto P1. Nesse caso, é observado que ela seria atraída por Q com força para 
esquerda;	sendo	assim,	o	vetor	campo	elétrico	será	também	para	esquerda.	Dessa	
mesma forma, nos pontos P2, P3 e P4, teremos os vetores campo elétrico.
Perceba que o campo elétrico pode ser definido independentemente da carga 
de prova. A carga de prova nos permite verificar a existência do campo elétrico, 
observando a força resultante, como mostra a Figura 1.8.
A intensidade do campo elétrico será calculada por:
A constante K, como já foi visto anteriormente, é a constante de 
proporcionalidade e seu valor depende do meio em que as cargas estão inseridas. 
Figura 1.7 | Vetor campo elétrico para carga negativa
Figura 1.8 | Campo elétrico em função da carga Q
Fonte: Adaptado de Flores (2012).
Fonte: Adaptado de Firmino (2010).
Fonte: Adaptado de Flores (2012).
Fonte: Adaptado de Firmino (2010).
E = 
d2
K |Q|
Princípios de eletricidade
U1
24
A Figura 1.9 traz os sentidos dos campos elétricos.
Figura 1.9 | Sentido do campo elétrico
Fonte: Firmino (2010).
A Figura 1.9 pode ser resumida em: 
Intensidade: E = 
|q|
F
Direção: mesma de F
→
(na reta que une as cargas).
Sentido: q>0 é o mesmo da Força.
 q<0 é contrário ao da Força.
exemplo de aplicação
Uma carga de prova de q = 6µC está sujeita a uma força de intensidade F = 12 
N.	Determinar	o	módulo	do	campo	elétrico.
Princípios de eletricidade
U1
25
Resolução:
1.6 linhas de força de um campo elétrico
As linhas de força são linhas imaginárias construídas em torno de uma carga 
elétrica ou de uma distribuição de cargas, com a finalidade de demonstrar o 
comportamento do campo elétrico em certa região do espaço. Podemos definir 
também como a linha que é tangente, em um dado ponto, ao vetor campo elétrico 
nesse mesmo ponto. A Figura 1.10 mostra alguns exemplos de linhas de força. 
Podemos observar na figura que as linhas produzidas por somente uma carga 
puntiforme são retas que passam por essa carga; já para mais de uma carga, as 
linhas de campo são curvas.
Podemos observar a Figura 1.11, em que os vetores campo elétrico 
correspondem,	 respectivamente,	 aos	pontos	A,	B,	C	e	D,	 sendo	que	a	 linha	de	
força que passa por esses pontos é tangente aos vetores de campo.
E = = 2 . 106 N/C = 
|q| 6 . 10-6
F 12
Figura 1.10 | Linhas de campos elétricos 
Fonte: Filho (2012).
Princípios de eletricidade
U1
26
Figura 1.11 | Vetores do campo elétrico
Fonte: Firmino (2010).
As diferentes linhas de força não se cruzam em nenhum ponto. A intensidade 
do campo elétrico é proporcional à densidade das linhas, isto é, quanto mais 
próximas	as	linhas	se	encontram,	mais	intenso	é	o	campo.	
A definição de linha de força é puramente geométrica, mas algumas conclusões 
podem ser destacadas:
•	 Conhecendo uma dada linha de força, por exemplo, pode-se saber a direção 
do	campo	elétrico	 em	qualquer	 ponto	 sobre	 ela	 (direção	da	 tangente	 à	
linha	de	força	nesse	ponto).
•	 Vamos imaginar que uma carga q foi adicionada em um ponto A de uma 
linha de força, como pode ser visto na Figura 1.12. Temos que o campo 
elétrico é tangente à linha de força nesse ponto. A força que atuana carga 
q pode ser calculada e tem a mesma direção do campo elétrico. Assim, 
podemos concluir que também é tangente à linha de força no ponto A. 
Dessa	forma,	em	cada	ponto,	a	tangente	à	linha	nos	mostrará	a	direção	da	
força que irá atuar em uma determinada carga, naquele ponto.
sabemos que as linhas de força nunca se cruzam, mas você 
consegue imaginar como os estudiosos chegaram a essa 
conclusão? o que aconteceria se elas se cruzassem?
Princípios de eletricidade
U1
27
Figura 1.12 | Vetor campo elétrico e força
Fonte: Firmino (2010).
GUssoW, Milton. Eletricidade básica. 2. ed. são Paulo: Bookman, 
2007.
1.7 Potencial elétrico
Relembrando	 os	 conceitos	 de	mecânica,	 quando	 temos	 uma	 força	 paralela	
ao movimento de um corpo, gerando deslocamento, podemos dizer, então, que 
essa força realizou trabalho sobre o corpo. Esse trabalho pode ser calculado pela 
expressão:
W = F . d . cos θ
onde θ é ângulo formado entre a direção do deslocamento do corpo e a força 
aplicada. Sendo:
	 W:	Trabalho	[J	(Joules)].
	 F:	Força	que	atua	no	corpo	[N	(Newton)].
	 d:	Deslocamento	[m	(metros)].
Agora, iremos pensar em conceitos de eletrostática. Vamos imaginar que uma 
carga de prova q positiva está sendo deslocada, como mostra a Figura 1.13, do 
ponto A para o ponto B, com uma velocidade constante.
Princípios de eletricidade
U1
28
Figura 1.13 | Deslocamento de uma carga no campo elétrico 
Fonte: O autor.Fonte: O autor.
O trabalho que a força F teve de realizar para mover a carga do ponto A para 
o ponto B é medido. A diferença de potencial entre esses dois pontos pode ser 
expressa pela equação seguinte. É importante lembrar que o potencial elétrico é 
a capacidade dos corpos eletrizados realizarem trabalho, ou seja, se atraírem ou 
repelirem conforme as forças geradas em um campo elétrico.
V
A
 - V
B
 =
q
W
AB
Ou
∆V=
q
W
AB
Onde:
•	 V
A
 é o potencial elétrico no ponto A.
•	 V
B
 é o potencial elétrico no ponto B.
•	 W
AB 
é o trabalho para deslocar a carga do ponto A para o B.
•	 q é a carga.
• ∆V é a variação de potencial.
A unidade é Joules/Coulomb=Volts
Normalmente, é considerado que o ponto A está no infinito, o que determina 
que	o	seu	potencial	seja	nulo.	Dessa	forma,	a	equação	pode	ser	reescrita:	
Princípios de eletricidade
U1
29
É importante salientar que o que é relevante no cálculo de trabalho é a diferença 
de potencial, e não o valor absoluto de cada um dos potenciais. 
Outro ponto importantíssimo é a possibilidade de calcular o potencial gerado 
por cargas pontuais diretamente. Temos:
V=
r
K . q
Para mais de uma carga pontual, o potencial será a soma dos potenciais gerados 
por	cada	carga	(princípio	da	superposição):
V= Σ V
i
 = Σ
r
i
K . q
i
n n
i = 1 i = 1
Onde r
i 
representa a distância entre cada carga q
i 
e o ponto onde se calcula o 
potencial elétrico.
exemplo de aplicação
Sendo uma partícula onde q= 2 . 10-5 se deslocando em um campo elétrico do 
ponto A para o B. O trabalho realizado pela força elétrica é de W = 4 . 10-3J. Qual 
será a diferença de potencial entre os dois pontos?
Resolução:
∆V= = 200V=
q 2 . 10-5
W 4 . 10-3
1.8 energia potencial elétrica
Temos a realização de trabalho também pelas forças elétricas, pois há energia 
potencial armazenada em um campo elétrico. O potencial elétrico é definido 
como a capacidade que um corpo carregado possui para atrair ou afastar outras 
cargas elétricas, ou seja, sua capacidade de realizar trabalho. 
Um campo elétrico criado pelo corpo carregado com carga Q e a inserção de 
uma	carga	q	sofrendo	a	ação	de	uma	força	F.	Dessa	forma,	F		realiza	trabalho	sobre	
a partícula, sendo que ela adquire energia. São as grandezas força e deslocamento 
V=
q
W
Princípios de eletricidade
U1
30
da partícula que irão determinar o trabalho, sendo que essas dependem da 
posição da partícula no campo elétrico. A energia potencial elétrica E
p
 adquirida 
vai depender do ponto P onde ela estiver. 
