Introdução à Probabilidade

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Probabilidade
mepereira
May 2022
1 Introdução
1.1 Conjuntos
Um conjunto é uma coleção de objetos, denominados elementos do conjunto.
Em geral, representamos um conjunto usando uma letra maiúscula e um ele-
mento do conjunto com letra minúscula. Por exemplo, podemos dizer que um
elemento a pertence ao conjunto A, assim: a ∈ A. Por outro lado, se a não
pertence a A, escrevemos a ̸∈ A.
Se todo elemento de A também é elemento de um outro conjunto B, dizemos
que A é subconjunto de B, e escrevemos A ⊂ B. Isso significa ”A está contido
em B”. Outra forma de escrever é B ⊃ A, e significa ”B contém A”. Existem
também os conjuntos vazio, chamado de ∅, e o conjunto universo, que é o maior
conjunto posśıvel, denotado por U .
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1.2 Experimentos aleatórios, espaços amostrais e eventos
Um experimento é dito aleatório quando seus resultados são, na prática, impre-
viśıveis. Por exemplo, ao lançar um dado de 6 faces, não sabemos qual será o
resultado.
Um espaço amostral é um conjunto Ω que consiste em todos os resultados
posśıveis de um experimento aleatório. Ω é um conjunto universo. No caso do
lançamento de um dado uma única vez, se estamos interessados no número que
fica por cima no final, temos Ω = { , , , , , }.
É chamado evento um subconjunto A do espaço amostral Ω, ou seja, ele é
um conjunto dos resultados posśıveis. Com isso, temos que
• A ∪B é o evento ”A, ou B, ou ambos”.
• A ∩B é o evento ”A e B”.
• A−B é o evento ”A, mas não B”.
Definimos que a probabilidade dum evento ocorrer é
P (A) =
A
Ω
, (1)
isto é, o evento dividido pelo espaço amostral. Em geral, escrevemos o resultado
da equação acima de duas formas equivalentes: ou escrevemos P (A) entre 0 e
1, ou escrevemos como porcentagem.
Axioma 1: P (A) ≥ 0.
Axioma 2: P (Ω) = 1.
Axioma 3: Se A1 e A2 são eventos mutuamente excludentes, então
P (A1 ∪A2) = P (A1) + P (A2).
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Se um espaço amostral consiste apenas dos eventos elementares A1, A2, ...,
An, então
P (A1) + P (A2) + . . .+ P (An) = 1. (2)
Como consequência, se admitimos que todos os eventos tem probabilidades
iguais, então
P (Ak) =
1
n
, (3)
onde k = 1, 2, ...n, ou seja, quando um evento A é formado por h desses eventos
simples, dizemos que
P (A) =
h
n
. (4)
Exemplo: no lançamento de um dado não-viciado, todas as probabilidades são
iguais a 1/6.
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1.3 Probabilidade condicional
A probabilidade de ocorrência do evento B dado que o evento A ocorreu é dada
por
P (B|A) = P (A ∩B)
P (A)
. (5)
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1.4 Eventos Independentes
Se A e B são eventos independentes,
P (A ∩B) = P (A)P (B). (6)
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1.5 Teorema de Bayes (simplificado)
Se o espaço amostral Ω é formado pela união de eventos mutuamente excludentes
A1, A2, . . . An, então um dos eventos precisa ocorrer. Por isso, a probabilidade
do evento A ocorrer é
P (A|B) = P (B|A)P (A)
P (B)
, (7)
isto é, a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu é a probabilidade de
B ocorrer dado que A ocorreu, vezes a probabilidade de A ocorrer, divido pela
probabilidade de B ocorrer.
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1.6 Prinćıpio Fundamental da Contagem e Análise Com-
binatória
O prinćıpio fundamental da contagem nos conta que, se um resultado pode ser
obtido de n1 maneiras diferentes, e após isso, um segundo resultado pode ser
obtido de n2 maneiras distintas, e assim por diante, até o k-ésimo resultado,
que pode ser obtido de nk formas diferentes, então todos os resultados podem
ser obtidos, na ordem proposta, de n1n2 . . . nk formas diferentes.
Suponha que você tenha n objetos distintos. Queremos organizar uma quan-
tidade p desses objetos. Para escolher o primeiro objeto, existem n opções. Para
o segundo, existem n − 1, e assim por diante. Para o p-ésimo objeto, existirão
n−p+1 escolhas (na verdade sempre foi assim — para escolher o objeto 1, você
tem n − 1 + 1 escolhas, ou seja, n escolhas). Com isso, o número de maneiras
diferentes de se organizar p objetos, escolhendo p deles, é
P (n, p) = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− p+ 1). (8)
A função P (n, p) é chamada de permutação de n objetos, tomando p deles. É
posśıvel reescrever a equação acima em termos de um arranjo, como
A(n, p) =
n!
(n− p)!
, (9)
onde n! é a função fatorial (a função fatorial é definida, para os números inteiros,
como n! = n(n− 1)(n− 2) . . . 2 · 1 · 0!, onde 0! = 1).
Se existem n1 objetos de um tipo, n2 de outro tipo, e assim por diante, até
nk objetos de outro tipo, teremos
P (n, n1, n2, . . . nk) =
n!
n1!n2! . . . nk!
. (10)
Nos arranjos e permutações, a ordem de organização importa. No caso de um
sorteio de loteria, por exemplo, a ordem em que os números saem não importa.
Para calcular o número de escolhas quando a ordem não importa, usaremos uma
função chamada de combinação, definida por
C(n, p) =
n!
p!(n− p)!
. (11)
As combinações também são usadas no desenvolvimento do binômio de Newton:
(a+ b)n =
n∑
j=0
(
n
j
)
an−jbj , (12)
onde adotamos uma notação diferente para as combinações, agora chamadas
coeficientes binomiais: (
n
p
)
= C(n, p). (13)
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