Itens(a) Faça um esboço das curvas y = 2 sen(x) e y = tan(x) para x no intervalo (−π/2, π/2). (b) Pinte a região delimitada por ambas as curvas ...

(a) Para esboçar as curvas y = 2 sen(x) e y = tan(x) no intervalo (-π/2, π/2), podemos usar um software de plotagem de gráficos ou fazer manualmente. A curva y = 2 sen(x) é uma função senoidal com amplitude 2 e período 2π. A curva y = tan(x) é uma função tangente que tem assíntotas verticais em x = π/2 e x = -π/2. A curva também tem assíntotas horizontais em y = 1 e y = -1. (b) Para pintar a região delimitada por ambas as curvas e pelos pontos de interseção entre as curvas no primeiro quadrante, precisamos encontrar os pontos de interseção. Igualando as duas equações, temos: 2 sen(x) = tan(x) 2 sen(x) - tan(x) = 0 Podemos usar a identidade trigonométrica tan(x) = sen(x)/cos(x) para reescrever a equação como: 2 sen(x) - sen(x)/cos(x) = 0 Multiplicando ambos os lados por cos(x), temos: 2 sen(x) cos(x) - sen(x) = 0 Fatorando sen(x), temos: sen(x) (2 cos(x) - 1) = 0 Isso nos dá duas soluções para sen(x) = 0: x = 0 e x = π. E uma solução para 2 cos(x) - 1 = 0: x = π/3. Agora podemos esboçar as curvas e a região delimitada no primeiro quadrante, que é um trapézio com base menor em x = 0, base maior em x = π/3 e altura 2. (c) Para calcular a área da região localizada no primeiro quadrante, podemos dividir o trapézio em um triângulo e um trapézio retângulos. A área do triângulo é (1/2) * base * altura = (1/2) * π/3 * 2 = π/3. A área do trapézio retângulo é base maior + base menor / 2 * altura = (π/2 + π/3) / 2 * 2 = 5π/6. A área total é a soma das áreas do triângulo e do trapézio retângulo, que é π/3 + 5π/6 = 3π/2.