É conhecido que em cada ponto P do campo a força é expressa por F = q . E
→ →
, 
sendo que a força é diretamente proporcional à carga q, logo o trabalho W e a energia 
potencial da partícula E
p 
também	serão	proporcionais	a	q.	Dessa	forma,	podemos	
definir o potencial elétrico em um dado ponto P por:
V=
q
E
p
onde	V	é	o	potencial	elétrico	(unidade	J/C=Volts),	E
p
 é a energia potencial e q 
é a carga.
Adotamos os mesmos referenciais utilizados no potencial para a energia 
potencial elétrica. Sendo assim, considerando um campo elétrico gerado por uma 
carga Q, o potencial elétrico por convenção é:
exemplo de aplicação
Sendo uma carga de q=-6µC colocada em um determinado ponto P onde o 
potencial elétrico é V = 2 . 104 V, determine sua energia potencial elétrica.
V=
q
E
p → E
p
 = V . q = 2 . 104 x	(-6	.	10-6)	=	-0,12J
•	 No infinito, ele é nulo.
•	 Para Q positivo, o potencial é crescente e positivo.
•	 Para Q negativo, o potencial é crescente e negativo.
Princípios de eletricidade
U1
31
GUssoW, Milton. Eletricidade básica. 2. ed. são Paulo: Bookman, 
2007.
1. Considerando um corpo condutor de eletricidade, que 
possui prótons e elétrons, responda às questões a seguir:
a) Ele estará eletrizado de forma negativa ou positiva?
b) Qual o valor da carga elétrica?
2. Podemos afirmar, em relação à natureza dos corpos 
extensos, em situações típicas de nosso dia a dia, carregados 
ou neutros eletricamente, que:
I - Sendo um corpo carregado, podemos dizer que em seu 
interior o número de elétrons é diferente do número de 
prótons.
II - Um corpo carregado possui cargas elétricas.
III - Um corpo neutro não possui cargas elétricas.
IV - Não é possível carregar eletricamente dois corpos de 
materiais distintos por meio do atrito.
V - Um corpo neutro possui prótons e elétrons em mesmo 
número.
Estão corretas as afirmações:
a) I, II e III.
b) I, II e V.
c) I e IV.
d) II, IV e V.
e) II, III e V.
Princípios de eletricidade
U1
32
3. Temos duas cargas no vácuo, Q
A
=-4µC e Q
B
=9µC, 
conforme mostra a figura:
4. Vamos considerar o triângulo da figura, onde duas cargas 
Q
1
 = 3µC Q
2
=5µC estão localizadas nos vértices A e B do 
triângulo equilátero. Qual seria o potencial elétrico em C?
5. A figura a seguir representa uma superfície equipotencial. 
Determine qual o trabalho para transportar uma carga 
q=5µC do ponto A para o B.
Considere K = 9 . 109 N . m2/C2. Qual o campo resultante 
em P?
Princípios de eletricidade
U1
33
Princípios de eletricidade
U1
34
Princípios de eletricidade
U1
35
Seção 2
Correntes elétricas em movimento
Caro aluno, esta seção apresenta a corrente elétrica e a densidade de corrente. 
Iremos	nos	aprofundar	no	assunto,	calculando	sua	intensidade	e	interpretando	o	
sentido dessas correntes em relação ao campo elétrico.
Em seguida, estudaremos os circuitos elétricos e uma de suas principais 
componentes, a resistência elétrica. Além disso, serão apresentados quais parâmetros 
determinam esse tipo de elemento e que tipos de associação podem ser feitos com 
os	resistores.	Discutiremos	a	lei	de	Ohm,	e	finalizando	a	seção,	veremos	os	principais	
instrumentos utilizados para a medição das grandezas elétricas.
Vamos lá?
Bons estudos!
2.1 Corrente elétrica
Um gerador elétrico é um equipamento que transforma energia mecânica em 
energia elétrica. Basicamente, ele tem como função manter uma diferença de 
potencial	elétrico	(ddp)	entre	os	terminais	ou	polos	A	e	B,	dado	por	V
A
 - V
B
. Temos 
também o exemplo das pilhas, que 
são muito usadas como fonte de 
energia elétrica e também para 
manter a diferença de potencial, e, 
portanto, o movimento dos elétrons. 
A Figura 1.14 traz uma pilha ligada a 
um condutor.
Figura 1.14 | Pilha ligada a um condutor
Fonte: O autor.
Princípios de eletricidade
U1
36
O maior potencial é considerado o polo positivo, e o menor é o polo negativo. 
Dizemos	 que	 um	 condutor	 elétrico	 se	 encontra	 em	 equilíbrio	 eletrostático	
quando os elétrons se encontram livres e se movimentamde forma desordenada. 
Quando ele é ligado aos polos do gerador, passa a estar sujeito a um campo 
elétrico E
→
, no sentido do polo positivo para o negativo, como mostra a Figura 1.15. 
Nela, os elétrons estão sob a ação de uma força elétrica, F
e
, onde F
e 
= q . E
→ →
Essa força tem sentido contrário a E
→
, já que os elétrons estão carregados 
negativamente. Ela faz com que os elétrons adquiram um movimento ordenado, 
no sentido e direção de F
e
→
.
Corrente elétrica é o movimento ordenado das cargas elétricas.
1. intensidade da corrente
Sendo um condutor ligado a um gerador, os elétrons atravessam uma seção 
transversal de um condutor em um dado ∆t	 (intervalo	de	tempo),	como	mostra	
a	Figura	1.16.	Dessa	forma,	o	valor	absoluto	da	carga	elétrica	que	passa	por	essa	
seção transversal pode ser expresso por:
∆q = n . e
Onde
•	 n	é	o	número	de	elétrons;
•	 e	a	carga	elementar,	1.6	.	10-19C.
Figura 1.15 | Condutor ligado ao gerador
Fonte: Adaptado de Franco (2013).
Figura 1.15 | Condutor ligado ao gerador
Fonte: Adaptado de Franco (2013).
Princípios de eletricidade
U1
37
A intensidade média de corrente elétrica é definida como:
∆q
∆tI	=	
Unidade:	Ampère	(A)
A	corrente	pode	ser	contínua	ou	alternada.	Dizemos	que	ela	é	contínua	quando	
o	sentido	do	campo	elétrico	(portanto,	o	sinal	da	diferença	de	potencial)	não	muda	
com	o	tempo.	Para	a	corrente	alternada,	temos	uma	mudança	periódica	no	sentido	
do campo elétrico. Perceba que os polos do gerador devem, nesse caso, inverter 
periodicamente	seu	sinal.	O	polo	positivo,	após	algum	tempo,	torna-se	negativo.	A	
Figura 1.17 traz exemplos dessas duas correntes de intensidade constante, sendo o 
primeiro gráfico para a corrente contínua e o segundo para a alternada.
Podemos observar, no primeiro gráfico, de corrente contínua, que a diferença 
de potencial nos polos do gerador não inverte. Os elétrons movem-se sempre no 
mesmo sentido, em média. No segundo gráfico, o fluxo de elétrons dentro do 
fio ocorre de maneira a ter troca do sentido da corrente várias vezes, portanto os 
elétrons fazem um movimento de vaivém no fio.
Figura 1.16 | Elétrons atravessando uma seção transversal de um condutor
Fonte: O autor.
Figura 1.17 | Gráfico de corrente contínua e alternada
Fonte: Queiroz (2014).
Princípios de eletricidade
U1
38
o movimento de vaivém da corrente alternada traz grandes benefícios, 
por isso essa corrente foi adotada em nossa rede elétrica. Com ela 
é mais fácil transmitir voltagens altas, a uma maior distância e com 
menores perdas. nesse sentido, a corrente alternada se torna bem 
mais eficaz na transmissão que a corrente contínua. 
A frequência com que a corrente faz essa troca depende de país para 
país, mas no Brasil um ciclo ocorre a 60 Hz; sendo assim, a troca de 
sentido ocorre a aproximadamente 120 vezes por segundo.
A corrente alternada permite a utilização em circuitos de alguns componentes 
que não permitiriam a movimentação contínua dos elétrons. São exemplos os 
capacitores e os transformadores. 
2. sentido da corrente
Dentro	de	um	condutor	metálico,	o	sentido	dos	elétrons	será	contrário	ao	do	
campo elétrico, sendo F
e
 = q . E
→ →
,	e	q	carga	negativa	(elétrons).
Devemos	ficar	atentos,	pois,	por	convenção,	determinou-se	que	o	sentido	da	
grandeza física corrente elétrica deve ser igual ao do campo elétrico dentro de um 
condutor, e nessas condições ela é chamada de corrente convencional. Observe 
a Figura 1.18.
Figura 1.18 | Sentido convencional
Fonte: Adaptado de Franco (2013).
Princípios de eletricidade
U1
39
exemplo de aplicação
Em uma seção reta de um fio, a cada 2 segundos passam 5 . 1018 elétrons. Qual 
é a corrente elétrica que percorre o fio?
∆q
∆tI	=	
∆q= n . e = 5 . 1018 x 1,6 . 10-19 = 8 . 10-1C
8 . 10-1
2
I	=	 4 . 10-1 = 400mA
3. densidade de corrente
Vamos considerar um campo elétrico uniforme E
→
, contendo uma carga de 
prova q. Como vimos anteriormente, essa carga sofre a ação de uma força, como 
mostrado na Figura 1.19, definida por:
F = q . E
→ →
Unidade:	Newton	(N)
Você se deparou com uma vítima que está ligada a um 
condutor de energia e está recebendo uma descarga elétrica. 
Como você procederia para tentar salvá-la? 
Figura 1.19 | Força em uma carga submetida a campo elétrico
Fonte: Adaptado de Junior e Aquino (2010).
Princípios de eletricidade
U1
40
De	acordo	com	a	lei	de	Newton,	sendo	essa	carga	livre,	ela	irá	se	movimentar,	
sofrendo uma aceleração determinada por:
F
→
a =
→
m
Unidade de aceleração: m/s2
Sendo m a massa da partícula carregada em kg.
Uma partícula submetida a uma força elétrica constante por tempo suficiente 
atingiria	grandes	velocidades,	próximas	à	velocidade	da	luz.	Entretanto,	um	meio	
condutor é muito diferente de um vácuo perfeito. Em meios líquidos, gasosos ou 
sólidos,	 temos	colisões	constantes	entre	as	partículas	e,	como	consequência,	é	
transferida uma parcela de sua energia. 
Sendo o campo E
→
 constante, em meio homogêneo, essas colisões restringem 
o movimento da carga a uma velocidade média constante, que podemos chamar 
velocidade de deriva ou de deslocamento, representada por V
d
→
. Ela possui a 
mesma direção do campo elétrico.
 V = µ . E
→ →
Onde µ é a constante de mobilidade.
Vamos observar agora uma seção reta uniforme S apresentada na Figura 1.20.
Suponha um meio condutor com uma densidade volumétrica ρ de elétrons 
livres, movendo-se com uma velocidade de deriva Vd
→
. Em um tempo ∆t, os elétrons 
movem-se a uma distância ∆L = Vd . ∆t. Assim, em um volume S . ∆L teremos uma 
carga ∆q = ρS∆L atravessando a seção transversal S, e a corrente elétrica pode, 
então, ser definida por:
Figura 1.20 | Cargas em uma seção de um condutor
Fonte: Junior (2010).
I	=	 = = ρ . S . V
d
 . ρ . S .∆q ∆L
∆t ∆t
Princípios de eletricidade
U1
41
2.2 tensão elétrica e resistência
Observando a Figura 1.21, vamos supor um aparelho elétrico colocado entre os 
pontos A e B, sendo que esses possuem um potencial V
A
 e V
B
 e a ddp entre os dois 
pontos é ∆V = V
B
 -
 
V
A
.
Unidades: 
•	 I:	corrente	elétrica	(A).
•	 Vd
→
:	velocidade	de	deriva	(m/s).
• ρ:	densidade	volumétrica	de	carga	(C/m3).
•	 S:	área	da	seção	atravessada	(m2).
• ∆L:	comprimento	da	seção	(m).
Considerando a equação de corrente, vista anteriormente, vamos dividi-la pela 
área da seção S, obtendo dessa forma a densidade de corrente J:
I
S
J = 
Unidade: A/m2
GUssoW, Milton. Eletricidade básica. 2. ed. são Paulo: Bookman, 
2007.
Figura 1.21 | Circuito elétrico
Fonte: Adaptado de Franco (2013).Fonte: Adaptado de Franco (2013).
Princípios de eletricidade
U1
42
Essa diferença de potencial também é chamada de tensão elétrica. Vimos 
anteriormente que, quando é estabelecida uma tensão nos terminais de um 
condutor, o campo elétrico provoca uma corrente elétrica, através do movimento 
ordenado dos elétrons. O choque desses elétrons com os átomos do condutor 
produz calor. Certos materiais condutores oferecem maior resistência a essa 
passagem da corrente elétrica do que outros. A essa propriedade damos o nome 
de resistência elétrica.
Podemos dizer, em outros termos, que uma parte da energia do gerador é 
transformada	 em	 energia	 elétrica	 (energia	 da	 movimentação	 dos	 elétrons	 da	
corrente)	e	outra	parte	em	energia	térmica,	que	chamamos	de	efeito	Joule.
1. resistores
Alguns fatores como material, dimensão do condutor e temperatura determinam 
a resistência elétrica. 
•	 Unidade de resistência elétrica: ohm.
•	 símbolo: Ω.
No caso de alguns condutores utilizados nas redes elétricas, transformadores e 
motores, buscam-se os menores valores de resistência, reduzindo, assim, a perda 
de energia. Nos circuitos eletrônicos, a corrente é limitada através de resistores. Os 
resistores são um elemento físico, em geral fios ou filmes metálicos. 
Embora na maioria dos casos estejamos interessados na menor resistência 
possível, transmitindo a energia elétrica com o mínimo de perdas, em algumas 
situações nosso maiorinteresse é na geração de calor, como no caso dos 
aquecedores. São exemplos fogões, chuveiros e secadores elétricos, entre muitos 
outros. Os elementos utilizados para esse fim são os resistores, comercialmente 
denominados de resistências. 
•	 Simbologia
Em um circuito, os símbolos que representam um resistor são:
Quanto maior a resistência elétrica, maior será a dificuldade 
para a passagem de corrente.
Princípios de eletricidade
U1
43
2. resistividade
A resistência elétrica dos materiais condutores depende de alguns parâmetros:
•	 Comprimento	do	fio	(L).
•	 Área	da	seção	transversal	(A).
•	 Temperatura.
•	 Material.
Figura 1.22 | Simbologia dos resistores
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
AFonso, Antonio; Filoni, enio. Eletrônica: circuitos elétricos. 
instituto Paula souza. disponível em: <https://drive.google.com/
file/d/0B4dWrkB2lh2sWkZQoVFwdnntMke/view?usp=sharing>. 
Acesso em: 04 mar. 2016.
Figura 1.23 | Condutor
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
Princípios de eletricidade
U1
44
A. influência do material: resistividade
A resistividade ρ é propriedade de cada material. A Tabela 1.2 mostra a 
resistividade de alguns materiais.
Unidade: Ω . m
B. influência do comprimento
Sendo apenas o comprimento variado, como mostra a Figura 1.24, conclui-se 
que:
A resistência elétrica é diretamente proporcional ao comprimento do condutor.
C. influência da área da seção transversal do condutor 
De	acordo	com	a	Figura	1.25,	diferentes	diâmetros	de	fios	foram	utilizados	e	
pode-se concluir que:
Tabela 1.2 | Valores de resistividade para diferentes materiais
Material ρ (Ω . m)
Prata 1,6 . 10-8
Cobre 1,7 . 10-8
Ouro 2,3 . 10-8
Alumínio 2,8 . 10-8
Tungstênio 4,9 . 10-8
Platina 10,8 . 10-8
Ferro 11,0 . 10-8
Nicromo 110 . 10-8
Figura 1.24 | Variação de comprimento do condutor
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
Princípios de eletricidade
U1
45
d. Cálculo da resistência
Dessa	forma,	pode-se	concluir	que:
A resistência elétrica de um condutor é diretamente proporcional ao 
comprimento e à resistividade, e inversamente proporcional à área da seção 
transversal.
Sendo: R	=	ρ . L 
A
Onde:
•	 R	é	a	resistência	elétrica	(Ω).
•							ρ	é	a	resistividade	elétrica	do	material	(Ω	.	m).
•	 L	é	o	comprimento	do	condutor	(m).
•	 A	é	a	área	da	seção	transversal	do	condutor	(m2).
exemplo de aplicação
A resistência de um chuveiro elétrico é feita de um fio de níquel enrolado. Calcule 
o	comprimento	do	fio	do	resistor	desse	chuveiro;	sabendo	que	a	resistência	R	=	
7,8 Ω, a área da seção transversal do fio vale 1 . 10-6 m2 e a resistividade do níquel 
é de ρ = 7,8 . 10-8 Ω . m
A resistência elétrica é inversamente proporcional à área da seção transversal do 
condutor.
Figura 1.25 | Área da seção transversal
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
Princípios de eletricidade
U1
46
Resolução:
R	=	ρ . → 7,8 = 7,8 . 10-8 x L
A
L
1 . 10-6
L = 100 m
e. influência da temperatura sobre a resistência elétrica
O aumento da temperatura, para grande parte das substâncias, ocasiona uma 
maior resistência elétrica, já que ocorre uma maior movimentação das partículas 
e, portanto, maior número de colisões entre essas partículas e os elétrons livres no 
interior do condutor.
Existem exceções, como o grafite, em que o aumento do número de elétrons 
livres predomina sobre o grau de agitação das moléculas, fazendo com que a 
resistividade diminua com o aumento da temperatura. 
R	=	R
0
	(1+α∆θ)
Onde: 
•	 R	é	a	resistência	elétrica	nova	na	temperatura	final	θ
f
. 
•	 R0	é	a	resistência	elétrica	nova	na	temperatura	final	θ
0
.
•	 ∆θ = θ
f
 - θ
0
,	é	a	variação	de	temperatura	(°C).
•	 α é	o	coeficiente	de	temperatura	do	material	(°C-1).	
A Tabela 1.2 traz alguns valores de α:
Tabela 1.2 | Valores e temperaturas
Material α(°C-1)
Platina 3,0 . 10-3
Alumínio 3,2 . 10-3
Cobre 3,9 . 10-3
Prata 4,0 . 10-3
Tungstênio 4,5 . 10-3
Ferro 5,0 . 10-3
Nicromo 0,2 . 10-3
Princípios de eletricidade
U1
47
Com a variação da temperatura, a resistividade pode ser equacionada por:
ρ = ρ
0
	(1+α∆θ)
Onde:
•	 ρ é a resistividade do material na temperatura final θ
f
.
•	 ρ
0 
é a resistividade do material na temperatura inicial θ
0
.
2.3 lei de ohm
Vamos analisar a Figura 1.26, na qual temos um resistor, a uma temperatura 
constante, que passa uma corrente de intensidade i, com uma ddp entre seus 
terminais.
Ao mudar a diferença de potencial de forma sucessiva para U
1
, U
2
, ..., temos, 
respectivamente,	as	correntes	I
1
,	I
2
,.... Em um resistor bem comportado, que siga 
a lei de Ohm, verifica-se que o quociente das diferenças de potencial por suas 
respectivas correntes gera uma característica constante do condutor, como 
mostrado a seguir.
U
= = =	cte	=	R
U
1
U
2
I I
1
I
2
A 1º lei de Ohm relaciona a diferença de potencial com a passagem da corrente 
elétrica, ou seja:
U
R	= I
Unidade:	Ohm	(Ω)
Figura 1.26 | Circuito
Fonte: Adaptado de Franco (2013).Fonte: Adaptado de Franco (2013).
Princípios de eletricidade
U1
48
exemplos de aplicação
Ao ser estabelecida uma ddp de 50V entre os terminais de um resistor, 
estabelece-se uma corrente elétrica de 5A. Qual a resistência entre os terminais?
Resolução:
U 50
R	= = 10 Ω=I 5
2.4 Associação de resistores
Circuitos elétricos utilizados na indústria, em geral, são muito complexos, 
associando muitos componentes. Entretanto, existem maneiras de simplificar 
a análise, por meio de regras, como as que apresentaremos a seguir. Podemos 
sempre definir uma resistência equivalente, substituindo um conjunto de 
resistências	associadas.	A	resistência	equivalente	(R
eq
)	transmitirá	a	mesma	corrente	
que o sistema substituído, quando submetida a uma mesma ddp. 
A. Associação em série
Nesse tipo de associação, temos a mesma corrente passando por todos os 
resistores do circuito. Entretanto, cada resistência é submetida a uma parcela 
diferente da ddp total entre os pontos A e B. Observe a Figura 1.27.
Nesse tipo de associação, a resistência equivalente é a soma das resistências do 
circuito, como representado a seguir:
R
eq
	=	R
AB
	=	R
1
	+	R
2
	+	...	+	R
N
exemplo de aplicação
A diferença de potencial entre dois resistores é de 220V, como mostra a figura 
a seguir. Qual é a diferença de potencial entre os extremos do resistor de 10Ω?
Figura 1.27 | Circuito em série
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
Princípios de eletricidade
U1
49
Resolução:
R
eq
	=	R
1
	+	R
2
 = 100 + 10 = 110Ω
U
tot
220
I	= = 2A=R
eq
110
U
1
	=	R
1
	.	I	=	10	.	2	=	20V
B. Associação em paralelo
Nesse tipo de associação, temos a mesma tensão para todos os resistores, uma 
vez que todas estão conectadas diretamente aos pontos A e B. Por outro lado, por 
cada resistência passará uma corrente elétrica distinta. Observe a Figura 1.28.
O inverso da resistência é equivalente, nesse caso, à soma dos inversos das 
resistências	do	circuito.	Dessa	forma:
Figura 1.28 | Circuito em paralelo
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
1 1 1 1 1 1
= = + + + ... +R
eq
R
AB
R
1
R
2
R
3
R
N
Princípios de eletricidade
U1
50
exemplo de aplicação
Considere o circuito da figura, no qual temos três resistores em paralelo. 
Determine	o	valor	da	resistência	do	resistor	R	e	da	corrente	i.
Resolução:
A diferença de potencial é a mesma para todos os resistores:
 U = 20 . 0,3 = 6V
Determinando	a	corrente:
 U = 6 = 15 . i → i = 0,4A
Determinando	a	corrente	que	passa	pelo	 resistor	R,	conhecemos	a	corrente	
total que se divide entre os três resistores.
I
tot
	=	0,8	=	0,4	+	0,3	+	I'
I'	=	0,1A
Determinando	o	Resistor	R:
U	=	R	.	I	→	6	=	R	.	0,1	→	R	=	60Ω
•	 Casos	particulares	de	associações	em	paralelo
⇒ Duas	resistências	diferentes:
 Nesse caso, temos duas resistências diferentes em paralelo, como mostra a 
Figura 1.29.
Figura 1.29 | Circuito em paralelo
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
R
15Ω
20Ω
i
0,3A 0,8A
Princípios de eletricidade
U1
51
⇒ Resistores	de	mesmo	valor:
Observe	a	Figura	1.30,	em	que	todos	os	resistores	têm	o	mesmo	valor	R
0.
A resistência equivalente é determinada por:
Percebam que, para n resistores de mesmo valor, teríamos:
Temos, então:
1 1 1 1 R
2
	+	R
1= = + =R
eq
R
AB
R
1
R
2
R
2
R
1
1 1 1 1 1 + 1 + 1 3
= + + = =R
eq
R
0
R
0
R
0
R
0
R
0
1 R
2
R
1=R
eq
R
2 + 
R
1
Figura 1.30 | Circuito em paralelo com resistores iguais
Fonte: Afonso e Filoni (2011).
R
0R
eq
=
3
R
0R
eq
=
n
C. Associações mistas
Como	o	próprio	nome	diz,	temos	associações	paralelas	e	em	série	combinadas.	
A simplificação para se encontrar a resistência equivalente deve acontecer 
parcialmente em cada associação. O método a ser utilizado consiste na nomeação 
de	nós	e	terminais	da	associação	com	letras.	
Princípios de eletricidade
U1
52
nós são pontos do circuito onde a corrente se divide.
terminais são pontos do circuito entre os quais se quer determinar a 
r
eq
.
exemplo de aplicação
Encontrar a resistência equivalente do circuito a seguir:
Resolução:	
Inicialmente,	 devemos	 encontrar	 o	 valor	 da	 associação	 de	 resistores	 em	
paralelo:
1 1 1
= +R
eq
20 30
Fazendo o mínimo múltiplo comum, temos:
1 1 603 + 2 5
= = = = 12Ω→ →R
eq
R
eqR
eq
560 60
Temos, agora:
Princípios de eletricidade
U1
53
Duas	resistências	em	série:
R
eq
 = 12 + 50 = 62 Ω
2.5 instrumentos básicos de medidas elétricas
Os instrumentos de medidas elétricas medem algumas grandezas vistas, como 
a corrente, a tensão, a potência e a energia. Veremos agora os instrumentos 
responsáveis por essas medidas:
2.5.1 Amperímetro
Esse instrumento é usado para a medição das correntes elétricas. Ele deve estar 
ligado em série com o circuito ou elemento que se deseja medir, sendo que o 
circuito	deve	ser	aberto	nesse	local.	Devido	a	isso,	para	garantir	que	haja	precisão	
nas medições, a resistência interna dos amperímetros deve ser bem pequena 
comparada com os circuitos. 
Esse tipo de instrumento pode medir correntes contínuas ou alternadas, 
podendo possuir, de acordo com a qualidade do instrumento, várias escalas, para 
uma maior precisão de medidas.
2.5.2 Voltímetro
Esse instrumento é utilizado para medir a tensão elétrica de um circuito. A 
exibição	desse	valor	pode	se	dar	através	de	ponteiro	móvel	ou	um	mostrador	digital.	
As diferenças de tensão entre pontos em um circuito devem ser medidas 
colocando o voltímetro em paralelo com a seção do circuito entre os dois pontos. 
Para garantir a precisão nas medidas, a resistência interna desse instrumento deve 
ser muito grande em comparação com as resistências do circuito. 
Eles podem também medir tensões contínuas ou alternadas, dependendo da 
qualidade do instrumento.
2.5.3 ohmímetro
Esse instrumento mede a resistência elétrica. Os ohmímetros precisos possuem 
um circuito eletrônico responsável por fornecer uma corrente constante através 
da resistência e outro circuito que mede a tensão V; sendo assim, a resistência é 
Princípios de eletricidade
U1
54
calculada	através	da	equação	R=V/I.
Para altas precisões, os ohmímetros com as características citadas acima não 
são adequados. São utilizados, portanto, um ohmímetro de precisão que possui 
quatro terminais, os chamados contatos de Kelvin. 
2.5.4 Wattímetro 
Esse instrumento é usado para medir a potência elétrica. Ele possui quatro 
ponteiras, que devem ser ligadas em série para a medição de corrente e em 
paralelo para medir a tensão do equipamento ou circuito.
Mensagem Final ao Aluno
Caro aluno, vimos nesta unidade importantes conceitos sobre a eletrostática 
e a eletrodinâmica. Você agora é capaz de entender vários aspectos sobre a 
eletricidade. É importante que você busque mais informações sobre o assunto 
para desenvolver um entendimento mais amplo. 
Lembre-se: você é a principal ferramenta do seu conhecimento!
Bons estudos!
BelCHior, Fernando. Medidas Elétricas. Universidade Federal 
de itajubá, 2014. disponível em: <https://drive.google.com/file/
d/0B4dWrkB2lh2soXVvceJwee5laXM/view?usp=sharing>. Acesso 
em: 25 fev. 2016.
senAi. Medidas Elétricas. 1996. disponível em: <https://drive.
google.com/f i le/d/0B4dWrkB2lh2sbFVtt0xwcddwbHM/
view?usp=sharing>. Acesso em: 25 fev. 2016.
Princípios de eletricidade
U1
55
1. Sendo um condutor metálico percorrido por uma 
corrente de 5A: 
a) Qual é a quantidade de partículas que irá atravessar a 
seção transversal desse condutor?
b) Que tipo de partícula se move no condutor?
2. Em circuitos elétricos, é comum a utilização de fusíveis, 
um fio é projetado para fundir, abrindo o circuito, se a 
corrente ultrapassar certo valor. Suponha que o material 
a ser usado em um fusível é fundido quando a densidade 
de corrente ultrapassar 440 A/cm2. Que diâmetro do fio 
cilíndrico deve ser usado para fazer um fusível que limite a 
corrente em 0,5A? 
3. Se o comprimento e o diâmetro de um resistor forem 
duplicados, o que acontece com sua resistência?
a) É dividida por 4.
b) É dividida por 2.
c) A mantém.
d) É multiplicada por 2.
e) É multiplicado por 4.
4. Considere um resistor de fio metálico, que tem uma 
resistência de 60Ω. Foi observado que, ao cortar 3 m do fio, 
essa resistência passou a ser de 15Ω. Qual o comprimento 
total desse fio?
5. Dado o circuito a seguir:
Princípios de eletricidade
U1
56
Determine:
a) A resistência equivalente da associação.
b) A intensidade da corrente elétrica em cada resistor.
c) A intensidade da corrente elétrica total.
U1
57Princípios de eletricidade
Referências
AFONSO, Antonio; FILONI, Enio. Eletrônica: circuitos elétricos. Instituto Paula 
Souza, 2011.
FILHO, José. Carga elétrica e a lei de coulomb. Ceará: Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia, 2012.
FIRMINO, Sandro. Campo elétrico. Rio Grande do Sul: Pontifícia Universidade 
Católica do Rio Grande do Sul, 2010.
FLORES, Carlos. Campo elétrico e potencial elétrico. Rio Grande do Sul: 
Universidade Federal de Santa Maria, 2012.
FRANCO, Fabio. Corrente elétrica. Rio Grande do Norte: Instituto Federal de 
Educação, Ciências e Tecnologia do Rio Grande do Norte, 2012a.
FRANCO, Fabio. Resistência elétrica. Instituto Federal de Educação, Ciências e 
Tecnologia do Rio Grande do Norte, 2012b.
GRAÇA, Cláudio. Eletromagnetismo. Notas de aula do Departamento de Física 
CCNE. Universidade Federal de Santa Maria, 2012. 
HAROLD, Marcos. Carga e Matéria. Salvador: Organização Educacional Farias 
Brito, 2013.
JUNIOR, Naasson; AQUINO, Claudio. Corrente elétrica. Universidade Estadual 
Paulista, 2010.
KREBS, Paulo. A carga elétrica e a lei de Coulomb. Rio Grande do Sul: 
Universidade Federal de Pelotas, 2012.
LIMA, Marcos. Potencial elétrico. São Paulo: Universidade de São Paulo, 2012.
QUEIROZ, Alan. Corrente contínua e alternada. Rio Janeiro: Universidade Federal 
do Rio de Janeiro, 2014.
TELES, Lara. Notas de aula de eletricidade e magnetismo. Instituto de 
Tecnologia da Aeronáutica (ITA), 2008.
WEULER, A. et al. Potencial elétrico. Pará: Universidade do Estado do Pará, 2008.
Unidade 2
CAMPo MAGnétiCo e 
ForçAs MAGnétiCAs 
Cibele Abreu Makluf
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta unidade, você terá a oportunidade de estudar e compreender:
•	 As	propriedades	dos	ímãs	e	como	eles	interagem	entre	si.
•	 As	 características	 das	 linhas	 de	 um	 campo	 magnético	 e	 fluxo	
magnético.
•	 O	movimento	de	partículas	carregadas	em	um	campo	magnético	e	
no fluxo magnético.
•	 Como	analisar	a	força	magnética.
•	 Como	analisar	o	potencial	de	um	polo	e	um	dipolo	magnético.
•	 Magnetismo.
•	 Linhas	de	campo	magnético	e	fluxo	magnético.
•	 Parâmetros	de	magnetismo.
Seção 1 | Introdução ao magnetismo
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
60
•	 Movimento	de	partículas	carregadas	no	campo	magnético.
•	 Força	magnética.
•	 Potencial	de	um	polo	magnético.
•	 Potencial	de	um	dipolo	magnético.
•	 Efeito	Hall.
Seção 2 | Movimento de partículas carregadas em um 
campo magnético
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
61
Introdução à unidade
Caro aluno, nesta unidade faremos uma introdução aos conceitosdo magnetismo. 
Ele é peça fundamental no desenvolvimento de diversas áreas, sobretudo ligadas à 
Engenharia. Sabemos que ímãs são peças fundamentais em muitos equipamentos 
elétricos e eletrônicos. Além disso, os conhecimentos de magnetismo são 
importantes para a fabricação de motores elétricos, celulares, laptops, entre outros 
aparatos que utilizamos diariamente. 
 Vamos começar nosso estudo vendo os conceitos iniciais de magnetismo, 
como a formação dos campos magnéticos, as linhas de campo formadas, entre 
outras características.
Na sequência, vamos entender como as partículas carregadas se movimentam 
dentro de um campo, devido à força magnética à qual são submetidas, além das 
características do potencial do polo e dipolo magnéticos.
Você é essencial nesse processo de aprendizagem.
Bom trabalho!
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
62
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
63
Seção 1
Introdução ao magnetismo
Caro	 aluno,	 esta	 seção	 apresenta	 os	 conceitos	 introdutórios	 sobre	 o	
magnetismo, explicando as principais características dos ímãs. Veremos como são 
formadas as linhas de campo magnético e suas particularidades. 
Serão apresentados também os conceitos da densidade de campo, fluxo 
magnético, permeabilidade magnética e relutância, mostrando a importância 
desses conceitos no campo magnético. 
Todos esses conceitos são relevantes para a compreensão dos fenômenos que 
envolvem o magnetismo.
Vamos lá?
 Bons estudos!
introdução ao magnetismo
Possivelmente, você já manuseou um ímã e pôde perceber nele algumas 
propriedades características desse objeto, como a atração de objetos de ferro ou 
de uma liga metálica que tenha esse material na sua composição. Outro fato ocorre 
quando aproximamos dois ímãs e percebemos que, dependendo de como estão 
posicionados, eles podem se atrair ou se repelir.
Você sabia que o planeta Terra tem em sua volta um campo magnético? É ele 
que causa o movimento das bússolas, que são muito úteis para ajudar quem pratica 
caminhadas na natureza ou navegação a encontrar seu caminho. Ele também é 
responsável por nos proteger das partículas de alta energia do Sol. Sem a existência 
do campo magnético, não haveria vida na Terra da forma que conhecemos. 
Veremos, ao longo da unidade, como ele se manifesta.
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
64
O campo magnético na Terra
o planeta terra se comporta como se fosse um grande ímã. o seu 
campo magnético é representado pelas linhas de indução que saem 
do polo norte magnético e entram pelo polo sul magnético, como 
mostra a Figura 2.1.
Analisando a Figura 2.1, podemos ver que as linhas de indução saem 
de uma região próxima ao polo sul geográfico da terra e entram 
em outra próxima ao polo norte geográfico. de acordo com isso, 
podemos entender por que a agulha imantada de uma bússola aponta 
para o norte terrestre, já que lá se encontra o polo sul do campo 
magnético da terra e, como sabemos, os polos magnéticos de tipos 
diferentes são atraídos.
em relação à bússola, ela não aponta exatamente para o norte da 
terra, mas sim para uma região próxima, já que os polos geográficos 
e magnéticos encontram-se um pouco desalinhados. esse desvio 
entre o norte geográfico e a orientação da bússola é chamado de 
declinação magnética, como mostra a Figura 2.2.
Figura 2.1 | Campo magnético terrestre
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
65
o que se acredita sobre a existência do campo magnético terrestre 
é que ele seja gerado por uma corrente de magma carregada 
eletricamente, presente no interior da terra. em breve, estudaremos a 
maneira como correntes elétricas podem gerar campos magnéticos, 
então será possível compreender o fato com maior detalhamento.
Figura 2.2 | Declinação magnética
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
o que aconteceria se o planeta terra perdesse seu campo 
magnético?
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
66
1.1 ímã e suas características 
Os ímãs podem ser naturais ou artificiais e são encontrados em diversos formatos. 
Geralmente,	são	utilizados	em	aplicações	tecnológicas	como	motores	e	geradores	
eletromagnéticos,	dínamos	de	automóveis,	disco	rígido	de	computadores.	Vamos	
ver algumas de suas propriedades.
A. Polos Magnéticos
Ao aproximarmos um ímã de limalhas de ferro, é observado que essas são atraídas 
de forma mais intensa pelas extremidades do ímã, como mostra a Figura 2.3. As 
extremidades de um ímã são chamadas de polos magnéticos.
B. orientação norte-sul
Ao suspender um ímã de maneira que ele possa girar livremente, veremos que ele 
naturalmente se alinha com uma direção especial. Essa direção é aproximadamente 
o	eixo	norte-sul	da	Terra.	Dessa	 forma,	convencionou-se	que	a	extremidade	que	
aponta	para	o	norte	geográfico	seria	o	polo	norte	do	ímã	(denotado	N),	e,	para	o	sul,	
o	polo	sul	do	ímã	(denotado	S).	Observe	a	Figura	2.4,	na	qual	uma	agulha	magnética	
se alinha com o campo magnético da Terra.
Figura 2.3 | Limalhas de ferro em contato com um ímã
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
67
C. Atração e repulsão
Quando aproximamos dois ímãs, como eles interagem? Eles podem se atrair ou 
se repelir. Se colocarmos os dois ímãs para girar livremente, descobrindo e marcando 
qual o polo norte e o polo sul em cada um deles, e depois aproximarmos os polos, 
notaremos que:
•	 Caso	os	polos	magnéticos	sejam	do	mesmo	tipo,	irão	se	repelir.
•	 Caso	sejam	diferentes,	irão	se	atrair.	
A força magnética entre esses polos, de atração ou repulsão, irá variar de forma 
parecida com a Lei de Coulomb para cargas elétricas, vista na unidade anterior, ou 
seja, a força varia com o inverso do quadrado da distância entre eles.
Figura 2.4 | Agulha magnética se alinhando com o campo magnético da Terra
Fonte: Oliveira, Veit e Araújo (2010).
Figura 2.5 | Forças de repulsão e atração nos ímãs
(continua)
Sul 
geográfico
Norte 
geográfico
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
68
Fonte: O autor.
d. inseparabilidade dos polos
Ao partir um ímã, cada pedaço será individualmente um novo ímã, com seu 
próprio	polo	norte	e	sul.	Ao	tomar	qualquer	dos	pedaços	e	cortar	ao	meio,	teremos	
dois outros ímãs, de forma que seu tamanho muda, mas suas características 
continuam as mesmas. Observe a Figura 2.6.
Dessa	forma,	não	importa	quantas	vezes	você	divida	um	ímã,	sempre	haverá	o	
surgimento dos dois polos.
Não	existe	na	natureza	um	monopolo	magnético	(um	único	polo	separado).	
Figura 2.6 | Divisão de um ímã
Fonte: O autor.
exemplos de aplicação
Observe a figura a seguir:
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
69
Um ímã se aproxima de uma bola de metal. Podemos afirmar, em relação à bola:
a)	Ela	será	atraída	pelo	polo	norte	e	repelida	pelo	polo	sul.
b)	Ela	será	atraída	pelo	polo	sul	e	repelida	pelo	polo	norte.
c)	Ela	será	atraída	por	qualquer	um	dos	polos	do	ímã.
d)	Ela	será	repelida	por	qualquer	um	dos	polos	do	ímã.	
e)	Ela	será	repelida	pela	parte	mediana	do	ímã.
Resolução:
A alternativa correta é a letra C. 
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
Artmed, 2006. 
os ímãs são utilizados em diversas aplicações tecnológicas, como 
nos discos rígidos mecânicos de computadores (Hds), onde um disco 
metálico é recoberto por uma fina camada de material magnético 
(ímãs microscópicos). Para efetuar a gravação de uma determinada 
trilha, um pequeno eletroímã, que faz parte da cabeça de leitura e 
gravação do Hd, aplica seu campo magnético sobre as moléculas de 
óxido de ferro da superfície de gravação, causando o alinhamento das 
partículas com esse campo magnético. dependendo da orientação 
dos ímãs, temos um bit 0 ou um bit 1, que representam a menor 
quantidade de informação que pode ser armazenada ou transmitida.
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
70
1.2 Materiaismagnéticos e não magnéticos
Os materiais magnéticos são aqueles que reagem fortemente a campos 
magnéticos. Além de serem atraídos por ímãs, eles podem ser transformados em 
ímãs por um processo conhecido como magnetização. Os materiais magnéticos 
possuem uma característica magnética em seus átomos ou moléculas, de 
maneira que cada átomo é um pequenino ímã. Entretanto, em geral, os átomos 
estão distribuídos desorganizadamente no corpo, com seus polos norte e sul 
desalinhados, de maneira que o corpo composto não age como um ímã. Mas 
existem diversos processos que permitem a formação de um ímã a partir de um 
material magnético, como veremos a seguir. Os materiais que não possuem tais 
características internas, ou que reagem muito pouco a campos magnéticos, são 
chamados não magnéticos, como o alumínio ou os plásticos.
Uma forma simples de magnetizar alguns tipos de materiais é através da 
aplicação de um campo magnético forte o suficiente para alinhar as estruturas 
magnéticas	internas	do	próprio	material.	O	ferro	é	um	exemplo	típico	de	material	
em que isso funciona.
existem diferentes tipos de magnetismo na natureza, sendo esses 
classificados de acordo com a intensidade e a diferença de seus 
efeitos. são: ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo. 
o fenômeno conhecido como ferromagnetismo é a capacidade que 
certos materiais, como o ferro, níquel ou o cobalto, têm de reagir 
a um campo magnético. é baseado na atração desses materiais por 
ímãs ou na persistência da magnetização na ausência do campo 
magnético, criando os ímãs permanentes. Quando um material 
ferromagnético é exposto a um campo magnético, seus dipolos 
atômicos serão alinhados ao campo, criando um ímã. Para que ocorra 
a sua desmagnetização, um campo magnético na direção oposta 
pode ser aplicado, ou ainda através da elevação da temperatura. Um 
exemplo de ferromagnetismo são os ímãs de geladeira.
o paramagnetismo pode ser visto nos materiais que necessitam estar 
sob a ação de um campo magnético para a magnetização. Caso o 
campo magnético seja retirado, o material irá se desmagnetizar. 
Quando magnetizados, são considerados ímãs de baixa intensidade.
todos os materiais existentes podem ser considerados materiais 
diamagnéticos. esse fenômeno consiste na repulsão que esse material 
sofre quando é exposto a um campo magnético, já que apresenta um 
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
71
1.3 lei de Coulomb para o magnetismo
Como vimos na unidade anterior, Coulomb, através dos seus experimentos, 
contribuiu muito para a eletrostática. Para o magnetismo, também realizou alguns 
experimentos com ímãs. Ele colocou dois ímãs separados a certa distância, como 
pode ser visto na Figura 2.7.
Medindo a força entre eles, Coulomb chegou à seguinte equação: 
F = 
hm
1
m
2
(r
12
)2
momento dipolar magnético com sentido oposto ao campo. essa é 
uma propriedade de difícil percepção, sendo praticamente impossível 
percebê-la caso o material possua uma das outras propriedades citadas.
sAMBAQUi, Ana; MArQUes, luis. Apostila de eletromagnetismo. 
instituto Federal de educação, Ciências e tecnologia de santa 
Catarina. disponível em: <https://drive.google.com/file/
d/0B4dWrkB2lh2snHU2M2tCszFnWWM/view?usp=sharing>. 
Acesso em: 28 fev. 2016.
Figura 2.7 | Experimentos de Coulomb
Fonte: Freitas e Zancan (2011).
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
72
Onde:
•	 F:	força	magnética	[Newton	(N)].
•	 h:	constante	magnética	do	meio.
•	 m:	massa	magnética	[Weber	(Wb)].
•	 d:	distância	entre	os	corpos	[metros	(m)].
Assim como em eletrostática introduzimos o conceito de carga 
elétrica para podermos medir a força entre corpos eletrizados, em 
magnetismo é possível introduzir o conceito de massa magnética 
para que possamos medir a força entre corpos magnetizados.
edMinister, Joseph. Eletromagnetismo. 2. ed. rio de Janeiro: 
Artmed, 2006. 
1.4 Campo magnético e linhas de campo magnético
O campo magnético atua na região em torno de um ímã, onde há a ação 
das forças magnéticas de repulsão ou de atração. As chamadas linhas de campo 
magnético são a representação visual desse campo. Essas linhas ainda podem ser 
chamadas de linhas de indução magnética ou linhas de fluxo magnético. Elas são 
linhas imaginárias, saindo do polo norte e entrando no polo sul, como pode ser 
visto na Figura 2.8.
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
U2
73
As linhas de campo magnético nunca se cruzam, sendo sempre linhas fechadas 
que saem do polo norte e entram no polo sul do ímã.
É observado que, quando há uma maior concentração de linhas, significa que 
mais intenso será o campo elétrico na região, portanto, mais intensa será a força 
magnética gerada. As linhas saem ou entram de forma perpendicular à superfície 
do polo e são tangentes ao campo magnético, como mostra a Figura 2.9.
1.5 Fluxo magnético
O fluxo magnético φ se refere à quantidade de linhas de campo que entram na 
área de uma superfície. A Figura 2.10 mostra o fluxo magnético.
Figura 2.8 | Linhas de campo magnético
Figura 2.9 | Linhas de campo magnético tangentes ao campo
Fonte: Dias (2011).
Fonte: O autor.
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
74
Fonte: O autor.
Figura 2.10 | Fluxo magnético
Unidade: Weber: 1 Weber = 1Wb - 1T . m2 = 1 
kg . m2
s2 . A
1.6 densidade de campo magnético
A relação entre o fluxo magnético e a área de uma superfície, sendo essa 
perpendicular à direção do fluxo, é chamada de densidade de campo magnético 
(B).	Essa	grandeza	ainda	pode	ser	chamada	de	densidade	de	fluxo	magnético,	ou	
simplesmente campo magnético. 
B = 
φ
A
Onde: 
•	 B:	densidade	de	fluxo	magnético	[Tesla	(T)].
•	 φ:	fluxo	magnético	[Weber	(Wb)].
•	 A:	área	da	seção	perpendicular	ao	fluxo	(m2).
•	 1T	=	1Wb/m2.
Vamos analisar a Figura 2.11. Podemos observar que a direção do vetor B
→
 é 
sempre tangente às linhas em qualquer ponto, sendo que o vetor da densidade de 
campo magnético será o mesmo das linhas de campo.
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
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Onde houver um maior número de linhas de campo, teremos uma grande 
densidade de campo; caso as linhas estejam mais espaçadas, a densidade de 
campo será menor.
exemplo de aplicação
Sabendo que um ímã natural produz um fluxo magnético de 2mWb a uma 
determinada distância na direção de seu alinhamento N-S, qual será a densidade de 
fluxo magnético que atravessa uma chapa quadrada de lado 2 cm que se encontra 
perpendicular ao ímã nessa posição?
Resolução:
A = L x L = 0,02 x 0,02 = 4 . 10-4 m2
B = 
φ
A
 = 
2 . 10-3
4 . 10-4
 = 5T
1.7 Permeabilidade magnética
Podemos observar diferentes comportamentos para materiais magnéticos 
e não magnéticos colocados na área das linhas de campo de um ímã. Os não 
magnéticos, como o vidro, causam pouca alteração na distribuição das linhas. Os 
materiais	magnéticos,	como	o	ferro,	causam	distorção	nas	linhas	mais	próximas,	
que se concentram em seu interior. Vide Figura 2.12.
Figura 2.11 | Vetor densidade de campo magnético
Fonte: Sambaqui e Marques (2012).
Campo magnético e forças magnéticas 
U2
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Figura 2.12 | Linhas de campo em materiais magnéticos e não magnéticos
Fonte: Sambaqui e Marques (2012).
Testando distintos objetos de mesmo tamanho e formato, mas de diferentes 
composições, a influência mais ou menos intensa nas linhas de campo pode ser 
descrita por meio da permeabilidade magnética µ dos materiais. Então, podemos 
definir a permeabilidade magnética como a facilidade com que as linhas de campo 
atravessam um material. A permeabilidade do vácuo é:
µ0 = 4 π . 10-7 
Wb
A . m
Os	materiais	 não	magnéticos	possuem	a	permeabilidade	bem	próxima	à	do	
vácuo. Temos também:
•	 Materiais	 diamagnéticos:	 permeabilidade	 é	 um	 pouco	menor	 que	 a	 do	
vácuo.
•	 Materiais	 paramagnéticos:	 permeabilidade	 é	 um	pouco	maior	 que	 a	 do	
vácuo.
•	 Materiais	ferromagnéticos:	permeabilidade	centenas	a	milhares	de	vezes	
maior quea do vácuo.
Dessa	forma,	temos	a	permissividade	relativa:
µ
r
 = 
µ
m
 
µ
0
 
Onde:
•	 	µ
r
: permissividade relativa do material.
•	 	µ
m
: permissividade de um dado material.
•	 	µ
0
: permissividade no vácuo.
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
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1.8 relutância magnética
Chamamos de relutância magnética a medida de oposição que um meio 
oferece para se estabelecer e concentrar as linhas de campo magnético. Podemos 
calculá-la por:
ℜ = 
I
µ . A
Onde: 
•	 ℜ:	relutância	magnética	[A/Wb].
•	 I:	comprimento	médio	do	caminho	magnético	das	linhas	de	campo	[m].
•	 µ:	permeabilidade	do	meio	[Wb/A·m].
•	 A:	área	da	seção	transversal	[m2].
Princípio de relutância mínima é quando se tem dois materiais com 
permeabilidades diferentes como caminho magnético para as linhas de campo, 
estas se dirigem para o de maior permeabilidade. Observe a Figura 2.13.
Podemos observar na Figura 2.13 que o ferro, um material com alta 
permeabilidade, terá maior concentração das linhas e representará um caminho de 
menor relutância para estas. Já no caso do vidro, com baixa permeabilidade, não 
há uma grande concentração das linhas de campo, representando um caminho 
de alta relutância.
Figura 2.13 | Campos magnéticos de alta e baixa relutância
Fonte: Sambaqui e Marques (2012).
Ferro
Vidro
Campo magnético e forças magnéticas 
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1. Sobre o magnetismo, podemos afirmar que:
I - Ao cortar um ímã em pedaços, todos os ímãs formados 
apresentam os dois polos, não importando o tamanho do 
pedaço.
II - Ao cortar um ímã no meio, cada um dos pedaços ficará 
com um polo. 
III - Os materiais ferromagnéticos não têm propriedades 
magnéticas e não podem ser atraídos por ímãs.
IV - Ao aproximar dois polos iguais de um ímã, haverá uma 
força de repulsão, e se os polos forem diferentes haverá 
uma força de atração.
V - A Terra possui as características de um ímã, gerando 
seu próprio campo magnético.
São corretas:
a) I, II e III.
b) I, III e IV.
c) I e IV.
d) I, IV, V.
e) II e IV.
2. Uma bussola foi colocada perto de um ímã que gera 
um campo magnético bem mais intenso do que o campo 
magnético da Terra. Qual a figura que representa de que 
forma a agulha da bússola irá permanecer?
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
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3. Um ímã natural produz um fluxo magnético de 5µWb em 
uma determinada região à frente dele, na direção do eixo 
N-S. Calcule a densidade de fluxo que atravessa um círculo 
metálico de raio 1 cm que está perpendicular a esse ímã.
4. Observe as figuras a seguir:
Através de experimentos, foi notado que P atrai S e repele 
T, Q repele U e atrai S. Diante dessas conclusões, podemos 
afirmar que:
a) as barras PQ e TU são ímãs;
b) as barras PQ e RS são ímãs;
c) as barras RS e TU são ímãs;
d) as três barras são ímãs;
e) só a barra PQ é um ímã.
Campo magnético e forças magnéticas 
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5. Uma placa retangular de lados 10,5 m e 13,2 m é 
atravessada por um campo magnético uniforme de 
intensidade 1,45 mT. Qual é, aproximadamente, o fluxo 
magnético sobre a placa?
a) 2,10 Wb.
b) 0,20 Wb.
c) 1,03 Wb.
d) 0,83 Wb.
e) 3,15 Wb.
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
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Seção 2
Movimento de partículas carregadas em um 
campo magnético
Caro aluno, esta seção apresenta como as partículas carregadas reagem à 
presença de um campo magnético, dando origem a uma força magnética que 
depende da carga da partícula e, de uma maneira muito especial, também de sua 
velocidade.
Veremos ainda as características do potencial de polo e de um dipolo magnético 
e discutiremos o efeito Hall.
Todos esses conceitos são importantes para a compreensão dos fenômenos que 
envolvem o magnetismo.
Vamos lá?
Bons estudos!
2.1 Movimento de partículas carregadas em um campo magnético
Vimos em eletricidade que a presença de um campo elétrico é comprovada 
através da inserção de uma carga de prova q no local. Para o campo magnético 
temos um caso semelhante:
•	 A	 dimensão	 da	 força	magnética	 que	 a	 partícula	 sofre	 dependerá	 de	 sua	
carga, de sua velocidade e também do campo magnético presente no meio.
•	 Sendo	a	velocidade	da	partícula	paralela	à	direção	do	campo,	teremos	uma	
força nula.
•	 A	força	é	perpendicular	ao	plano	formado	entre	velocidade	e	campo.
•	 O	 sentido	da	 força	 em	uma	carga	positiva	 é	 contrário	 ao	de	uma	carga	
negativa.
•	 A	intensidade	da	força	é	proporcional	ao	seno	do	ângulo	entre	a	velocidade	
e o campo.
Campo magnético e forças magnéticas 
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Todas	as	características	acima	podem	ser	resumidas	na	seguinte	equação	(note	
o	produto	vetorial	de	dois	vetores):	
F
→
mag
 = qv
→
x B
→
Unidade:	Tesla	(T)
Onde:
•	 F
→
mag
 : força magnética.
•	 Q: carga da partícula.
•	 v
→
: velocidade da partícula.
•	 B
→
: campo magnético.
exemplo de aplicação
Uma partícula de carga q=1µC entra em um campo elétrico B = 3 . 102 T com 
velocidade de v = 0,1 m/s. Qual é a força magnética a que essa partícula estará 
sujeita, sabendo que há um ângulo de 30 graus entre os vetores velocidade e campo 
elétrico? 
Resolução:
F
→
mag
 = qv
→
x B
→
=	q	.	B	.	v	.	sen(θ)	=	1	.	10-6	.	0,1	.	3	.	102 . 0,5 = 1,5 . 10-5N
Vamos comparar o que já descobrimos sobre a força magnética com nossos 
conhecimentos prévios de eletricidade? Podemos tirar algumas conclusões:
•	 A	 força	 elétrica	 é	 paralela	 ao	 campo	 elétrico;	 já	 a	 força	 magnética	 é	
perpendicular ao campo.
•	 A	 força	 elétrica	 atua	 sobre	 cargas	 em	 repouso	 e	 em	 movimento;	 já	 a	
magnética, apenas sobre cargas em movimento.
Figura 2.14 | Força eletromagnética
Fonte: Silva (2012).
Campo magnético e forças magnéticas Campo magnético e forças magnéticas 
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•	 A	força	elétrica	realiza	trabalho	no	deslocamento	de	uma	partícula,	a	força	
magnética não.
A força magnética não realiza trabalho sobre cargas elétricas, pois 
essa força é sempre perpendicular ao seu deslocamento. A força 
magnética não causa variação na energia cinética da partícula, uma 
vez que ela é responsável somente por uma alteração na direção do 
movimento. em sistemas macroscópicos de cargas em movimento, 
entretanto, pode haver realização de trabalho. 
Um exemplo: um fio condutor retilíneo, submetido a um campo 
magnético, é percorrido por uma corrente i. é observado um 
deslocamento do fio, paralelo à direção da força magnética que surge 
neste, como mostra a Figura 2.15, caso haja um campo magnético 
entrando na folha.
na primeira situação, a corrente é nula; sendo assim, nada acontece 
com o fio, já que as cargas estão em repouso e não sofrem a ação do 
campo magnético. na segunda situação, é estabelecida uma corrente 
no sentido de baixo para cima, surgindo uma força F para a esquerda, 
sendo que o fio se desloca também para a esquerda. nesse caso, há 
realização de trabalho no fio devido à força magnética. na terceira 
Figura 2.15 | Fio transportando corrente
Fonte: Vieira et al. (2010).
Campo magnético e forças magnéticas 
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84
situação, a corrente é invertida, surgindo, dessa forma, uma força 
magnética para a direita, sendo que o fio também será deslocado para 
a direita. novamente, houve realização de trabalho no fio devido à 
força magnética.
Como explicar o trabalho realizado?
A força magnética que age no fio é a soma das forças que atuam nas 
cargas individuais que carregam a corrente, sendo que em cada uma 
dessas cargas a força magnética é perpendicular ao deslocamento 
desta. se as cargas não estivessem ligadas ao fio, elas percorreriam 
uma trajetória circular, mas, como estão ligadas ao fio, as ligações 
químicas que as mantêm presas ao fio fazem com que elas tentem 
defletir (puxar) o fio. Aí está o segredo desse trabalho realizado devido 
a uma força magnética que age em um fio.
2.2 Força magnética
A direção e o sentido da força magnética são determinados corretamente 
quando efetuamos o produto vetorial da velocidade pelo campo magnético, 
como na equação acima. Podemos